a letra 1AX1

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**Alternativas:** 
a) 1, x = 1 
b) -1, x = 1 
c) 0, x = 2 
d) -1, x = 2 
 
**Resposta:** b) -1, x = 1 
 
**Explicação:** 
Para encontrar o valor mínimo da função quadrática f(x) = 2x² - 4x + 1, podemos usar a 
fórmula do vértice de uma parábola, que ocorre no ponto x = -b/(2a), onde a e b são os 
coeficientes da função na forma f(x) = ax² + bx + c. 
 
Aqui, temos: 
 
- a = 2 
- b = -4 
- c = 1 
 
Calculando o x do vértice: 
 
x = -(-4) / (2 * 2) 
x = 4 / 4 
x = 1 
 
Agora que temos o valor de x, podemos encontrar o valor mínimo da função substituindo x 
= 1 na função: 
 
f(1) = 2(1)² - 4(1) + 1 
f(1) = 2*1 - 4 + 1 
f(1) = 2 - 4 + 1 
f(1) = -1 
 
Portanto, o valor mínimo da função f(x) é -1, e isso ocorre no ponto x = 1. Assim, a resposta 
correta é a opção b) -1, x = 1. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = e^{-x^2} \). Qual é o valor de \( \int_{-
\infty}^{\infty} f(x) \, dx \)? 
 
**Alternativas:** 
a) \( \sqrt{\pi} \) 
b) \( 1 \) 
c) \( 0 \) 
d) \( 2 \) 
 
**Resposta:** a) \( \sqrt{\pi} \) 
 
**Explicação:** Para calcular a integral \( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \), podemos 
utilizar um método que envolve a técnica de integrar em coordenadas polares. Vamos 
considerar a integral como \( I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \). 
 
Para encontrar \( I^2 \), podemos escrever: 
 
\[ 
I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-
y^2} \, dy \right) 
\] 
 
onde \( x \) e \( y \) são variáveis independentes. Isso pode ser reescrito como uma integral 
dupla: 
 
\[ 
I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)} \, dx \, dy 
\] 
 
Mudando para coordenadas polares, temos que \( x^2 + y^2 = r^2 \) e o elemento de área 
em coordenadas polares é \( dx \, dy = r \, dr \, d\theta \). Assim, a integral se torna: 
 
\[ 
I^2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr \, d\theta 
\] 
 
A parte \( d\theta \) resulta em um fator de \( 2\pi \): 
 
\[ 
I^2 = 2\pi \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr 
\] 
 
Para resolver \( \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr \), fazemos a substituição \( u = r^2 \), o 
que implica \( du = 2r \, dr \) ou \( dr = \frac{du}{2\sqrt{u}} \): 
 
\[ 
\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} \, du = \frac{1}{2} [ -
e^{-u} ]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2}