binario ks13NJ

Prévia do material em texto

**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 2 \). Qual é o valor dos pontos 
críticos dessa função? 
 
Alternativas: 
a) \( x = 0 \) e \( x = 2 \) 
b) \( x = 1 \) e \( x = 2 \) 
c) \( x = -1 \) e \( x = 1 \) 
d) \( x = 1 \) apenas 
 
**Resposta:** a) \( x = 0 \) e \( x = 2 \) 
 
**Explicação:** Para encontrar os pontos críticos da função \( f(x) \), precisamos calcular a 
derivada da função e igualá-la a zero. A derivada \( f'(x) \) é dada por: 
 
\[ 
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 6x^2 + 2) = 9x^2 - 12x 
\] 
 
Agora, fatoramos a derivada para encontrar os pontos críticos: 
 
\[ 
f'(x) = 3x(3x - 4) 
\] 
 
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 
\[ 
3x(3x - 4) = 0 
\] 
 
Isso ocorre quando \( 3x = 0 \) ou \( 3x - 4 = 0 \). Logo, temos as soluções: 
 
1. \( 3x = 0 \) ⇒ \( x = 0 \) 
2. \( 3x - 4 = 0 \) ⇒ \( 3x = 4 \) ⇒ \( x = \frac{4}{3} \) 
 
No entanto, precisamos lembrar que estamos procurando os pontos críticos. Assim, os 
valores que encontramos são os pontos onde a derivada é igual a zero. Portanto, ao calcular 
novamente: 
 
\[ 
x = 0 \text{ e } x = \frac{4}{3} 
\] 
 
Assim, a correta a única opção de múltipla escolha que apresenta \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 
Portanto, temos um erro na verificação de alternativas corretas, e a resposta correta é na 
verdade \( x = 0 \) e \( x = \frac{4}{3} \), não incluída nas opções. 
 
Portanto, a alternativa correta entre as fornecidas não está clara, e esse erro precisa ser 
revisto. O propósito dela é ensinar como derivar funções e identificar pontos críticos. 
 
**Questão:** Considere um polinômio \( P(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4 \). Qual é o valor de \( 
x \) para o qual \( P(x) = 0 \)? 
 
Alternativas: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
**Resposta:** b) 2 
 
**Explicação:** Para encontrar os valores de \( x \) que tornam o polinômio igual a zero, 
precisamos resolver a equação \( P(x) = 0 \), ou seja: 
 
\[ 
2x^3 - 9x^2 + 12x - 4 = 0 
\] 
 
Uma maneira eficaz de encontrar as raízes de um polinômio cúbico é usar a regra de 
Pitágoras, a análise de raízes racionais, ou aplicar o método de tentativa e erro com 
possíveis raízes. Vamos tentar alguns valores possíveis. 
 
Substituindo \( x = 1 \): 
 
\[ 
P(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 4 = 2 - 9 + 12 - 4 = 1 \quad (\text{não é raiz}) 
\] 
 
Substituindo \( x = 2 \): 
 
\[ 
P(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 4 = 2(8) - 9(4) + 24 - 4 = 16 - 36 + 24 - 4 = 0 \quad (\text{é 
raiz}) 
\]