Álgebra Linear e Finanças

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Álgebra Linear e Finanças - 2023
Insper - Graduação
Lista 1 - Versão Preliminar
2025
1. Para cada equação linear
a1x1 + ...+ anxn = b
abaixo, encontre o conjunto de soluções (o que é dado pelo hiperplano
H[(a1,...,an),b]) e faça um esboço desse conjunto no espaço Rn correspon-
dente:
(a) x1 − x2 = 0;
(b) x1 + x2 = 1;
(c) −x1 + 3x2 = 9;
(d) (∗) x1 + x2 + x3 = 1;
(e) −6x1 − 4x2 + 2x3 = 0.
2. Faça um esboço de cada um dos hiperplanos abaixo e encontre as in-
terseções quando pedidas:
(a) H[(0,0,0), 0];
(b) H[(0,...,0), 1];
(c) H[(1,1), 10];
(d) H[(2,1), 1] ∩H[(1,2), 1];
(e) H[(3,2), 0] ∩H[(1,−1), 0];
(f) H[(6,2), −2] ∩H[(−3,−1), 1].
3. Resolva (por escalonamento) e classifique cada um dos sistemas lineares
abaixo:
Γ1 :
{
x1 + x2 + x3 + 3x4 = 1
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0
.
Γ2 :

x1 + x2 + x3 = 2
x1 − x2 − x3 = −3
2x1 + x2 + 2x3 = 1
−3x1 − 2x2 − 3x3 = −3
.
Γ3 :
 x1 + x2 + x3 = 1
−x1 + x2 + x3 = −2
4x1 + 2x2 + 2x3 = 6
.
4. Considere α ∈ R, classifique os sistema linearesabaixo em função de α;
1
(a) Γ1 (α) :
 x1 + x2 = 1
6x1 + 3x2 = 6
3x2 = α
.
(b) Γ2 (α) :
 x1 + x2 + x3 + 3x4 = 1
x1 + x2 + 2x3 = 0
x1 + x2 + 2x4 = α
.
(c) (∗) Γ3 (α) :
 αx1 + x2 + x3 = 1
x1 + αx2 + x3 = α
x1 + x2 + αx3 = α2
.
5. Resolva o sistema abaixo:{
u2 + v2 = 13
u2 − v2 = 5
.
6. (∗) Encontre o sistema linear Γ com três equações (m = 3) e quatro
incógnitas (n = 4) tal que para todo (i, j) ∈ {1, 2, 3} × {1, 2, 3, 4}
aij := i+ 2j + (−1)
i
, e
bi = 2i.
Por fim, classifique o sistema Γ.
7. Encontre o sistema linear Γ com quatro equações (m = 4) e quatro
incógnitas (n = 4) tal que para todo i, j ∈ {1, 2, 3, 4} temos aii = 0 e
aij = 1 se i 6= j. Ainda, para cada i ∈ {1, 2, 3, 4} , bi ∈ R é um número
real qualquer fixado. Por fim, encontre o conjunto de solução S (Γ).
8. Considere economia de puras trocas (i.e., sem firmas) com n consumi-
dores onde cada um deles possui uma certa quantidade de cada um dos
m bens existentes no mercado. Denotando por aij a quantidade do bem
i ∈ {1, ...,m} de propriedade do consumidor j ∈ {1, ..., n}:
(a) Interprete o j-ésimo vetor coluna
a↓j = (a1j , ..., amj) .
(b) Dado um bem i0 ∈ {1, ...,m} fixado, interprete a soma
n∑
j=1
aij .
(c) Suponha que para cada bem i ∈ {1, ...,m} tenhamos um preço pi > 0,
e denote o vetor de preços por
p = (p1, ..., pm) ∈ Rm.
Interprete o valor real que se obtém ao calcular o produto interno〈
p, a↓j
〉
.
2
9. Vimos que a forma de provar por indução é importante para afirmações
que envolvam os números naturais n ∈ N: Dada uma propriedade P (n)
que expresse uma afirmação sobre números naturais n ∈ N, definindo o
conjunto
X := {n ∈ N: P (n) é verdadeira} ;
o axioma de Peano estabelece que se [P (1) é verdadeira] e [∀n ∈ N,
P (n) ⇒ P (n+ 1)] então X = N, ou seja, a propriedade P (n) vale para
todos os números naturais.
Na segunda parte, P (n) ⇒ P (n+ 1) é a sentence afirmando que se a
propriedade vale para o natural n ∈ N (P (n) é chamada de hipótese de
indução [HI]) então a mesma propriedade também é verdadeira para o
seu sucessor imediato n+ 1.
Por exemplo, como vimos em aula, considere a afirmação
∀n ∈ N,
P (n)≡︷ ︸︸ ︷
n∑
j=1
j =
n (n+ 1)
2
.
Para provar essa afirmação por indução temos dois passos:
(1◦)- P (1): Se n = 1 então
1 (1 + 1)
2
= 1.
(2◦)- Dado n ∈ N,
HI︷ ︸︸ ︷
P (n)⇒ P (n+ 1):
n+1∑
j=1
j =
n∑
j=1
j + (n+ 1)
HI
=
n (n+ 1)
2
+ (n+ 1) =
(n+ 1) (n+ 2)
2
.
Prove por indução que:
(a) ∀n ∈ N,
1 + 2 + ...+ (n− 1) + n+ (n− 1) + ...+ 2 + 1 = n2.
(b) (∗) ∀n ∈ N,
1 + 3 + 5 + ...+ (2n− 1) = n2
(c) ∀n ∈ N,
n∑
j=1
j2 =
n (n+ 1) (2n+ 1)
6
;
3
(d) ∀n ∈ N, ∑
(i,j)∈{1,...,n}2
min {i, j} =
n (n+ 1) (2n+ 1)
6
.
(e) ∀n ≥ 4,
n∏
j=1
(2j) > 22n.
onde dado a = (a1, ..., an),
n∏
j=1
aj := a1×a2×...×an denota o produto
dos n valores a1, ..., an.1
10. Mostre que
(a) Se A ∈Mm×n e B,C ∈Mn×p então
A (B + C) = AB +AC.
(b) Se A,B ∈Mm×n e C ∈Mn×p então
(A+B)C = AC +BC
11. Mostre que dados quaisquer A,B ∈ Mm×n e α ∈ R (At denota a trans-
posta de A):
(a) (At)
t
= A;
(b) (∗) (A+B)
t
= At +Bt;
(c) (αA)
t
= αAt;
(d) (ABt)
t
= BAt.
12. Dada A =
(
1 1
0 0
)
, encontre todas as matrizes B ∈M2 tais que AB =
BA.
13. Considere a matriz Aα =
(
1 α−1
α 1
)
, onde α ∈ R. Mostre que para
todo α real,
A2
α − 2Aα = 0.
14. Uma matriz A ∈ Mn é ortogonal se A admitir inversa A−1 e A−1 = At.
Mostre que se A,B ∈ Mn são ortogonais então o produto AB também é
ortogonal.
1Nesse item, ao invés de primeiro provar P (1) deve-se provar P (4).
4
15. Dado n ∈ N, considere a matriz quadrada A ∈ Mn+1 cujo termo geral
aij ∈ R, i, j ∈ {1, ..., n+ 1}, é dado por
aij = 0 se i > j, e
aij =
(
j
i
)
:=
j!
i! (j − i)!
se i ≤ j.
Verifique para n ∈ {2, 3} que se B ∈Mn+1 tem como termo geral bij que
satisfaz
bij = (−1)
j−i
aij
então A−1 = B.2
16. Dada uma matriz quadrada A ∈Mn, definimos de forma indutivamente a
k-ésima potência de A como A2 = AA e para todo k ≥ 3,
Ak+1 = AkA.
Mostre que se C := Dk ∈ Mn, onde D é uma matriz diagonal então C
também é uma matriz diagonal e cii = dkii para todo i ∈ {1, ..., n}.
17. (∗) Prove (por indução) que se A ∈Mn é inverśıvel então para todo k ∈ N
a matriz Ak (k-ésima potência de A) também é inverśıvel com(
Ak
)−1
=
(
A−1
)k
.
18. Prove que se A ∈Mn é inverśıvel então a matriz transposta At também é
inverśıvel com (
At
)−1
=
(
A−1
)t
.
19. Verifique que para qualquer α, β, γ ∈ R a matriz
A(α,β,γ) =
 1 0 0
α 1 0
β γ 1

é inverśıvel e determine A−1.
20. (∗) Encontre β ∈ R de modo que o sistema linear Γ(β) abaixo seja de
Cramer e determine o conjunto S
(
Γ(β)
)
:
Γ (β) :
 x1 − x2 + x3 = 2
x1 + 2x3 = 1
x1 + 2x2 + βx3 = 0
2O resultado também vale para os demais casos em que n ≥ 4.
5
21. Mostre que se A ∈Mn é inverśıvel então ∀B,C ∈Mn
AB = AC ⇒ B = C, e
BA = CA⇒ B = C.
22. Existe alguma matriz inverśıvel A ∈ Mn tal que A2 = O? Justifique sua
resposta.
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