Calc Prob Paul Meyer Resolução

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Calc_Prob_Paul_Meyer_Resolu��o/Problemas Cap 1.pdf
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer 
Capitulo 1 – Introdução à Probabilidade. 
1.1 Modelos Matemáticos 
1.2 Introdução aos Conjuntos 
Alguns símbolos: , para todos; , existe e não existe; , final da prova; , se, e somente se; 
 , implica; , tal que; portanto e pois. 
 , leia é elemento de . 
 , leia não é elemento de A. 
 , leia é subconjunto de . 
 , leia união . 
 , leia interseção . 
 , leia diferença de com . 
 , leia de e . 
 
 . 
 . 
 
 
 , 
 , 
 , 
 , 
 , 
 , 
 , 
 , 
 , 
 , 
 , 
 . 
1.3 Exemplos de Experimentos Não-Determinísticos 
1.4 O Espaço Amostral 
1.5 Eventos 
1.6 Frequência Relativa 
 , onde é a do evento , nas , repetições. 
1.7 Noções Fundamentais de Probabilidade 
Teorema 1.1 . 
Teorema 1.2 . 
Teorema 1.3 . 
Teorema 1.4 
 . 
Teorema 1.5 Se , então . 
1.8 Algumas Observações 
 
Problemas 
1) Suponha que o conjunto fundamental seja formado pelos inteiros positivos de 1 a 10. Sejam , 
 , e . Enumere os elementos de dos seguintes conjuntos: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) 
 . 
e) 
 
 . 
2) Suponha que o conjunto fundamental seja dado por . Sejam os conjuntos e definidos 
da forma seguinte: 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 . Descreva os seguintes conjuntos: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
c) 
 
 
 
 
 
 . 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
3) Quais das seguintes relações são verdadeiras? 
a) Verdadeira. 
b) . Verdadeira, pois, . 
c) Falsa. 
d) . Falsa, pois, . 
e) . Verdadeira, pois, . 
4) Suponha que o conjunto fundamental seja formado por todos os pontos de coordenadas ambas inteiras, e 
que estejam dentro oi sobre a fronteira do quadrado limitado pelas retas . Enumere 
os elementos dos seguintes conjuntos: 
 
a) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) . 
 
 
 
 
 
 
Analisando 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Empregue diagramas de Venn para estabelecer as seguintes relações: 
a) e implicam que . 
 
b) implica que . 
 
c) implica que . 
 
d) implica que . 
 
e) e implicam que . 
 
6) Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (N). As pecas são 
inspecionadas e sua condição é registrada. Isto é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam 
fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aqui que ocorra em primeiro lugar. Descreva um 
espaço amostral para este experimento. 
 
 
7) 
a) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas com filamento partido. Essas lâmpadas são 
verificadas uma a uma, até que uma lâmpada defeituosa seja encontrada. Descreva um espaço amostral 
para este experimento. 
Seja , a primeira lâmpada defeituosa retirada e , a i-ésima lâmpada não defeituosa 
retirada. 
 
 . 
b) Suponha que as lâmpadas acima sejam verificadas uma a uma, até que todas as defeituosas tenham sido 
encontradas. Descreva o espaço amostra para este experimento. 
Seja , a i-ésima lâmpada defeituosa retirada e , a i-ésima lâmpada não 
defeituosa retirada. 
𝑆_7𝑎 
𝐷_1 
𝐵_1 
𝐷_1 
𝐵_2 ... 
𝐷_1 
𝐵_(𝑁 𝑟) 𝐷_1 
 
 . 
8) Considere quatro, objetos, . Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listado represente o 
resultado do experimento. Sejam os eventos e definidos assim: ; 
 . 
a) Enumere todos os elementos do espaço amostral.
. 
b) Enumere todos os elementos dos eventos e . 
 . 
 . 
 . 
 . 
9) Um lote contém peças pesando 5, 10, 15, ..., 50 gramas. Admitamos que ao menos duas peças de cada peso 
sejam encontradas no lote. Duas peças são retiradas do lote. Seja o peso da primeira peça escolhida e , o 
peso da segunda. Portanto, o par de números representa um resultado simples do experimento. 
Empregando o plano , marque o espaço amostral e os seguintes eventos: 
a) . 
 
b) . 
 
c) A segunda peça é duas vezes mais pesada que a primeira. 
 
d) A primeira peça pesa menos 10 gramas que a segunda peça. 
 
e) O peso médio de duas peças é menos do que 30 gamas. 
 
10) Durante um período de 24 horas, em algum momento , uma chave é posta na posição “ligada”. Depois, em 
algum momento futuro (ainda durante o mesmo período de 24 horas) a chave é virada para a posição 
“desligada”. Suponha que e sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do período na 
origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de números . 
a) Descreva o espaço amostral. 
 
 
b) Descreva e marque no plano os seguintes eventos: 
i) O circuito está ligado por uma hora ou menos. 
 
 
 
ii) O circuito está ligado no tempo , onde é algum instante no período de 24 horas. 
 
z é representado pela área pontilhada e pela linha pretas. 
 
 . 
iii) O circuito é ligado antes do tempo e desligado no tempo (onde também são dois instantes 
durante o período de 24 horas especificado). 
 
 é representado pela região pontilha de azul. 
 
 
iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado. 
 é o tempo que o circuito fica desligado e o tempo que o circuito fica ligado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Sejam três eventos associado a um experimento. Exprima em notação de conjuntos, as seguintes 
afirmações verbais. 
 
a) Ao menos um dos eventos ocorre. 
 
 . 
b) Exatamente um dos eventos ocorre. 
 ou, 
 
 
 = 
 
c) Exatamente dois dos eventos ocorrem. 
 ou, 
 
 
 
d) Não mais de dois dos eventos ocorrem simultaneamente. 
 
 
12) Demostre o Teor 1.4. 
Teorema 1.4 
 . 
Teorema 1.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) 
a) Verifique que para dois eventos quaisquer, e temos que . 
Teorema 1.3 
 
 
 
 
 
Como a probabilidade que ocorra qualquer evento é a conclusão é 
sempre satisfeita portanto a desigualdade é sempre verdadeira. 
b) Verifique que para quaisquer eventos , temos que . 
[Sugestão: Empregue a indução matemática. O resultado enunciado em b é denominado desigualdade de 
Boole]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No Teorema 1.4 está provado que 
 
 
 
 para , então a desigualdade é 
valida para e é verdadeira se fora valida para . 
 
 
 
 
 
 
 
E 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 1.3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 
 
 é sempre satisfeita portanto a desigualdade 
 
 
 
 
 é sempre verdadeira. 
14) O Teor. 1.3 trata da probabilidade de que ao menos um de dois eventos ou ocorra. O seguinte enunciado se 
refere à probabilidade de que exatamente um dos eventos ou ocorra. Verifique que: 
 
 
Conforme a figura acima a , e , logo e 
 são dois eventos mutuamente excludentes então pela propriedade 3. 
 
 
 
15) Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos mancais, 
queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável 
do que a queima e esta sendo quatro vezes mais provável do que a desgastes das escovas. Qual será a 
probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstancias? 
 Emperramento dos mancais. 
 Queima dos enrolamentos. 
 Desgastes das escovas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) Suponha que e sejam eventos tais que , , e . Exprima cada uma das 
seguintes probabilidades em termo de e . 
a) 
 
 
 
 
 
 
 . 
b) 
 
 
 . 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 . 
17) Suponha que e sejam eventos tais que 
 
 
, e 
 
 
. Calcule a probabilidade que ao menos um dos eventos ou ocorra. 
Para eu ocorrer ao menos um dos eventos, basta que ocorra: 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
18) Uma instalação é constituída de duas caldeiras e uma máquina. Admita que o evento seja que a maquina 
esteja em boas condições de funcionamento, enquanto os eventos são os eventos de que a -
ésima caldeira esteja em boas condições. O evento é que a instalação possa funcionar. Se a instalação puder 
funcionar sempre que a máquina e pelo menos uma das caldeiras funcionar, expresse os eventos e , em 
termos de e dos . 
 tem que ocorrer e pelos menos um , ou seja . 
 
 ),
, 
 
 , 
 
19) Um mecanismo tem dois tipos de unidades: I e II. Suponha que se disponha de duas unidades do tipo I e três 
unidades do tipo II. Defina os eventos e da seguinte maneira: a -ésima unidade do 
tipo I está funcionado adequadamente; : a -ésima unidade do tipo II está funcionando adequadamente. 
Finalmente, admita que represente o evento: o mecanismo funciona. Admita que o mecanismo funcione se ao 
menos uma unidade do tipo I e ao menos duas unidades do tipo II funcionarem; expresse o evento em termos 
de e dos . 
Tem que ocorrer pelo menos um , ou seja, , que está representada de vermelho na figura 
abaixo, e pelo menos dois tem que ocorrer, ou seja, e , ou e , ou e , ou , e 
 . Em notação de conjunto temos ·que está representado de 
azul na figura abaixo, (não é necessário , pois esta área já esta incluída na união das três 
interseções, conforme mostra a região de contorno pontilhado). 
 é a área ondulada. 
 
Calc_Prob_Paul_Meyer_Resolu��o/Problemas Cap 10.pdf
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer 
Capitulo 10 – A Função Geratriz de Momentos. 
 
Problemas 
1. Suponha que tenha fdp dada por . 
a. Determine a fgm de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Empregando a fgm , calcule e e verifique sua resposta. (Veja o 
Comentário à Pág. 262.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
a. Determine a fgm da tensão (incluindo o ruído) tal como apresentada no Probl. 
7.25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Empregando a fgm, obtenha o valor esperado e a variância dessa tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Suponha que tenha a seguinte fdp: 
 
(Esta é conhecida como distribuição exponencial a dois parâmetros.) 
a. Determine a fgm de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Empregando a fgm, ache e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Seja o resultado da jogada de uma moeda equilibrada. 
a. Determine a fgm de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se fosse um dado então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Empregando a fgm, ache e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se fosse um dado então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Determine a fgm da variável aleatória do Probl. 6.7. Empregando a fgm, ache e 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Suponha que a variável aleatória tenha fdp 
 
 
 
 
a. Ache a fgm de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Empregando a fgm, ache e .
7. Empregue a fgm para mostrar que, se e forem variáveis aleatórias independentes, com 
distribuição 
 e 
 , respectivamente, então será também 
normalmente distribuída, onde e são constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Suponha que a fgm da variável aleatória seja da forma 
 
 
a. Qual será a fgm da variável aleatória ? 
 
 
 
b. Calcule . 
 
 
 
 
 
c. Você poderá verificar sua resposta a (b), por algum outro método? [Tente 
“reconhecer” .] 
 é a fgm de uma distribuição binomial com . 
 
9. Alguns resistores, , são montados em série em um circuito. Suponha que 
a resistência de cada um seja normalmente distribuída, com e 
 . 
a. Se , qual será a probabilidade de que a resistência do circuito exceda 
 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Para que se tenha aproximadamente igual a a probabilidade de que a 
resistência total exceda , que valor deverá ter ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é mais adequado. 
10. Em um circuito, resistores são montados em série. Suponha que a resistência de cada 
um seja uniformemente distribuída sobre e suponha, também, que todas as 
resistências sejam independentes. Seja a resistência total. 
a. Estabeleça a fgm de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Empregando a fgm, obtenha e . Confirme suas respostas pelo cálculo 
direto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Se tiver distribuição de 
 , empregando a fgm, mostre que e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Suponha que , a velocidade de um objeto, tenha distribuição . Se 
 for a energia cinética do objeto (onde ), determine a fdp de 
 . Se , calcule . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Suponha que a duração da vida de uma peça seja exponencialmente distribuída, com 
parâmetro . Suponha que dessas peças sejam instaladas sucessivamente, de modo 
que a -ésima peça seja instalada “imediatamente” depois que a peça de ordem 
tenha falhado. Seja a duração até falhar a -ésima peça, , sempre medida 
a partir do instante de instalação. Portanto, representa o tempo total de 
funcionamento das peças. Admitindo que os sejam independentes, calcule 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Suponha que sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma tendo 
distribuição . Calcule 
 
 . [Sugestão: Empregue o Teor. 9.2] 
Teorema 10.8 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 9.2 
 
 
 
15. Mostre que se , representar o número de sucessos em repetições de 
um experimento, o qual , para todo , então terá uma 
distribuição binomial. (Isto é, a distribuição binomial possui a propriedade aditiva.) 
 
 
 
 
16. (Distribuições de Poisson e Multinominal.) Suponha que , sejam variáveis 
aleatórias independentes com distribuição de Poisson, com parâmetros . 
Faça 
 
 . Nesse caso, a distribuição de probabilidade conjunta de , dado 
 , é dada por uma distribuição multinominal. Isto é, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a definição da distribuição multinominal, verificamos que basta provar que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Estabeleça a fgm de uma variável aleatória que tenha distribuição geométrica. Essa 
distribuição possui a propriedade aditiva? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não possui a propriedade aditiva. 
18. Se a variável aleatória tiver uma fgm dada por , qual será o desvio-
padrão de ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. Estabeleça a fgm de uma variável aleatória que seja uniformemente distribuída sobre 
 .
20. Um determinado processo industrial produz grande número de cilindros de aço, cujos 
comprimentos são distribuídos, normalmente, com média polegadas e desvio-padrão 
 polegadas. Se dois desses cilindros forem escolhidos ao acaso e dispostos um em 
continuação ao outro, qual será a probabilidade de que seu comprimento combinado seja 
menor do que polegas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comentário: Ao calcular 
 ,para , pode surgir uma forma indeterminada. Assim, 
 
 pode ser da forma . Nesse caso, deveremos tentar aplicar a regra de L’Hôpital. 
Por exemplo, se for uniformemente distribuída sobre , nós facilmente 
encontraremos que 
 e 
 . 
Consequentemente, em , 
 é indeterminada. 
Aplicando a regra de L’Hôpital, encontraremos que 
 
 
 
Isto confirma que 
 , que é igual a para a variável aleatória apresentada 
aqui. 
 
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Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer 
Capitulo 11 – Aplicações à Teoria da Confiabilidade. 
 
Problemas 
1. Suponha que , a duração até falhar de uma peça, seja normalmente distribuída com 
 horas e devio-padrão horas. Quantas horas de operação deverão ser 
consideradas, a fim de se achar uma confiabilidade de ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Suponha que a duração da vida deum dispositivo eletrônico seja exponencialmente 
distribuída. Sabe-se que a confiabilidade desse dispositivo (para um período de 100 horas 
de operação) é de . Quantas horas de operação devem ser levadas em conta para 
conseguir-se uma confiabilidade de ? 
 
 
 
 
 
3. Suponha que a duração da vida de um dispositivo tenha uma taxa de falhas constante 
para e uma diferente taxa de falhas constante para . Obtenha a fdp de 
 , a duração até falhar, e esboce o seu gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Suponha que a taxa de falhas seja dada por 
 
 
 
(Isto significa que nenhuma falha ocorre antes que .) 
a. Estabeleça a fdp associada a , a duração até falhar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Calcule . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Suponha que a lei de falhas de um componente tenha a seguinte fdp: 
 
 
 
 
a. Para quais valores de e , essa expressão é uma fdp? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Obtenha a expressão da função de confiabilidade e da função de risco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Verifique que a função de risco é decrescente com . 
 
 
 
 
 
 
 
6. Suponha que a lei de falhas de um componente seja uma combinação linear de leis de 
falhas exponenciais. Quer dizer, a fdp da duração até falhar é dada por 
 
 
 
 
 
a. Para quais valores de a expressão acima é uma fdp? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Obtenha uma expressão para a função de confiabilidade e a função de risco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Obtenha a expressão da duração até falhar esperada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d. Responda (b) e (c), quando para todo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Cada uma das seis válvulas de um radiorreceptor tem uma duração de vida (em anos) que 
pode ser considerada como uma variável aleatória. Suponha que essas válvulas funcionem 
independentemente uma da outra. Qual será a probabilidade de que nenhuma válvula 
tenha de ser substituída, durante os dois primeiros meses de serviço se: 
a. A fdp da duração até falhar for 
 
 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. A fdp da duração até falhar for ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Demostre o Teor. 11.4.
9. A duração da vida de um satélite é uma variável aleatória exponencialmente distribuída, 
com duração da vida esperada igual a 1,5 anos. Se três desses satélites forem lançados 
simultaneamente, qual será a probabilidade de que ao menos dois deles ainda venham a 
estar em órbita depois de 2 anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Três componentes, que funcionem independentemente, são ligados em um sistema único, 
como está indicado na Fig. 11.9. Suponha que a confiabilidade de cada um dos 
componentes, para um período de operação de horas, seja dada por . 
 
Se for a duração até falhar do sistema completo (em horas), qual será a fdp de ? Qual será 
a confiabilidade do sistema? Como ela se compara com ? 
Para que o sistema funcione deve funcionar e também ou , ou seja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Suponha que componentes, que funcionem independentemente, sejam ligados em 
série. Admita que a duração até falhar, de cada componente, seja normalmente 
distribuída, com expectância de 50 horas e desvio-padrão 5 horas. 
a. Se , qual será a probabilidade de que o sistema ainda esteja a funcionar 
depois de 52 horas de operação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Se componentes forem instalados em paralelo, qual deverá ser o valor de , 
para que a probabilidade de falhar durante as primeiras 55 horas seja 
aproximadamente igual a ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. (Extraído de Derman & Klein, Probability and Statistical Inference, Oxford University Press, 
New York, 1959.) A duração da vida , em meses, de uma dada válvula eletrônica 
empregada em aparelhos de radar, foi verificada ser exponencialmente distribuída com 
parâmetro . Ao executar seu programa de manutenção preventiva, uma companhia 
quer decidir quantos meses depois de sua instalação, cada válvula deverá ser 
substituída, para tornar mínimo o custo esperado por válvula. O custo por válvula (em 
dólares) será denotado por . O mais curto período utilizável de tempo decorrido entre a 
instalação e a substituição e do mês. Sujeito a essa restrição, qual o valor de que 
torna mínimo , o custo esperado, em cada uma das seguintes situações, onde o custo 
 é a mencionada função de e ? 
 
 
 
 
a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
m
1
2
3
4
E C
 
 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [Em cada caso, esboce o gráfico de , como função de .] 
Comentário: Evidentemente, é uma variável aleatória, porque é uma função de , a qual é 
uma variável aleatória. é uma função de , o problema apenas pede para determinar 
aquele valor de que torne mínimo o valor esperado , sujeito à restrição de que 
 . 
13. Suponha que a taxa de falhas, associada com a duração da vida de uma peça, seja dada 
pela seguinte função 
 
 
 
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
m
1.5
2.0
2.5
3.0
E C
Comentário: Isto representa outra generalização da distribuição exponencial. A expressão 
acima se reduz à taxa de falhas constantes (e, por isso, à distribuição exponencial) se . 
a. Estabeleça a fdp de , a duração até falhar. 
Equação 11.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Estabeleça a expressão da confiabilidade e esboce seu gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Suponha que cada um de três dispositivos eletrônicos tenha uma lei de falhas dada por 
uma distribuição exponencial, com parâmetros , respectivamente. Suponha que 
esses três dispositivos funcionem independentemente e estejam ligados em paralelo para 
formarem um único sistema. 
a. Estabeleça a expressão de , a confiabilidade do sistema. 
Teorema 11.7 
 
 
 
 
b. Estabeleça a expressão da fdp de , a duração até falhar do sistema. Esboce o 
gráfico da fdp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Calcule a duração até falhar esperada do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. 
 
a. Suponha que componentes sejam ligados em série. A seguir, dessas conexões 
em série são ligadas em paralelo para formar um sistema completo. (Veja a Fig. 
11.10.) Se todos os componentes tiverem a mesma confiabilidade, , para um 
dado período de operação, determine a expressão da confiabilidade do sistema 
completo (para o mesmo período de operação). 
Teorema 11.5 
 
 
Teorema 11.7 
 
 
t
R t
b. Suponha que cada um dos componentes acima obedeça a uma lei de falhas 
exponencial, com taxa de falhas . Suponha, também, que o tempo de 
operação seja 10 horas e que . Determine o valor de , de maneira que a 
confiabilidade do sistema completo seja igual a . 
 
 
 
 
 
 
 
16. Suponha que componentes sejam ligado em paralelo. Em seguida, dessas conexões em 
paralelo
são ligadas em série, formando um único sistema. (Veja a Fig. 11.11.) Responda a 
(a) e (b) do Probl. 11.15, para esta situação. 
 
a. 
Teorema 11.7 
 
 
Teorema 11.5 
 
 
b. 
 
 
 
 
 
 
17. Suponha que componentes, todos com a mesma taxa de falhas constante , sejam 
ligados em paralelo. Estabeleça a expressão da duração até falha esperada, do sistema 
resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. 
a. O sistema de propulsão de uma aeronave é constituída de três motores. Suponha 
que a taxa de falhas constante de cada motor seja e que cada motor 
falhe independentemente dos demais. Os motores são montados em paralelo. 
Qual será a confiabilidade deste sistema de propulsão, para uma missão que exija 
 horas, quando ao menos dois motores devem sobreviver? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Responda à questão acima, para uma missão que exija 100 horas; 1000 horas. 
(Este problema está sugerido por uma explanação incluída em I. Bazovsky, 
Reliability Theory and Practice, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1961.) 
 
 
 
 
19. Considere os componentes ligados de maneira indicada nas Figs. 11.12 (a) e 
(b). (O componente C pode ser considerado como uma “defesa”, quando ambas e 
deixarem de funcionar.) Represente as confiabilidades dos componentes isoladamente por 
 (e admitindo que os componentes funcionem independentemente 
um do outro), obtenha a expressão da confiabilidade do sistema completo, em cada uma 
dessas situações. 
[Sugestão: No segundo caso, Fig. 11.12(b), empregue relações de probabilidade condicionada.] 
 
a. 
 
 
 
 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. Admitido que todos os componentes incluídos no Probl. 11.19 tenham a mesma taxa de 
falhas constante , estabeleça a expressão da confiabilidade do sistema apresentado 
na Fig. 11.12(b). Determine, também, a duração até falhar média, desse sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21. O componente tem confiabilidade , quando utilizado para dada finalidade. O 
componente , que pode ser utilizado em lugar do componente , tem confiabilidade de 
somente . Qual será o número mínimo de componente do tipo , que se terá de ligar 
em paralelo, de maneira a atingir a mesma confiabilidade que tem o componente 
sozinho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. Suponha que dois componentes que funcionem isoladamente, cada um deles com a 
mesma taxa de falhas constante, sejam ligados em paralelo. Sendo a duração até falhar 
do sistema resultante, estabeleça a fgm de . Determine, também, e , 
empregando a fgm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. Toda vez que consideramos um sistema composto por vários componentes, admitimos 
sempre que os componentes funcionassem independentemente um do outro. Essa 
suposição simplificou consideravelmente nossos cálculos. No entanto, ela poderá não ser 
sempre uma hipótese realista. Em muitas situações, sabe-se que o desempenho de um 
componente pode influenciar o desempenho de outros. Este é, em geral, um problema 
muito difícil de se abordar, e examinaremos aqui, apenas um caso particular. Suponha-se, 
especificamente, que dois componentes e sempre falhem juntos. Quer dizer, 
falhará se, e somente se, falhar. Verifique que, neste caso, 
 . 
 
 
 
24. Considere quatro componentes ligados da maneira indicada na Fig. 11.13. 
Suponha que os componentes funcionem independentemente um do outro, com exceção 
de e que falham juntamente, como foi explicado no Probl. 11.23. Se , a duração 
até falhar do componente , for exponencialmente distribuída com parâmetro , 
obtenha a confiabilidade do sistema completo. Obtenha também a fdp de , a 
duração até falhar do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25. Considere o mesmo sistema apresentado no Probl. 11.24, exceto que agora os 
componentes e falham conjuntamente. Responda às perguntas do Probl. 11.24. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calc_Prob_Paul_Meyer_Resolu��o/Problemas Cap 13.pdf
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer 
Capitulo 13 – Amostras e Distribuições Amostrais. 
 
Problemas 
1. Deduza a expressão da fdp do mínimo de uma amostra. (Veja o Teor. 13.2.) 
 
 
2. Verifique que se forem variáveis aleatórias independentes, cada uma tendo uma 
distribuição exponencial com parâmetro , e se , 
então terá uma distribuição exponencial com parâmetro . (Veja o Teor. 
13.3.)
3. Suponha que tenha uma distribuição geométrica com parâmetro . Seja uma 
amostra aleatória de e sejam e . Estabeleça a 
distribuição de probabilidade de e de . [Sugestão: , 
onde é a fd de .] 
 
 
 
 
4. Uma amostra de tamanho 5 é obtida de uma variável aleatória com distribuição . 
a. Qual é a probabilidade de que a média amostral exceda 13? 
 
 
 
 
b. Qual é a probabilidade de que o mínimo da amostra seja menor do que 10? 
 
 
 
 
 
 
 
c. Qual é a probabilidade de que o máximo da amostra exceda 15? 
 
 
 
 
 
 
5. A duração da vida (em horas) de uma peça é exponencialmente distribuída, com 
parâmetro . Seis peças são ensaiadas e sua duração até falhar é registrada. 
a. Qual é a probabilidade de que nenhuma peça falhe antes que tenham decorrido 
800 horas? 
 
 
b. Qual é a probabilidade de que nenhuma peça dure mais de 3.000 horas? 
 
 
 
 
6. Suponha que tenha distribuição . Uma amostra de tamanho 25 é obtida de , 
digamos . Qual é a probabilidade de que 
 
 exceda 1,5? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Empregando uma tábua de números aleatórios, obtenha uma amostra aleatória de 
tamanho 8 de uma variável aleatória que tenha as seguintes distribuições: 
a. Exponencial, com parâmetro 2. 
 
 
 
 
 
 
 
b. De qui-quadrado, com 7 graus de liberdade. 
 
 
 
 
 
c. . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Na Seç. 13.5, apresentamos um método pelo qual amostras aleatórias de uma distribuição 
especificada podem ser geradas. Há vários outros métodos pelos quais isto pode ser feito, 
alguns dos quais são preferidos em relação ao apresentado, particularmente se 
equipamentos de cálculo estiverem disponíveis. O seguinte é um desses métodos: 
Suponha que desejemos obter uma amostra aleatória de uma variável aleatória que tenha 
distribuição de qui-quadrado, com graus de liberdade. Proceda assim: obtenha uma 
amostra aleatória de tamanho (com o auxílio de uma tábua de números aleatórios) de 
uma variável aleatória que seja uniformemente distribuída sobre , digamos 
 . A seguir, calcule 
 
 . A variável aleatória 
 terá, então, a distribuição desejada, como indicaremos abaixo. Prosseguiremos, depois, 
este esquema, obtendo outra amostra de tamanho de uma variável aleatória 
uniformemente distribuída, e, desse modo, encontrando o segundo valor amostral . 
Note-se que este procedimento exige observações de uma variável aleatória 
uniformemente distribuída, pare cada observação de 
 . Para verificar a afirmação feita 
acima, proceda como segue: 
a. Obtenha a função geratriz de momentos da variável aleatória , onde é 
uniformemente distribuída sobre . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Obtenha a função geratriz de momentos da variável aleatória 
 
 , onde 
os variáveis aleatórias independentes, cada um com a distribuição acima. 
Compare esta fgm com a da distribuição de qui-quadrado e, depois, chegue à 
conclusão desejada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Empregando o esquema esboçado no Probl. 13.8, obtenha uma amostra aleatória de 
tamanho 3, da distribuição de 
 . 
 
 
 
 
 
10. Uma variável aleatória contínua é uniformemente distribuída sobre· . Uma 
amostra de tamanho é obtida de e a média amostral é calculada. Qual é o desvio-
padrão de ? 
 
 
 
 
 
 
 
11. Amostras independentes de tamanhos 10 e 15 são tiradas de uma variável aleatória 
normalmente distribuída, com expectância 20 e variância 3. Qual será a probabilidade de 
que as médias das duas amostras difiram (em valor absoluto) de mais de 0,3? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. (Para este exercício e os três seguintes, leia o Comentário no final do Cap. 13.) Empregue a 
tábua de desvios normais reduzidos (Tábua 7, no Apêndice) e obtenha uma amostra de 
tamanho 30, de uma variável aleatória que tenha a distribuição . Use esta 
amostra para responder o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
a. Compare com a frequência relativa do evento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Compare a média amostral e a variância amostral com 1 e 4, 
respectivamente. 
 
 
c. Construa o gráfico de . Empregando o mesmo sistema de 
coordenadas, obtenha o gráfico da função de distribuição empírica definida 
assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na qual é a i-ésima maior observação na amostra (isto é, é a i-ésima 
estatística ordinal). [A função é frequentemente empregada para aproximar a 
fd . Pode-se demostrar que, sob condições bastante gerais, 
 
 
13. Admitamos que tenha distribuição
. Da Tábua 7 no Apêndice, obtenha uma 
amostra de tamanho 20 desta distribuição. 
Faça . 
 
 
 
 
a. Empregue esta amostra para comparar com a frequência relativa 
daquele evento. 
 
 
b. Compare com a média amostral . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Compare a fd de , a saber, , com , a fd empírica de . 
 
<0 0 - 0 
0 0 1 0,05 
0,09 0,0717 2 0,1 
0,11 0,0876 3 0,15 
0,18 0,1428 4 0,2 
0,28 0,2205 5 0,25 
0,3 0,2358 6 0,3 
0,31 0,2434 7 0,35 
0,33 0,2586 8 0,4 
0,35 0,2737 9 0,45 
0,35 0,2737 10 0,5 
0,36 0,2812 11 0,55 
0,51 0,3899 12 0,6 
0,9 0,6319 13 0,65 
0,99 0,6778 14 0,7 
1,07 0,7154 15 0,75 
1,43 0,8473 16 0,8 
1,45 0,8529 17 0,85 
1,79 0,9265 18 0,9 
1,91 0,9439 19 0,95 
2,62 0,9912 20 1 
>2,62 1 - 1 
 
 
14. Suponha que tenha distribuição . Admita que seja uma amostra 
aleatória de obtida com o auxílio da Tábua 7. Calcule 
 
 
 
 
 
 
 
 
E compare com . 
 
 
 
 
 
15. Admita que tenha distribuição . Seja uma amostra aleatória de 
obtida empregando-se a Tábua 7. Calcule e compare esse valor com a 
frequência relativa daquele evento. 
 
 
 
 
 
 
 
Calc_Prob_Paul_Meyer_Resolu��o/Problemas Cap 14.pdf
Livro: Probabilidade - Aplicações à Estatística – Paul L. Meyer 
Capitulo 14 – Estimação de Parâmetros. 
 
Problemas 
1. Suponha-se que um objeto seja mensurado independentemente com dois diferentes 
dispositivos de mensuração. Sejam e os comprimentos medidos pelo primeiro e 
segundo dispositivos, respectivamente. Se ambos os dispositivos estiverem calibrados 
corretamente, poderemos admitir que , o comprimento verdadeiro. 
No entanto, a precisão dos dispositivos não é necessariamente a mesma. Se avaliarmos a 
precisão em termos da variância, então . Se empregarmos a combinação 
linear para nossa estimativa de , teremos imediatamente que 
 , isto é, será uma estimativa não-tendenciosa de . Para qual valor escolhido 
de , , a variância de será um mínimo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Seja uma variável aleatória com expectância e variância . Seja uma 
amostra de . Existem muitas outras estimativas de que se podem sugerir além 
daquela apresentada anteriormente. Verifique que 
 
 constitui uma 
estimativa não-tendenciosa de , para uma escolha adequada de . Determine aquele 
valor de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Suponha que 200 observações independentes sejam obtidas de uma variável 
aleatória . Sabe-se que 
 
 e que 
 
 . Empregando esses 
valores, Calcule uma estimativa não-tendenciosa de e de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Uma variável aleatória tem fdp . 
a. Calcule a estimativa de MV de , baseada numa amostra . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Calcule a estimativa quando os valores amostrais forem: 
 . 
 
 
 
 
5. Os dados da Tab. 14.7 foram obtidos para a distribuição da espessura do lenho em postes 
telefônicos. (W. A. Shewhart, Economic Control of Quality of Manufactured Productz, 
Macmillan and Co., New York, 1932, Pág. 66.) Admitindo-se que a variável aleatória em 
estudo tenha distribuição , determine as estimativas de MV de e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Suponha que , a duração até falhar (em horas) de dispositivo eletrônico, tenha a seguinte 
fdp: 
 
 
 
( tem uma distribuição exponencial truncada à esquerda de .) Suponha que itens 
sejam ensaiados e as durações até falhar sejam registradas. 
a. Supondo que seja conhecido, determine a estimativa de MV de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Supondo que seja desconhecido, mas seja conhecido, determine a estimativa 
de MV de . 
 
 
 
 
 
 
 
7. Considere a mesma lei de falhas apresentada no Probl. 14.6. Agora, itens são ensaiados 
até horas , e o número de itens que falhem nesse período é registrado, 
digamos . Responda à pergunta (a) do Probl. 14.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Suponha que seja uniformemente distribuído sobre . Determine a estimativa de 
MV de , baseada em uma amostra de tamanho : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. 
a. Um procedimento é realizado até que um particular evento A ocorra pela primeira 
vez. Em cada repetição, ; suponha que sejam necessárias repetições. 
Depois, esse experimento é repetido e, agora, repetições são necessária para 
produzir-se o evento A. Se isso for feito vezes, obteremos a amostra . 
Baseando-se nessa amostra, determine a estimativa de MV de .
b. Admita que seja bastante grande. Determine o valor aproximado de e 
 , onde é a estimativa de MV obtida em (a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Testou-se um componente que se supõe ter uma distribuição de falhas exponencial. 
Foram observadas as seguintes durações de vida (em horas); 108, 212, 174, 130, 198, 169, 
252, 168, 143. Empregando esses valores amostrais, calcule a estimativa de MV da 
confiabilidade desse componente, quando utilizado por um período de 150 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Os seguintes dados representam a duração da vida de lâmpadas elétricas (em horas): 
1009, 1085, 1123, 1181, 1235, 1249, 1263, 1292, 1327, 1338, 1348 
1352, 1359, 1368, 1379, 1397, 1406, 1425, 1437, 1438, 1441, 1458 
1483, 1488, 1499, 1505, 1509, 1519, 1541, 1543, 1548, 1549, 1610 
1620, 1625, 1638, 1639, 1658, 1673, 1682, 1720, 1729, 1737, 1752, 
1757, 1783, 1796, 1809, 1828, 1834, 1871, 1881, 1936, 1949, 2007. 
Com os valores amostrais acima, calcule a estimativa de MV da confiabilidade dessa lâmpada 
elétrica, quando utilizada por 1600 horas de operação, admitindo-se que a duração da vida 
seja normalmente distribuída. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Suponha que duas lâmpadas, como explicado no Probl. 14.11, sejam empregadas em (a) 
ligação em série, e (b) ligação em paralelo. Em cada calcule a estimativa de MV da 
confiabilidade, para um período de 1600 horas operação do sistema, baseada nos valores 
amostrais fornecidos no Probl. 14.11. 
 
 
 
 
13. Suponhamos que partículas sejam emitidas por uma fonte radioativa, de acordo com 
uma distribuição de Poisson. Isto é, se for o número de partículas emitidas durante um 
intervalo de minutos, então Em lugar de registrar-se o 
número real de partículas emitidas, suponha-se que registremos o número de vezes em 
que nenhuma partícula foi emitida. Especificamente, suponhamos que 30 fontes 
radioativas de mesma potência, sejam observadas durante um período de 50 segundos e 
que em 25 dos casos ao menos uma partícula tenha sido emitida. Determine a estimativa 
de MV de , baseada nessa informação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Uma variável aleatória tem distribuição . Tomam-se vinte observações de , mas 
em vez de se registrar o valor real, somente anotamos se era ou não era negativo. 
Suponha que o evento tenha ocorrido exatamente 14 vezes. Utilizando essa 
informação, determine a estimativa de MV de . 
 
 
 
 
15. Suponha que tenha uma distribuição gama; isto é, sua fdp seja dada por 
 
 
 
 
Suponha que seja conhecido, e seja uma amostra de . Determine a estimativa de 
MV de , baseada nessa amostra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. Suponha que tenha uma distribuição de Weibull, com fdp 
 
 
 
Suponha que seja conhecido. Determine a estimativa MV de ,baseada em uma amostra de 
tamanho . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Demostre o Teor. 14.3. [Sugestão: Veja o Comentário (a), que se segue a esse teorema.] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. Compare o valor de , onde tem distribuição, , com , onde 
tem distribuição de Student com: a) 5gl., b) 10gl., c) 15gl., d) 20gl, e) 25gl. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. Suponha que tenha distribuição . Uma amostra de tamanho 30, digamos 
 , fornece os seguintes valores: 
 
 
 
 . 
Determine um intervalo de confiança de 95% (bilateral) para . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. Suponha que tenha distribuição . Uma amostra de tamanho 25 fornece a média 
amostral . Determine um intervalo de confiança de 99 por cento (bilateral) para 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
21. Suponha que a duração da vida de um componente seja normalmente distribuída, . 
Vinte componentes são ensaiados e suas durações até falhar são registradas. 
Suponha que . Determine um intervalo de confiança de 99 por cento 
(bilateral) para a confiabilidade . 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. Determine um intervalo de confiança de 99 por cento, unilateral inferior para do 
Probl. 14.21. 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. Suponha que tenha distribuição , onde e são desconhecidos. Uma amostra 
de tamanho 15 forneceu os valores 
 
 e 
 
 . Determine um 
intervalo de confiança de 95 por cento. (bilateral) para . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. Uma centena de componentes foi ensaiada, e 93 deles funcionaram mais de 500 horas. 
Determine um intervalo de confiança de 95 por cento (bilateral) para 
 [Sugestão: Empregue a Eq. (14.12).]