III UNIDADE - TEORIA DE ELIPSE. HIPERBOLE. PARABOLA. TRANSLACAO E ROTACAO DE EIXOS

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Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 1 
CAP 22 & 23 – CÔNICAS 
 
 
 
 
ELIPSE 
 
Origem 
 
Vamos considerar um cone. Utilizando um plano inclinado em relação ao eixo e que 
intersecte todas as geratrizes do cone, faremos um corte como mostra o desenho 
seguinte: 
 
 
Nesse caso, a secção cônica obtida é chamada elipse. 
 
Definição 
 
Dados dois pontos F1 e F2, pertencentes a um plano α, seja 2c a distância entre eles. 
Elipse é o conjunto dos pontos de α cuja soma das distâncias a F1 e F2 é constante 2a. 
 
Elipse = { }aPFPFP 221 =+∈α 
 
 
Assim, temos: 
QF1 + QF2 = 2a 
RF1 + RF2 = 2a 
SF1 + SF2 = 2a 
A1F1 + A1F2 = 2a 
A2F1 + A2F2 = 2a 
B2F1 + B2F2 = 2a 
 
Notemos também que A1A2 = 2a 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 2 
Elementos principais 
 
F1 e F2 � focos 
O � centro 
A1A2 � eixo maior 
B1B2 � eixo menor 
2c � distância focal 
2a � medida do eixo maior 
2b � medida do eixo menor 
a
c
 � excentricidade 
 
Relação notável: 222 cba += 
 
OBS: Área de uma elipse � baS ⋅⋅= pi 
 
 
 
Equação reduzida da elipse de centro na origem e focos pertencentes ao eixo das 
abscissas 
 
Tomemos um sistema cartesiano ortogonal tal que: 
 
A1A2 ⊂ x e B1B2 ⊂ y 
 
É evidente que os focos são os pontos: 
 
F1(-c, 0) e F2(c, 0) 
 
 
 
 
Nestas condições, chama-se equação reduzida da elipse a equação que P(x, y), ponto 
genérico da curva, verifica. A dedução é imediata: P ∈ elipse ⇔ PF1 + PF2 = 2a, então: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) aycxycx 200 2222 =−+−+−++ 
 
Desenvolvendo, temos: 
122
2
2
2
=
−
+
ca
y
a
x
 
 
Como 222 cba += , temos: 
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 3 
Equação reduzida da elipse de centro na origem e focos pertencentes ao eixo das 
ordenadas 
 
Analogamente ao que vimos se a elipse apresenta: 
 
A1A2 ⊂ y e B1B2 ⊂ x 
 
Temos: 
PF1 + PF2 = 2a 
 
( ) ( ) ( ) ( ) acyxcyx 200 2222 =−+−+++− 
 
Desenvolvendo, temos: 
 
12
2
2
2
=+
b
x
a
y
 
 
 
Equação reduzida da elipse de centro no ponto O’(xo, yo) e focos pertencentes a 
uma reta paralela ao eixo das abscissas 
 
Se uma elipse tem centro no ponto O’(xo, yo) e 
A1A2 // x, sua equação em relação ao sistema 
auxiliar x’O’y’ é: 
 
1)'()'( 2
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
 
Portanto, sua equação relativamente ao sistema 
xOy é: 
 
1)()( 2
2
0
2
2
0
=
−
+
−
b
yy
a
xx
 
 
 
Equação reduzida da elipse de centro no ponto O’(xo, yo) e focos pertencentes a 
uma reta paralela ao eixo das ordenadas 
 
 
Analogamente, se uma elipse tem centro no ponto 
O’(xo, yo) e A1A2 // y, sua equação em relação ao 
sistema xOy é: 
 
1)()( 2
2
0
2
2
0
=
−
+
−
b
xx
a
yy
 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 4 
OBS: É importante verificar o que acontece com a equação da circunferência de centro 
C(xo, yo) e raio r, se dividirmos tudo por r2: 
 
( ) ( ) 1)()( 2
2
0
2
2
022
0
2
0 =
−
+
−
⇒=−+−
r
yy
r
xx
ryyxx 
 
Essa é a equação de uma elipse de centro C(xo, yo) e com os dois semi-eixos iguais ao 
raio, ou seja, a = b = r. Além disso, a excentricidade é nula, pois e = 
a
c
 e, nesse caso 
c = 0, já que 022222 =−=−= rrbac . Isso mostra que a circunferência é um caso 
particular da elipse, e que, quanto mais próximo de zero for a excentricidade, “mais 
circular” será a elipse. 
 
HIPÉRBOLE 
 
Origem 
 
Vamos considerar um cone e um plano qualquer que secciona as duas folhas do cone 
conforme mostra a figura: 
 
 
Nesse caso, a secção cônica obtida é denominada hipérbole. 
 
Definição 
 
Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertencentes a um plano α, seja 2c a distância entre 
eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos de α cuja diferença (em valor absoluto) das 
distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a (sendo ca 220 << ). 
 
Hipérbole = { }aPFPFP 221 =−∈α 
 
 
 Assim, temos: 
 QF2 - QF1 = 2a 
 RF2 - RF1 = 2a 
 SF1 - SF2 = 2a 
 A1F2 - A1F1 = 2a 
 A2F1 - A2F2 = 2a 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 5 
Elementos principais 
 
F1F2 � focos 
O � centro 
A1A2 � eixo real ou transverso 
B1B2 � eixo imaginário 
2c � distância focal 
2a � medida do eixo real 
2b � medida do eixo imaginário 
a
c
 � excentricidade 
 
Relação notável: 222 bac += 
 
OBS: Notemos que, sendo a hipérbole uma curva aberta, o significado geométrico do 
eixo imaginário B1B2 é, por enquanto, abstrato. 
 
 
Equação reduzida da hipérbole de centro na origem e focos sobre o eixo das 
abscissas 
 
 
Tomemos um sistema cartesiano ortogonal tal que: 
 
A1A2 ⊂ x e B1B2 ⊂ y 
 
É evidente que os focos são os pontos: 
 
F1(-c, 0) e F2(c, 0) 
 
 
 
 
 
Nestas condições, chama-se equação reduzida da hipérbole a equação que P(x, y), ponto 
genérico da curva, verifica. A dedução é imediata: P ∈ hipérbole ⇔ aPFPF 221 =− , 
então: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) aycxycx 200 2222 ±=−+−−−++ 
 
Desenvolvendo, temos: 
122
2
2
2
=
−
−
ac
y
a
x
 
 
Como 222 bac += , temos: 
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 6 
Equação reduzida da hipérbole de centro na origem e focos sobre o eixo das 
ordenadas 
 
Analogamente ao que vimos se a hipérbole apresenta: 
 
A1A2 ⊂ y e B1B2 ⊂ x 
 
Temos: 
aPFPF 221 =− 
 
( ) ( ) ( ) ( ) acyxcyx 200 2222 ±=−+−−++− 
 
Desenvolvendo, temos: 
12
2
2
2
=−
b
x
a
y
 
 
 
Equação reduzida da hipérbole de centro no ponto O’(xo, yo) e focos pertencentes a 
uma reta paralela ao eixo das abscissas 
 
Se uma hipérbole tem centro no ponto O’(xo, yo) e 
A1A2 // x, sua equação em relação ao sistema auxiliar 
x’O’y’ é: 
 
1)'()'( 2
2
2
2
=−
b
y
a
x
 
 
Portanto, sua equação relativamente ao sistema xOy é: 
 
1)()( 2
2
0
2
2
0
=
−
−
−
b
yy
a
xx
 
 
 
Equação reduzida da elipse de centro no ponto O’(xo, yo) e focos pertencentes a 
uma reta paralela ao eixo das ordenadas 
 
 
Analogamente, se uma hipérbole tem centro no ponto 
O’(xo, yo) e A1A2 // y, sua equação em relação ao 
sistema xOy é: 
 
1)()( 2
2
0
2
2
0
=
−
−
−
b
xx
a
yy
 
 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 7 
OBS: Assíntotas da hipérbole 
 
Demonstra-se que toda hipérbole admite duas retas, s1 e s2, passando pelo seu centro e 
tangenciando os dois ramos da curva no ponto impróprio (ponto infinitamente afastado 
da reta). As retas s1 e s2 recebem o nome de assíntotas. Suas equações, no caso em que 
o centro da hipérbole é a origem, são: 
 
(s1): x
a
by ⋅= ou x
b
ay ⋅= 
 
(s2): x
a
by ⋅−= ou x
b
ay ⋅−= 
 
 
 
 
PENSE NISTO: Como ficariam as equações das assíntotas quando o centro da 
hipérbole for um ponto qualquer do plano xOy? 
 
OBS: Hipérbole Eqüilátera 
 
Quando temos b = a, o retângulo MNPQ é na realidade um quadrado. Nesse caso, as 
assíntotas tornam-se perpendiculares e a hipérbole é denominada hipérbole eqüilátera. 
A equação dessa hipérbole eqüilátera de centro O(xo, yo) é: 
 
 
1)()( 2
2
0
2
2
0
=
−
−
−
a
yy
a
xx
 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 8 
PARÁBOLA 
 
Origem 
 
Vamos considerar um cone seccionado por um plano paralelo à geratriz, como mostra o 
desenho seguinte: 
 
Nesse caso, dizemos que foi obtida uma secção cônica chamada parábola. 
 
Definição 
 
Dados um ponto F e uma reta d, pertencentes a um plano α, com F ∉ d, seja 2p a 
distância entre F e d. Parábola é o conjunto dos pontos de α que estão a mesma distância 
de F e d. 
Parábola = { }),(),( dPdFPdP =∈α 
 
Assim, temos: 
VF = VV’ 
PF = PP’ 
QF = QQ’ 
RF = RR’ 
SF = SS’ 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos principais 
 
F � foco 
d � diretriz 
p � parâmetro (outros autores definem o parâmetro como a distância do foco à diretriz) 
V � vértice 
Reta VF � eixo de simetria 
 
Relação notável: pVF = 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 9 
Equação reduzida da parábola com vértice naorigem e foco no eixo das abscissas 
 
Tomemos um sistema cartesiano ortogonal com 
origem no vértice da parábola e eixo das 
abscissas passando pelo foco. É evidente que o 
foco é 
 
( )0 , F p 
 
E a diretriz d tem equação 
 
px −= 
 
 
 
 
 
 
 
Nestas condições, chama-se equação reduzida da parábola a equação que P(x, y), ponto 
genérico da curva, verifica. A dedução é imediata: P ∈ parábola ⇔ PF = PP’, então: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
22222
222
2222
22
0
ppxxyppxx
pxypx
yypxypx
++=++−
+=+−
−++=−+−
 
 
pxy 42 =
 
 
 
 
 
Exemplo 
Uma parábola com parâmetro p, vértice na origem e foco no eixo dos x, tem equação: 
 
 
 
 
 pxy 42 = , se F à direita de V pxy 42 −= , se F à esquerda de V 
 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 10 
Equação reduzida da parábola com vértice na origem e foco no eixo das ordenadas 
 
Analogamente ao que vimos, se a parábola apresenta vértice na origem e foco no eixo 
das ordenadas, temos: 
 
 
PF = PP’ 
 
( ) ( ) ( ) ( )22220 pyxxpyx ++−=−+− 
 
pyx 42 =
 
 
 
 
Exemplo 
Uma parábola com parâmetro p, vértice na origem de foco no eixo y, tem equação: 
 
 
 
 pyx 42 = , se F acima de V ou pyx 42 −= , se F abaixo de V 
 
 
 
Equação reduzida da parábola com vértice no ponto V(xo, yo) e VF // x 
 
 
Se uma parábola tem vértice no ponto V(xo, yo) e VF // x, 
sua equação em relação ao sistema auxiliar x’Vy’ é: 
 
( ) '4' 2 pxy = 
 
Portanto, sua equação relativamente ao sistema xOy é: 
 
 
( ) ( )020 4 xxpyy −=− 
 
 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 11 
Equação reduzida da parábola com vértice no ponto V(xo, yo) e VF // y 
 
 
Analogamente, se uma parábola tem vértice no ponto 
V(xo, yo) e VF // y, sua equação relativa ao sistema xOy 
é: 
 
 
( ) ( )020 4 yypxx −=− 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Uma parábola de vértice V(7, 8) e parâmetro p = 
2
3
 apresenta equação: 
 
( ) ( )768 2 −=− xy se VF // x e F à direita de V ou 
 
( ) ( )867 2 −=− yx se VF // y e F acima de V 
 
Notemos ainda que uma parábola de V(7, 8) e parâmetro p = 
2
3
 apresenta a seguinte 
equação: 
 
( ) ( )768 2 −−=− xy se VF // x e F à esquerda de V ou 
 
( ) ( )867 2 −−=− yx se VF // y e F abaixo de V 
 
 
OBS: No estudo das funções quadráticas cbxaxy ++= 2 os gráficos foram chamados 
de parábola. Na verdade, aquelas parábolas e as estudas nesta apostila são as mesmas, 
pois quando usamos a técnica de completar quadrados podemos transformar qualquer 
equação do tipo cbxaxy ++= 2 , em uma do tipo ( ) ( )020 4 yypxx −=− . 
 
Pela técnica de completar quadrados podemos transformar a equação cbyayx ++= 2 , 
em uma do tipo ( ) ( )020 4 xxpyy −=− . 
 
Logo, toda equação do 2º grau nas variáveis x ou y quando redutível a cbxaxy ++= 2 
ou cbyayx ++= 2 representa uma parábola. 
 
Note que as considerações acima só são válidas se 0≠a . 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 12 
OBS: Há autores que usam a equação reduzida da parábola de uma maneira diferente: 
 
Tomemos um sistema cartesiano ortogonal com origem no vértice da parábola e eixo 
das abscissas passando pelo foco. É evidente que o foco é 
 





 0 ,
2
 F p 
E a diretriz d tem equação 
2
p
x −= 
 
Nestas condições, chama-se equação reduzida da parábola a equação que P(x, y), ponto 
genérico da curva, verifica. A dedução é imediata: P ∈ parábola ⇔ PF = PP’, então: 
 
( ) ( )
44
22
2
0
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ppxxyppxx
p
xypx
yypxypx
++=++−






+=+





−
−+





+=−+





−
 
 
pxy 22 =
 
 
 
 
 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 13 
INTERSECÇÃO DE CÔNICAS 
 
É regra geral na Geometria Analítica que, dadas duas curvas 0) ,( =yxf e 0) ,( =yxg , 
a intersecção delas é o conjunto dos pontos que satisfazem o sistema: 
 



=
=
0) ,(
0) ,(
yxg
yxf
 
 
Esse conceito é usado para achar a intersecção de duas retas, de uma reta e uma 
circunferência e de duas circunferências. O mesmo conceito se aplica para obter a 
intersecção de uma reta e uma cônica, de uma circunferência e uma cônica, de duas 
cônicas, etc. 
 
 
 
 
 
TANGENTES A UMA CÔNICA 
 
Uma reta t e uma cônica λ, coplanares, são tangentes se, e somente se, têm um único 
ponto comum. (No caso da parábola, deve-se exigir que a reta tenha um único ponto 
com a curva e não seja paralela ao eixo da parábola). 
 
A reta (t): 0=++ kbyax e a cônica (λ) 0) ,( =yxf têm um único ponto comum se o 
sistema de equações: 
 



=
=++
(II) 0) ,(
(I) 0
yxf
kbyax
 
 
admitir uma única solução (xo, yo). 
 
Seja ∆ o discriminante da equação do 2º grau resultante da substituição da incógnita y 
de (I) em (II). A reta t e a cônica λ são tangentes se, e somente se, ∆ = 0. 
 
 
OBS: Você também pode diferenciar implicitamente a equação da cônica, encontrando 
assim o coeficiente angular da reta tangente em um ponto qualquer da cônica. Daí, dado 
o ponto genérico da cônica e o coeficiente angular da reta tangente você pode verificar a 
equação da reta tangente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 14 
Vamos exercitar um pouco... 
 
1) Identifique a cônica representada pela equação 0116542897 22 =−++− yxyx . 
 
Solução 
 
Primeiramente, vamos agrupar os termos de mesma variável: 
 
116)549()287( 22 =−−+ yyxx 
 
116)6(9)4(7 22 =−−+ yyxx 
 
Completando os quadrados 
 
)9(9)4(7116)96(9)44(7 22 −+=+−−++ yyxx 
 
63)3(9)2(7 22 =−−+ yx 
 
Dividindo ambos os membros da equação por 36, obtemos: 
 
1
7
)3(
9
)2( 22
=
−
−
+ yx
 
 
Pelas fórmulas de translação, façamos: 
 
3
2
−=′
+=′
yy
xx
 
 
E, portanto: 
 
1
79
22
=
′
−
′ yx
 
 
que é a equação reduzida da hipérbole em relação ao sistema x’O’y’ sendo O’ (-2, 3). 
 
Mas: 
 
392 =∴= aa 
 
772 =∴= bb 
 
Logo: 
 
Eixo real � 62 =a 
Eixo imaginário � 722 =b 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 15 
Sendo: 
 
222 bac += 
 
4=c 
 
Focos � F1(-6, 3), F2(2, 3) 
 
Esboço da hipérbole 
 
 
 
 
 
2) Identifique a cônica representada pela equação 0436894 22 =+−−+ yxyx . 
 
Solução 
 
Primeiramente, vamos agrupar os termos de mesma variável: 
 
4)369()84( 22 −=−+− yyxx 
 
4)4(9)2(4 22 −=−+− yyxx 
 
Completando os quadrados 
 
)4(9)1(44)44(9)12(4 22 ++−=+−++− yyxx 
 
36)2(9)1(4 22 =−+− yx 
 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 16 
Dividindo ambos os membros da equação por 36, obtemos: 
 
1
4
)2(
9
)1( 22
=
−
+
− yx
 � elipse translada em relação a origem O. 
 
Centro � C (1, 2) 
 
392 =∴= aa 
 
242 =∴= bb 
 
Vértices � A1(-2, 2), A2(4, 2), B1(1, 0), B2(1, 4) 
 
Para determinarmos os focos precisamos do valor de c: 
 
222 cba += 
 
249 c+= 
 
5=c 
 
Portanto 
 
Focos � F1( 51− , 2), F2( 51+ , 2) 
 
Excentricidade � 
3
5
==
a
c
e 
 
 
Esboço da elipse: 
 
 
 
 
 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 17 
ROTAÇÃO DE SISTEMA 
 
 
 
Seja θ uma rotação dada no sistema xOy, obtendo assim um novo sistema x’O y’. Aqui, 
podemos considerar º900 << θ . 
 
Considere a base ortonormal { }21 ,eeB rr= , sendo )0,1(1 =er e )1,0(2 =er . 
 
Rotacionando 1e
r
 e 2e
r
 obtemos a base ortonormal { }21 ,uuB rr=′ , tal que para o sistema 
xOy, temos: 
 
211 sincos)sin,(cos eeu
rrr θθθθ +== 
 
212 cossin)cos,sin( eeu
rrr θθθθ +−=−= 
 
Seja P um ponto do plano. 
 
No sistema xOy, temos 21),( eyexyxOP
rr
+== 
No sistema x’O’y’, temos 21),( uyuxyxOP
rr
′+′=′′= 
 
Daí, 
2121 uyuxeyex
rrrr
′+′=+ 
 
( ) ( )212121 cossinsincos eeyeexeyex rrrrrr θθθθ +−′++′=+ 
 
( ) ( ) 2121 cossinsincos eyxeyxeyex rrrr θθθθ ′+′+′−′=+ 
 
Como as coordenadas de um vetor são únicas, temos:


′+′=
′
−
′=
θθ
θθ
cossin
sincos
yxy
yxx
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 18 
Exemplo: No sistema xOy, considere P(2, -1). Quais as coordenadas de P no sistema 
rotacionado x’O’y’ de um ângulo 3/pi ? 
 
Solução 
Temos 
3
piθ = . Então, 
2
1
3
coscos =





=
piθ e 
2
3
3
sinsin =





=
piθ 
 
Assim, 



′+′=
′
−
′=
θθ
θθ
cossin
sincos
yxy
yxx
 
 







′+′=
′−⋅′=
2
1
2
3
2
3
2
1
yxy
yxx
 
Para 2=x e 1−=y , temos: 







′+′=−
′−⋅′=
2
1
2
31
2
3
2
12
yx
yx
 
Resolvendo o sistema, obtemos 
 
2
31−=′x 
2
13 −−=′y 
 
 
 
MÉTODO PRÁTICO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ROTAÇÃO 
 
Considere a equação 022 =+++++ FEyDxCyBxyAx 
 
Para obter uma equação a partir de uma rotação do plano sem termo “cruzado” xy, basta 
considerar a parte 22 CyBxyAx ++ , pois o restante implica em translação. 
 
Temos, 
 



′+′=
′
−
′=
θθ
θθ
cossin
sincos
yxy
yxx
 
 
Assim, 
 
( ) ( )( ) ( ) 0cossincossinsincossincos 22 =′+′+′+′′−′+′−′ θθθθθθθθ yxCyxyxByxA
 
que é a equivalente da equação inicial em relação ao sistema x’O y’, obtido do sistema 
xOy por uma rotação de um ângulo θ . Desenvolvendo-a, obtemos: 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 19 
( ) ( )
( ) 0sincos2sincossincos2
cossincossinsinsincoscos
22
222222
=′′+−+−+
+′+−+′++
yxCBBA
yCBAxCBA
θθθθθθ
θθθθθθθθ
 
 
Como nosso objetivo é obter uma equação que não contenha o produto das variáveis, 
igualamos o coeficiente de yx ′′ a zero, ou seja, impomos para θ a condição: 
 
( ) 02cos2sin =+− θθ BAC
 
( ) θθ 2sin2cos CAB −= 
 
CA
B
−
=
θ
θ
2cos
2sin
 
 
CA
B
−
=θ2tan
 
 
Lembre-se!!! 
θθθ cossin22sin = 
 
 
 
 
 
com 2/0 piθ << 
DISCUSSÃO: 
I) Se A = C, então θ2tan não existe. Ou seja, 
2
2 piθ = e 
4
piθ = . 
Daí 
2
2
sincos == θθ , 
e 



′+′=
′
−
′=
θθ
θθ
cossin
sincos
yxy
yxx
 ⇒ 
( )
( )




′+′=
′−′=
yxy
yxx
2
2
2
2
 
II) Suponha CA ≠ . Logo devemos encontrar θsin e θcos a partir de 
CA
B
−
=θ2tan . 
Como 
θ
θ
θθ
θ
θ
θ
2cos
112tan
2cos
1
2cos
2cos
2cos
2sin
2
2
22
2
2
2
=+⇒=+ 
 
θ
θ
2tan1
12cos 2+
±=
 
Qual o sinal? Em 
θ
θθ
2cos
2sin2tan = , para 2/0 piθ << , temos: piθ << 20 . 
Logo, 02sin >θ . Daí θ2cos e θ2tan devem ter o mesmo sinal. Então, 
02tan >θ ⇒ 
θ
θ
2tan1
12cos 2+
+= 
02tan <θ ⇒ 
θ
θ
2tan1
12cos 2+
−= 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 20 
Pela fórmula do arco metade, 
 
⇒=− θθθ 2cossincos 22 
2
2cos1
cos2cos1cos2
2
2cos1
sin2cossin21
2
2
θθθθ
θθθθ
+
=⇒=−
−
=⇒=−
 
*Note que utilizamos: 1cossin 22 =+ θθ 
Temos, 
 
2
2cos1
cos
θθ +=
 
2
2cos1
sin θθ −=
 2/0 piθ << 
 
 
 
 
Exemplo: Usando uma rotação de eixos convenientes, transforme a equação abaixo em 
uma que não contenha o termo em xy. 
 
0244 22 =−+++ yxxyyx 
 
Solução 
 
1º PASSO: calcular θ2tan : 
Pela equação geral utilizada 022 =+++++ FEyDxCyBxyAx , sabemos que A = 4, B 
= 4 e C = 1. 
 
3
4
14
42tan =
−
=
−
=
CA
Bθ 
 
 
2º PASSO: calcular θ2cos : 
Como o valor de θ2tan é positivo, o valor de θ2cos também é positivo. Com isso, 
temos: 
 
5
3
9/161
1
2tan1
12cos 2 =+
=
+
+=
θ
θ 
 
 
3º PASSO: calcular θsin e θcos 
 
5
1
2
5/31
2
2cos1
sin =−=−= θθ 
 
5
2
2
5/31
2
2cos1
cos =
+
=
+
=
θθ 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 21 
4º PASSO: De posse dos valores de θcos e θsin , podemos substituí-los na equação 



′+′=
′
−
′=
θθ
θθ
cossin
sincos
yxy
yxx
. 
( )
( )






′+′=
′
−
′=
yxy
yxx
2
5
1
2
5
1
 
 
5º PASSO: De posse dos valores de x e y em relação a x’ e y’, podemos substituí-los na 
equação inicial da cônica 0244 22 =−+++ yxxyyx . 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02
5
122
5
12
5
12
5
142
5
12
5
14
22
=





′+′−′−′+





′+′





′
−
′+





′+′+





′
−
′ yxyxyxyxyxyx
 
 Desenvolvendo, temos: 
 
0
5
22
5
1
5
12
5
2
5
14
5
44
5
1
5
26
5
1
5
24
5
4
5
14
5
1
5
24
5
1
5
44 22
=′





−−+′





−+′′





−+−+
+′





−++′





++
yxyx
yx
 
 
 
Efetuando, obtemos 
 
yx ′=′
5
12
 � parábola 
 
 
 
Observe que esta parábola é também o gráfico da equação 0244 22 =−+++ yxxyyx 
em relação ao sistema xOy. 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 22 
EQUAÇÃO GERAL DO SEGUNDO GRAU (COMPLEMENTO) 
 
 
 
O gráfico de uma equação do segundo grau pode ser uma elipse (a), uma hipérbole (b), 
uma parábola (c), um ponto (d), um par de retas (e), uma única reta (f) ou o conjunto 
vazio. 
 
 
Veja alguns exemplos 
 
1) ( ) ( ) 031 22 =++− yx ou 0106222 =++−+ yxyx � ponto 
 
2) ( )( )





=−
=+
⇒=−+⇒=−
0
ou
0
0022
yx
yx
yxyxyx � par de retas 
 
3) 0594 22 =++ yx � conjunto vazio 
 
 
 
OBS: No caso das figuras d, e, e f, a cônica é dita degenerada. 
 
 
Feito por Leonardo Machado Cavalcanti durante UFPE 2009.1 23 
DESENHANDO AS CÔNICAS 
 
Elipse: Lápis, dois alfinetes e barbante 
 
 
 
Hipérbole: Régua, lápis, alfinetes e barbante. 
 
 
 
 
Parábola: Régua, esquadro, lápis, alfinete e barbante 
 
 
 
 
 
 
 
* Anotações de Sala de Aula do Professor Adriano Pedrosa de Almeida durante UFPE 2009.1 
* Geometria Analítica – Um tratamento vetorial – Ivan de Camargo e Paulo Boulos – 3ª edição 
* Fundamentos da Matemática Elementar Volume 7: Geometria Analítica – Gelson Iezzi 
* Geometria Analítica – Reis/Silva – 2ª edição 
* Geometria Analítica – Steinbruch e Winterle – 2ª edição