Equações Diferenciais Ordinárias - Resumo

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Equações Diferenciais Ordinárias 
 
 Ordem da EDO: A ordem de uma equação diferencial ordinária é a da derivada de maior ordem contida na equação. 
 
1ª ordem: 
 
 
 
2ª ordem: 
 
 
3ª ordem: 
 
 
EDO Linear 
 Pode envolver:  Não envolve: 
1) Potências ou funções não lineares da variável independente 
(como x
2
 e cos x). 
1) Qualquer potência na variável dependente e suas derivadas 
(como y
3
 ou (y’’)
2
). 
2) Produtos da variável dependente (ou suas derivadas) com 
funções da variável independente (como x
3
y’, x
4
y ou e
-2
 2xy’’). 
2) Qualquer produto das variáveis dependentes e suas deri-
vadas (como yy’ ou y’y’’’). 
Equação linear: 
3x2y’’ – 4xy’ + e2xy= 6x2 
3) Qualquer outra função não linear da variável dependente 
(como sen y ou e
y
). 
Equação não linear: 
3(y’’)2 – 4yy’ + e2xy = 6x2 
    
 Potência Produto Função não linear 
 
Forma geral de uma EDO: 𝑦(𝑛) + 𝑓1(𝑥)𝑦
(𝑛−1) + ⋯ + 𝑓𝑛−1(𝑥)𝑦
′ + 𝑓𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑹(𝒙) 
 
 Uma equação diferencial linear é denominada homogênea se R(x) = 0 para todo x em consideração. Caso contrá-
rio, ela não é homogênea. 
 
 Teorema da existência e unicidade: Quando a equação possui as condições que permitem afirmar que uma equa-
ção diferencial tem solução. 
 
 Tipos de soluções: 
 
 As soluções particulares são encontradas quando se é dada uma condição 
inicial que possibilita determinar o valor da constante. 
 
Equação diferencial separável 
 
A equação diferencial dy/dx = f(x) é dita separável, uma vez que ela pode ser reescrita na forma dy = f(x)dx, na 
qual as expressões x e y estão “separadas” de forma que todas as expressões envolvendo x estão à direita e todas as 
expressões envolvendo y estão à esquerda. Depois de separadas, para encontrar a solução, integramos ambos os 
lados! 
 
 
* as constantes de ambos os lados, tornam-se uma só! 
Equações diferenciais Lineares de 1ª ordem 
 
Homogêneas 
 Solução geral da equação homogênea: 
𝒚(𝒙) = 𝑪 . 𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 
 
 
Não-Homogêneas 
 Método do Fator Integrante: 
Usado para encontrar uma solução de uma equação linear multiplicando todos os membros da Eq. por um, fator in-
tegrante, que é uma função I=I(x) tal que: 
 
 
. I(x)
 
 
 
 
 
 
 
 Assim: 
 
 Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução da Equação linear de 1ª ordem não homogênea: 
𝒚 = 
𝟏
𝑰(𝒙)
 . [∫ 𝑰(𝒙). 𝒒(𝒙) 𝒅𝒙 + 𝑪] 
Onde: 𝑰(𝒙) = 𝒆∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 
p(x) = sempre quem acompanha o y 
q(x) = sempre o x sozinho 
 
 
 
 
(1) 
(2) 
(2) = (1) 
Equações diferenciais Exatas de 1ª ordem 
Uma equação diferencial de 1ª ordem pode ser expressa na forma: 
 
M(x, y) + N (x, y)y’ = 0 
 
Será chamada equação diferencial exata se existir função S (x, y) tal que: 
 
𝒅𝑺(𝒙,𝒚)
𝒅𝒙
= 𝑴(𝒙, 𝒚) e 
𝒅𝑺(𝒙,𝒚)
𝒅𝒚
= 𝑵(𝒙, 𝒚) 
 
𝒅𝑴(𝒙, 𝒚)
𝒅𝒚
=
𝒅𝑵(𝒙, 𝒚)
𝒅𝒙
= 𝑺(𝒙, 𝒚) 
 
 Sendo que a solução S sempre será uma constante: S (x,y) = Cte 
 
Dada a equação diferencial: 
 
2xy + x2y’ = 0 
   
 M N 
 
Como saber se uma EDO é exata? 
Sendo: 
𝑆(𝑥, 𝑦) =
𝑑𝑀(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑦
 
𝑆(𝑥, 𝑦) =
𝟐𝒙𝒚
𝑑𝑦
 
𝑺(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒙 
Sendo: 
𝑆(𝑥, 𝑦) =
𝑑𝑁(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥
 
𝑆(𝑥, 𝑦) =
𝒙𝟐
𝑑𝑥
 
𝑺(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒙 
 Ambos deram o mesmo resultado, logo é EXATA! 
 
Como descobrir a solução S (x,y)? 
Temos: 
 
𝑑𝑆(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥
= 𝑀(𝑥, 𝑦) 
 
𝑑𝑆(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 
 
∫ 𝑑𝑆(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 
 
∫ 𝑑𝑆(𝑥, 𝑦) = ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 
 
𝑆 = 2𝑦
𝑥2
2
 
 
𝑺 = 𝒚𝒙𝟐 + 𝒈(𝒚) 
𝑺 = 𝒚𝒙𝟐 + 𝒈(𝒚) 
 
Derivando em y: 
 
𝑑𝑆
𝑑𝑦
=
𝑦𝑥2
𝑑𝑦
+
𝑑𝑔(𝑦)
𝑑𝑦
 
 
𝑁 = 𝑥2 +
𝑑𝑔(𝑦)
𝑑𝑦
 
 
𝑥2 = 𝑥2 +
𝑑𝑔(𝑦)
𝑑𝑦
 
 
𝑑𝑔(𝑦)
𝑑𝑦
= 𝑥2 − 𝑥2 
 
𝑑𝑔(𝑦)
𝑑𝑦
= 0 
 
𝑑𝑔(𝑦) = 0 𝑑𝑦 
 
∫ 𝑑𝑔(𝑦) = ∫ 0 𝑑𝑦 
 
𝒈(𝒚) = 𝑪𝒕𝒆 
Substituindo: 
 
𝑆 = 𝑦𝑥2 + 𝑔(𝑦) 
 
𝑆 = 𝑦𝑥2 + 𝐶𝑡𝑒 
 
* 𝑺 − 𝑪𝒕𝒆 = 𝑦𝑥2 
 
𝑺 = 𝒚𝒙𝟐 
 
*Como S já é uma 
constante e a subtra-
ção de constantes é 
outra constante, fica 
apenas “S”! 
 
 
 
Solução final: 
S (x,y) = yx2