versao 14 CLXM

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d) 3 
 
**Resposta:** d) 3 
 
**Explicação:** Para determinar o número de raízes reais da função cúbica \( f(x) = 2x^3 - 
9x^2 + 12x - 4 \), podemos utilizar o teorema de Bolzano, que sugere que, se uma função 
contínua muda de sinal entre dois pontos, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. 
 
1. **Derivada da função:** Primeiro, vamos calcular a derivada \( f'(x) \): 
 \[ 
 f'(x) = 6x^2 - 18x + 12. 
 \] 
 Podemos simplificar isso por dividir tudo por 6: 
 \[ 
 f'(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2). 
 \] 
 As raízes da derivada são \( x = 1 \) e \( x = 2 \), o que significa que a função \( f(x) \) 
possui pontos críticos nestes valores. 
 
2. **Comportamento em intervalos:** Agora, analisamos o comportamento da função nos 
intervalos definidos pelos pontos críticos: 
 - Para \( x 0 \), portanto, \( f(x) \) é 
crescente. 
 - Para \( 1 2 \): Escolhendo \( x = 3 \) temos \( f'(3) = 6 > 0 \), portanto, \( f(x) \) é 
crescente. 
 
3. **Valores da função em pontos críticos:** 
 - \( f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 4 = 2 - 9 + 12 - 4 = 1 \) (positivo) 
 - \( f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 4 = 16 - 36 + 24 - 4 = 0 \) (raiz) 
 
4. **Mudanças de sinal:** Como \( f(1) > 0 \) e \( f(2) = 0 \), temos: 
 - \( f(0) = -4 \) (negativo), portanto, existe uma raiz entre \( (0, 1) \). 
 - Como a função é decrescente entre \( x=1 \) e \( x=2 \), e \( f(1) > 0 \), temos que a 
função tem outra raiz entre \( (1, 2) \). 
 - Como a função cresce novamente após \( x=2 \) e segue em direção a \( +\infty \), ela 
deve cruzar o eixo-x novamente após \( x=2 \), portanto, existe mais uma raiz positiva. 
 
Portanto, a função cúbica \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4 \) tem 3 raízes reais. A alternativa 
correta é a letra d) 3. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \). Qual é o valor de \( x \) que 
maximiza a função? 
 
**Alternativas:** 
a) \( 0 \) 
b) \( 1 \) 
c) \( 2 \) 
d) \( 3 \) 
 
**Resposta:** c) \( 2 \) 
 
**Explicação:** Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 
+ 9x \), precisamos calcular a primeira derivada da função e igualá-la a zero para encontrar 
os pontos críticos. 
 
1. **Calculando a derivada:** 
 \[ 
 f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x) = 3x^2 - 12x + 9 
 \] 
 
2. **Igualando a derivada a zero:** 
 \[ 
 3x^2 - 12x + 9 = 0 
 \] 
 Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3: 
 \[ 
 x^2 - 4x + 3 = 0 
 \] 
 
3. **Fatorando o polinômio:** 
 \[ 
 (x - 3)(x - 1) = 0 
 \] 
 Portanto, as raízes são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 
 
4. **Determinar a natureza dos pontos críticos:** 
 Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, podemos usar a segunda 
derivada: 
 \[ 
 f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 
 \] 
 
 - **Verificando \( x = 1 \):**