a letra 186D

Prévia do material em texto

\[ 
x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 
24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm 
\frac{\sqrt{3}}{3} 
\] 
 
Os pontos críticos são \( x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \) e \( x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \). 
Para determinar quais desses pontos correspondem a um máximo ou a um mínimo, 
calculamos a segunda derivada da função: 
 
\[ 
f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 12x + 4) = 12x - 12 
\] 
 
5. Avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos: 
 
- Para \( x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \): 
 
\[ 
f''(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 12(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) - 12 = 12 \frac{\sqrt{3}}{3} = 
4\sqrt{3} > 0 \quad (\text{mínimo}) 
\] 
 
- Para \( x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \): 
 
\[ 
f''(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 12(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) - 12 = -12 \frac{\sqrt{3}}{3} = -
4\sqrt{3}