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Prof. Me. Francisco Pessoa de Paiva Júnior Cálculo II SANTA INÊS 2015 1 Sumário 1 Integrais 4 1.0.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.0.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 A integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Métodos de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Integração por Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Integrais Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Poteências de senos e cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Produtos de Potências de senos e cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Integrais de funções envolvendo Seno e Cosseno de arcos diferentes . . . . . . 17 1.3.4 As integrais Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante . . . . . . . . . . . 18 1.3.5 Potências de Tangentes, Cotangentes, Secantes e Cossecantes . . . . . . . . . 19 1.3.6 Integrais do tipo ∫︀ tan𝑚 𝑥 sec𝑛 𝑥𝑑𝑥 e ∫︀ cot𝑚 𝑥 csc𝑛 𝑥𝑑𝑥 . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Substituição trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Procedimentos para uma Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.2 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 26 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 27 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 28 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 SUMÁRIO 3 5 Respostas dos Exercícios Propostos 29 Capítulo 1 Integrais 1.0.1 Primitivas Já estudamos como calcular a derivada de uma função. No entanto, muitos problemas exigem que recuperemos uma função a partir de sua derivada conhecida (a partir de sua taxa de variação conhecida). Vermos neste capítulo que primitivas são o elo dos dois principais elementos do cálculo: derivadas e integrais definidas. Definição 1.0.1. Uma função 𝐹 é uma primitiva de 𝑓 em um intervalo 𝐼 se 𝐹 (𝑥) = 𝑓(𝑥) para qualquer 𝑥 em 𝐼. O processo de recuperação de uma função 𝐹 (𝑥) a partir de uma derivada 𝑓(𝑥) chama-se pri- mitivação ou antiderivação. Usamos 𝐹 maiúsculo para representar uma primitiva de uma função 𝑓 , 𝐺 para representar uma primitiva de 𝑔, e assim por diante. Exercícios Resolvidos 1. Determine uma primitiva para cada uma das seguintes funções: a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 b) 𝑔(𝑥) = cos 𝑥 c) ℎ(𝑥) = 1 𝑥 + 2𝑒2𝑥 4 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 5 Teorema 1.0.2. Se 𝐹 é uma primitiva de 𝑓 em um intervalo 𝐼, então a primitiva mais geral de 𝑓 em 𝐼 é 𝐹 (𝑥) + 𝐶 onde 𝐶 é uma constante arbitrária. Assim, a primitiva mais geral de 𝑓 em 𝐼 é uma família de funções 𝐹 (𝑥) + 𝐶 cujos gráficos são translações verticais uns dos outros. Podemos selecionar um a primitiva específica dessa família atribuindo um valor específico a 𝐶. Eis um exemplo que mostra como tal atribuição pode ser feita. Exercício Resolvido 1. Determine uma primitiva de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 que satisfaça 𝐹 (1) = −1. A tabela seguinte mostra algumas primitivas Outras regras de derivação também levam a regras de primitivação correspondentes. Podemos adicionar e subtrair primitivas, bem como multiplicá-las por constantes. CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 6 Definição 1.0.3. O conjunto de todas as primitivas de 𝑓 é chamado de Integral Indefinida de 𝑓 em relação a 𝑥, denotado por ∫︀ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑥) + 𝐶∫︀ é o sinal da integral. A função 𝑓 é o integrando da integral e 𝑥 é a variável de integração. Após o sinal da integral na notação que acabamos de definir, a função integranda é sempre seguida por um diferencial para indicar a variável de integração. Exercícios Resolvidos 1. Calcule: a) ∫︀ (𝑥2 − 2𝑥+ 5)𝑑𝑥 b) ∫︀ 3√ 𝑥2𝑑𝑥 c) ∫︀ ( 1 𝑥 + √ 𝑥)𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 7 1.0.2 Exercícios Propostos 1. Calcule: a) ∫︀ 𝑥𝑑𝑥 b) ∫︀ 3𝑑𝑥 c) ∫︀ (3𝑥+ 1)𝑑𝑥 d) ∫︀ (𝑥2 + 𝑥+ 1)𝑑𝑥 e) ∫︀ 𝑥3𝑑𝑥 f) ∫︀ (𝑥3 + 2𝑥+ 3)𝑑𝑥 g) ∫︀ 1 𝑥2𝑑𝑥 h) ∫︀ (𝑥+ 1 𝑥3 )𝑑𝑥 i) ∫︀ √ 𝑥𝑑𝑥 j) ∫︀ 3 √ 𝑥𝑑𝑥 k) ∫︀ 𝑥+ 1 𝑥 𝑑𝑥 l) ∫︀ (2 + 4 √ 𝑥)𝑑𝑥 m) ∫︀ √ 𝑥+ 1 𝑥2𝑑𝑥 n) ∫︀ ( 2 𝑥 + 3 𝑥2 )𝑑𝑥 o) ∫︀ (3 5 √ 𝑥2 + 3)𝑑𝑥 p) ∫︀ 2𝑥3 − 1 𝑥4𝑑𝑥 q) ∫︀ 𝑥2+1 𝑥 𝑑𝑥 r) ∫︀ (3𝑥2 + 𝑥+ 1 𝑥3 )𝑑𝑥 1.1 A integral Definida Definição 1.1.1. Seja 𝑓(𝑥) uma função definida no intervalo [a,b], a integral definida é dada por∫︀ 𝑏 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 onde 𝑎 e 𝑏 são os limites inferior e superior, respectivamente Teorema 1.1.2. - Teorema Fundamental do Calculo (TFC) Se 𝑓 é contínua em qualquer ponto de [a,b] e se 𝐹 é qualquer primitiva de 𝑓 em [a,b], então∫︀ 𝑏 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏)− 𝐹 (𝑎) Exercícios Resolvidos 1. Calcule: a) ∫︀ 2 1 𝑥 2𝑑𝑥 b) ∫︀ 2 0 (𝑥3 + 3𝑥− 1)𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 8 c) ∫︀ 2 1 1 𝑥 + 1 𝑥3𝑑𝑥 d) ∫︀ 𝜋 8 0 sin 2𝑥𝑑𝑥 1.1.1 Exercícios Propostos 1. Calcule: a) ∫︀ 1 0 (𝑥+ 3)𝑑𝑥 b) ∫︀ 1 −1(2𝑥+ 1)𝑑𝑥 c) ∫︀ 4 0 1 2𝑑𝑥 d) ∫︀ 1 −2(𝑥2 − 1)𝑑𝑥 e) ∫︀ 3 1 𝑑𝑥 f) ∫︀ 2 −1 4𝑑𝑥 g) ∫︀ 3 1 1 𝑥3𝑑𝑥 h) ∫︀ 1 −1 5𝑑𝑥 i) ∫︀ 2 0 (𝑥2 + 3𝑥− 3)𝑑𝑥 j) ∫︀ 1 0 (5𝑥3 − 12)𝑑𝑥 k) ∫︀ 1 1 (2𝑥+ 3)𝑑𝑥 l) ∫︀ 0 1 (2𝑥+ 3)𝑑𝑥 m) ∫︀−1 −2 ( 1𝑥2+𝑥)𝑑𝑥 n) ∫︀ 4 0 √ 𝑥𝑑𝑥 o) ∫︀ 4 1 1√ 𝑥 𝑑𝑥 p) ∫︀ 8 0 3 √ 𝑥𝑑𝑥 q) ∫︀ 0 −1(𝑥3 − 2𝑥+ 3)𝑑𝑥 r) ∫︀ 1 0 8 √ 𝑥𝑑𝑥 s) ∫︀ 2 1 (𝑥3 + 𝑥+ 1𝑥3 )𝑑𝑥 t) ∫︀ 1 0 (𝑥+ 4 √ 𝑥)𝑑𝑥 u) ∫︀ 3 1 (5 + 1𝑥2 )𝑑𝑥 v) ∫︀ 3 −3 𝑥 3𝑑𝑥 x) ∫︀ 1 −1(𝑥7 + 𝑥3 + 𝑥)𝑑𝑥 y) ∫︀ 1 1 2 (𝑥+ 3)𝑑𝑥 w) ∫︀ 4 1 (5𝑥+ √ 𝑥)𝑑𝑥 z) ∫︀ 0 1 (𝑥7 − 𝑥+ 3)𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 9 1.2 Métodos de Integração Este capítulo trata dos "métodos de integração", que são recursos que permitem encontrar primitivas de determinadas funções. Dois desses métodos são da maior importância, e não podem ser omitidos num curso de Cálculo. São eles o método de Integração por Substituição e o método de Integração por Partes, que apresentaremos a seguir. Esses dois métodos de integração são importantes, não apenas para calcular efetivamente primi- tivas de certas funções; mais do que isso, eles são instrumentos poderosos para o desenvolvimento de vários métodos e técnicas, tanto no próprio Cálculo como em outras disciplinas matemáticas. 1.2.1 Integração por Substituição Até agora tentamos calcular integrais de funções que possuem primitivas fáceis de identificar. Assim, ∫︀ 𝑥3𝑑𝑥 = 𝑥44 , ∫︀ cos𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑥, ∫︀ 𝑑𝑥 𝑥 = ln 𝑥, ∫︀ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥, etc. Mas como integrar funções do itpo 𝑥𝑒𝑥 ou cos2 𝑥, das quais não conhecemos primitivas imediatas? Há vários métodos para se fazer isso, conhecidoscomo métodos de integração. Cada um desses métodos é adequado a uma determinada classe de funções. Às vezes o métodos que funciona bem numa integração é completamente inadequado em outro e, às vezes, diferentes métodos se aplicam a uma mesma integral. Veremos inicialmente, como fazer integração por substituição, um procedimento de grande importância. Teorema 1.2.1. Se 𝑢 = 𝑔(𝑥) for uma função derivável cuja imagem é um intervalo 𝐼 e 𝑓 for contínua em 𝐼, então ∫︀ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔ť(𝑥)𝑑𝑥 = ∫︀ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 Exercícios Resolvidos 1. Calcule as integrais a) ∫︀ 5 sec2(5𝑥+ 1)𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 10 b) ∫︀ cos(7𝑥+ 3)𝑑𝑥 c) 2𝑥1+𝑥2𝑑𝑥 d) ∫︀ 2 −1 𝑥 2√𝑥3 + 1𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 11 e) ∫︀ cos3 𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥 1.2.2 Exercícios Propostos 1. Calcule as integrais indefinidas usando as substituições indicadas a) ∫︀ 2(2𝑥+ 4)5𝑑𝑥, 𝑢 = 2𝑥+ 4 b) ∫︀ 2𝑥(𝑥2 + 5)−4𝑑𝑥, 𝑢 = 𝑥2 + 5 c) ∫︀ (3𝑥+ 2)(3𝑥2 + 4𝑥)4𝑑𝑥, 𝑢 = 3𝑥2 + 4𝑥 d) ∫︀ sin(3𝑥)𝑑𝑥, 𝑢 = 3𝑥 e) ∫︀ sec(2𝑡) tan(2𝑡)𝑑𝑡, 𝑢 = 2𝑡 f) ∫︀ 9𝑟2√ 1−𝑟3𝑑𝑟, 𝑢 = 1− 𝑟3 g) ∫︀ √ 𝑥 sin2(𝑥3/2 − 1)𝑑𝑥, 𝑢 = 𝑥3/2 − 1 h) ∫︀ csc2(2𝜃) cot(2𝜃)𝑑𝜃, 𝑢 = cot(2𝜃) 2. Calcule as integrais usando o método da substituição a) ∫︀ √ 3− 2𝑠𝑑𝑠 b) ∫︀ 1 5𝑠+4𝑑𝑠 c) ∫︀ 𝜃 4 √ 1− 𝜃2𝑑𝜃 d) ∫︀ 1√ 𝑥(1+ √ 𝑥)2𝑑𝑥 e) ∫︀ sec2(3𝑥+ 2)𝑑𝑥 f) ∫︀ sin(2𝑡+1) cos2(2𝑡+1)𝑑𝑡 g) ∫︀ 1 𝑡2 cos( 1 𝑡 − 1)𝑑𝑡 h) ∫︀ 1 𝜃2 sin( 1 𝜃 ) cos(1 𝜃 )𝑑𝜃 i) ∫︀ 𝑡3(1 + 𝑡4)3𝑑𝑡 j) ∫︀ 1 𝑥2 √︁ 2− 1 𝑥 𝑑𝑥 k) 𝑖𝑛𝑡 𝑥(𝑥2−4)3𝑑𝑥 l) 𝑖𝑛𝑡(cos𝑥)𝑒sin𝑥𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 12 1.2.3 Integração por Partes Estudaremos agora o chamado método de integração por partes, que se revela importante, não apenas para calcular primitivas de certas funções. Ele é também uma técnica muito valiosa de manipulação formal e de desenvolvimento de métodos operacionais importantes em vários domínios da Matemática. A integração por parte é um procedimento baseado na regra de derivação de um produto de duas funções 𝑢 = 𝑢(𝑥) e 𝑣 = 𝑣(𝑥). Teorema 1.2.2. Sejam 𝑢 = 𝑓(𝑥) e 𝑣 = 𝑔(𝑥) funções deriváveis cuja imagem é um intervalo 𝐼 e 𝑓 e 𝑔 contínuas em 𝐼, então ∫︀ 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)− ∫︀ 𝑓 ′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 Outra maneira de representarmos a integração por partes é∫︀ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫︀ 𝑣𝑑𝑢 Exercícios Resolvidos 1. Calcule as integrais usando o método da integração por partes a) ∫︀ 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 b) ∫︀ 𝑥 cos𝑥𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 13 c) ∫︀ sin2 𝑥𝑑𝑥 d) ∫︀ ln 𝑥𝑑𝑥 e) ∫︀ cos3 𝑥𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 14 1.2.4 Exercícios Propostos 1. Calcule as integrais a) ∫︀ 𝑥3𝑒𝑥𝑑𝑥 b) ∫︀ 𝑥𝑒3𝑥𝑑𝑥 c) ∫︀ 𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥 d) ∫︀ 𝑥2 sin 𝑥𝑑𝑥 e) ∫︀ cos2 𝑥𝑑𝑥 f) ∫︀ 𝑒𝑥 sin 𝑥𝑑𝑥 g) ∫︀ 𝑥 sin(𝑥2 )𝑑𝑥 h) ∫︀ 𝑡2 cos 𝑡𝑑𝑡 i) ∫︀ 2 1 𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 j) ∫︀ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 k) ∫︀ 𝑥2𝑒−𝑥𝑑𝑥 l) ∫︀ 𝑥 sec2 𝑥𝑑𝑥 m) ∫︀ (𝑥2 − 5𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥 n) ∫︀ 𝑥5𝑒𝑥𝑑𝑥 o) ∫︀ 𝑒𝜃 sin 𝜃𝑑𝜃 p) ∫︀ 𝑒2𝑥 cos(2𝑥)𝑑𝑥 1.3 Integrais Trigonométricas As integrais trigonométricas envolvem combinações algébricas das seis funções trigonométricas básicas. E, princípio, podemos sempre expressar tais integrais em termos de senos e cossenos, mais muitas vezes é mais simples trabalhar com outras funções. A idéia geral é usar identidades para transformar as integrais que temos de determinar em integrais que sejam mais fáceis trabalhar. 1.3.1 Poteências de senos e cossenos Nas integrais da forma: ∫︁ sin𝑚 𝑥𝑑𝑥∫︁ cos𝑚 𝑥𝑑𝑥 onde 𝑚 é um inteiro não negativo (positivo ou zero). Podemos resolvê-las conforme a sua potência de duas formas: CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 15 CASO 1 Se 𝑚 é ímpar, escrevemos 𝑚 como 2𝑘 + 1 e usamos a identidade sin2 𝑥+ cos2 𝑥 = 1 CASO 2 Se 𝑚 é par, escrevemos 𝑚 como 2𝑘 e usamos as identidades; sin2 𝑥 = 1− 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)2 cos2 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)2 Exercícios Resolvidos 1. Calcule as integrais a) ∫︀ cos5 𝑥𝑑𝑥 b) ∫︀ sin4 𝑥𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 16 1.3.2 Produtos de Potências de senos e cossenos Nas integrais da forma: ∫︁ sin𝑚 𝑥 cos𝑚 𝑥𝑑𝑥 onde 𝑚 e 𝑛 são inteiros não negativos (positivos ou zero). Podemos dividir a tarefa em três casos dependendo se 𝑚 e 𝑛 forem pares ou ímpares. CASO 1 Se 𝑚 é ímpar, escrevemos 𝑚 como 2𝑘+1 e usamos a identidade sin2 𝑥 = 1− cos2 𝑥 para obter sin𝑚 𝑥 = sin2𝑘+1 𝑥 = (sin2 𝑥)𝑘 sin 𝑥 = (1− cos2 𝑥)𝑘 sin 𝑥 Então, combinamos o único sin 𝑥 com 𝑑𝑥 na integral e igualamos sin 𝑥𝑑𝑥 com −𝑑(cos𝑥) CASO 2 Se𝑚 é par e 𝑛 é ímpar, em ∫︀ sin𝑀 𝑥 cos𝑛 𝑥𝑑𝑥, escrevemos 𝑛 como 2𝑘+1 e usamos a identidade cos2 𝑥 = 1− sin2 𝑥 para obter cos𝑚 𝑥 = cos2𝑘+1 𝑥 = (cos2 𝑥)𝑘 cos𝑥 = (1− sin2 𝑥)𝑘 cos𝑥 (1.3.1) Em seguida, combinamos o único cos𝑥 com 𝑑𝑥 e igualamos cos𝑥 a 𝑑(sin 𝑥) CASO 3 Se tanto 𝑚 quanto 𝑛 são pares em ∫︀ sin𝑚 𝑥 cos𝑛 𝑥𝑑𝑥, substituirmos sin2 𝑥 = 1− cos(2𝑥)2 (1.3.2) cos2 𝑥 = 1 + cos(2𝑥)2 (1.3.3) para reduzir o integrando a outro que tenha potências mais baixas de cos(2𝑥). Exercícios Resolvidos 1. Calcule a) ∫︀ sin3 𝑥 cos2 𝑥𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 17 b) ∫︀ 15 sin2 𝑥 cos3 𝑥𝑑𝑥 c) ∫︀ sin2 𝑥 cos4 𝑥𝑑𝑥 1.3.3 Integrais de funções envolvendo Seno e Cosseno de arcos dife- rentes As integrais ∫︀ sin𝑚𝑥 sin𝑛𝑥𝑑𝑥, ∫︀ sin𝑚𝑥 cos𝑛𝑥𝑑𝑥, ∫︀ cos𝑚𝑥 cos𝑛𝑥𝑑𝑥 surgem em muitas aplicações que envolvem funções periódicas. Podemos calcular essas integrais usando integração por partes, mas sempre serão necessárias duas integrações desse tipo em cada caso. É mais simples usar as identidades sin𝑚𝑥 sin𝑛𝑥 = 12[cos(𝑚− 𝑛)𝑥− cos(𝑚+ 𝑛)𝑥] (1.3.4) sin𝑚𝑥 cos𝑛𝑥 = 12[sin(𝑚− 𝑛)𝑥+ sin(𝑚+ 𝑛)𝑥] (1.3.5) cos𝑚𝑥 cos𝑛𝑥 = 12[cos(𝑚− 𝑛)𝑥+ cos(𝑚+ 𝑛)𝑥] (1.3.6) CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 18 Exercício Resolvido 1. Calcule: ∫︀ sin(3𝑥) cos(5𝑥)𝑑𝑥 1.3.4 As integrais Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Nas integrais das funções tangente e cotangente usamos o método da substituição para resolvê- las Exercícios Resolvidos 1. Calcule: a) ∫︀ tan 𝑥𝑑𝑥 b) ∫︀ cot𝑥𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 19 Nas integrais de secante e cossecante, usamos um artifício do calculo para podermos aplicar o método da substituição. Na integral da secante, multiplicamos e dividimos o integrando por sec𝑥+ tan 𝑥 e na cossecante, multiplicamos e dividimos o integrando por csc𝑥− cot𝑥. Exercícios Resolvidos 1. Calcule a) ∫︀ sec𝑥𝑑𝑥 b) ∫︀ csc𝑥𝑑𝑥 1.3.5 Potências de Tangentes, Cotangentes, Secantes e Cossecantes Nas integrais da forma: ∫︁ tan𝑚 𝑥𝑑𝑥∫︁ cot𝑚 𝑥𝑑𝑥∫︁ sec𝑚 𝑥𝑑𝑥∫︁ csc𝑚 𝑥𝑑𝑥 onde 𝑚 é um inteiro não negativo (positivo ou zero). Podemos resolvê-las usando as identidades; tan2 𝑥 = sec2 𝑥− 1 cot2 𝑥 = csc2 𝑥− 1 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 20 Exercícios Resolvidos 1. Calcule as integrais a) ∫︀ tan3(3𝜃)𝑑𝜃 b) ∫︀ cot4(2𝑥)𝑑𝑥 c) ∫︀ csc6 𝑥𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 21 d) ∫︀ sec3 𝑥𝑑𝑥 1.3.6 Integrais do tipo ∫︀ tan𝑚 𝑥 sec𝑛 𝑥𝑑𝑥 e ∫︀ cot𝑚 𝑥 csc𝑛 𝑥𝑑𝑥 Para resolvermos integrais desse tipo, as separaremos em dois casos; CASO 1 Se 𝑚 for ímpar ou 𝑛 for par, devemos preparar o integrando para aplicar o método da substituição CASO 2 Se 𝑚 for par e 𝑛 for ímpar, a integral deve ser resolvida por integração por partes. Exercícios Resolvidos 1. Calcule: a) ∫︀ tan7 𝑥 sec6 𝑥𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 22 b) ∫︀ tan7 𝑥 sec5 𝑥𝑑𝑥 c) ∫︀ cot4 𝑥 csc2 𝑥𝑑𝑥 d) ∫︀ cot3 𝑥 csc3 𝑥𝑑𝑥 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 23 1.3.7 Exercícios Propostos 1. Calcule as integrais a) ∫︀ sin3(2𝑥+ 1)𝑑𝑥 b) ∫︀ cos5(3− 3𝑥)𝑑𝑥 c) ∫︀ 2𝑥 sin4(𝑥2 − 1)𝑑𝑥d) ∫︀ 𝑒2𝑥 cos2(𝑒2𝑥 − 1)𝑑𝑥 e) ∫︀ sin3(2𝜃) cos4(2𝜃)𝑑𝜃 f) ∫︀ sin3(1− 2𝜃) cos3(1− 2𝜃)𝑑𝜃 g) ∫︀ tan3(ln 𝜃) 𝜃 𝑑𝜃 h) ∫︀ tan3 𝑥 cos4 𝑥𝑑𝑥 i) ∫︀ cos4 𝑥𝑑𝑥 j) ∫︀ tan4 𝑥𝑑𝑥 k) ∫︀ sin2 𝑥 cos4 𝑥𝑑𝑥 l) ∫︀ 15 sin5 𝑥𝑑𝑥 m) ∫︀ 15 sin2 𝑥 cos3 𝑥𝑑𝑥 n) ∫︀ 48 sin2 𝑥 cos4 𝑥𝑑𝑥 o) ∫︀ cos6(3𝑥)𝑑𝑥 p) ∫︀ −3 cos2 𝑥 sin4 𝑥 𝑑𝑥 q) ∫︀ sin(3𝑥) cos(5𝑥)𝑑𝑥 r) ∫︀ tan2(5𝑥)𝑑𝑥 s) ∫︀ cos3 𝑥 sin4 𝑥𝑑𝑥 t) ∫︀ sec3(1− 4𝑥)𝑑𝑥 u) ∫︀ csc4(3− 2𝑥)𝑑𝑥 v) ∫︀ 𝜋/20 sin2 𝑥𝑑𝑥 w) ∫︀ 𝜋 0 8 sin4 𝑥𝑑𝑥 x) ∫︀ 0 −𝜋/3 2 sec3 𝑥𝑑𝑥 y) ∫︀ 𝜋/2 𝜋/4 csc4 𝜃𝑑𝜃 z) ∫︀ 𝜋 −𝜋 sin(3𝑥) cos(3𝑥)𝑑𝑥 1.4 Substituição trigonométrica As substituições trigonométricas ocorrem quando trocamos a variável de integração por uma função trigonométrica. As substituições mais comuns são𝑥 = 𝑎 tan 𝜃, 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 e 𝑥 = 𝑎 cos 𝜃. Essas substituições são eficazes na transformação de integrais que envolvem √ 𝑎2 + 𝑥2, √ 𝑎2 − 𝑥2 e √ 𝑥2 − 𝑎2 em integrais que podemos calcular diretamente, uma vez que elas vêm dos triângulos retângulos de referência que vemos na Figura abaixo: CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 24 1.4.1 Procedimentos para uma Substituição Trigonométrica Para calcularmos uma integral usando a substituição trigonométrica, seguiremos a seguinte ordem: 1. Anote a substituição de 𝑥, calcule a diferencial 𝑑𝑥 e especifique os valores selecionados de 𝜃 para a substituição. 2. Substitua a expressão trigonométrica e a diferencial calculada no integrando e, então, sim- plifique os resultados algebricamente. 3. Integre a integral trigonométrica, tendo em mente as restrições no ângulo 𝜃 para reversibili- dade. 4. Desenhe um triângulo de referência adequado para inverter a substituição no resultado da integração e o converta de volta à variável original 𝑥. Exercícios Resolvidos 1. Calcule as integrais a) ∫︀ 𝑑𝑥√ 4+𝑥2 b) ∫︀ 𝑥2𝑑𝑥√ 9−𝑥2 CAPÍTULO 1. INTEGRAIS 25 c) ∫︀ 𝑑𝑥√ 25𝑥2−4 d) ∫︀ √9−𝑥2 2𝑥2 𝑑𝑥 1.4.2 Exercícios Propostos 1. Calcule as integrais: a) ∫︀ 𝑑𝑥 𝑥2 √ 𝑥2−5 b) ∫︀ 𝑑𝑡√ 9−16𝑡2 c) ∫︀ 𝑥3√ 𝑥2−9𝑑𝑥 d) ∫︀ (1− 4𝑡2)3/2𝑑𝑡 e) ∫︀ 𝑥2√4− 𝑥2𝑑𝑥 f) ∫︀ 𝑥3√𝑥2 + 3𝑑𝑥 g) ∫︀ 5𝑥+ 4 𝑥3 √ 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 h) ∫︀ (𝑥+ 1)2 √ 𝑥2 + 1𝑑𝑥 i) ∫︀ 𝑡5√ 𝑡2+16𝑑𝑡 j) ∫︀ 𝑒𝑥 𝑒2𝑥 + 1𝑑𝑥 k) ∫︀ 𝑥2√ 2− 𝑥2𝑑𝑥 l) ∫︀ 𝑒𝑥 4− 𝑒2𝑥𝑑𝑥 m) ∫︀ 𝑥+ 1√ 𝑥2 − 1𝑑𝑥 n) ∫︀ √𝑥2 − 1 𝑥2 𝑑𝑥 o) ∫︀ 1 + 𝑥2 𝑥3 𝑑𝑥 p) ∫︀ (𝑥+ 1)√ 4− 𝑥2𝑑𝑥 q) ∫︀ (6𝑥+ 5)√ 9𝑥2 + 1 𝑑𝑥 r) ∫︀ (𝑥+ 3)√ 𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥 s) ∫︀ √ 4− 𝑥2𝑑𝑥 t) ∫︀ √𝑥2 − 4𝑑𝑥 u) ∫︀ √4 + 𝑥2𝑑𝑥 v) ∫︀ √ 4 + 𝑥2𝑑𝑥 w) ∫︀ ( √ 1 + 𝑥2 + 2𝑥)𝑑𝑥 x) ∫︀ 2 −2 𝑑𝑥 4+𝑥2𝑥 y) ∫︀ 3/2 0 𝑑𝑥√ 9−𝑥2𝑑𝑥 z) ∫︀√3/2 0 4𝑥2 (1−𝑥2)3/2𝑑𝑥 Capítulo 2 2.1 2.1.1 title 26 Capítulo 3 3.1 3.1.1 title 27 Capítulo 4 4.1 4.1.1 title 28 Capítulo 5 Respostas dos Exercícios Propostos Exercícios Propostos 1.0.2 1) a) 𝑥22 + 𝑐 b) 3𝑥+ 𝑐 c) 3𝑥22 + 𝑥+ 𝑐 d) 𝑥3 3 + 𝑥2 2 + 𝑥+ 𝑐 e) 𝑥44 + 𝑐 f) 𝑥4 4 + 𝑥 2 + 3𝑥+ 𝑐 g) − 1 𝑥 + 𝑐 h) 𝑥22 − 12𝑥2 + 𝑐 i) 2 √ 𝑥3 3 + 𝑐 j) 3 3 √ 𝑥4 4 + 𝑐 k) 𝑥22 + ln 𝑥+ 𝑐 l) 2𝑥+ 4 4 √ 𝑥5 5 + 𝑐 m) 2 √ 𝑥3 3 − 1𝑥 + 𝑐 n) 2 ln 𝑥− 3𝑥 + 𝑐 o) 15 5√ 𝑥7 7 + 3𝑥+ 𝑐 p) 𝑥4 2 + 1 3𝑥3 + 𝑐 q) 𝑥22 + ln 𝑥+ 𝑐 r) 𝑥 3 + 𝑥22 − 12𝑥2 + 𝑐 Exercícios Propostos 1.1.1 1) a) 7/2 b) 2 c) 2 d) 0 e) 2 f) 12 g) 4/9 h) 10 i) 8/3 j) 3/4 k) 0 l) -4 m) -1 n) 16/3 o) 2 p) 12 q) 15/4 r) 8/9 s) 45/8 t) 13/10 u) 32/3 v) 0 x) 0 w) 15/8 y) 253/6 z) -21/8 29 CAPÍTULO 5. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 30 Exercícios Propostos 1.2.2 1) a) (2𝑥+4)66 + 𝑐 b) (𝑥2+5)−3 3 + 𝑐 c) (3𝑥2+4𝑥)510 + 𝑐 d) − cos 3𝑥3 + 𝑐 e) sec 2𝑡2 + 𝑐 f) −6(1− 𝑟3)1/2 + 𝑐 g) (𝑥3/2−1)3 − sin(2𝑥 3/2−2) 6 + 𝑐 h) − cot 2(2𝜃) 4 + 𝑐 2) a) − (3−2𝑠)3/23 + 𝑐 b) −2(1−𝜃 2)5/4 5 + 𝑐 c) (−2/(1 +√𝑥)) + 𝑐 d) tan(3𝑥+2)3 + 𝑐 e) 12 cos(2𝑡+1) + 𝑐 f) − sin(1𝑡 − 1) + 𝑐 g) − sin2(1/𝜃)2 + 𝑐 h) (1+𝑡 4)4 16 + 𝑐 i) 2(2− 1 𝑥 )3/2 3 + 𝑐 j) (𝑥2+1)5/2 5 − (𝑥 2+1)3/2 3 + 𝑐 k) −14(𝑥2−4)2 + 𝑐 l) 𝑒 sin𝑥 + 𝑐 Exercícios Propostos 1.2.4 1) a) 𝑒𝑥(𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝑥− 6) + 𝑐 b) 𝑥𝑒3𝑥3 − 𝑒 3𝑥 9 + 𝑐 c) sin 𝑥− 𝑥 cos𝑥+ 𝑐 d) (2− 𝑥2) cos𝑥+ 2𝑥 sin 𝑥+ 𝑐 e) sin𝑥 cos𝑥+𝑥2 + 𝑐 f) 𝑒𝑥(sin𝑥−cos𝑥) 2 + 𝑐 g) −2𝑥 cos(𝑥/2) + 4 sin(𝑥/2) + 𝑐 h) 𝑡2 sin 𝑡+ 2𝑡 cos 𝑡− 2 sin 𝑡+ 𝑐 i) ln 4− 3/4 + 𝑐 j) 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑐 k) −(𝑥2 + 2𝑥+ 2)𝑒−𝑥 + 𝑐 l) 𝑥 tan 𝑥+ ln|cos𝑥|+𝑐 m) (𝑥2 − 7𝑥+ 7)𝑒𝑥 + 𝑐 n) (𝑥5 − 5𝑥4 + 20𝑥3 − 60𝑥2 + 120𝑥− 120)𝑒𝑥 + 𝑐 o) 12(−𝑒𝜃 cos 𝜃 + 𝑒𝜃 sin 𝜃) + 𝑐 p) 𝑒 2𝑥 13 (3 sin(3𝑥) + 2 cos(3𝑥) + 𝑐 Exercícios Propostos 1.3.7 1) a) − cos(2𝑥+1)2 + cos 3(2𝑥+1) 6 + 𝑐 b) − sin(3−3𝑥)3 + 2 sin 3(3−3𝑥) 9 − sin 5(3−3𝑥) 15 + 𝑐 c) − sin3(𝑥2−1) cos(𝑥2−1)4 − 3 sin(𝑥 2−1) cos(𝑥2−1) 8 + 3(𝑥2−1) 8 + 𝑐 d) 𝑒2𝑥−14 + sin(2𝑒2𝑥−2) 8 + 𝑐 e) − cos5(2𝜃)10 + cos 7(2𝜃) 14 + 𝑐 f) − sin4(1−2𝜃)8 + sin 6(1−2𝜃) 12 + 𝑐 CAPÍTULO 5. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 31 g) tan2(ln 𝜃)2 + ln|cos(ln 𝜃)|+𝑐 h) sin4 𝑥4 + 𝑐 i) cos3 𝑥 sin𝑥4 + 3 cos𝑥 sin𝑥 8 + 3𝑥 8 + 𝑐 j) tan3 𝑥3 − tan 𝑥+ 𝑥+ 𝑐 k) tan3 𝑥3 + 𝑐 l) −15 cos𝑥+ 10 cos3 𝑥− 3 cos5 𝑥+ 𝑐 m) 5 sin3 𝑥− 3 sin5 𝑥+ 𝑐 n) 2 cos3 𝑥 sin 𝑥− 8 cos5 𝑥 sin 𝑥+ 3 sin 𝑥 cos𝑥+ 𝑐 o) cos5(3𝑥) sin(3𝑥)18 + 5 cos3(3𝑥) sin(3𝑥) 72 + 5 cos(3𝑥) sin(3𝑥) 48 + 5𝑥 16 + 𝑐 p) cot3 𝑥+ 𝑐 q) − cos(8𝑥)16 + cos(2𝑥)4 + 𝑐 r) tan(5𝑥)5 − 𝑥+ 𝑐 s) −13 sin3 𝑥 + 1 sin𝑥 + 𝑐 t) − sec(1−4𝑥) tan(1−4𝑥)8 − ln|sec(1−4𝑥)+tan(1−4𝑥)|8 + 𝑐 u) cot(3−2𝑥)2 + cot3(3−2𝑥) 6 + 𝑐 v) 16/35 w) 3𝜋 x) 2 √ 3 + ln(2 + √ 3) y) 4/3 z) 𝜋 Exercícios Propostos 1.4.2 1) a) √ 𝑥2 − 5 5𝑥 + 𝑐 b) 14 arcsin( 4𝑡 3 ) + 𝑐 c) (𝑥 2 6 + 6) √ 𝑥2 + 9 + 𝑐 d) 𝑡(1− 4𝑡 2) √ 1− 4𝑡2 4 + 3 arcsin(2𝑡) 16 + 3𝑡 √ 1− 4𝑡2 8 + 𝑐 e) 2 arcsin(𝑥2 ) + 𝑥 √ 4− 𝑥2 2 − 𝑥(4− 𝑥2)√4− 𝑥2 4 + 𝑐 f) √︁ (𝑥2 + 3)5 5 − √︁ (𝑥2 + 3)3 + 𝑐 g) −5 √ 1 + 𝑥2 𝑥 − 2 √ 1 + 𝑥2 𝑥2 − 2 ln | √ 1 + 𝑥2 − 1 𝑥 |+ 𝑐 h) 𝑥(𝑥 2 + 1) √ 𝑥2 + 1 4 + 3𝑥 √ 𝑥2 + 1 8 + 2(𝑥2 + 1) √ 𝑥2 + 1 3 + 3 ln |√𝑥2 + 1 + 𝑥| 8 + 𝑐 i) (𝑡 2 + 16)2 √ 𝑡2 + 16 5 + 32(𝑡2 + 16) √ 𝑡2 + 16 3 + 256 √ 𝑡2 + 16 + 𝑐 CAPÍTULO 5. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 32 j) ln |√𝑒2𝑥 + 1 + 𝑒𝑥|+ 𝑐 k) arcsin( 𝑥√2)− 𝑥 √ 2−𝑥2 2 + 𝑐 l) arcsin( 𝑒𝑥2 ) + 𝑐 m) √ 𝑥2 − 1 + ln |𝑥+√𝑥2 − 1|+ 𝑐 n) ln |𝑥+√𝑥2 − 1| − √ 𝑥2−1 𝑥 + 𝑐 o) − √ 1+𝑥2 2𝑥2 + ln | √ 1+𝑥2−1 𝑥 | 2 + 𝑐 p) −√4− 𝑥2 + arcsin(𝑥2 ) + 𝑐 q) 2 √ 9𝑥2+1 9 + 5 3 ln | √ 9𝑥2 + 1 + 3𝑥|+ 𝑐 r) √ 𝑥2 + 2𝑥+ 2 ln |𝑥+ 1 +√𝑥2 + 2𝑥|+ 𝑐 s) 2 arcsin(𝑥2 ) + 𝑥 √ 4−𝑥2 2 + 𝑐 t) 𝑥 √ 𝑥2−4 2 − 2 ln |𝑥+ √ 𝑥2 − 4|+ 𝑐 u) 𝑥 √ 4+𝑥2 2 − 2 ln | √ 4 + 𝑥2 + 𝑥|+ 𝑐 v) 𝑥 √ 1+𝑥2 2 + 𝑥 2 + ln |𝑥+ √ 1+𝑥2| 2 + 𝑐 w) − cos𝑥+ 𝑥 √ 1+𝑥2 2 − ln | √ 1+𝑥2+𝑥| 2 + 𝑐 x) 𝜋/4 y) 𝜋/6 z) 4 √ 3− 4𝜋3 Bibliografia 1 [1] 2 [2] 3 [3] 4 [4] 5 [5] 6 [6] 7 [7] Z Integrais Primitivas Exercícios Propostos A integral Definida Exercícios Propostos Métodos de Integração Integração por Substituição Exercícios Propostos Integração por Partes Exercícios Propostos Integrais Trigonométricas Poteências de senos e cossenos Produtos de Potências de senos e cossenos Integrais de funções envolvendo Seno e Cosseno de arcos diferentes As integrais Tangente, Cotangente,Secante e Cossecante Potências de Tangentes, Cotangentes, Secantes e Cossecantes Integrais do tipo tan^m x sec^n x dx e cot^m x csc^n x dx Exercícios Propostos Substituição trigonométrica Procedimentos para uma Substituição Trigonométrica Exercícios Propostos Respostas dos Exercícios Propostos
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