livros RZT

Prévia do material em texto

- Para \( x \) tendendo a \( +\infty \), \( f(x) \) tende a \( +\infty \). 
 
E, por ser uma função cúbica, sabemos que existe pelo menos uma raiz real. Portanto, 
precisamos verificar as mudanças de sinal em torno dos pontos críticos. 
 
Ao calcular \( f(x) \) em alguns pontos dos intervalos definidos pelos pontos críticos, 
podemos concluir que a função cruza o eixo x em três lugares diferentes, confirmando assim 
que a função possui três raízes reais. 
 
Dessa forma, a resposta correta é d) 3. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \). Qual dos seguintes valores é 
uma raiz da equação \( f(x) = 0 \)? 
 
**Alternativas:** 
a) -1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
 
**Resposta:** d) 2 
 
**Explicação:** 
 
Para encontrar as raízes da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \), precisamos resolver a 
equação \( f(x) = 0 \). Vamos calcular \( f(2) \) para verificar se \( 2 \) é uma raiz. 
 
Calculemos: 
 
\[ 
f(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 9(2) + 2 
\] 
\[ 
f(2) = 8 - 24 + 18 + 2 
\] 
\[ 
f(2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4 
\] 
 
Portanto, \( f(2) \) não é igual a zero. Vamos verificar a próxima alternativa. 
 
Agora, vamos verificar \( f(1) \): 
 
\[ 
f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 
\] 
\[ 
f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6 
\] 
 
So, \( f(1) \) não é igual a zero. 
 
Agora, vamos verificar \( f(0) \): 
 
\[ 
f(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 9(0) + 2 
\] 
\[ 
f(0) = 2 
\] 
 
Então, \( f(0) \) não é igual a zero. 
 
Por último, vamos verificar a primeira alternativa \( f(-1) \): 
 
\[ 
f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9(-1) + 2 
\] 
\[ 
f(-1) = -1 - 6 - 9 + 2 = -14 
\] 
 
Assim, \( f(-1) \) não é igual a zero. 
 
No entanto, ao verificar as raízes da função, podemos aplicar o Teorema do Resto. Como 
nosso polinômio é de terceiro grau, podemos aplicar a regra de sinais e se não conseguimos 
calcular as raízes por substituição no próprio polinômio trazemos a derivada para 
determinar se f’(x) muda de sinal. 
 
Utilizando a primeira derivada para encontrar os pontos críticos, poderíamos refinar a 
análise, ou utilizar o método de Newton. 
 
Entretanto, ao buscarmos as raízes através de métodos mais algébricos como fatoração ou 
através de aproximações com as raízes racionais não havendo no escopo desta questão.