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CTU Depto de Estruturas, 6TRU014 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim Rev. 22/03/2011 1 1 6TRU014: Mecânica II Prof. Roberto Buchaim Exercícios resolvidos, Revisão em 22/03/2011 Exercícios de Vigas Isostáticas 1º Exercício - Determinar para a viga bi-apoiada abaixo as reações de apoio, e os diagramas dos esforços solicitantes. Usar as equações indefinidas de equilíbrio. Dados = = ml mKNq 8 /90 1º passo: Determinação da função )(xq Conforme a figura, por semelhança de triângulos tem-se x l q xq l q x xq 00 )()( =∴= Ou ainda , pode-se partir da equação geral da reta baxxq +=)( , com as condições: =∴==⇒= =∴+==⇒= l q alaqlqlx bbaqx 0 0 .)( 00.0)0(0 donde x l q xq 0)( = , como antes. CTU Depto de Estruturas, 6TRU014 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim Rev. 22/03/2011 2 2 2º passo: Cálculo das reações de apoio Estas são obtidas através das equações de equilíbrio, calculando-se antes o total de carga aplicada na viga, bem como sua posição na viga. ( )∫ ∫ =−==== l l l lql l qx l q xdx l qdxxqQ 0 0220 0 0 2 00 2 0 22 )( (esta expressão também é igual à área do carregamento da viga, um triângulo de base l e altura 0q ). Posição da resultante Q ( igualam-se os momentos estáticos em relação ao ponto A da carga resultante e da carga distribuída ao longo da viga ): [ ]∫= l CG xdxxqxQ 0 )(. ou ∫= l CG dxxl q x lq 0 200 2 Isolando CGx tem-se: [ ] lxl l ll l x l dxx l q lq x CG ll CG 3 2 3 2 3 20 3 2 3 22 2 3 33 2 00 3 2 20 0 =∴==−= == ∫ (posição do centro de gravidade de um triângulo retângulo de base l e altura 0q ) Cálculo das reações de apoio CTU Depto de Estruturas, 6TRU014 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim Rev. 22/03/2011 3 3 ∑ = 0Ma lQlRB 3 2 . = 23 2 3 2 0 lqQR B ==∴ 3 0lqRB = 3º passo: Determinação da força cortante ( )xV pela equação indefinida de equilíbrio: l xq xq dx xdV 0)()( −=−= Integrando de 0 a x tem-se: ∫ +−= 10)( Cxdxl q xV 1 2 0 2 )( Cx l q xV +−= Cálculo do valor da constante 1C : para 0=x resulta 6 )0( 0lqRV A == 6 0 26 0 11 00 lqCC l qlq =∴+⋅−= 62 )( 020 lqx l q xV +⋅−= 62 )( 0 2 2 0 lq l xlq xV +⋅−= + −= 3 1 2 )( 2 0 l xlq xV ou ainda, denominando l x =ξ a abscissa adimensional, obtém-se +−= 3 1 2 )( 20 ξξ lqV ∑ = 0Fy QRR BA =+ 632 000 lqlqlqRA =−= 2 B A RR = CTU Depto de Estruturas, 6TRU014 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim Rev. 22/03/2011 4 4 A força cortante se anula para 3 3 3 10 3 12 ===⇒= +− l xξξ Ou llx 577.0 3 3 ≅⋅= ( um pouco além do meio do vão ). Conferindo, no apoio B : lx = ou 1== l xξ BR lqlqlqlqV −=−= −= +−= +−== 33 2 23 1 3 3 23 11 2 )1( 00020ξ OK 4º passo: Determinação do momento fletor ( )xM pela equação indefinida de equilíbrio: +−−== 3 1 2 )()( 2 2 0 l xlq xV dx xdM Integrando os dois lados, tem-se: ∫ + +−−= 22 2 0 3 1 2 )( Cdx l xlq xM 22 3 0 3 1 32 )( C l xlq xM + +−−= 23 3 0 32 )( Cl l xl l xlq xM + ⋅+⋅− ⋅ −= 2 32 0 6 )( C l x l xlq xM + + −−= Cálculo da constante 2C : para 0=x tem-se 006 0)0( 22 2 0 =∴+×−== CClqM −= 32 0 6 )( l x l xlq xM ou [ ]3206)( ξξζ −= lq M (parábola cúbica) Conferindo: para lx = 0)( =lM . OK O momento máximo, maxM , ocorre para 0=V . Logo, 3 3 =ξ . Substituindo na equação de )(ξM , obtém-se: −= 32 0 3 3 3 3 6 max lq M 385,0 6 2 0lq≅ 588,15 2 0lq = CTU Depto de Estruturas, 6TRU014 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim Rev. 22/03/2011 5 5 5º Passo: Gráficos , com mKNq 90 = e ml 8= ( )m x l x =ξ ( )ll ( ) −= −= 220 3 136 3 1 2 ξξξ lqV ( )KN ( ) [ ] [ ]2220 1961 6 ξξξξξ −=−= lqM ( )mKN. 0 0 12 0 1 0,125 11,4375 11,8125 2 0,25 9,75 22,5 3 0,375 6,9375 30,9375 4 0,5 3 36 4.62 0,5774 0 maxM 36.9504 5 0, -2,0625 36,5625 6 0,75 -8,25 31,5 7 0,875 -15,5625 19,6875 8 1 -24 0 CTU Depto de Estruturas, 6TRU014 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim Rev. 22/03/2011 6 6 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 0 2 4 6 8 Abscissa (m) Viga Isostática, Carga Triangular: Força Cortante (kN) V(x) 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 Abscissa (m) Viga Isostática, Carga Triangular: Momento Fletor (kNm) M(x) CTU Depto de Estruturas, 6TRU014 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim Rev. 22/03/2011 7 7 2º Exercício- Determinar para a viga bi-apoiada da figura as reações de apoio e os diagramas dos esforços solicitantes. Usar as equações indefinidas de equilíbrio. (Obs.: Esta carga é usada em superestruturas de pontes). Dados = = ml mKNq 8 /90 1º Passo: Determinação da função )(xq ( )BlAxq sen.)( = condições de contorno: ( ) ==⇒= =⇒= BlAlqlx qx sen.0)( 0)0(0 Como ( ) 0sen0 =⇒≠ BlA ou l BBl pipi =∴= Para 2 l x = resulta ( ) = == 22 .2 0 pipi Asenl l senAqlq . E como 012 sen qA =∴= pi Logo, = l x senqxq pi0)( 2º Passo: Cálculo das reações de apoio No caso, por causa da simetria, as reações de apoio são iguais à metade da carga total aplicada Q , que vale: ∫ ∫ == l l dx l x senqdxxqQ 0 0 0)( pi ll l xlq l xd l x sen lqQ 00 00 cos −= = ∫ pi pi pipi pi CTU Depto de Estruturas, 6TRU014 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim Rev. 22/03/2011 8 8 A variável x está no intervalo [ ]l,0 . Mudando a variável para l xpi , esta nova variável estará no intervalo [ ]pipipi ,0.,0. = l l l , donde ( ) ( )[ ]0coscos0 −−= pi pi lqQ [ ] pipi lqlqQ 00 211 =−−−= lqlqlqQ 000 6366,057,1 2 =≅ = pi Logo pi lqQRR BA 02 === 3º passo: Determinação da força cortante ( )xV pela equação indefinida de equilíbrio: −=−= l xqxq dx xdV . sen)()( 0 pi Integrando os dois lados tem-se: ∫ + −= 10)( Cdxl x senqxV pi ∫ + −= 1 0)( C l xd l x sen lq xV pipi pi1 0 cos)( C l xlq xV + −−= pi pi 1 0 cos)( C l xlq xV + = pi pi Cálculo do valor da constante 1C : para 0=x tem-se pi lq RV A 0)0( == . ( ) ( ) 00cos0 11 1 00 =∴+ == CClqlqV 876 pipi Logo ( ) = l xlq xV .cos0 pi pi Conferindo para ( ) ( ) ( ) = = =⇒= −==−=⇒= − 0 2 cos 2 cos22 cos 00 0 1 0 pi pi pi pi pi pi pi lql l lqlVlx lqlq RlVlx B 876 4º passo: Determinação do momento fletor ( )xM pela equação indefinida de equilíbrio: == l xlq xV dx xdM pi pi cos)()( 0 CTU Depto de Estruturas, 6TRU014 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim Rev. 22/03/2011 9 9 Integrando os dois lados tem-se: ∫ + = 2 0 cos)( Cdx l xlq xM pi pi ∫ + = 2 0 cos)( C l xd l xllq xM pipi pipi 22 2 0)( C l x sen lq xM + = pi pi Cálculo do valor da constante 2C : para 0=x tem-se ( ) 00sen0)0( 22 0 2 2 0 =∴+== CClqM 48476 pi ( ) = l xlq xM .sen2 2 0 pi pi O máximo momento fletor, maxM , ocorre para 0=V , o que se dá na abscissa 2 l x = . Substituindo na equação de )(xM , vem: = 2 senmax 2 2 0 l l lq M pi pi 2 2 0 pi lq = 87,9 2 0lq≅ 5º Passo: Gráficos , com mKNq 90 = e ml 8= ( )m x 8 x l x pipi = ( )rad (*) ( ) = = 8 cos 72 cos0 x l xlq xV pi pi pi pi ( )KN ( ) = = 8 361,582 2 0 xsen l x sen lq xM pipi pi ( )KNm 0 0 22,9183 0 0,5 0,1963 22,4779 11,3857 1 0,3927 21,1738 22,3338 1,5 0,5890 19,0559 32,4236 2 0,7854 16,2057 41,2675 2,5 0,9817 12,7237 48,5254 3 1,1781 8,7705 53,9185 3,5 1,3744 4,4711 57,2396 4 1,5708 0 maxM 58,361 5 1,9635 -8,7705 53,9185 6 2,3562 -16,2057 41,2675 7 2,7489 -21,1738 22,3338 8 3,1416 -22,9183 0 (*): Notar que o ângulo, na calculadora, deve ser posto em radianos. CTU Depto de Estruturas, 6TRU014 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim Rev. 22/03/2011 10 10 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 0 2 4 6 8 Abscissa (m) Viga Isostática, Carga Senoidal: Força Cortante (kN) V(x) 60 50 40 30 20 10 0 0 2 4 6 8 Abscissa (m) Viga Isostática, Carga Senoidal: Momento Fletor (kNm) M(x) .
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