Gomes Tópicos de Matemática 'ITA IME Olimpadas_pag88

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86 Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA
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60)
(A reta de Euler) Mostre que num triângulo qualquer ABC, o ortocentro(H), o 
circuncentro(O) e o baricento(G) são colineares (a reta que os contêm é 
chamada de Reta de Euler) Além disso mostre que HG = 2 ■ GO.
(O círculo de nove pontos) Mostre que em todo triângulo ABC, os pontos 
médios dos segmentos que unem cada um dos vértices ao ortocentro, os 
pontos médios dos lados do triângulo ABC e os pés das alturas do mesmo 
triângulo ABC pertencem a uma mesma circunferência, que chamamos de 
circulo de nove pontos. Além disso, mostre que se a circunferência 
circunscrita ao triângulo ABC tem raio R. então o círculo de nove pontos do 
p 
referido triângulo tem raio —.
Demonstre o Teorema de Ceva: Num triângulo ABC, três cevianas AP, BN e
. AM BP CNCM sao concorrentes se, e somente se,----------------- = 1.
MB PC NA
(Teorema da base média de um triângulo) Dado um triângulo qualquer, 
demonstre que o segmento que une os pontos médios de dois lados é 
paralelo ao terceiro lado e tem um comprimento igual a metade do 
comprimento desse terceiro lado.