11005516022012Algebra_Linear_I_aula_7

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AULA
Aplicac¸o˜es lineares
META
• Introduzir o conceito de aplicac¸a˜o linear.
OBJETIVOS
Ao fim da aula os alunos devera˜o ser capazes de:
• determinar se uma aplicac¸a˜o dada e´ linear;
• identificar o nu´cleo de uma aplicac¸a˜o linear;
• usar o Teorema da dimensa˜o para determinar a dimensa˜o da
imagem de uma aplicac¸a˜o linear.
PRE´-REQUISITOS
• Espac¸os vetoriais.
• Base e dimensa˜o.
Aplicac¸o˜es lineares
7.1 Introduc¸a˜o
Iniciamos nesta aula o estudo das aplicac¸o˜es lineares. Sa˜o aplicac¸o˜es
de um espac¸o vetorial para um espac¸o vetorial que “respeitam”
a estrutura linear presente em cada um dos espac¸os. A classe
das aplicac¸o˜es lineares parece ser bastante restrita, ate´ porque a
existeˆncia de uma estrutura linear na˜o e´ uma propriedade universal
dos conjuntos. No entanto, me´todos poderosos da Geometria e da
Ana´lise Matema´tica sa˜o baseados na substituic¸a˜o de aplicac¸o˜es que
na˜o sa˜o lineares por aplicac¸o˜es lineares. As diferenciais que voceˆ
conhece do Ca´lculo servem como um um exemplo de aplicac¸o˜es “li-
nearizadas”. Alem de valor teo´rico, as aplicac¸o˜es desse tipo podem
ter tambe´m valor pra´tico, sendo uma fonte de aproximac¸o˜es.
7.2 Aplicac¸o˜es
Como o pro´prio nome diz, as aplicac¸o˜es lineares sa˜o, antes de mais
nada, aplicac¸o˜es. Relembramos nessa sec¸a˜o as definic¸o˜es bem como
algumas proposic¸o˜es sobre as aplicac¸o˜es.
Dados dois conjuntos, X e Y na˜o-vazios, uma aplicac¸a˜o f de
X em Y e´ uma regra que a cada elemento de X associa um, e
somente um, elemento de Y . Escrevemos
f : X → Y.
Exemplo 7.56. Uma func¸a˜o f com valores reais definida em R e´
uma aplicac¸a˜o de R em R,
f : R→ R.
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A´lgebra Linear I
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AULA
Exemplo 7.57. Uma aplicac¸a˜o de Mn(K) em K definimos pela
regra
F (A) = detA para toda matriz A em Mn(K).
Domı´nio e contradomı´nio
Dizemos que o conjunto X e´ o domı´nio de f enquanto o conjunto
Y e´ chamado contradomı´nio de f .
7.2.1 Tipos de aplicac¸o˜es
Aplicac¸a˜o injetora
Definic¸a˜o 7.31. Dizemos que uma aplicac¸a˜o f : X → Y e´ uma
aplicac¸a˜o injetora se para todo par de elementos x e y de X tais
que x �= y vale f(x) �= f(y). Alternativamente, f e´ uma aplicac¸a˜o
injetora se, e somente se, f(x) = f(y) implica x = y.
Exemplo 7.58. A func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = x3 e´
uma aplicac¸a˜o injetora. Com efeito, se x31 = x32 enta˜o x1 = x2.
Aplicac¸a˜o sobrejetora
Definic¸a˜o 7.32. Dizemos que f : X → Y e´ uma aplicac¸a˜o sobre-
jetora se para cada elemento y de Y existir um elemento x de X
tal que f(x) = y.
Exemplo 7.59. A func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = x3
e´ uma aplicac¸a˜o sobrejetora. Com efeito, para todo y em R a
equac¸a˜o x3 = y tem uma soluc¸a˜o em R.
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Aplicac¸o˜es lineares
Aplicac¸a˜o identidade
Seja X um conjunto na˜o-vazio. A aplicac¸a˜o identidade
id : X → X
e´ definida por id(x) = x para todo x em X. A aplicac¸a˜o identidade
id e´, obviamente, injetora e sobrejetora.
7.2.2 Composic¸a˜o
Sejam X, Y e Z conjuntos. Sejam f : X → Y e g : Y → Z
aplicac¸o˜es. A aplicac¸a˜o composta g ◦ f : X → Z definimos
pondo
(g ◦ f)(x) = g (f(x))
para todo x em X.
A composic¸a˜o de aplicac¸o˜es e´ associativa.
Proposic¸a˜o 7.18. Sejam X, Y , Z e W conjuntos e sejam f :
X → Y , g : Y → Z e h : Z →W aplicac¸o˜es. Enta˜o
h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.
Demonstrac¸a˜o. Seja x um elemento de X. Obtemos
(h ◦ (g ◦ f)) (x) = h ((g ◦ f)(x)) = h (g (f(x)))
= (h ◦ g) (f(x)) = ((h ◦ g) ◦ f) (x).
7.2.3 Aplicac¸o˜es invert´ıveis
Definic¸a˜o 7.33. Dizemos que uma aplicac¸a˜o f : X → Y e´ in-
vert´ıvel quando existe uma aplicac¸a˜o g : Y → X tal que
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A´lgebra Linear I
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(a) g ◦ f = id (onde id e´ a aplicac¸a˜o identidade em X);
(b) f ◦ g = id (onde id e´ a aplicac¸a˜o identidade em Y ).
Uma aplicac¸a˜o g que satisfaz (a) e (b) e´ chamada de aplicac¸a˜o
inversa de f .
Suponhamos que g : Y → X e´ uma aplicac¸a˜o inversa de f : X →
Y . Enta˜o f e´ uma inversa de g como implica a Definic¸a˜o 7.33.
Quantas inversas uma aplicac¸a˜o pode ter? O pro´ximo teorema
afirma que a inversa de uma aplicac¸a˜o, quanto ela existe, e´ u´nica.
Proposic¸a˜o 7.19. Seja F : X → Y invert´ıvel. Enta˜o a inversa
f−1 : Y → X e´ u´nica.
Demonstrac¸a˜o. Sejam g1 e g2 aplicac¸o˜es inversas de f . Mostrare-
mos que g1 = g2. Com efeito,
g1 = g1 ◦ id = g1 ◦ (f ◦ g2) = (g1 ◦ f) ◦ g2 = id ◦g2 = g2.
A u´nica inversa de uma aplicac¸a˜o f , quando ela existe, e´ denotada
por f−1.
Corola´rio 7.10. Se f : X → Y for invert´ıvel, enta˜o f−1 e´ in-
vert´ıvel e
(
f−1
)−1 = f .
Demonstrac¸a˜o. Sendo f−1 a inversa de f , vale
f−1 ◦ f = id, f ◦ f−1 = id .
Usando a a Definic¸a˜o 7.33 concluimos que f e´ a inversa de f−1.
Na˜o e´ dif´ıcil mostrar a seguinte propriedade importante das aplicac¸o˜es
invers´ıvesis.
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Aplicac¸o˜es lineares
Proposic¸a˜o 7.20. Seja f : X → Y uma aplicac¸a˜o invert´ıvel.
Enta˜o f e´ injetora e sobrejetora.
Demonstrac¸a˜o. Suponhamos que x1 e x2 sa˜o dois elementos de X
tais que f(x1) = f(x2). Enta˜o
f−1 (f(x1)) = f−1 (f(x2)) ,
donde x1 = x2. Concluimos que f e´ injetora.
Mostraremos agora que f e´ sobrejetora. Com efeito, o domı´nio
de f−1 e´, por hipo´tese, o conjunto Y . Portanto, a cada y em Y
associamos o elemento x = f−1(y) do conjunto X. Enta˜o
f(x) = f
(
f−1(y)
)
= y.
Concluimos que cada elemento de Y e a imagem de um elemento
de X. Portanto, f e´ sobrejetora.
A afirmac¸a˜o rec´ıproca, dada no teorema a seguir, tambe´m e´ ver-
dadeira.
Proposic¸a˜o 7.21. Seja f : X → Y uma aplicac¸a˜o injetora e
sobrejetora. Enta˜o, f e´ invert´ıvel.
Demonstrac¸a˜o. Seja y um elemento de Y . Sendo f sobrejetora,
existe um x em X tal que f(x) = y. Sendo f injetora, este elemento
e´ u´nico. Definimos g : Y → X por g(y) = x. Enta˜o g ◦ f(x) =
g (f(x)) = g(y) = x para todo x em X. Tambe´m f ◦ g(y) =
f (g(y)) = f(x) = y para todo y em Y .
Proposic¸a˜o 7.22. (a) Seja f : X → Y invert´ıvel. Enta˜o f−1 e´
invert´ıvel e
(
f−1
)−1 = f .
(b) Sejam f : X → Y e g : Y → Z aplicac¸o˜es invert´ıveis. Enta˜o
f ◦ g e´ invert´ıvel e (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1.
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Demonstrac¸a˜o. (a) Pela definic¸a˜o da aplicac¸a˜o inversa, f−1◦f = id
e f ◦ f−1 = id. Enta˜o, pela mesma definic¸a˜o, f e´ a inversa de f−1.
(b) Com efeito,
(f ◦ g) ◦ (g−1 ◦ f−1) = f ◦ (g ◦ g−1) ◦ f−1 = f ◦ id ◦f−1 = f ◦ f−1 = id,
(
g−1 ◦ f−1) ◦ (f ◦ g) = g−1 ◦ (f−1 ◦ f) ◦ g = g−1 ◦ id ◦g = g−1 ◦ g = id .
Aplicando a Definic¸a˜o 7.33, obtemos (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1.
7.3 Aplicac¸o˜es lineares
Um espac¸o vetorial e´ um conjunto de objetos (denominados “veto-
res”) munido de uma estrutura linear. Entre as aplicac¸oes de um
espac¸o vetorial V em um espac¸o vetorial W, sa˜o de interesse na-
tural aquelas que “respeitam” a estrutura linear presente em cada
um dos espac¸os.
Definic¸a˜o 7.34. Sejam V eW dois espac¸os vetoriais sobre o corpo
K. Dizemos que T : V → W e´ uma aplicac¸a˜o linear se
(i) T(u+ v) = T(u) + T(v) para todos u,v em V;
(ii) T(αv) = αT(v) para todo v em V e α em K.
Exemplo 7.60. A projec¸a˜o P : R3 → R2 definida por P(x, y, z) =
(x, y) e´ uma aplicac¸a˜o linear. Com efeito, quaisquer que sejam
(x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) em R3, vale
P
(
(x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)
)
= P(x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
= (x1 + y1, x2 + y2)
= (x1, y1) + (x2, y2) = P(x1, y1, z1) + P(x2, y2, z2).
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Aplicac¸o˜es lineares
Outrossim, para todo (x, y, z) em R3 e α em R obtemos
P (α(x, y, z)) = P(αx, αy, αz)) = (αx, αy) = α(x, y) = αP(x, y, z).
ATIV. 7.31. Mostre que a projec¸a˜o P , definida no Exemplo 7.60
e´ uma aplicac¸a˜o linear.
Exemplo 7.61. Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita
n ≥ 1 sobre K e B = {v1, . . . ,vn} uma base de V. Consideremosa aplicac¸a˜o
F : V → Kn
que associa a cada vetor v em V o vetor em Kn das coordenadas
x1, . . . , xn de v na base B:
v = x1v1 + · · ·+ xnvn �→ F (v) = (x1, . . . xn).
A aplicac¸a˜o F e´ uma aplicac¸a˜o linear.
ATIV. 7.32. Mostre que a aplicac¸a˜o F definida no Exemplo 7.61
e´ uma aplicac¸a˜o linear.
Exemplo 7.62. Seja V um espac¸o vetorial. A aplicac¸a˜o identidade
id no espac¸o V denotaremos por IV . Esta aplicac¸a˜o e´ uma aplicac¸a˜o
linear.
ATIV. 7.33. Mostre que a aplicac¸a˜o identifdade em um espac¸o
vetorial e´ uma aplicac¸a˜o linear.
Exemplo 7.63. Sejam V eW espac¸os vetoriais sobre K. A aplicac¸a˜o
zero que associa a todo vetor em V o vetor nulo em W e´ uma
aplicac¸a˜o linear.
ATIV. 7.34. Mostre que a aplicac¸a˜o zero, definida no Exem-
plo 7.63, e´ uma aplicac¸a˜o linear.
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Exemplo 7.64. Seja Pk(R) o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de
grau menor ou igual a k. Dado um n natural, a aplicac¸a˜o
D : Pn(R) → Pn−1(R),
que associa a cada polinoˆmio p em Pn(R) a derivada p′ de p, e´ uma
aplicac¸a˜o linear.
ATIV. 7.35. Mostre que a aplicac¸a˜o D, definida no Exemplo 7.64,
e´ uma aplicac¸a˜o linear.
Exemplo 7.65. Seja V o espac¸o vetorial das func¸o˜es com valores
reais integra´veis no intervalo [0, 1]. A aplicac¸a˜o
J : V → R
definida por
J(f) =
∫ 1
0
f(x) dx
para toda func¸a˜o f em V e´ uma aplicac¸a˜o linear.
ATIV. 7.36. Mostre que a aplicac¸a˜o J , definida no Exemplo 7.61,
e´ uma aplicac¸a˜o linear.
7.4 Nu´cleo e imagem de uma aplicac¸a˜o li-
near
7.4.1 Definic¸a˜o e propriedades
Definic¸a˜o 7.35. Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre K e T :
V → W uma aplicac¸a˜o linear.
(a) O conjunto de todos os vetores v em V tais que T(v) = 0W
e´ chamado de nu´cleo de T. O nu´cleo de T vai ser indicado
por N(T).
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Aplicac¸o˜es lineares
(b) O conjunto de todos os vetores w em W para os quais existe
algum v em V tal que T(v) = w e´ chamado de imagem de
T. A imagem de T vai ser indicada por R(T).
Teorema 7.30. Sejam V eW espac¸os vetoriais sobre K e T : V →
W uma aplicac¸a˜o linear. Enta˜o,
(i) N(T) e´ um subespac¸o de V;
(ii) R(T) e´ um subespac¸o de W.
Demonstrac¸a˜o. (i) Sejam u e v em N(T), isto e´, T(u) = T(v) =
0W . Sendo T uma aplicac¸a˜o linear, vale
T(u+ v) = T(u) + T(v) = 0W + 0W = 0W .
Se v for um vetor de N(T) e α um escalar, obtemos
T(αv) = αT(v) = α0W = 0W .
Logo, N(T) e´ um subespac¸o de V.
(ii) Sejam w1 e w2 em R(T). Logo, existem v1 e v2 em V tais que
T(v1) = w1, T(v2) = w2. Sendo T uma aplicac¸a˜o linear, vale
w1 +w2 = T(v1) + T(v2) = T(v1 + v2),
portanto, pela Definic¸a˜o 7.35, w1 + w2 esta´ em R(T). Seja w
um vetor qualquer de R(T). Enta˜o, existe um v em V tal que
w = T(v). Se α for um escalar, obtemos
αw = αT(v) = T(αv),
portanto, αw esta´ em R(T). Concluimos que R(T) e´ um subespac¸o
de W.
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Teorema 7.31. Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre K. Supo-
nhamos que dimV = n ≥ 1 e que B = {v1, . . . ,vn} e´ uma base de
V. Se T : V → W for uma aplicac¸a˜o linear, enta˜o R(T) e´ gerado
pelo conjunto de vetores {T(v1), . . . ,T(vn)}.
Demonstrac¸a˜o. Denotaremos por U o subespac¸o deW gerado pelo
conjunto de vetores {T(v1), . . . ,T(vn)}. Devemos mostrar que
R(T) = U .
Sejaw em R(T). Enta˜o, existe um vetor v em V tal que T(v) = w.
Sendo B uma base de V, existem escalares, α1, . . . , αn, tais que
v = α1v1 + · · ·+ αnvn.
Como T e´ uma aplicac¸a˜o linear, obtemos
w = T(v) = T(α1v1 + · · ·+ αnvn) = α1T(v1) + · · ·+ αnT(vn)
e concluimos que w esta´ em U . Enta˜o, R(T) e´ um subconjunto de
U .
Suponhamos agora que u e´ um vetor do subespac¸o U deW. Como
U e´ gerado pelo conjunto {T(v1), . . . ,T(vn))}, existem escalares
β1, . . . , βn, tais que
u = β1T(v1) + · · ·+ βnT(vn).
Sendo T uma aplicac¸a˜o linear, vale
u = T(β1v1 + · · ·+ βnvn).
Enta˜o, u esta´ em R(T). Concluimos que U e´ um subconjunto
de R(T). Sendo tambe´m R(T ) um subconjunto de U , obtemos
R(T) = U .
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Aplicac¸o˜es lineares
7.4.2 O teorema da dimensa˜o
Teorema 7.32. Sejam V e W espac¸os vetoriais, sendo V de di-
mensa˜o finita, dimV = n ≥ 1. Suponhamos que T : V → W e´
uma aplicac¸a˜o linear. Enta˜o
dimN(T) + dimR(T) = dimV. (7.142)
Demonstrac¸a˜o. Sendo N(T) um subespac¸o de V, pelo Teorema 4.11
N(T) e de dimensa˜o finita e dimN(T) ≤ n. Se dimN(T) = n,
enta˜o, usando o mesmo teorema concluimos que N(T) = V, isto
e´, T(v) = 0W para todo v em V. Logo, R(T) = {0W}, o que im-
plica dimR(T) = 0. Portanto, a eq. (7.142) e´ va´lida. Suponhamos
agora que dimN(T) = k < n. Existe uma base de N(T) contendo
exatamente k vetores, v1, . . . ,vk. Pelo Teorema 4.10, existe um
conjunto, contendo exatamente n − k vetores de V, u1, . . . ,un−k,
tal que {v1, . . . ,vk} ∪ {u1, . . . ,un−k} e´ uma base de V. Mostrare-
mos que o conjunto de vetores {T(u1), . . . ,T(un−k)} e´ uma base
de R(T). O Teorema 7.35 diz que R(T) e´ gerado pelo conjunto
{T(v1), . . . ,T(vk),T(u1), . . . ,T(un−k)}.
No entanto, T(v1) = · · · = T(vk) = 0W , porque v1, . . . ,vk sa˜o
vetores de N(T). Enta˜o R(T) e´ gerado pelo conjunto
{T(u1), . . . ,T(un−k)}.
Mostraremos que este conjunto e´ linearmente independente. Sejam
α1, . . . αn−k escalares, tais que
α1T(u1) + · · ·+ αn−kT(un−k) = 0. (7.143)
Sendo T uma aplicac¸a˜o linear, a eq. (7.143) implica
T(α1u1 + · · ·+ αn−kun−k) = 0.
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AULA
Enta˜o, α1u1 + · · ·+αn−kun−k esta´ em N(T) e existem k escalares
β1, . . . , βk, tais que
α1u1 + · · ·+ αn−kun−k = β1v1 + · · ·+ βkvk,
ou, ainda,
α1u1 + · · ·+ αn−kun−k − β1v1 − · · · − βkvk = 0.
No entanto, como {v1, . . . ,vk,u1, . . . ,un−k} e´ uma base de V, este
conjunto e´ linearmente independente. Logo, α1 = · · · = αk =
β1 = · · · = βn−k = 0. Concluimos que toda combinac¸a˜o linear
dos vetores T(u1), . . . ,T(un−k) que representa o vetor 0W tem
todos os coefientes nulos. Logo, o conjunto T(u1), . . . ,T(un−k) e´
linearmente independente.
Teorema 7.33. Sejam V eW espac¸os vetoriais sobre K e T : V →
W uma aplicac¸a˜o linear. Enta˜o T e´ uma aplicac¸a˜o injetora se, e
somente se, N(T) = {0V}.
Demonstrac¸a˜o. (i) Seja N(T) = {0V}. Devemos mostrar que T e´
uma aplicac¸a˜o injetora. Suponhamos que T(x) = T(y). Enta˜o
T(x− y) = T(x)− T(y) = 0W .
Usando a Definic¸a˜o 7.34 concluimos que o vetor x − y esta´ em
N(T). Mas N(T) conte´m um u´nico vetor, 0V . Enta˜o x− y = 0V ,
o que implica x = y.
(ii) Seja T uma aplicac¸a˜o injetora. Devemos mostrar que N(T) =
{0V}. Seja x em N(T), isto e´, T(x) = 0W . Sendo T(0V) = 0W e
T injetora, obtemos x = 0V .
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Aplicac¸o˜es lineares
Teorema 7.34. Sejam V eW espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita
e suponhamos que dimV = dimW = n. Enta˜o, uma aplicac¸a˜o
linear T : V → W e´ injetora se, e somente se, ela e´ sobrejetora.
Demonstrac¸a˜o. Pelo Teorema 7.32
dimN(T) + dimR(T) = dimV = n. (7.144)
Usando eq. (7.144) e aplicando os Teoremas 7.33 e 4.11, obtemos
(“⇔” substitui as palavras “se, e somente se”): T e´ injetora ⇔
N(T) = {0V} ⇔ dimN(T) = 0 ⇔ dimR(T) = n ⇔ R(T) = W ⇔
T e´ sobrejetora.
Teorema 7.35. Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre K. Su-
ponhamos que V e´ de dimensa˜o finita, dimV = n ≥ 1 e que
B = {v1, . . . ,vn} e´ uma base de V. Enta˜o, dado um subconjunto
deW contendo exatamente n elementos, {w1, . . . ,wn}, existe uma,
e somente uma, aplicac¸a˜o linear T : V → W, tal que T(vi) = wi
para todo i = 1, . . . , n.
Demonstrac¸a˜o. Seja x um vetor de V. Sendo B uma base de V,
existem n escalares α1, . . . , αn, tais que
x = α1v1 + · · ·+ αnvn.
Definimos T : V → W pela equac¸a˜o
T(x) = α1w1 + · · ·+ αnwn.
A aplicac¸a˜o T e´ linear. Com efeito, sejam x, y em V. Sendo B
uma base de V, existem combinac¸o˜es lineares dos vetores de B que
representam os vetores x e y,
x = α1v1 +· · ·+ αnvn, y = β1v1 + · · ·+ βnvn.
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A´lgebra Linear I
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AULA
Enta˜o,
x+ y = (α1 + β1)v1 + · · ·+ (αn + βn)vn
e, pela definic¸a˜o de T,
T(x+y) = α1 + β1)w1 + · · ·+ (αn + βn)wn
=α1w1 + · · ·+ αnwn + β1)w1 + · · ·+ βnwn = T(x) + T(y).
Tambe´m, se α for um escalar, obtemos
αx = α (α1v1 + · · ·+ αnvn) = αα1v1 + · · ·+ ααnvn,
portanto
T(αx) = αα1w1+· · ·+ααnwn = α (α1w1 + · · ·+ αnwn) = αT(x).
A aplicac¸a˜o T e´ u´nica. Com efeito, seja S uma aplicac¸a˜o linear que
satisfaz
S(vi) = wi, i = 1, . . . n.
Enta˜o,
S(x) = S(α1v1 + · · ·+ αnvn)
= α1S(v1) + · · ·+ αnS(vn) = α1w1 + · · ·+ αnwn = T(x).
Portanto, S = T.
O Teorema 7.35 sugere o seguinte crite´rio de igualdade para aplicac¸o˜es
lineares.
Corola´rio 7.11. Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre K. Su-
ponhamos que V e´ de dimensa˜o finita, dimV = n ≥ 1, e que
B = {v1, . . . ,vn} e´ uma base de W. Se T : V → W e S : V → W
forem duas aplicac¸o˜es lineares, tais que T(vi) = S(vi) para todo
i = 1, . . . , n, enta˜o T = S.
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Aplicac¸o˜es lineares
ATIV. 7.37. Mostre o Corola´rio7.11.
Exemplo 7.66. Verifica-se que o conjunto de vetores {v1,v2} de
R
2 onde
v1 = (1, 1), v2 = (1,−1)
e´ uma base de R2. Seja uma aplicac¸a˜o linear S : R2 → R2 definida
por
S(1, 1) = (1, 1), S(1,−1) = (−1, 1) (7.145)
(sabemos do Teorema 7.35 que as equac¸o˜es (7.145) definem uma
aplicac¸a˜o linear de R2 em R2). Seja T : R2 → R2 uma segunda
aplicac¸a˜o linear definida por
T(x, y) = (y, x) para todo (x, y) em R2.
Usaremos o Corola´rio 7.11 para provar que S = T. Com efeito,
T(1, 1) = (1, 1) = S(1, 1), T(1,−1) = (−1, 1) = S(1,−1).
Concluimos que S = T.
7.5 Conclusa˜o
• Caracter´ısticas importantes de uma aplicac¸a˜o linear sa˜o o
nu´cleo e a imagem da aplicac¸a˜o.
• Dada uma base no domı´nio da aplicac¸a˜o linear, a imagem da
aplicac¸a˜o e´ gerada pelo conjunto das imagens dos vetores da
base.
• A dimensa˜o da imagem e´ completamente determinada pelas
dimenso˜es do domı´nio e do nu´cleo da aplicac¸a˜o linear.
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A´lgebra Linear I
7
AULA
7.6 Resumo
Relembramos os principais resultados relativos a`s aplicac¸o˜es e in-
troduzimos a terminologia. Apreseentamos a definic¸a˜o de aplicac¸a˜o
linear e alguns exemplos de aplicac¸o˜es lineares. Definimos os con-
ceitos de nu´cleo e imagem de uma aplicac¸a˜o linear. Mostramos
que, dada uma base no domı´nio da aplicac¸a˜o linear, a imagem
da aplicac¸a˜o e´ gerada pelo conjunto das imagens dos vetores da
base. mostramos tambe´m um teorema que relaciona as dimenso˜es
do dominio, do nu´cleo e da imagem da aplicac¸a˜o linear.
7.7 Atividades
ATIV. 7.38. Ache o nu´cleo da projec¸a˜o P do Exemplo 7.60. (Para
identificar um subespac¸o de um espac¸o vetorial basta apresentar
um conjunto de vetores que gera o subespac¸o.)
ATIV. 7.39. Ache o nu´cleo da projec¸a˜o P do Exemplo 7.60. (Para
identificar um subespac¸o de um espac¸o vetorial basta apresentar
um conjunto de vetores que gera o subespac¸o.)
ATIV. 7.40. Ache o nu´cleo da aplicac¸a˜o F do Exemplo 7.61.
ATIV. 7.41. Ache o nu´cleo da aplicac¸a˜o D do Exemplo 7.64.
Ache a dimensa˜o da imagem de D.
7.8 Glossa´rio
aplicac¸a˜o injetora Definic¸a˜o 7.31.
aplicac¸a˜o invert´ıvel Definic¸a˜o 7.33.
aplicac¸a˜o sobrejetora Definic¸a˜o 7.32.
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Aplicac¸o˜es lineares
imagem de uma aplicac¸a˜o linear Definic¸a˜o 7.35.
nu´cleo de uma aplicac¸a˜o linear Definic¸a˜o 7.35.
7.9 Pro´xima aula
Na pro´xima aula voceˆ vai conhecer as operac¸o˜es com aplicac¸o˜es
lineares.
7.10 Refereˆncias
FRIEDBERG, Stephen H., INSEL, Arnold J., SPENCE, Lawrence
E. Linear Algebra. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1989.
LANG, Serge. A´lgebra Linear. Sa˜o Paulo: Edgard Blu¨cher, 1971.
SHOKRANIAN, Salahoddin. Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear. Bras´ılia:
UnB, 2004.
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