Experimental p1

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1
Medir
(slide 2/30)
Medições no dia-a-dia
Potência da 
lâmpada
Temperatura 
da geladeira
Volume de 
leite
Tempo de 
cozimento
Velocidade 
do automóvel
Pressão dos 
pneus
Volume de 
combustível
Quantidade 
de arroz
Consumo de 
energia
Tamanho do 
peixe
Dimensões 
das peças
Rotação do 
motor
Horário do 
despertador
Comprimento 
da calça
(slide 3/30)
Importância de medir
"O conhecimento amplo e satisfatório 
sobre um processo ou fenômeno somente 
existirá quando for possível medi-lo e 
expressá-lo através de números".
Lord Kelvin, 1883
(slide 4/30)
Exemplo de medição 1
0 1 2 3 4
2,4 unidades
mensurando
instrumento de medição
indicação
unidade
(slide 5/30)
Exemplo de medição 2
tensão do gerador: 5,305 V
constante do sistema de medição: 15,080 (km/h)/V
velocidade: 5,305 V . 15,080 (km/h)/V = 80,0 km/h
1.2
O que é medir?
(slide 7/30)
O que é medir?
Medir é o procedimento experimental 
através do qual o valor momentâneo de 
uma grandeza física (mensurando) é 
determinado como um múltiplo e/ou 
uma fração de uma unidade, 
estabelecida por um padrão, e 
reconhecida internacionalmente.
(slide 8/30)
Algumas definições
 Mensurando é o objeto da medição. É a 
grandeza específica submetida a medição.
 Indicação é o valor de uma grandeza 
fornecido por um sistema de medição.
 Indicação direta é o número mostrado pelo 
sistema de medição. A indicação direta pode 
ou não ser apresentada na unidade do 
mensurando.
(slide 9/30)
tensão do gerador: 5,305 V
constante do sistema de medição: 15,080 (km/h)/V
velocidade: 5,305 V . 15,080 (km/h)/V = 80,0 km/h
indicação direta
indicação
mensurando
1.3
Medir para que?
(slide 11/30)
Medir para que?
 Monitorar
 Observar passivamente grandezas
 Controlar
 Observar, comparar e agir para manter dentro 
das especificações.
 Investigar
 Descobrir o novo, explicar, formular.
(slide 12/30)
Medir para monitorar...
 Compra e venda de produtos e 
serviços:
 consumo de água, energia elétrica, 
taxímetro, combustíveis, etc.
 Sinais vitais:
 pressão arterial, temperatura, 
nível de colesterol
 Atividades desportivas:
 desempenho, recordes
(slide 13/30)
Medir para monitorar...
(slide 14/30)
Medir para controlar...
Medir
Comparar
Especificações
xxxx ± xx
yyyy ± yy
zzz ± z
Agir
(slide 15/30)
Medir para controlar...
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 1 - (slide 16/30)
pressão
altitude
temperatura
rota
velocidade
Medir para controlar...
(slide 17/30)
Medir para investigar...
(slide 18/30)
Medir para investigar...
Pequenas diferenças nas 
medidas podem levar a 
conclusões completamente 
diferentes.
(slide 19/30)
Medir para investigar...
 Compreender
 Descobertas científicas, estudar 
fenômenos
 Dominar
 Validar, know-how
 Evoluir
 Melhorar continuamente, expandir limites
 Inovar
(slide 20/30)
Idéia
invento 
oportunidade
pesquisa aplicada
processos fabricação
ensaios
prototipagem
desenvolvimento
produçãodesign
plano produção
CQ
marketing
patenteamento
certificação
Produto
Serviço
Inovador
pesquisa aplicada
processos fabricação
ensaios
prototipagem
desenvolvimento
produção
plano produção
CQ
certificação
Onde tem metrologia?
Elementos da inovação 
tecnológica
1.4
Errar é inevitável
(slide 22/30)
Medições geram erros
Sistema de 
medição
m
e
n
s
u
ra
n
d
o
indicação
imperfeições do 
sistema de medição
má definição do 
mensurando
condições 
ambientais
influência do 
operador
± ERROS
procedimento 
de medição
1.5
O processo de medição
(slide 24/30)
Processo de medição
resultado da 
medição
definição do 
mensurando
procedimento 
de medição
condições 
ambientais
sistema de 
medição
operador
1.6
O resultado da medição
(slide 26/30)
Resultado da medição
Sistema de 
medição
m
e
n
s
u
ra
n
d
o
indicação
RB +IM-IM
VV
(slide 27/30)
Resultado da medição
 É a faixa de valores dentro da qual deve se 
situar o valor verdadeiro do mensurando.
 Resultado base é a estimativa do valor do 
mensurando que, acredita-se, mais se aproxime 
do seu valor verdadeiro. 
 Incerteza da medição é o tamanho da faixa 
simétrica, e centrada em torno do resultado 
base, que delimita a faixa onde se situam as 
dúvidas associadas à medição.
RM = (RB ± IM) unidade
(slide 28/30)
Pilares da Metrologia
H
o
n
e
s
ti
d
a
d
e
C
o
n
h
e
c
im
e
n
to
B
o
m
-s
e
n
s
o
1.7
A linguagem da metrologia
(slide 30/30)
A linguagem da metrologia
 Até 1995: 
“Torre de Babel”
 Em 10 de Março de 1995:
Portaria INMETRO n° 029
“Vocabulário de Termos Fundamentais e Gerais 
de Metrologia” (VIM)
Em sintonia com: ISO, BIPM, IEC, IFCC, IUPAC, 
IUPAP
2
Unidades de Medida e o 
Sistema Internacional
(slide 32/48)
Medir
 Medir é o procedimento experimental 
através do qual o valor momentâneo de 
uma grandeza física (mensurando) é 
determinado como um múltiplo e/ou 
uma fração de uma unidade, 
estabelecida por um padrão, e 
reconhecida internacionalmente.
2.1
Um pouco de história das 
unidades de medida...
(slide 34/48)
Um pouco de história...
 O desenvolvimento da linguagem ...
 A necessidade de contar ...
 Só os números não bastam ...
 Unidades baseadas na anatomia ...
(slide 35/48)
O cúbito do Faraó
(slide 36/48)
O pé médio da idade média
(slide 37/48)
Um pouco de história...
 O desenvolvimento da linguagem ...
 A necessidade de contar ...
 Só os números não bastam ...
 Unidades baseadas na anatomia ...
 O papel do Faraó e do Rei ...
 A busca por referências estáveis ...
 Finalmente, em 1960, a unificação ...
2.2
Por que um único sistema de 
unidades?
(slide 39/48)
Importância do SI
 Clareza de entendimentos internacionais 
(técnica, científica) ...
 Transações comerciais ...
 Garantia de coerência ao longo dos anos 
...
 Coerência entre unidades simplificam 
equações da física ...
2.3.1
As sete unidades de base
(slide 41/48)
As sete unidades de base
Grandeza unidade símbolo
 Comprimento metro m
 Massa quilograma kg
 Tempo segundo s
 Corrente elétrica ampere A
 Temperatura kelvin K
 Intensidade luminosa candela cd
 Quantidade de matéria mol mol
(slide 42/48)
O metro
 1793: décima milionésima parte 
do quadrante do meridiano 
terrestre
 1889: padrão de traços em 
barra de platina iridiada 
depositada no BIPM
 1960: comprimento de onda da 
raia alaranjada do criptônio
 1983: definição atual
(slide 43/48)
O metro (m)
 É o comprimento do trajeto percorrido 
pela luz no vácuo, durante um intervalo 
de tempo de 1/299 792 458 de segundo
 Observações:
 assume valor exato para a velocidade da luz 
no vácuo
 depende da definição do segundo
 incerteza atual de reprodução: 10-12 m
(slide 44/48)
Comparações ...
 Se o mundo fosse ampliado de forma que 
10-12 m se tornasse 1 mm:
 um glóbulo vermelho teria cerca de 7 km de 
diâmetro.
 o diâmetro de um fio de cabelo seria da 
ordem de 50 km.
 A espessura de uma folha de papel seria algo 
entre 100 e 140 km.
 Um fio de barba cresceria 2 m/s.
(slide 45/48)
O segundo (s)
 é a duração de 9 192 631 770 períodosda 
radiação correspondente à transição entre 
os dois níveis hiperfinos do estado 
fundamental do átomo de Césio 133.
 Observações:
 Incerteza atual de reprodução: 10-15 s
(slide 46/48)
Comparações ...
 Se a velocidade com que o tempo passa 
pudesse ser desacelerada de tal forma que 
10-15 s se tornasse 1 s:
 um avião a jato levaria pouco mais de 120 
anos para percorrer 1 mm.
 o tempo em que uma lâmpada de flash ficaria 
acesa seria da ordem de 30 anos.
 uma turbina de dentista levaria cerca de 60 
anos para completar apenas uma rotação.
 um ser humano levaria cerca de 600 séculos
para piscar o olho.
(slide 47/48)
O quilograma (kg)
 é igual à massa do 
protótipo 
internacional do 
quilograma.
 incerteza atual de 
reprodução: 2.10-9 g
 busca-se uma 
melhor definição ...
(slide 48/48)
Comparações ...
 Se as massas das coisas que nos cercam 
pudesem ser intensificadas de forma que 
2.10-9 g se tornasse 1 g:
 uma molécula d’água teria 6.10-16 g
 um vírus 5.10-10 g
 uma célula humana 2 mg
 um mosquito 3 kg
 uma moeda de R$ 0,01 teria 4 t
 a quantidade de álcool em um drinque seria 
de 12 t
(slide 49/48)
O ampere (A)
 é a intensidade de uma corrente elétrica 
constante que, mantida em dois condutores 
paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de 
seção circular desprezível, e situados à distância 
de 1 metro entre si, no vácuo, produz entre 
estes condutores uma força igual a 2 . 10-7
newton por metro de comprimento.
 incerteza atual de reprodução: 9.10-8 A
(slide 50/48)
O kelvin (K)
 O kelvin, unidade de temperatura 
termodinâmica, é a fração 1/273,16 da 
temperatura termodinâmica do ponto 
tríplice da água.
(slide 51/48)
A candela (cd)
 é a intensidade luminosa, numa dada 
direção, de uma fonte que emite uma 
radiação monocromática de freqüência 
540 . 1012 hertz e cuja intensidade 
energética nesta direção é de 1/683 
watt por esterradiano.
 incerteza atual de reprodução: 10-4 cd
(slide 52/48)
O mol (mol)
 é a quantidade de matéria de um 
sistema contendo tantas entidades 
elementares quantos átomos existem 
em 0,012 quilograma de carbono 12.
 incerteza atual de reprodução: 2 . 10-9 mol
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 2 - (slide 53/48)
2.3.2
As unidades suplementares
(slide 55/48)
C
O radiano (rad)
 É o ângulo central que subtende um arco 
de círculo de comprimento igual ao do 
respectivo raio.
R
1 rad
C = R
(slide 56/48)
Ângulo Sólido
R
A
 = A/R2

(slide 57/48)
O esterradiano (sr)
 É o ângulo sólido que tendo vértice no 
centro de uma esfera, subtende na 
superfície uma área igual ao quadrado do 
raio da esfera. 
 São exemplos de ângulo sólido: o vértice de 
um cone e o facho de luz de uma lanterna 
acesa.)
2.3.3
As unidades derivadas
(slide 59/48)
Unidades derivadas
Grandeza derivada Unidade derivada Símbolo
área
volume
velocidade
aceleração
velocidade angular
aceleração angular
massa específica
intensidade de campo magnético
densidade de corrente
concentração de substância
luminância
metro quadrado
metro cúbico
metro por segundo
metro por segundo ao quadrado
radiano por segundo
radiano por segundo ao quadrado
quilogramas por metro cúbico
ampère por metro
ampère por metro cúbico
mol por metro cúbico
candela por metro quadrado
m2
m3
m/s
m/s2
rad/s
rad/s2
kg/m3
A/m
A/m3
mol/m3
cd/m2
(slide 60/48)
Grandeza derivada Unidade
derivada
Símbolo Em unidades
do SI
Em termos das
unidades base
freqüência
força
pressão, tensão
energia, trabalho, quantidade de calor
potência e fluxo radiante
carga elétrica, quantidade de eletricidade
diferença de potencial elétrico, tensão elétrica, força
eletromotiva
capacitância elétrica
resistência elétrica
condutância elétrica
fluxo magnético
indução magnética, densidade de fluxo magnético
indutância
fluxo luminoso
iluminamento ou aclaramento
atividade (de radionuclídeo)
dose absorvida, energia específica
dose equivalente
hertz
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
farad
ohm
siemens
weber
tesla
henry
lumen
lux
becquerel
gray
siervet
Hz
N
Pa
J
W
C
V
F

S
Wb
T
H
lm
lx
Bq
Gy
Sv
N/m2
N . m
J/s
W/A
C/V
V/A
A/V
V . S
Wb/m2
Wb/A
cd/sr
lm/m2
J/kg
J/kg
s-1
m . kg . s-2
m-1 . kg . s-2
m2 . kg . s-2
m2 . kg . s-3
s . A
m2 . kg . s-3 . A-1
m-2 . kg-1 . s4 . A2
m2 . kg . s-3 . A-2
m-2 . kg-1 . s3 . A2
m2 . kg . s-2 . A-1
kg . s-2 . A-1
m2 . kg . s-2 . A-2
cd
cd . m-2
s-1
m2 . s-2
m2 . s-2
2.3.3
Múltiplos e submúltiplos
(slide 62/48)
Múltiplos e submúltiplos
Fator Nome do
prefixo
Símbolo Fator Nome do
prefixo
Símbolo 
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
yotta
zetta
exa
peta
tera
giga
mega
quilo
hecto
deca
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
d
c
m

n
p
f
a
z
y
2.3.4
Unidades em uso e unidades 
aceitas em áreas específicas
(slide 64/48)
Unidades em uso com o SI
Grandeza Unidade Símbolo Valor nas unidades do SI
tempo
ângulo
volume
massa
pressão
temperatura
minuto
hora
dia
grau
minuto
segundo
litro
tonelada
bar
grau Celsius
min
h
d
°
'
"
l, L
t
bar
°C
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3600 s
1 d = 24 h
1° = (/180)
1' = (1/60)° = (/10 800) rad
1" = (1/60)' = (/648 000) rad
1 L = 1 dm3 = 10-3 m3
1 t = 103 kg
1 bar = 105 Pa
°C = K - 273,16
(slide 65/48)
Unidades temporariamente em uso
Grandeza Unidade Símbolo Valor nas unidades do SI
comprimento
velocidade
massa
densidade linear
tensão de sistema 
óptico
pressão no corpo 
humano
área
área
comprimento
seção transversal
milha náutica
nó
carat
tex
dioptre
milímetros de 
mercúrio
are
hectare
ângstrom
barn
tex
mmHg
a
há
Å
b
1 milha náutica = 1852 m
1 nó = 1 milha náutica por hora =
(1852/3600) m/s
1 carat = 2 . 10-4 kg = 200 mg
1 tex = 10-6 kg/m = 1 mg/m
1 dioptre = 1 m-1
1 mm Hg = 133 322 Pa
1 a = 100 m2
1 ha = 104 m2
1 Å = 0,1 nm = 10-10 m
1 b = 10-28 m2
2.4
A grafia correta
(slide 67/48)
Grafia dos nomes das unidades
 Quando escritos por extenso, os nomes de 
unidades começam por letra minúscula, 
mesmo quando têm o nome de um cientista 
(por exemplo, ampere, kelvin, newton,etc.), 
exceto o grau Celsius.
 A respectiva unidade pode ser escrita por 
extenso ou representada pelo seu símbolo, 
não sendo admitidas combinações de partes 
escritas por extenso com partes expressas 
por símbolo.
(slide 68/48)
O plural
 Quando pronunciado e escrito por 
extenso, o nome da unidade vai para o 
plural (5 newtons; 150 metros; 1,2 metros 
quadrados; 10 segundos).
 Os símbolos das unidades nunca vão para 
o plural ( 5N; 150 m; 1,2 m2; 10 s).
(slide 69/48)
Os símbolos das unidades
 Os símbolos são invariáveis, não sendo admitido 
colocar, após o símbolo, seja ponto de 
abreviatura, seja "s" de plural, sejam sinais, 
letras ou índices.
 Multiplicação: pode ser formada pela 
justaposição dos símbolos se não causar 
anbigüidade (VA, kWh) ou colocando um ponto 
ou “x” entre os símbolos (m.N oum x N)
 Divisão: são aceitas qualquer das três maneiras 
exemplificadas a seguir:
W/(sr.m2) W.sr-1.m-2
W
sr.m2
(slide 70/48)
Grafia dos números e símbolos
 Em português o separador decimal deve ser a 
vírgula.
 Os algarismos que compõem as partes inteira 
ou decimal podem opcionalmente ser 
separados em grupos de três por espaços, 
mas nunca por pontos.
 O espaço entre o número e o símbolo é 
opcional. Deve ser omitido quando há 
possibilidade de fraude.
(slide 71/48)
Alguns enganos
 Errado
 Km, Kg
 
 a grama
 2 hs
 15 seg
 80 KM/H
 250°K
 um Newton
 Correto
 km, kg
 m
 o grama
 2 h
 15 s
 80 km/h
 250 K
 um newton
3
Análise Dimensional
Análise Dimensional
Lembre-se que uma grandeza física inclui sempre um
número e uma unidade. Ex: 10 m.
A unidade nos informa o padrão usado na medida.
O número compara a quantidade medida com o padrão.
Mas que dimensão está sendo medida?
Análise Dimensional
Mas que dimensão está sendo medida?
Comprimento (L), tempo (T) e massa (M) são dimensões.
Exemplo: a distância (d) entre dois objetos tem a
dimensão de comprimento (L)
[d] = L
Exemplo: a área (A) tem a dimensão de quadrado de
comprimento (L)
[A] = L2
Análise Dimensional
Mas que dimensão está sendo medida?
Comprimento (L), tempo (T) e massa (M) são dimensões.
Exemplo: a velocidade (V) tem dimensão de
comprimento (L) dividido por dimensão de tempo (T)
[V] = L/T
Análise Dimensional
Somar ou subtrair duas grandezas físicas só faz sentido
se as grandezas possuem as mesmas dimensões.
A = B + C
B = 10 m
C = 5 km
A = ???
Não podemos somar 2 segundos (dimensão de tempo)
com 3 metros (dimensão de comprimento)
Não podemos somar 2 metros (dimensão de
comprimento) com 3 quilômetros (dimensão de
comprimento), pois estão expressas em unidades
diferentes.
Análise Dimensional
A análise dimensional pode ser usada também para
conferir, por exemplo, se estamos utilizando a equação
correta.
Exemplo: Área do círculo
A = 2π r
Análise dimensional
r = raio em metro = m = L
Logo: [A] = L
A equação usada está errada, pois área tem dimensão
de L2
Análise Dimensional
A análise dimensional pode ser usada também para
conferir, por exemplo, se estamos utilizando a equação
correta.
Exemplo: Área do círculo
A = 2π r
Análise dimensional
r = raio em metro = m = L
Logo: [A] = L
A equação usada está errada, pois área tem dimensão
de L2
Fórmula correta é A = π r2 onde [A]=L2
Análise Dimensional
Exemplos:
Velocidade:
Aceleração:
Força:
𝑣 =
∆𝑑
∆𝑡
=
𝐿
𝑇
= 𝑀0𝐿𝑇−1 = 𝐿𝑇−1
𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑀0𝐿𝑇−1
𝑇
= 𝑀0𝐿𝑇−2 = 𝐿𝑇−2
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑀𝐿𝑇−2
Análise Dimensional
Exercícios:
Sabe-se que o trabalho realizado por um corpo pode ser
calculado multiplicando a força que o corpo realiza pela
distância percorrida durante a realização do trabalho.
Qual a dimensão de trabalho?
𝜏 = 𝐹. 𝑑 = 𝑀𝐿𝑇−2. 𝐿 = 𝑀𝐿2𝑇−2
Análise Dimensional
Exercícios:
Sabendo que a aceleração da gravidade g é dada em
m/s² e usando comprimento L medido em metros. Qual a
unidade de medida para frequência f?
𝑓 =
1
2𝜋
𝑔
𝑙
𝑓 =
1
2𝜋
𝑔
𝑙
=
1
2𝜋
𝐿𝑇−2
𝐿
=
1
2𝜋
1
𝑇2
=
1
𝑇
Análise Dimensional
Exercícios:
Conforme as teorias de Newton, dois astros de massas
respectivamente iguais a M e m, com centros de massa
separados por uma distância d, atraem-se
gravitacionalmente trocando forças de intensidade F,
dadas por:
onde G é a constante da gravitação.
(a) Em relação às dimensões de comprimento, massa e
tempo, determine a equação dimensional (Sistema
MLT) de G.
(b) Determine a unidade no SI de G.
𝐹 = 𝐺
𝑚𝑀
𝑑2
Análise Dimensional
(a) Em relação às dimensões de comprimento, massa e
tempo, determine a equação dimensional (Sistema
MLT) de G.
(b) Determine a unidade no SI de G.
𝐹 = 𝐺
𝑚𝑀
𝑑2
𝐺 = 𝐹
𝑑2
𝑚𝑀
=
𝑀𝐿
𝑇2
𝐿2
𝑀2
=
𝐿3
𝑀𝑇2
𝐺 =
𝑚3
𝑘𝑔. 𝑠2
Análise Dimensional
Exercícios:
Um projetista de máquinas de lavar roupas estava
interessado em determinar o volume de água utilizada por
uma dada lavadora de roupas durante o seu funcionamento,
de modo a otimizar a economia de água por parte do
aparelho. Ele percebeu que o volume V de água necessária
para a lavagem depende da massa m das roupas a serem
lavadas, do intervalo de tempo Δt que esta maquina leva
para encher de água e da pressão P da água na tubulação
que alimenta esta máquina de lavar. Assim, ele expressou o
volume de água através da função abaixo , onde K é uma
constante adimensional. Calcule os valores de A, B e n para
que a equação seja dimensionalmente correta. Sabe-se que
pressão tem dimensão de M/LT2.
𝑉 = 𝐾𝑚𝐴(∆𝑡)𝐵𝑃𝑛
Análise Dimensional
Exercícios:
𝑉 = 𝐾𝑚𝐴(∆𝑡)𝐵𝑃𝑛
𝐿3 = 𝑀𝐴(𝑇)𝐵
𝑀
𝐿𝑇2
𝑛
𝐿3 = 𝑀𝐴(𝑇)𝐵 𝑀𝐿𝑇2 𝑛
𝐿3 = 𝑀𝐴𝑇𝐵𝑀𝑛𝐿𝑛𝑇2𝑛
𝐿3 = 𝑀𝐴+𝑛𝑇𝐵+2𝑛𝐿𝑛
𝑛 = 3 𝐴 + 𝑛 = 0 𝐵 + 2𝑛 = 0
𝐴 = −3 𝐵 = −6
Análise Dimensional
Exercícios:
(Cesgranrio) Na análise de determinados movimentos, é
bastante razoável supor que a força de atrito seja
proporcional ao quadrado da velocidade da partícula que se
move. Analíticamente, 𝑓 = 𝐾𝑣2. A unidade da constante de
proporcionalidade K no SI é
a)
𝑘𝑔.𝑚2
𝑠2
b)
𝑘𝑔.𝑠2
𝑚2
c)
𝑘𝑔.𝑚
𝑠
d)
𝑘𝑔
𝑚
e)
𝑘𝑔
𝑠
Análise Dimensional
Exercícios:
Numa experiência, verifica-se que o período (T) de oscilação
de um sistema corpo-mola depende somente da massa (m)
do corpo e da constante elástica (K) da mola. Complete a
fórmula deste período encontrando o valor de a e b.
Obs.: período é uma medida de tempo.
𝑇 = 𝑐𝑡𝑒.𝑚𝑎. 𝐾𝑏
Análise Dimensional
Exercícios:
Na expressão a seguir, X representa uma distância; v, uma
velocidade; a uma aceleração e k uma constante
adimensional. Qual deve ser o valor do expoente n para que
a expressão seja fisicamente correta?
a) 1/3
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 3
𝑋 = 𝑘
𝑣𝑛
𝑎
Análise Dimensional
Exercícios:
(PUC) Na expressão F = 𝐴𝑥2, F representa a força e x um
comprimento. Se MLT-2 é a fórmula dimensional da força,
onde M é o símbolo da dimensão massa, L da dimensão
comprimento e T da dimensão tempo, a fórmula dimensional
de A é
a) ML-1T-2
b) ML3T-2
c) L2
d) MT-2
e) M
Análise Dimensional
Exercícios:
A grandeza constante elástica k é a razão entre o módulo F
de uma força e um comprimento x, isto é, 𝑘 =
𝐹
𝑥
.
Representando as dimensões fundamentais de massa,
comprimento e tempo por M, L e T, respectivamente,
concluímos que a dimensão de k é igual a:
a) MT2
b) MLT-2
c) MT-2
d) M-2T
e) M2L-1
Conversão de Unidades
Conversão de Unidades
Frequentemente, precisamos mudar as unidades em que
está expressa uma grandeza física.
Para isso, utiliza-se um método chamado de conversão em
cadeia.
Neste método multiplicamos a medida original por um fator
de conversão (uma relação entre unidades que é igual a 1).
Exemplo:
1 𝑚𝑖𝑛
60 𝑠
= 1
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
= 1
Conversão de Unidades
Observe que tal não é o mesmo que escrever 1/60 e 60/1.
O número e a unidade formam um todo.
Já que a multiplicação de qualquer grandeza por 1 não muda
o valor dessa grandeza, podemos introduzir esses fatores de
conversão sempre que acharmos conviniente.
Na conversão em cadeia, usamos os fatores de tal forma
que as unidades indesejadas se cancelem.
Exemplo:
2 𝑚𝑖𝑛 = 2𝑚𝑖𝑛
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
= 120 s
Conversão de Unidades
Exercícios:
1 – A vazão de um poço de petróleo é de 25000barris por
dia. Qual a vazão desse poço em metros cúbicos por hora?
Conversão de Unidades
Exercícios:
2 – A pressão máxima das linhas de uma planta é de 20
kgf/cm2. Qual é o valor da pressão em psi?
Conversão de Unidades
Exercícios:
3 – A pressão máximo de uma linha de produção flexível que
vai do poço até a planta é de 5000 psi. Qual é o valor desta
pressão em dyn/cm2?
Conversão de Unidades
Exercícios:
4 – Realize as seguintes conversões de unidade:
a) 3 atm para N/cm2
b) 30 cmHg para atm
c) 25 gal/min para ft3/s
d) 0,082 ft/s para in/h
Conversão de Unidades
Conversão de Unidades
Algarismos Significativos
Algarismo Significativos
Denomina-se algarismo significativo o número de algarismos
que compõe o valor de uma grandeza, excluindo
eventuais os zeros à esquerda usados para acerto de
unidades. Mas atenção: ZEROS À DIREITA SÃO
SIGNIFICATIVOS. Na tabela a seguir um mesmo valor do raio
de uma roda é escrito com diferente número de algarismos
significativos.
raio (mm) significativos
57,896 5
5,79x101 3
5,789600x101 7
0,6x102 1
Algarismo Significativos
A escolha de quantos significativos serão usados no valor da
grandeza depende da grandeza, do processo de medida e do
instrumento utilizado.
O NÚMERO DE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS DE
UMA
GRANDEZA É DETERMINADO PELA SUA INCERTEZA
Algarismo Significativos
Exemplo:
Suponha que se deseje medir o tamanho do besouro. Uma
vez decidido o que caracteriza o tamanho do besouro, qual
das alternativas abaixo melhor caracteriza a medida do
tamanho do besouro?
a) Entre 0 e 1 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,5 e 1,6 cm
d) Entre 1,54 e 1,56 cm
e) Entre 1,546 e 1,547 cm
Algarismo Significativos
Porque letra d?
Porque, na leitura de uma escala, o algarismo significativo
mais à direita de um número deve sempre ser o duvidoso
(não esqueça: o algarismo duvidoso é significativo!).
Resumindo: Qualquer medida por comparação entre um
objeto e uma escala deve incluir além dos dígitos exatos (1,5
nesse caso) uma estimativa do dígito (duvidoso). Uma vez
que a régua foi marcada em milímetros você deve estimar o
comprimento fracionário (em décimos de mm) que melhor
expressa a medida. Você pode não precisar se vale 1,54,
1,55 ou mesmo 1,56. Essa é a expressão da sua
incerteza.
Algarismo Significativos
Exemplo:
Qual é o diâmetro da moeda?
a) Entre 0 e 2 cm
b) Entre 1 e 2 cm
c) Entre 1,9 e 2,0 cm
d) Entre 1,92 e 1,94 cm
e) Entre 1,935 e 1,945 cm
No exemplo acima podemos afirmar que a metade da menor 
divisão é uma estimativa da nossa incerteza: portanto o 
diâmetro da moeda pode ser expresso como:
1,92 ± 0,05 cm
Algarismo Significativos
Expressão da Incerteza
Como devemos expressar a incerteza de uma medida? Ou,
posto de outra forma: quantos significativos devem ter a
incerteza de uma medida? Usaremos a seguinte convenção:
• Se o primeiro dígito significativo da incerteza for menor
que 3, usaremos DOIS significativos.
• Caso o primeiro dígito significativo da incerteza for maior
ou igual a 3, podemos usar UM ou DOIS algarismos
significativos para a incerteza;
Algarismo Significativos
Expressão da Incerteza
Resumindo:
Qualquer que seja o caso sempre podemos usar dois
significativos para expressar a incerteza. Mas atenção:
quando a incerteza for resultado de uma estimativa ou
apenas indicativa, tal como a metade da menor divisão de
um instrumento, sugerimos usar apenas UM dígito
significativo. Não tem sentido, por exemplo, expressar a
incerteza de uma régua milimetrada com DOIS
significativos (0,50mm), basta escrever 0,5mm.
Algarismo Significativos
Expressão da Grandeza
• Usar a mesma potência de dez tanto para o valor da 
grandeza como para sua incerteza;
• O número de algarismos significativos da incerteza é dado 
pela regra anteriormente citada;
• O número de dígitos depois da vírgula na incerteza tem 
que ser o mesmo que no mensurando;
• A notação científica pode ser usada para melhor 
legibilidade.
Algarismo Significativos
Expressão da Grandeza
Veja alguns exemplos abaixo. Note o casamento do número
de casas decimais na incerteza e no valor do mensurando.
notação errada notação correta
5,30 ± 0,0572 5,30 ± 0,06
124,5 ± 11 125 ± 11
0,0000200 ± 0,0000005 (200,0 ± 5,0)x10-7
(45 ± 2,6)x101 (45 ± 3) x 101
4
O Erro de Medição
(slide 112/67)
Erro de Medição
mensurando
sistema de 
medição
indicação valor verdadeiro
erro de 
medição
(slide 113/67)
Um exemplo de erros...
 Teste de precisão de tiro de canhões:
 Canhão situado a 500 m de alvo fixo;
 Mirar apenas uma vez;
 Disparar 20 tiros sem nova chance para 
refazer a mira;
 Distribuição dos tiros no alvo é usada para 
qualificar canhões.
 Quatro concorrentes:
(slide 114/67)
A B
CD
(slide 115/67)
A B
CD
Ea
Es
Ea
Es
Ea
Es
Ea
Es
4.1
Tipos de erros
(slide 117/67)
Tipos de erros
 Erro sistemático: é a parcela previsível do 
erro. Corresponde ao erro médio.
 Erro aleatório: é a parcela imprevisível do 
erro. É o agente que faz com que 
medições repetidas levem a distintas 
indicações.
(slide 118/67)
Precisão & Exatidão
 São parâmetros qualitativos associados ao 
desempenho de um sistema.
 Um sistema com ótima precisão repete 
bem, com pequena dispersão. 
 Um sistema com excelente exatidão
praticamente não apresenta erros.
4.2
Caracterização e componentes do 
erro de medição
(slide 120/67)
Exemplo de erro de medição
1014
g
0 g1014 g
1
(1000,00 ± 0,01) g
E = I - VVC
E = 1014 - 1000
E = + 14 g
Indica a mais do 
que deveria!
(slide 121/67)
Erros em medições repetidas
0 g1014 g
1
(1000,00 ± 0,01) g
1
(1000,00 ± 0,01) g
1
(1000,00 ± 0,01) g
1014 g
1000
1010
1020
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
1015 g
1015 g
1017 g
1017 g
e
rr
o
 m
é
d
io
d
is
p
e
rs
ã
o
(slide 122/67)
Cálculo do erro sistemático
média de infinitas indicações
valor verdadeiro conhecido exatamente
condições: 
(slide 123/67)
Estimativa do erro sistemático
tendência
VVC
3.3
Erro sistemático, tendência e 
correção
(slide 125/67)
Algumas definições
 Tendência (Td)
 é uma estimativa do Erro Sistemático
 Valor Verdadeiro Convencional (VVC) 
 é uma estimativa do valor verdadeiro
 Correção (C)
 é a constante que, ao ser adicionada à 
indicação, compensa os erros sistemáticos
 é igual à tendência com sinal trocado
(slide 126/67)
Correção dos erros sistemáticos
Td C = -Td
(slide 127/67)
Indicação corrigida
1014
1015
1017
1012
1015
1018
1014
1015
1016
1013
1016
1015
I
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Nº
1015média
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
C
-15
999
1000
1002
997
1000
1003
999
1000
1001
998
1001
1000
Ic
1000
-1
0
2
-3
0
3
-1
0
1
-2
1
0
Ea
0
995 1000 1005
C = -Td
C = 1000 - 1015
C = -15 g
4.4
Erro aleatório, incerteza padrão e 
repetitividade
(slide 129/67)
Erro aleatório e repetitividade
-5 0 5
O valor do erro aleatório é imprevisível.
A repetitividade define a faixa dentro da qual 
espera-se que o erro aleatório esteja contido.
(slide 130/67)
Distribuição de probabilidade 
uniforme ou retangular
1 2 3 4 5 6
probabilidade
1/6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Valores
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (1
/6
)
Lançamento de um dado
(slide 131/67)
Distribuição de probabilidade 
triangular
1,51,0 2,52,0 3,53,0 4,54,0 5,55,06,0
probabilidade (1/36)
2
4
6
Média de dois dados
(slide 132/67)
Distribuição de probabilidade 
triangular
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
Média de 2 dados
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (1
/3
6)
(slide 133/67)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7
Valores
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (1
/6
)
Lançamento de um dado
(slide 134/67)
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
M é di a d e 2 d a do s
P
ro
ba
bi
lid
ad
e
 (1
/3
6)
Média de dois dados
(slide 135/67)
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 3 d ado s
Pr
ob
ab
ili
d
ad
e 
(1
/2
16
)
Média de três dados
(slide 136/67)
0
2 0
4 0
6 0
8 0
10 0
12 0
14 0
16 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 4 d ado s
Pr
o
ba
bi
lid
ad
e 
(1
/1
29
6)
Média de quatro dados
(slide 137/67)
0
50 0
100 0
150 0
200 0
250 0
300 0
350 0
400 0
450 0
500 0
0 1 2 3 4 5 6 7
M édi a d e 6 d ado s
Pr
ob
ab
ili
da
de
 (1
/4
66
56
)
Média de seis dados
(slide 138/67)
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
0 1 2 3 4 5 6 7
Média de 8 dados
Pr
ob
ab
ilid
ad
e 
(1/
16
79
61
6)
Média de oito dados
(slide 140/67)
Teorema central do limite
 Quanto mais variáveis aleatórias forem 
combinadas, tanto mais o comportamento 
da combinação se aproximará do 
comportamento de uma distribuição 
normal (ou gaussiana).
(slide 141/67)
Curva normal

s s
pontos de inflexão
assíntotaassíntota
 = média
s = desvio padrão
(slide 142/67)
Efeito do desvio padrão
s > s > s

(slide 143/67)
Cálculo e estimativa do 
desvio padrão
n
II
n
i
i
n

=


= 1
2)(
lims
cálculo exato:
(da população)
1
)(
1
2


=

=
n
II
s
n
i
i
estimativa:
(da amostra)
Ii i-ésima indicação
média das "n" indicações
n número de medições repetitivas efetuadas
I
(slide 144/67)
Incerteza padrão (u)
 medida da intensidade da componente 
aleatória do erro de medição.
 corresponde à estimativa do desvio padrão 
da distribuição dos erros de medição.
 u = s
 Graus de liberdade ():
 corresponde ao número de medições 
repetidas menos um.
  = n - 1
(slide 145/67)
Área sobre a curva normal
2s 2s
95,45%

Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 146/67)
Estimativa da repetitividade
(para 95,45 % de probabildiade)
Para amostras infinitas:
Re = 2 . s
Para amostras finitas:
Re = t . u
Sendo “t” o coeficiente de Student para  = n - 1 
graus de liberdade.
A repetitividade define a faixa dentro da qual, 
para uma dada probabilidade, o erro aleatório é 
esperado. 
(slide 147/67)
Coeficiente “t” de Student
 t  t  t  t
1 13.968 10 2.284 19 2.140 80 2.032
2 4.527 11 2.255 20 2.133 90 2.028
3 3.307 12 2.231 25 2.105 100 2.025
4 2.869 13 2.212 30 2.087 150 2.017
5 2.649 14 2.195 35 2.074 200 2.013
6 2.517 15 2.181 40 2.064 1000 2.003
7 2.429 16 2.169 50 2.051 10000 2.000
8 2.366 17 2.158 60 2.043 100000 2.000
9 2.320 18 2.149 70 2.036  2.000
(slide 148/67)
Exemplo de estimativa da 
repetitividade
1014
g
0 g1014 g
1
(1000,00 ± 0,01) g
1014 g
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
1015 g
1017 g
112
)1015(
u
12
1
2


=

=i
iI
média: 1015 g
u = 1,65 g
 = 12 - 1 = 11
t = 2,255
Re = 2,255 . 1,65
Re = 3,72 g
(slide 149/67)
Exemplo de estimativa da 
repetitividade
1015 10201010
+3,72-3,72 1015
(slide 150/67)
Efeitos da média de medições 
repetidas sobre o erro de medição
 Efeito sobre os erros sistemáticos:
 Como o erro sistemático já é o erro médio, 
nenhum efeito é observado.
(slide 151/67)
Efeitos da média de medições 
repetidas sobre o erro de medição
 Efeitos sobre os erros aleatórios
 A média reduz a intensidade dos erros 
aleatórios, a repetitividade e a incerteza 
padrão na seguinte proporção:
n
Re
Re I
I
=
n
u
u I
I
=
sendo:
n o número de medições utilizadas para calcular a média
(slide 152/67)
Exemplo
 No problema anterior, a repetitividade da 
balança foi calculada:
 Se várias séries de 12 medições fossem 
efetuadas, as médias obtidas devem 
apresentar repetitividade da ordem de:
ReI = 3,72 g
g
I
07,1
12
72,3
Re
12
==
4.5
Curva de erros e erro máximo
(slide 154/67)
Curva de erros
indicação
erro
1015
15
Td
Td + Re
Td - Re
Emáx
- Emáx
(slide 155/67)
Algumas definições
 Curva de erros:
 É o gráfico que representa a distribuição dos 
erros sistemáticos e aleatórios ao longo da 
faixa de medição.
 Erro máximo:
 É o maior valor em módulo do erro que pode 
ser cometido pelo sistema de medição nas 
condições em que foi avaliado.
4.6
Representação gráfica dos erros 
de medição
(slide 158/67)
Sistema de medição “perfeito” 
(indicação = VV)
1000 1020 1040960 980
mensurando
1000 1020 1040960 980
indicação
(slide 159/67)
Sistema de medição com erro 
sistemático apenas
1000 1020 1040960 980
mensurando
1000 1020 1040960 980
indicação
+Es
(slide 160/67)
Sistema de medição com erros 
aleatórios apenas
1000 1020 1040960 980
mensurando
1000 1020 1040960 980
indicação
Re
(slide 161/67)
Sistema de medição com erros 
sistemático e aleatório
1000 1020 1040960 980
mensurando
1000 1020 1040960 980
indicação
+Es
Re
4.7
Erro ou incerteza?
(slide 163/67)
Erro ou incerteza?
 Erro de medição:
 é o número que resulta da diferença entre a 
indicação de um sistema de medição e o valor 
verdadeiro do mensurando.
 Incerteza de medição:
 é o parâmetro, associado ao resultado de 
uma medição, que caracteriza a faixa dos 
valores que podem fundamentadamente ser 
atribuídos ao mensurando.
4.8
Fontes de erros
(slide 165/67)
sistema de medição
Fontes de erros:
sinal de 
medição indicação
fatores 
internos
fatores externos
fatores externos
retroaçãoretroação
operador
mensurando
(slide 166/67)
Erros provocados por fatores 
internos
 Imperfeições dos componentes e 
conjuntos (mecânicos, elétricos etc).
 Não idealidades dos princípios físicos.
força
alongamento
região linear região não linear
(slide 167/67)
Erros provocados por fatores 
externos
 Condições ambientais
 temperatura
 pressão atmosférica
 umidade
 Tensão e freqüência da rede elétrica
 Contaminações
(slide 168/67)
Erros provocados por retroação
 A presença do sistema de medição 
modifica o mensurando.
65 °C
65 °C70 °C
20 °C
(slide 169/67)
Erros induzidos pelo operador
 Habilidade
 Acuidade visual
 Técnica de medição
 Cuidados em geral
 Força de medição
(slide 170/67)
Dilatação térmica
 Propriedade dos materiais modificarem suas 
dimensões em função da variação da 
temperatura. 
b b'
c'
c
b = b' - b
c = c' - c
b =  . T . b
c =  . T . c
T
(slide 171/67)
Temperatura de referência
 Por convenção, 20 °C é a temperatura de 
referência para a metrologia dimensional. 
 Os desenhos e especificações sempre se 
referem às características que as peças 
apresentariam a 20 °C. 
(slide 172/67)
Dilatação térmica:distintos coeficientes de expansão térmica
20°C 40°C 10°C
I = 40,0
I = 44,0
I = 38,0
 > 
(slide 173/67)
Dilatação térmica:
mesmos coeficientes de expansão térmica
20°C 40°C 10°C
I = 40,0
I = 40,0
I = 40,0
 = 
(slide 174/67)
Dilatação térmica:
Ci
Ce
Sabendo que a 20C
Ci = Ce
Qual a resposta certa 
a 40C?
(a) Ci < Ce
(b) Ci = Ce
(c) Ci > Ce
(d) NRA
α = α
(slide 175/67)
Dilatação térmica:
(a) Ci < Ce
(b) Ci = Ce
(c) Ci > Ce
(d) NRA
(slide 176/67)
Micrômetro
(slide 177/67)
Correção devido à
dilatação térmica
SM Peça a medir Correção devido à temperatura
Mat Temp. Mat Temp.
A 20 °C A 20 °C C = 0
A TSM  20 °C A TP = TSM C = 0
A TSM A TSM  TP C = A . L . (TSM - TP)
A 20 °C B 20 °C C = 0
A TSM  20 °C B TSM = TP C = (A - B). (TSM - 20°C) . L
A TSM B TSM  TP C = [A . (TSM - 20°C) - B . (TP - 20°C)] . L
5
Gráficos e Linearização
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
A observação de um fenômeno físico qualquer é
feita, geralmente, através do tabelamento de
valores medidos. Através do exemplo a seguir,
vejamos como se constrói o gráfico a partir deste
tabelamento, usando o papel milimetrado.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
Exemplo 1: Em um experimento de dilatação
volumétrica mediu-se o volume (V) de uma esfera
para várias temperaturas (T), obtendo-se uma
tabela de valores de V e de T, cujos dados são
apresentados na tabela abaixo.
V(10-9 m3) 64,1 80,7 97,8 114,9 138,0 162,5 195,0 223,3 260,0
T(°C) 60,0 65,0 70,0 75,0 80,0 85,0 90,0 95,0 100,0
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
Para construir um gráfico, deve-se seguir os
seguintes passos:
1 – Seleção do papel: No caso do gráfico a ser
construído no exemplo 1, o papel a ser utilizado é o
milimetrado. Mais adiante você aprenderá como
escolher o tipo de papel que deverá usar para fazer
um gráfico, dependendo do tipo de função
associada ao comportamento físico observado. Em
princípio, qualquer função de uma variável pode ser
traçada graficamente neste tipo de papel. Não há
restrições!
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
2 – Definição dos eixos: No eixo das abcissas (eixo
horizontal) deve ser registrada a variável independente (eixo
dos x) associada à grandeza física que, ao variar, assume
valores que não dependem dos valores da outra grandeza
física.
No eixo das ordenadas (eixo vertical) deve ser registrada a
variável dependente (eixo dos y) associada à grandeza física
que, para variar, depende de como varia a outra grandeza
física. Em outras palavras, registra-se a causa: variável x no
eixo horizontal e o efeito: variável y, ou função y(x), no eixo
vertical.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
Para o caso que estamos considerando (exemplo 1), o
gráfico cartesiano do tipo y versus x deve ser, então, V
versus T, pois o volume da esfera é dependente da
temperatura.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
3 – Registros dos eixos: Na parte inferior do eixo das
abcissas, à direita, e preferencialmente fora da região
quadriculada do papel milimetrado, deve ser registrada a
variável independente, com sua unidade entre parênteses.
Na parte superior do eixo das ordenadas, à esquerda, e
preferencialmente fora da região quadriculada do papel
milimetrado, deve ser registrada a variável dependente, com
sua unidade entre parênteses.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
Note que a unidade de uma grandeza física inclui uma
eventual potência de 10, que pode ter expoente positivo ou
negativo. No caso que estamos considerando (exemplo 1),
observe que a medida do volume está expressa na unidade:
10-9 m3 e, portanto, deve ser registrada no gráfico, conforme
mostrado na figura abaixo.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
4 – Determinação das escalas e da posição do papel:
Geralmente, uma folha de papel milimetrado tem 280 mm no
eixo vertical, e 180 mm no eixo horizontal, então, podemos
usá-la nesta posição (“retrato”) ou em outra posição,
invertendo os eixos (“paisagem”). Deve ser escolhida uma
destas duas possibilidades: “retrato” ou “paisagem”, de
modo a otimizar a construção do gráfico visando ocupar o
melhor possível a folha.
Entretanto, “ocupar o melhor possível a folha” não significa
que se deve usar a escala que preenche todo o papel. Na
prática, deve-se escolher uma escala que facilite a leitura
dos pontos experimentais, ou qualquer outro ponto
representado no gráfico.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
Vamos estimar, a seguir, as várias possibilidades de escala
para representar as variáveis V e T, e adotar aquelas que
melhor ocupam o papel em uma das duas posições
possíveis.
Variável dependente: Volume (V)
A grandeza física varia entre os valores 64,1 e 260,0x10-9 m3.
Momentaneamente ignoremos a unidade (inclusive a
potência) para facilitar.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
1ª possibilidade: considerando o papel na posição 
“retrato” - Eixo Vertical (280 mm)
(a) Começando do zero: Se começarmos o gráfico a partir
do zero, o intervalo de variação para o volume é de
(260,0 – 0,0) = 260,0 unidades de volume. A escala
direta é
1,0 unidade de volume: 1 mm do papel, 
e a maior medida do volume (260,0) corresponde a 260 mm
do papel. (cabe bem no papel!). Note que, se usarmos
qualquer escala diferente desta, ou o gráfico não caberá no
papel, ou não o ocupará bem.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
1ª possibilidade: considerando o papel na posição 
“retrato” - Eixo Vertical (280 mm)
(b) Não começando do zero: Se não começarmos o
gráfico a partir do valor zero, o intervalo de variação para o
volume é de (260,0 – 64,1) = 195,9 unidades de volume.
Iniciamos a partir do valor 60,0 (por exemplo), e fazemos o
seguinte cálculo: (260,0 – 60,0) = 200,0 unidades de
volume.
280 mm – 200,0 unidades de volume
1 mm – X unidades de volume
X = 200,0 unidades de volume / 280 mm 
X = 0,714 unid/mm
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
1ª possibilidade: considerando o papel na posição 
“retrato” - Eixo Vertical (280 mm)
Deve-se adotar uma “escala limpa e fácil de ser lida” de
modo a que não seja necessário fazer cálculos para achar a
localização dos pontos no gráfico. Aliás, se você precisar
fazer muitos cálculos, algo está inadequado.
Conclusão: considerando o papel na posição “retrato”, o
melhor é começar do zero, e adotar no eixo vertical a escala
1,0 unidade de volume: 1 mm do papel.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
2ª possibilidade: considerando o papel na posição 
“paisagem” - Eixo Vertical (180 mm)
(a)Começando do zero: Se começarmos o gráfico a partir
do zero, o intervalo de variação para o volume é de
(260,0 – 0,0) = 260,0 unidades de volume. A escala
direta é 1,0 unidade de volume: 1 mm do papel, e a
maior medida do volume (260,0) corresponde a 260 mm
do papel. (fora do papel!). Então, calcula-se
180 mm – 260,0 unidades de volume
1 mm – X unidades de volume
X = 260,0 unidades de volume / 180 mm 
X = 1,4444 unid/mm
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
2ª possibilidade: considerando o papel na posição 
“paisagem” - Eixo Vertical (180 mm)
A escala mais próxima seria 1,5 unidades de
volume/mm. Mas, esta escala é submúltiplo de 3, e como
todo submúltiplo ou múltiplo de 3, leva sempre a uma dízima
periódica. Portanto, fuja de escalas do tipo: 0,375 ; 0,75 ;
1,5 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; etc.
A escala mais fácil e mais próxima é 2,0 unidades de
volume/mm. Note que a maior medida do volume (260,0)
estará representada em130 mm (sobra bastante papel!).
Qualquer escala acima dessa faz com que os pontos
saiam fora do papel!
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
2ª possibilidade:considerando o papel na posição 
“paisagem” - Eixo Vertical (180 mm)
(b) Não começando do zero: Se não começarmos o
gráfico a partir do zero, o intervalo de variação para o
volume é de (260,0 – 64,1) = 195,9 unidades de volume.
Iniciamos a partir do valor 60,0 (por exemplo), e fazemos o
seguinte cálculo: (260,0 – 60,0) = 200,0 unidades de
volume
180 mm – 200,0 unidades de volume
1 mm – X unidades de volume
X = 200,0 unidades de volume / 180 mm 
X = 1,11 unid/mm
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
2ª possibilidade: considerando o papel na posição 
“paisagem” - Eixo Vertical (180 mm)
Conclusão: considerando o papel na posição “paisagem”
pode-se começar do zero, adotando-se a escala 2,0
unidade de volumes: 1 mm do papel, ou não começar
do zero (sendo o primeiro valor: 60,0 unidades de volume)
adotando-se a escala 2,0 unidades de volume: 1 mm do
papel.
Em ambas as escolhas sobra bastante papel.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
Variável Independente: Temperatura (T)
A grandeza física varia entre os valores 60,0 e 100,0 °C.
Momentaneamente ignoremos a unidade, para facilitar.
1ª possibilidade: considerando o papel na posição 
“paisagem” - Eixo Horizontal (280 mm)
(a) Começando do zero: Se começarmos o gráfico a partir
do zero, o intervalo de variação para a temperatura é de
(100,00 – 0,00) = 100,00 unidades de temperatura. A escala
direta é 1,00 unidade de temperatura: 1 mm do papel,
e a maior medida da temperatura (100,00) corresponde a
100 mm no papel (sobra muito papel).
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
Variável Independente: Temperatura (T)
(b) Não começando do zero: Se não começarmos o
gráfico a partirdo zero, o intervalo de variação para a
temperatura é de (100,00 – 60,00) = 40,00 unidades de
temperatura. Iniciamos a partir do valor 60,0 (por exemplo),
e fazemos o seguinte cálculo
280 mm – 40,0 unidades de volume
1 mm – X unidades de volume
X = 40,0 unidades de volume / 280 mm 
X = 0,143 unid/mm
Note que para cada unidade de temperatura teremos 6,99
(1/0,143) mm.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
Variável Independente: Temperatura (T)
1ª possibilidade: considerando o papel na posição 
“paisagem” - Eixo Horizontal (280 mm)
Conclusão: considerando o papel na posição “paisagem”
pode-se começar do zero, adotando-se a escala 1,00
unidade de temperatura: 2 mm do papel ou não começar do
zero (sendo o primeiro valor: 60,00 unidades de
temperatura) adotando-se a escala 1,00 unidade de
temperatura: 5 mm do papel. Em ambas as escolhas sobra
bastante papel.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
Variável Independente: Temperatura (T)
2ª possibilidade: considerando o papel na posição 
“retrato” - Eixo Horizontal (180 mm)
(a) Começando do zero: Se começarmos o gráfico a partir
do zero, o intervalo de variação para a temperatura é de
(100,00 – 0,00) = 100,00 unidades de temperatura.
A escala direta é 1,00 unidade de temperatura: 1 mm
do papel, e a maior medida da temperatura (100,0)
corresponde a 100 mm do papel. (sobra muito papel!)
A próxima tentativa é 1,0 unidade de temperatura: 2
mm do papel, e a maior medida da temperatura (100,0)
corresponde a 200 mm do papel. (fora do papel!)
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
2ª possibilidade: considerando o papel na posição 
“retrato” - Eixo Horizontal (180 mm)
(b) Não começando do zero: Se não começarmos o
gráfico a partir do zero, o intervalo de variação para a
temperatura é de (100,00 – 60,00) = 40,00 unidades de
temperatura. Iniciamos a partir do valor 60,0 (por exemplo),
e fazemos o seguinte cálculo
180 mm – 40,0 unidades de volume
1 mm – X unidades de volume
X = 40,0 unidades de volume / 180 mm 
X = 0,222 unid/mm
Note que para cada unidade de temperatura teremos 4,50
(1/0,222) mm.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
Conclusão: considerando o papel na posição “retrato”,
pode-se começar do zero, adotando-se a escala 1,00
unidade de temperatura: 1 mm do papel ou não
começar do zero (sendo o primeiro valor: 60,00 unidades
de temperatura) adotando-se a escala 1,00 unidade de
temperatura: 4 mm do papel. A última escolha ocupa
melhor o papel e, portanto, é a melhor.
A escala usada em um eixo é totalmente 
independente da escala usada no outro.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
Conclusão Final
Da análise anterior, verificamos que a melhor maneira de
ocupar o papel milimetrado, adotando escalas limpas e
claras para representar as medidas no gráfico, é a seguinte:
• Posição do papel: RETRATO;
• Eixo Vertical – Volume (V): escala 1,0 unidade de
volume: 1 mm do papel, começando do zero, isto é, 0
unidades de volume.
• Eixo Horizontal – temperatura (T): escala 1,0 unidade
de temperatura: 4 mm do papel, sendo o primeiro valor:
60,00 unidades de temperatura.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
5 – Indicação dos valores nos eixos:
• Tanto no eixo vertical, quanto no horizontal, devem ser
indicados valores referenciais adequados à escala. Esses
valores devem ser, preferencialmente, múltiplos de 2, 5,
10, 20, 50, 100, etc. Nunca use múltiplos ou submúltiplos
de números primos ou fracionários.
• Jamais indique nos eixos os valores dos pontos
experimentais.
• Os valores indicados nos eixos devem ter a mesma
quantidade de algarismos significativos das medidas, por
exemplo, no caso do volume, os valores indicados serão:
50,0; 100,0; 150,0; etc.
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
6 – Marcação dos pontos experimentais:
• É fundamental que os pontos experimentais sejam bem
marcados no gráfico e identificados por um sinal que não
deixe dúvidas sobre sua localização. Na figura a seguir são
apresentados símbolos que podem ser utilizados.
• Depois de marcado o ponto experimental não faça
nenhuma marcação adicional, tal como fazer tracejados
desde o ponto até os eixos. Identifique apenas os pontos
experimentais!
Construção de Gráficos em Papel 
Milimetrado
7 – Traçado da curva:
• O traçado da curva deve ser suave e contínuo, ajustando-
se o melhor possível aos pontos experimentais.
• Nunca uma os pontos experimentais por linhas retas, pois
isto significa que a relação entre as grandezas físicas é
descontínua, o que dificilmente será verdadeiro.
Construção de Gráficos Linear em Papel 
Milimetrado
Vamos aprender, através de um novo exemplo, como obter
informações a partir de um gráfico em papel milimetrado,
quando a curva traçada for uma reta.
Exemplo 2: Observou-se o movimento de um bloco que
desce deslizando um plano inclinado. Obteve-se um conjunto
de medidas da velocidade e do tempo, que foram anotados
na tabela abaixo.
O gráfico relativo aos dados é apresentado no slide a seguir.
v(10-3 m/s) 105,0 150,0 240,0 290,0 340,0 430,0 500,0
t(10-2 s) 1,00 2,50 6,00 8,00 10,00 13,50 16,00
i 1 2 3 4 5 6 7
Construção de Gráficos Linear em Papel 
Milimetrado
Sabemos da geometria analítica, que a equação da reta na
sua forma reduzida é dada por:
y(x) = ax + b, 
onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da
reta.
A partir do gráfico podemos determinar esses coeficientes e
associá-los a grandezas físicas que não estão evidentes. Em
outras palavras, podemos extrair informações do gráfico.
Construção de Gráficos Linear em Papel 
Milimetrado
• Cálculo do coeficiente angular
Pode-se mostrar que o coeficiente angular é dado pelo
quociente:
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
(𝑦2 − 𝑦1)
(𝑥2 − 𝑥1)
onde (𝑥1, 𝑥2) e (𝑦1, 𝑦2) são dois pontos quaisquer,
pertencentes à reta. Observando a reta traçada no gráfico,
encontramos os dois pontos não experimentais:
𝑃2 = 𝑥2, 𝑦2 = 𝑡2, 𝑣2 = (14,5𝑥10
−2𝑠, 460,0𝑥10−3𝑚/𝑠)
𝑃1 = 𝑥1, 𝑦1 = 𝑡1, 𝑣1 = (5,0𝑥10
−2𝑠, 210,0𝑥10−3𝑚/𝑠)
Para o cálculo dos coeficientes não podem ser usadospontos
experimentais!
Construção de Gráficos Linear em Papel 
Milimetrado
• Cálculo do coeficiente angular
Aplicando os valores encontrados na fórmula, tem-se
𝑎 =
∆𝑦
∆𝑥
=
(𝑦2 − 𝑦1)
(𝑥2 − 𝑥1)
=
(460,0𝑥10−3 − 210,0𝑥10−3)
(14,5𝑥10−2 − 5,0𝑥10−2)
𝑎 = 2,63𝑚/𝑠2
Concluímos que o coeficiente angular da reta é igual a 2,63
m/s2, e corresponde à grandeza física conhecida como
aceleração.
Construção de Gráficos Linear em Papel 
Milimetrado
• Cálculo do coeficiente linear
Para fazer esse cálculo há duas maneiras:
1ª - Escolhe-se um ponto não experimental qualquer da
reta: 𝑃3 = 𝑥3, 𝑦3 = 𝑡3, 𝑣3 , o qual é indicado na reta com
uma notação diferente daquela usada para indicar os pontos
experimentais. Isto porque para o cálculo dos coeficientes
não podem ser usados pontos experimentais! Substitui-se o
valor desse ponto na equação reduzida da reta, pois o
coeficiente angular já é conhecido.
Construção de Gráficos Linear em Papel 
Milimetrado
• Cálculo do coeficiente linear
Observando novamente a reta traçada no gráfico,
encontramos um terceiro ponto não experimental:
𝑃3 = 𝑥3, 𝑦3 = 𝑡3, 𝑣3 = (3,5𝑥10
−2𝑠, 170,0𝑥10−3𝑚/𝑠)
Então
𝑦 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑏 = 𝑦 𝑥 − 𝑎𝑥 = 𝑦3 − 𝑎𝑥3 = 𝑣3 − 𝑎𝑡3
𝑏 = 170,0𝑥10−3𝑚/𝑠 − (2,63𝑚/𝑠2)(3,5𝑥10−2𝑠)
𝑏 = 78,0𝑥10−3𝑚/𝑠
Construção de Gráficos Linear em Papel 
Milimetrado
• Cálculo do coeficiente linear
Para fazer esse cálculo há duas maneiras:
2ª - Quando for possível prolongar a reta (extrapolação) até
cortar o eixo dos y (em x = 0), basta ler o valor da reta em
y(x = 0), pois este é o coeficiente linear.
𝑦 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦 0 = 𝑎. 0 + 𝑏
𝑦 0 = 𝑏
Observando a reta traçada, encontramos o ponto em que
corta o eixo dos y (em x = 0), ou o eixo dos v (em t = 0),
isto é, b = v (t = 0) = 79,0 x 10-3m/s.
Construção de Gráficos Linear em Papel 
Milimetrado
• Cálculo do coeficiente linear
Finalmente, obtivemos o coeficiente linear de duas maneiras:
79,0 x 10-3m/s (lido) e 78,0 x 10-3m/s (calculado) 
Observe que há uma pequena diferença entre os valores.
Isto ocorre como resultado do arredondamento que é feito
nos cálculos. Mas, não se preocupe, ambos os resultados
obtidos são aceitos, porque estão dentro de uma margem de
erro muito pequena.
Concluímos que o coeficiente linear da reta pode ter
qualquer um dos dois valores acima, e corresponde à
grandeza física conhecida como velocidade inicial, isto é, v(t
= 0) = vo.
Construção de Gráficos Linear em Papel 
Milimetrado
• Cálculo do coeficiente linear
Em resumo, em um gráfico linear de v versus t, o coeficiente
angular corresponde à aceleração, e o coeficiente linear
corresponde à velocidade inicial.
Assim,
𝑦 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑣 𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝑣0
𝑣 𝑡 = (2,63𝑚/𝑠2)𝑡 + (79,0𝑥10−3𝑚/𝑠)
Linearização
Agora que aprendemos a trabalhar com gráfico linear, vamos
desenvolver um método que permite transformar o gráfico
de uma curva qualquer em um gráfico linear, pois sabemos
calcular os coeficientes da reta e associá-los a grandezas
físicas. Esta técnica é chamada de linearização (ou
anamorfose) e consiste basicamente em “desentortar” e
“retificar” o gráfico de uma curva que não é reta. Vejamos
como se aplica essa técnica através de um exemplo.
Linearização
Exemplo 3: Considere que foram realizadas medidas do
movimento retilíneo de um móvel que se desloca ao longo
de uma estrada. Obteve-se um conjunto de valores de sua
posição e do tempo, que foram anotados na tabela abaixo.
Seguindo as instruções para a construção de gráficos em
papel milimetrado, o gráfico obtido é apresentado no slide a
seguir.
x (m) 58,0 84,0 105,0 150,0 188,0 240,0
t (s) 5,25 7,00 8,00 10,00 11,50 13,00
i 1 2 3 4 5 6
Note que a curva
traçada não é uma
reta.
Linearização
A curva obtida no gráfico é uma parábola, e obedece a uma
equação geral do tipo
𝑦 𝑥 = 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
onde os coeficientes são constantes, e no caso, a1= 0.
Portanto, a curva representada no gráfico pode ser
representada pela equação
𝑥 𝑡 = 𝜀𝑡2 + 𝛾
onde 𝜀 e 𝛾 são constantes.
A questão é: como determinar graficamente as constantes 𝜀
e 𝛾?
Resposta: usando a técnica da linearização.
Linearização
Procedimentos para linearizar um gráfico
1° passo - Comparação com a equação reduzida da reta
Comparar a função associada à curva ( 𝑥 𝑡 = 𝜀𝑡2 + 𝛾 )
graficada coma equação reduzida da reta
𝑦′ 𝑥′ = 𝑎′𝑥′ + 𝑏′.
Observe que se adota um super-índice “linha” para
identificar os termos da reta, a fim de evitar confusão na
eventualidade da outra equação ter notação similar.
Obtemos,
𝑥 𝑡 = 𝑦′ 𝑥′
𝜀𝑡2 = 𝑎′𝑥′
𝛾 = 𝑏′
Sabemos que o gráfico “y'(x') versus x'” é uma reta. Por
analogia, o gráfico em que a curva aparece linearizada (reta)
é dado por “x(t) versus t²”.
Linearização
2° passo - Cálculo de nova tabela
A partir dos dados experimentais tabelados anteriormente,
calcula-se uma nova tabela. No exemplo 3, mantêm-se os
valores de x e calculam-se os novos valores para t2. Respeite
os algarismos significativos, e não se esqueça das unidades.
3° passo - Construção do gráfico linear
A partir dos dados da nova tabela faz-se o novo gráfico: x
versus t2. Seguindo as instruções para a construção de
gráficos em papel milimetrado, o novo gráfico é apresentado
no slide seguinte.
x (m) 58,0 84,0 105,0 150,0 188,0 240,0
t (s) 5,25 7,00 8,00 10,00 11,50 13,00
t2 (s2) 27,6 49,0 64,0 100,0 132,2 169,0
Linearização
Procedimentos para linearizar um gráfico
4° passo - Cálculo do coeficiente angular da reta
Observando a reta traçada no gráfico, encontramos os dois
pontos não experimentais:
𝑃2 = 𝑥′2, 𝑦′2 = 𝑡
2
2, 𝑥2 = (165,0𝑠
2; 230,0𝑚)
𝑃1 = 𝑥′1, 𝑦′1 = 𝑡
2
1, 𝑥1 = (85,0𝑠
2; 130,0𝑚)
𝑎 =
∆𝑦′
∆𝑥′
=
(𝑦′2 − 𝑦′1)
(𝑥′2 − 𝑥′1)
=
(230,0 − 130,0)
(165,0 − 85,0)
𝑎 = 1,25𝑚/𝑠2
Concluímos que o coeficiente angular da reta é igual a 1,25
m/s2, e tem a mesma unidade da grandeza física aceleração.
Portanto, o valor da constante é: ε= a' = 1,25 m/s2.
Linearização
Procedimentos para linearizar um gráfico
5° passo - Cálculo do coeficiente linear da reta
Observando a reta traçada no gráfico, encontramos um
terceiro ponto não experimental:
𝑃3 = 𝑥′3, 𝑦′3 = 𝑡
2
3, 𝑥3 = (125,0𝑠
2; 180,0𝑚)
𝑏′ = 𝑦′3 − 𝑎𝑥
′
3 = 𝛾 = 𝑥3 − 𝜀𝑡
2
3
𝑏′ = 𝛾 = 180,0𝑚 − (1,25𝑚/𝑠2)(125,0𝑠2)
𝑏 = 23,75𝑚 = 23,80𝑚
Ou, observando a reta traçada, encontramos o ponto em
que corta o eixo dos y'(em x'= 0), ou o eixo dos x (em t2=
0), isto é, b'= x (t2= 0)= 24,0 m (lido).
Linearização
Em resumo, em um gráfico linear de x versus t2, o
coeficiente angular corresponde à aceleração, e o coeficiente
linear corresponde à posição inicial. Para o caso do exemplo
3,
𝑥 𝑡 = 𝜀𝑡2 + 𝛾 = 1,25𝑚/𝑠2 𝑡2 + (24,0𝑚)
Para determinar o valor da aceleração α, basta lembrar que,
para esse tipo de movimento:
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝛼𝑡2
Neste caso, 𝑣0 = 0 e
1
2
𝛼 = ε, logo
𝛼 = 2𝜀 = 2 1,25𝑚/𝑠2 = 2,50𝑚/𝑠2
Atividade
6
Gráficos Escala Logarítmica
Linearização em Papel com Escala 
Logarítmica
Em princípio, todas as curvas resultantes de
medidas experimentais podem ser graficadas em
uma folha de papel milimetrado. A técnica da
linearização permite-nos calcular, a partir de um
gráfico linearizado, as constantes que estão
relacionadas como comportamento das grandezas
físicas medidas.
Linearização em Papel com Escala 
Logarítmica
Equação do Fenômeno 
Físico
(a e b são constantes)
Gráfico Não Linear Gráfico Linearizado 
(a=a’ e b=b’)
𝑦 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥2
𝑦 𝑥 = 𝑎𝑥1/2 + 𝑏 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥1/2
𝑦 𝑥 = 𝑎𝑥−1 + 𝑏 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥−1𝑦 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥3
𝑦 𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑏 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 cos(𝑥)
𝑦 𝑥 = 𝑎 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑏 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 ln(𝑥)
𝑦 𝑥 = 𝑎 𝑙𝑜𝑔(𝑥) + 𝑏 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 log(𝑥)
𝑦 𝑥 = 𝑎𝑒𝑥 + 𝑏 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑒𝑥
𝑦 𝑥 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥𝑛
Linearização em Papel com Escala 
Logarítmica
Entretanto, existem duas funções especiais que tem
uma variação muito grande, e que aparecem
frequentemente na Física, são as funções
logarítmicas. Para essas funções foi criado um tipo
de papel que, em vez da escala linear milimetrada,
tem uma escala logarítmica. Nesse tipo de papel,
essas funções resultam diretamente em um gráfico
linearizado, o que facilita a determinação das
constantes desconhecidas.
Construção de Gráfico Linear em Papel 
Mono-Log
Exemplo 1: Mediu-se a diferença de potencial nos terminais
de um capacitor em processo de carga, como função do
tempo, e os dados experimentais foram tabelados abaixo.
Sabendo que a equação que rege o fenômeno é do tipo
𝑉 𝑡 = 𝐴𝑒𝐵𝑡 , onde A e B são constantes, o que devemos
fazer para determiná-las a partir do gráfico?
V(μV) 3,60 8,00 14,00 31,00 80,00 180,00 270,00
t(ms) 5,00 15,00 20,00 30,00 41,50 50,00 55,00
i 1 2 3 4 5 6 7
O gráfico 𝑉 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑡 em papel milimetrado, fornece uma
curva não linear. Portanto, devemos aplicar a técnica da
linearização. Antes, porém, para podermos comparar a
equação acima com a equação reduzida da reta, é
necessário aplicar a função inversa da exponencial, que é o
logaritmo natural ou neperiano, como segue:
ln 𝑉 𝑡 = ln 𝐴𝑒𝐵𝑡
ln 𝑉 𝑡 = ln A + ln 𝑒𝐵𝑡
ln 𝑉 𝑡 = ln A + Bt
Construção de Gráfico Linear em Papel 
Mono-Log
Comparando com a equação reduzida da reta, 𝑦′ 𝑥′ =
𝑎′𝑥′ + 𝑏′, temos
ln 𝑉 𝑡 = y′ x′ ln A = b′ Bt = a′x′
Você pode verificar que esse gráfico é linearizado no papel
milimetrado, construindo-o de acordo com os procedimentos
descritos anteriormente. Inclusive, você pode calcular as
constantes A e B.
𝑎′ =
∆𝑦′
∆𝑥′
=
(𝑦′2 − 𝑦′1)
(𝑥′2 − 𝑥′1)
= 𝐵 =
∆(ln 𝑉)
∆𝑡
=
(ln 𝑉)2−(ln𝑉)1
(𝑡2 − 𝑡1)
𝑏′ = 𝑦′3 − 𝑎′𝑥3 = (ln𝑉)3 − 𝐵𝑡3
Logo, 𝐴 = 𝑒𝑏
′
.
Construção de Gráfico Linear em Papel 
Mono-Log
É evidente que essa linearização é trabalhosa, pois é preciso
calcular uma nova tabela para, a partir dela, construir o
gráfico que fornece uma reta. Para evitar todo este trabalho
existe o papel mono-log, que consiste de um papel
quadriculado, onde
• o eixo das abcissas tem uma escala linear, geralmente
dividida entre 120 e 180 unidades, e
• o eixo das ordenadas tem uma escala logarítmica de
base 10, dividida em décadas (cada década multiplica por
10 os valores da década anterior).
Construção de Gráfico Linear em Papel 
Mono-Log
Cada década do papel mono-log pode variar entre os
múltiplos ou submúltiplos de 1 a 10.
Entre o início de uma década e o de outra subsequente, há
uma diferença de um fator de dez. Isto significa que, se a
primeira linha da primeira década vale 1 (1x100), a primeira
linha da segunda década vale 10 (1x101), e a primeira linha
da terceira década vale 100 (1x102). Isto significa também
que, se a última linha da primeira década vale 10 (1x 101), a
última linha da segunda década vale 100 (1x102), e a última
linha da terceira década vale 1000 (1x103).
Construção de Gráfico Linear em Papel 
Mono-Log
Sendo logarítmica a escala do eixo das ordenadas, nesse
eixo estão representados diretamente, não os valores, mas
sim os logaritmos desses valores. Não existe o valor zero no
eixo logarítmico, uma vez que a função logaritmo não está
definida para este ponto. A escala pode ser iniciada de um
valor unitário qualquer em potência de dez, NUNCA DE
ZERO. Pode iniciar em 1x10-4; 0,001; 0,01; 0,1; 1; 10; 100;
1000; 1x104; ...
Construção de Gráfico Linear em Papel 
Mono-Log
O coeficiente angular da reta é dado por:
𝑎′ =
∆𝑦′
∆𝑥′
=
(𝑦′2 − 𝑦′1)
(𝑥′2 − 𝑥′1)
= 𝐵 =
∆(ln 𝑉)
∆𝑡
Se for no papel milimetrado (gráfico ln 𝑉 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑡), temos
𝐵 =
∆(ln 𝑉)
∆𝑡
=
(ln 𝑉)2−(ln𝑉)1
(𝑡2 − 𝑡1)
Porém, no papel mono-log A ESCALA DO EIXO DAS
ORDENADAS É LOGARÍTMICA, então,
𝐵 =
∆(ln 𝑉)
∆𝑡
=
ln( 𝑉2) − ln(𝑉1)
(𝑡2 − 𝑡1)
Construção de Gráfico Linear em Papel 
Mono-Log
Note bem a
diferença, e
anote!
Quando se adota o papel milimetrado, um ponto da reta
corresponde a (x'i, y'i) = [ti , (lnV)i], e quando se adota o
papel mono-log, ponto da reta corresponde a (x'i, y'i) = [ti,
ln(Vi)].
Assim, escolhem-se dois pontos quaisquer da reta traçada
em papel mono-log, indicando-os no gráfico (não podem ser
pontos experimentais!):
𝑃2 = 𝑥′2, 𝑦′2 = 𝑡2, ln(𝑉2) = (45,00𝑥10
−3𝑠, ln 110,0𝑥10−6𝑉 )
𝑃1 = 𝑥′1, 𝑦′1 = 𝑡1, ln(𝑉1) = (25,00𝑥10
−3𝑠, ln 20,0𝑥10−6𝑉 )
𝐵 =
∆(ln𝑉)
∆𝑡
=
ln(𝑉2) − ln(𝑉1)
(𝑡2 − 𝑡1)
=
𝑙𝑛
𝑉2
𝑉1
(𝑡2 − 𝑡1)
=
𝑙𝑛
110,0𝑥10−6𝑉
20,0𝑥10−6𝑉
(45,00𝑥10−3𝑠 − 25,00𝑥10−3)
𝐵 = 85,24𝑠−1
Construção de Gráfico Linear em Papel 
Mono-Log
A constante A, por sua vez, pode ser lida diretamente no
gráfico, pois:
𝑉 𝑡 = 𝐴𝑒𝐵𝑡
𝑉 0 = 𝐴𝑒𝐵0 = 𝐴.
Seu valor corresponde ao ponto onde a reta corta o eixo
vertical em t = 0, ou seja, A é o valor de V para t = 0, V(t = 0)
= A. Neste caso
𝐴 = 2,35𝑥10−6𝑉 = 2,35𝜇𝑉 (𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜)
Construção de Gráfico Linear em Papel 
Mono-Log
Quando não for possível determinar a constante A lendo
diretamente no gráfico, deve-se escolher um ponto não
experimental qualquer pertencente à reta, indicando-o no
gráfico.
𝑃3 = 𝑥′3, 𝑦′3 = 𝑡3, 𝑉3 = (33,00𝑥10
−3𝑠, 40,00𝑥10−6𝑉)
E, uma vez determinada a constante B, pode-se calcular A
diretamente da equação, isto é,
𝐴 =
𝑉(𝑡3)
𝑒𝐵𝑡3
=
40,00𝑥10−6𝑉
𝑒(85,24𝑠
−1.33,00𝑥10−3𝑠)
= 2,40𝑥10−6𝑉 = 2,40𝜇𝑉
Construção de Gráfico Linear em Papel 
Mono-Log
Muitos fenômenos físicos são descritos por equações
matemáticas do tipo 𝑦 𝑥 = 𝑘𝑥𝑛, onde k e n são constantes.
Para linearizar esta equação, existem duas possibilidades:
1. Se n for conhecido, faz-se a comparação coma
equação reduzida da reta e tem-se 𝑥𝑛 = 𝑥′ e 𝑦 𝑥 =
𝑦′(𝑥′) . O gráfico “ 𝑦′ 𝑥′ 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥′ ” (na verdade
“𝑦′ 𝑥′ 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥𝑛 ”) feito em papel milimetrado fornece
uma reta. E então, basta calcular a constante k usando
os procedimentos já conhecidos. No entanto, em geral, o
valor de n é desconhecido;
2. Se n for desconhecido, usa-se o papel di-log para
facilitar. Vamos aprender a técnica de utilização do papel
di-log para determinar constantes desconhecidas.
Construção de Gráfico Linear em Papel Di-Log
Exemplo 2: Em um experimento realizado com uma
lâmpada, mediu-se a corrente em função da tensão aplicada
ao filamento incandescente, e foram obtidos os dados
experimentais tabelados abaixo.
Sabendo que a equação que rege o fenômeno é do tipo
𝐼 𝑉 = 𝐶𝑉𝑤 , onde C e w são constantes, o que devemos
fazer para determiná-las a partir do gráfico?
Construção de Gráfico Linear em Papel Di-Log
I(mA) 22,00 60,00 91,00 180,00 330,00 520,00
V(V) 0,60 2,50 4,00 11,50 26,00 49,00
i 1 2 3 4 5 6
O gráfico 𝐼 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑉 em papel milimetrado, fornece uma
curva não linear. Portanto, devemos aplicar a técnica da
linearização. Antes, porém, para podermos comparar a
equação acima com a equação reduzida da reta, é
necessário aplicar a função inversa da função de potência,
que é o logaritmo (na base 10), como segue:
𝐼 𝑉 = 𝐶𝑉𝑤
log[𝐼 𝑉 ] = log[𝐶𝑉𝑤]
log 𝐼 𝑉 = log C + log[𝑉𝑤]
log 𝐼 𝑉 = log C + w. log[𝑉]
Construção de Gráfico Linear em Papel Di-Log
Comparandocom a equação reduzida da reta, 𝑦′ 𝑥′ =
𝑎′𝑥′ + 𝑏′, temos
log 𝐼(𝑉) = y′ x′ l𝑜𝑔 𝐶 = b′ wlog[V] = a′x′
Você pode verificar que esse gráfico é linearizado no papel
milimetrado, construindo-o de acordo com os procedimentos
descritos anteriormente. Inclusive, você pode calcular as
constantes A e B.
𝑎′ =
∆𝑦′
∆𝑥′
=
(𝑦′2 − 𝑦′1)
(𝑥′2 − 𝑥′1)
= 𝑤 =
∆(log [ 𝐼])
∆(log 𝑉 )
=
(l𝑜𝑔 𝐼)2−(l𝑜𝑔 𝐼)1
(l𝑜𝑔 𝑉)2−(l𝑜𝑔 𝑉)1
𝑏′ = 𝑦′3 − 𝑎
′𝑥3 = log 𝐶 = (l𝑜𝑔 𝐼)3 −𝑤(𝑙𝑜𝑔𝑉)3
Logo, 𝐶 = 10𝑏
′
.
Construção de Gráfico Linear em Papel Di-Log
É evidente que essa linearização é trabalhosa, pois
é preciso calcular uma nova tabela para, a partir
dela, construir o gráfico que fornece uma reta. Para
evitar todo este trabalho existe o papel di-log, que
consiste de um papel quadriculado, onde ambos os
eixos, o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas,
têm uma escala logarítmica de base 10, dividida em
décadas (cada década multiplica por 10 os valores
da década anterior).
Construção de Gráfico Linear em Papel Di-Log
Cada década do papel di-log pode variar entre os
múltiplos ou submúltiplos de 1 a 10. Entre o início
de uma década e o de outra subsequente, há uma
diferença de um fator de dez. Isto significa que, se
a primeira linha da primeira década vale 1 (1x100),
a primeira linha da segunda década vale 10 (1x101),
e a primeira linha da terceira década vale 100
(1x102). Isto significa também que, se a última
linha da primeira década vale 10 (1x101), a última
linha da segunda década vale 100 (1x102), e a
última linha da terceira década vale 1000 (1x103).
Construção de Gráfico Linear em Papel Di-Log
Em geral o papel di-log tem duas décadas no eixo
das ordenadas e três décadas no eixo das abcissas.
Sendo logarítmica a escala dos eixos, estão
representados diretamente, não os valores, mas sim
os logaritmos desses valores. Não existe o valor
zero no eixo logarítmico, uma vez que a função
logaritmo não é definida para este ponto. A escala
pode ser iniciada de um valor qualquer em potência
de dez, NUNCA DE ZERO. Pode iniciar em 1x10-4;
0,001; 0,01; 0,1; 1; 10; 100; 1000; 1x104;...
Construção de Gráfico Linear em Papel Di-Log
No exemplo 2, se optarmos pela utilização do papel
di-log, não é mais necessário calcular todos os
logaritmos dos valores tabelados, como seria feito
se fosse utilizado o papel milimetrado. O gráfico
assim obtido no papel di-log, será equivalente ao
gráfico “ log 𝐼 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 log[𝑉] ” obtido no papel
milimetrado.
Construção de Gráfico Linear em Papel Di-Log
O coeficiente angular da reta é dado por:
𝑎′ =
∆𝑦′
∆𝑥′
=
(𝑦′2 − 𝑦′1)
(𝑥′2 − 𝑥′1)
= 𝑤 =
∆(l𝑜𝑔[𝐼])
∆(log 𝑉 )
Se for no papel milimetrado (gráfico l𝑜𝑔 𝐼 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 log(𝑉)),
temos
𝑤 =
∆(l𝑜𝑔[𝐼])
∆(log 𝑉 )
=
(l𝑜𝑔 𝐼)2−(l𝑜𝑔 𝐼)1
(l𝑜𝑔 𝑉)2−(l𝑜𝑔 𝑉)1
Porém, no papel di-log A ESCALA DO EIXO DAS ORDENADAS
É LOGARÍTMICA, então,
𝑤 =
∆(l𝑜𝑔[𝐼])
∆(log 𝑉 )
=
l𝑜𝑔( 𝐼2) − log( 𝐼1)
l𝑜𝑔( 𝑉2) − l𝑜𝑔(𝑉1)
Construção de Gráfico Linear em Papel 
Mono-Log
Note bem a
diferença, e
anote!
Quando se adota o papel milimetrado, um ponto da reta
corresponde a (x'i, y'i) = [(logV)i , (logI)i], e quando se adota
o papel di-log, ponto da reta corresponde a (x'i, y'i) = [log(Vi
), log(Ii)].
Assim, escolhem-se dois pontos quaisquer da reta traçada
em papel di-log, indicando-os no gráfico (não podem ser
pontos experimentais!):
𝑃2 = 𝑥′2, 𝑦′2 = l𝑜𝑔(𝑉2), l𝑜𝑔(𝐼2) = (log(20,00𝑉), l𝑜𝑔 280,00𝑥10
−3𝐴 )
𝑃1 = 𝑥′1, 𝑦′1 = l𝑜𝑔(𝑉1), l𝑜𝑔(𝐼1) = (log(1,00𝑉), l𝑜𝑔 30,00𝑥10
−3𝐴 )
𝑤 =
∆(l𝑜𝑔 𝐼)
∆(𝑙𝑜𝑔𝑉)
=
l𝑜𝑔( 𝐼2) − log( 𝐼1)
l𝑜𝑔( 𝑉2) − l𝑜𝑔(𝑉1)
=
𝑙𝑜𝑔
𝐼2
𝐼1
𝑙𝑜𝑔
𝑉2
𝑉1
=
𝑙𝑜𝑔
280,00𝑥10−3𝐴
30,00𝑥10−3𝐴
𝑙𝑜𝑔
20,00𝑉
1,00𝑉
𝑤 = 0,75
Construção de Gráfico Linear em Papel Di-Log
Observe que o resultado da função logarítmica é
adimensional, portanto, w é um número puro. Como era de
se esperar, pois w é um expoente.
Para determinar a constante C, deve-se escolher um ponto
não experimental qualquer pertencente à reta, indicando-o
no gráfico.
𝑃3 = 𝑥′3, 𝑦′3 = 𝑉3, 𝐼3 = (5,00𝑉, 100,00𝑥10
−3𝐴)
E, uma vez determinada a constante w, pode-se calcular C
diretamente da equação, isto é,
𝐶 =
𝐼3
𝑉3
𝑤 =
100,00𝑥10−3𝐴
5,00𝑉0,75
= 30,10𝑥10−3𝐴𝑉−0,75 = 30,10𝑚𝐴𝑉−0,75
Construção de Gráfico Linear em Papel Di-Log
Atividades
Exercício