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valores de \( x \). 
 
5. **Análise dos limites da função**: 
Substituindo esses valores na função \( f(x) \): 
- Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4 
 \] 
 
- Para \( x = 2 \): 
 \[ 
 f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) = 8 - 24 + 18 = 2 
 \] 
 
- Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0 
 \] 
 
Portanto, a função é maximizada em \( x = 2 \) em relação ao intervalo que analisamos. 
Dessa forma, a resposta correta é \( x = 2 \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = e^{-x^2} \). Qual é o valor de \( \int_{-
\infty}^{\infty} f(x) \, dx \)? 
 
**Alternativas:** 
a) \( 0 \) 
b) \( 1 \) 
c) \( \sqrt{\pi} \) 
d) \( 2 \) 
 
**Resposta:** c) \( \sqrt{\pi} \) 
 
**Explicação:** 
 
A integral que estamos considerando, \( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \), é uma 
integral bem conhecida na análise. Para calcular essa integral, utilizamos o método de 
mudar para coordenadas polares. 
 
1. Denotemos \( I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \). 
2. Elevamos \( I \) ao quadrado para facilitar os cálculos: 
 \[ 
 I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-
y^2} \, dy \right) 
 \] 
3. Mudamos para coordenadas polares, onde \( x^2 + y^2 = r^2 \) e o elemento de área \( 
dx \, dy = r \, dr \, d\theta \): 
 \[ 
 I^2 = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\infty} e^{-r^2} r \, dr 
 \] 
4. O primeiro integral é simples: \( \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \). 
5. Para o segundo integral, fazemos uma mudança de variável \( u = r^2 \) dando \( du = 2r 
\, dr \) ou \( r \, dr = \frac{1}{2} du \): 
 \[ 
 \int_0^{\infty} e^{-r^2} r \, dr = \frac{1}{2} \int_0^{\infty} e^{-u} \, du = \frac{1}{2} 
 \] 
6. Portanto, temos: 
 \[ 
 I^2 = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi 
 \] 
7. Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados: 
 \[ 
 I = \sqrt{\pi} 
 \] 
 
Assim, concluímos que \( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi} \). A resposta 
correta é a alternativa c) \( \sqrt{\pi} \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^2 - 12x + 7 \). Qual é o valor do mínimo da 
função? 
 
Alternativas: 
a) 4 
b) 7 
c) 1 
d) 0 
 
**Resposta:** b) 7 
 
**Explicação:** 
 
Para determinar o valor mínimo da função quadrática \( f(x) = 3x^2 - 12x + 7 \), podemos 
utilizar a fórmula do vértice de uma parábola. A forma padrão de uma função quadrática é 
\( ax^2 + bx + c \), onde \( a \), \( b \), e \( c \) são constantes.