Flambagem em Estruturas

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8.0 
 
 
 
 8.1 
 
 
CAPÍTULO VIII: FLAMBAGEM. 
 
 
PARTE I – FUNDAMENTOS 
 
 
1 – Generalidades. 
 
 
 Nos pontos iniciais da Resistência dos Materiais procuramos dimensionar ou verificar estruturas pelas 
condições de resistência (limitação de tensões) e de rigidez (limitação de deslocamentos), estando as peças 
evidentemente em equilíbrio. 
 Veremos neste capítulo que, de modo geral, não basta apenas impor as limitações de tensões e 
deslocamentos, sendo também necessário verificar a estabilidade do referido equilíbrio. 
 Apenas para ilustrar de uma maneira elementar, a importância do fenômeno da instabilidade do 
equilíbrio, tomemos por exemplo uma régua comum de plástico de 30cm de comprimento e com uma secção 
retangular de 3cm x 0.2cm, solicitada por uma carga de tração e depois por uma carga de compressão (fig.1). 
 
 
Verificamos claramente que ao tracionarmos a régua, é necessária uma força grande para seu colapso 
(da ordem de 200Kgf), porém quando a comprimimos axialmente observa-se que com uma força pequena (da 
ordem de 1Kgf), a peça já adquire uma configuração completamente inaceitável em termos estruturais, ou seja, 
ocorreu a chamada instabilidade de equilíbrio e diz-se que a régua atingiu um estado limite de flambagem. 
 A explicação detalhada e rigorosa do fenômeno da flambagem, será vista nos itens seguintes. 
 O estudo da flambagem é particularmente importante nas peças longas e sobretudo nas estruturas 
mecânicas e metálicas em geral (edifícios, equipamentos, guindastes, torres, pontes, aviões, veículos, máquinas 
etc.), onde as espessuras são normalmente pequenas quando comparadas com outras dimensões. Entretanto, em 
muitas estruturas de madeira e concreto o problema de flambagem também é de grande importância e deve ser 
considerado adequadamente. 
 Podemos dizer ainda, que boa parte dos acidentes em estruturas ocorre devido aos problemas de 
instabilidade do equilíbrio, provocando em geral grandes deslocamentos e conseqüente ruína da estrutura. 
 Embora o assunto tenha sido estudado pela primeira vez, há muito tempo, por L. Euler (1707-1783), só 
nas últimas décadas, com a necessidade crescente de melhorar os materiais e diminuir as secções é que o estudo 
da flambagem sofreu grande desenvolvimento e a sua importância é reconhecida por todos. 
 
 
2 – Equilíbrio estável, instável e indiferente. 
 
 
Uma estrutura, quando sujeita a um determinado carregamento, pode assumir várias formas possíveis de 
equilíbrio. 
 Recordamos o conceito clássico de equilíbrio, com o exemplo tradicional da Física, onde uma pequena 
esfera é colocada sobre uma superfície côncava, convexa e plana (fig.2). 
Diz-se que o equilíbrio é estável, quando ao afastarmos o corpo para uma posição ligeiramente 
diferente da inicial, ocorre a volta para a posição inicial. 
O equilíbrio será instável, quando o desvio tende a aumentar, levando o corpo a uma outra forma de 
equilíbrio. 
P P P P 
a - Tração b – Compressão e Flambagem 
 
 Fig.1 – Barra Tracionada e Comprimida 
 8.2 
Será indiferente, quando o corpo permanecer na nova posição, não tendendo nem a voltar à posição 
original, nem a ter o desvio acentuado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O exemplo clássico do cone, também ilustra claramente as três modalidades de equilíbrio (fig.3). 
 
 
Os conceitos de equilíbrio estável, instável e indiferente serão mais tarde analisados através dos 
balanços energéticos e, como sabemos, a forma de equilíbrio estável é aquela que minimiza a energia potencial e 
na realidade todos os corpos procuram as formas de equilíbrio estável. 
 
 
3 – Conceito de Flambagem. 
 
 
Consideramos o caso mais comum que é o de flambagem por flexão, onde a peça ao flambar, se 
deforma apenas por flexão em torno de um dos eixos centrais de inércia. 
 Seja uma barra prismática, bi-articulada, sem peso próprio, solicitada por uma carga axial crescente de 
compressão P. Admite-se ainda que o material da barra seja homogêneo e elástico perfeito, satisfazendo a Lei 
de Hooke. 
 Embora algumas destas hipóteses sejam teóricas e nunca sejam verificadas na prática, são importantes 
para o conceito inicial de flambagem. 
 Ao carregarmos a barra da fig.4a, verificamos que para pequenos valores de carga P, temos o 
aparecimento de tensões uniformes de compressão e de um pequeno deslocamento longitudinal, porém a forma 
reta da barra será de equilíbrio estável, isto é, dando um pequeno deslocamento transversal “f”, como na fig.4b, a 
peça voltará à posição inicial 4a. 
 A medida que a intensidade de carga P aumenta, verifica-se que a partir de um certo valor de P, a forma 
reta da barra será uma forma de equilíbrio instável, pois dado um pequeno deslocamento transversal “f”, como 
na fig. 4b, haverá a tendência de aumentar o deslocamento, levando a estrutura a uma nova forma de equilíbrio, a 
fletida que se tornará estável. (fig.4c). 
a – Estável b – Instável c – Indiferente 
 
Fig.2 – Três Tipos de Equilíbrio 
 
a – Estável b – Instável c – Indiferente 
 
Fig.3 – Três Tipos de Equilíbrio 
 
 8.3 
 
 
 
 Ao fenômeno da mudança da forma de equilíbrio estável, para a instável, denomina-se genericamente 
de flambagem e chama-se carga crítica (PCr) ou carga de flambagem (Pfl) a menor carga axial que 
corresponde a passagem de uma para outra configuração de equilíbrio. 
 
 
4-Caso Fundamental de Euler. 
 
 
 Para o cálculo da carga de flambagem, considere-se novamente a mesma barra prismática articulada nas 
duas extremidades, de comprimento l, sujeita a ação de uma força axial de compressão. Admite-se ainda que o 
material seja homogêneo e elástico, satisfazendo a Lei de Hooke. Adotaremos os eixos x e y indicados na figura 
5, com a origem na extremidade A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando-se pela primeira vez no curso, o cálculo do momento fletor M numa secção genérica, a 
partir da posição deformada (teoria de 2
ª
 ordem), temos: 
 
yPM 
 
onde y é o deslocamento vertical da secção genérica. 
 Admitindo-se agora que a configuração assumida satisfaça a equação diferencial simplificada da linha 
elástica (válida para pequenas deformações), vem: 
M'y'I Eou 
IE
M
dx
yd
2
2



 
P 
p 
P 
p 
f 
P 
p 
 
 a- b- c- 
 
 
 
 
Fig.4 – Conceito Clássico de Flambagem 
P P P 
y y 
A 
x 
P P A B 
x 
l 
x 
P P B y 
-a- -b- 
 
Fig.5 – Caso Fundamental de Euler 
 8.4 
 Substituindo o valor de M resulta a seguinte equação diferencial: 
 
0yP"yIE 
 
 
fazendo 
2K
IE
P


, obtém-se: 
0yK"y 2 
, cuja solução geral é: 
 
KxcosCKxsenCy
21

 
 
As constantes de integração C1 e C2, são obtidas a partir das condições de contorno de cada problema. 
 No caso particular da barra bi-articulada, vem: 
 
a) para x = 0, y = 0 ou seja 0 = C1 0 + C2 1, logo C2 = 0 
b) para x = l, y = 0 ou seja 0 = C1 senKl + 0, logo C1 senKl = 0 
 
 Não considerando a possibilidade de C1 = 0, pois se C1 e C2 forem simultaneamente nulos, temos y = 0, 
ou seja, a forma reta de equilíbrio, o que não nos interessa, resulta que, só haverá solução não trivial quando: 
 
0Klsen 
 
 
ou seja para 
1,2,3,...)(n nlK
, que é a condição de flambagem procurada. 
 
 Substituindo 
IE
P
K2


, em 
2222 nlK 
, resulta: 
2
22
fl
l
IEn
P


 
 
 Na prática só interessa em geral a primeira carga de flambagem, isto é, para n = 1: 
 
 
2
2
fl
l
IE
P


 
 
 
 
 Para outros valores de n, obteríamos carga de flambagem superiores que corresponderiam às seguintes 
situações teóricas: 
2
2
fl
l
IE4
 P2n


 
 
 
 
P P 
Fig.6 – Configuração de flambagem para n=1 
P P 
Fig.7 – Configuração de Flambagem para n=2 
 8.5 
2
2
fl
l
IE9
 P3n


 
 
 
Visando a solução de problemas mais gerais, convém observar que ao impormos as condições de 
contorno para determinarmos as constantes C1 e C2 na equação: 
KxcosCKxsenCy
21

, correspondeu 
impor a condição de que a equação:
0yK"y 2 
 só apresenta solução não trivial, quando o discriminante das 
equações que determinam C1 e C2 for nulo ou seja, quando: 
 
0
KlcosKlsen
10

 
 
donde: 
,
l
IE
 Pe n Kl;0Klsen
2
2
fl


 como vimos. 
 
5 – Diversos Casos de Vinculação. 
 
Estudando as diversas condições de contorno para os vários casos de vinculação das extremidades das 
barras, chega-se às correspondentes condições de flambagem. 
 Reproduzimos a seguir, além da barra bi-articulada já estudada, os resultados das cargas de flambagem 
para os quatro principais casos de vinculação. 
 
1
º
 Caso 2
º
 Caso 3
º
 Caso 4
º
 Caso 
Barra articulada nas duas 
extremidades.. 
Barra engastada numa 
extremidade e livre na 
outra. 
Barra engastada numa 
extremidade e apoiada na 
outra. 
Barra engastada nas duas 
extremidades. 
 
2
2
fl
l
IE
P


 
2
2
fl
l4
IE
P



 
2
2
fl
l
IE2
P


 
2
2
fl
l
IE4
P


 
Fig.9 – 4 Casos de Vinculação 
 
 
 
 
6 – Fórmula Geral de Euler. 
 
Observando as expressões anteriores, concluímos que estas podem ser reunidas, numa única fórmula, 
denominada formula geral de Euler, através do conceito de comprimento de flambagem – lfl que é o 
comprimento de uma peça bi-articulada que apresenta a mesma carga crítica de flambagem que a peça real de 
comprimento l. Portanto podemos escrever para todos os casos: 
P P 
Fig.8 – Configuração de Flambagem para n=3 
P 
l 
P P 
P 
l 
P 
P 
l 
P 
P 
l 
 8.6 
2
fl
2
fl
l
IE
P


 (2) ou 
ll
fl

 (3) 
 
Sendo  um coeficiente que depende das condições de vinculação das extremidades das barras. 
 Comparando a expressão geral com as quatro fórmulas anteriores, concluímos facilmente que: 
 
a) No 1º Caso, da barra bi-articulada, o comprimento da flambagem é o próprio comprimento real da barra 
1 ll
fl

. 
b) No 2º Caso, da barra em balanço, o comprimento de flambagem é o dobro do comprimento real. 
2 l2l
fl

 
c) No 3º Caso, da barra engastada numa extremidade e apoiada na outra, o comprimento de flambagem é 
aproximadamente 70% do comprimento real. 
0,7 l7,0l
fl

 
d) No 4º Caso, da barra bi-engastada, o comprimento de flambagem é a metade do comprimento real da barra. 
5,0 l5,0l
fl

 
Convém observar que para levar em conta as condições reais dos vínculos, como por exemplo, as 
dificuldades de realizar o engastamento ou articulação perfeita, é comum as normas estruturais recomendar 
para os comprimentos efetivos de flambagem valores diferentes dos relativos modelos teóricos, como se 
mostra a seguir. 
 1 2 3 4 5 6 
 
teórico 1.0 2.0 0.7 0.5 1.0 2.0 
recom. 1.0 2.1 0.8 0.65 1.2 2.0 
 Rotação nula e translação nula Rotação livre e translação nula 
 Rotação livre e translação livre Rotação nula e translação livre 
 Rotação livre e translação livre Rotação nula e uma translação livre 
Fig.10 – Diversos Casos de Vinculação 
 
No quadro da fig.10, além de repetirmos os quatro principais casos já analisados , relacionamos mais dois casos 
de interesse prático, mostra-se que os comprimentos de flambagem correspondem às distâncias entre os pontos 
de inflexão na posição deformada, e salienta-se as diferenças entre os comprimentos de flambagem teóricas e 
recomendadas efetivamente. 
Nos problemas do nosso curso de caráter acadêmico, usaremos os valores teóricos. 
l 
lfl 
lfl 
lfl 
lfl 
lfl 
lfl 
P 
P 
P 
P 
P 
P 
P 
P P 
P 
P 
P 
 8.7 
7- Algumas observações relativas à carga de flambagem 
 
 
7.1- Não havendo impedimento especial ao longo da barra, ela flambará evidentemente em torno do eixo central 
de menor inércia e portanto a fórmula geral de Euler ficará: 
 
 
2
fl
min
2
fl
l
EI
P


 (4) onde Imin =I2 . 
 
 Nos casos de vinculação especial há necessidade de verificar a flambagem em mais de uma direção. 
 Na figura 11, recordamos a posição do eixo de menor momento de inércia de alguns perfis. 
 
 
 
7.2- Na dedução da carga crítica de flambagem vista no item 4, imaginamos uma situação teórica de barra de 
eixo perfeitamente reto, de material homogêneo, elástico perfeito e submetida a uma carga rigorosamente axial. 
 Na prática são comuns situações bem diferentes das idealizadas, ou seja: 
 
a) material com comportamento não elástico e com tensões internas residuais resultantes dos processos 
de fabricação; 
b) excentricidades (inevitáveis ou voluntárias) dos pontos de aplicação da carga; 
c) eixo da barra apresentando curvatura inicial; 
d) esforços transversais que provocam momentos fletores etc. 
 
 Veremos na 2
a
. parte deste capítulo – Alguns Tópicos Complementares (em preparação – não consta 
desta edição), que a consideração dos fatos acima altera profundamente alguns conceitos, porém, por motivos 
didáticos, nesta 1
a
. parte julgamos conveniente considerar a situação teórica já descrita. 
 
7.3- Ao deduzirmos a fórmula de Euler, consideramos também grande simplificação, ou seja, a equação 
diferencial simplificada da linha elástica, válida apenas para pequenas deformações, isto é: 
 
 
EI
M
dx
yd
R
1
2
2

 sendo R o raio de curvatura. 
 
 Percebe-se na dedução feita que, com esta simplificação, o cálculo da flecha resultará indeterminado 
quando P=Pfl . 
MIN. 
MIN. 
MIN. 
MIN. MIN. 
MIN. 
MIN. 
-a- 
-b- 
-c- 
-d- -e- 
Fig.11 – Flambagem se dá em torno do Eixo de Imin. 
 8.8 
 Chamando de f a flecha no meio do vão l da barra bi-articulada, obteríamos a seguinte representação 
gráfica da fig. 12: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ou seja, para valores de P inferiores à carga de flambagem, a barra permanece reta e quando P=Pfl a 
flecha é indeterminada, podendo assumir qualquer valor entre zero e infinito. 
 Veremos no item seguinte que esta conclusão não é correta. 
 
7.4- Pode-se demonstrar que se considerarmos a expressão correta da curvatura, ou seja: 
 
 
   EI
M
'y1
"y
R
1
2
3
2



 (5) 
 
 
podemos calcular o comportamento da flecha para cargas superiores a de flambagem. 
 No caso da barra bi-articulada, chega-se a uma expressão que embora continue com algumas 
simplificações, fornece com boa precisão, a flecha para cargas ligeiramente superiores à carga de flambagem, 
que é a seguinte: 
 
 
1
P
P
9,0
l
f
fl

 (6) 
 
 
 Esta função está representadana tabela abaixo, da fig. 13, até P= 1,05 Pfl . 
 
 
P/Pfl f/l P/Pfl f/l 
1,000 0,000 1,030 0,156 
1,010 0,090 1,035 0,168 
1,015 0,110 1,040 0,180 
1,020 0,127 1,045 0,191 
1,025 0,142 1,050 0,201 
 
Fig. 13 
 
 Para cargas superiores a P=1,05 Pfl , deve-se considerar a linha elástica de forma rigorosamente exata e o 
comportamento está registrado na fig. 14, observando-se que a flecha no meio da viga passa por um máximo f  
0,4 l para P  1,89 Pfl . 
P/Pfl 
f/l 
0,4 
 
0,3 
 
0,2 
 
0,1 
 
0 
0,5 1,0 1,5 
P 
P 
l 
f 
Fig.12 – Indeterminação da Flecha para P Pfl – Teoria Simplificada 
Ponto de bifurcação 
do equilíbrio 
A 
 8.9 
 
 
7.5- Observa-se portanto, que para uma carga ligeiramente superior à carga de flambagem, por exemplo, P= 1,05 
Pfl , a flecha já assume um valor muito grande, f  0,2 l (ponto B, da figura 14). 
 Esta é a razão pela qual uma barra esbelta, sujeita a uma compressão axial, sofre o colapso praticamente 
ao atingirmos a carga de flambagem e portanto, deve-se considerar a flambagem como um estado limite de 
ruína, e a carga de trabalho deve estar protegida com um coeficiente de segurança s: 
 
 
 
s
P
P fl
fl

 (7) , onde 
fl
P
= carga admissível à flambagem. 
 
 
 Como sabemos, o coeficiente de segurança é introduzido nos cálculos para levar em conta uma série de 
incertezas relativas ao material, às cargas, ao modelo de cálculo, à geometria da barra etc, além, evidentemente, 
do grau de responsabilidade da peça. 
 No caso da flambagem, embora algumas normas adotem coeficiente de segurança variável com o 
comprimento da peça, parece-nos mais razoável o critério adotado por vários autores em admitir um coeficiente 
de segurança independente do comprimento da peça. 
 
 
7.6- Completando o conceito de flambagem, observa-se na fig. 14 que para P < Pfl a forma reta de equilíbrio que 
é sempre possível é estável; para P = Pfl há a bifurcação do equilíbrio (ponto A das fig. 12 e 14) aparecendo uma 
nova forma de equilíbrio, a fletida, que passa a ser estável e a forma reta torna-se instável e, para P > Pfl , as 
deformações e tensões (flexão composta) crescem rapidamente, levando, em geral, a peça ao colapso. 
 
 
7.7- Existem algumas peças especiais que podem trabalhar flambadas em ocasiões especiais. 
 
 
7.8- Como teremos oportunidade de comentar nas aplicações, percebe-se que o problema de flambagem é 
basicamente um problema de verificação da possibilidade da ocorrência de instabilidade de equilíbrio e não 
de dimensionamento. 
 Porém, embora não seja conceitualmente correto, pode-se efetuar o dimensionamento de peças à 
flambagem através de tentativas, o que volta a ser um problema de verificação. 
 
 
Fig.14 - Comportameto Pós-Flambagem - Teoria Exata
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
p/pfl
f/l
Tratamento matemático simplificado Tratamento matemático exato
1,89
B
A
P/Pfl 
 8.10 
7.9- Apenas para termos uma idéia da extensão dos assuntos sobre flambagem, cabe observar que embora nesta 
1
a
. parte apenas estudamos a flambagem por flexão podemos ter outras modalidades de flambagem, como por 
exemplo: 
 
a) flambagem de parte ou conjunto da estrutura, assimilada, esta, a um corpo rígido; 
b) flexão composta em barras esbeltas; 
c) flambagem por Flexão e Torção – flambagem lateral; 
d) flambagem por Torção; 
e) flambagem de estruturas reticulares; 
f) flambagem de placas; 
g) flambagem de cascas etc. 
 
 
7.10- Finalizando estas observações e retomando o que já foi dito nas generalidades, deve-se projetar estruturas 
sempre considerando 3 condições básicas: 
 
 
a) condição de resistência: as máximas tensões não devem ultrapassar certos valores limites pré-
fixados, considerando o estado triplo de tensões e o critério de resistência mais adequado; 
b) condição de rigidez: os deslocamentos máximos não devem ultrapassar certos valores limites pré-
fixados. 
c) condição de estabilidade: o equilíbrio deve existir e ser estável, isto é, deve ser verificada a margem 
de segurança contra a possível ocorrência de instabilidade do equilíbrio (flambagem). 
 
 Como já foi dito, não basta atender às 2 primeiras condições, sendo indispensável em muitos casos, a 
verificação da flambagem. 
 
 
8- Campo de validade da Fórmula de Euler. 
 
 
 Definindo-se Tensão de flambagem (fl) ao quociente da carga de flambagem pela área da seção 
transversal (A), vem: 
 
 
A
P
fl
fl

 (8) 
 
 
 Até agora admitimos que o material obedeça a Lei de Hooke, ou seja, que as tensões de flambagem 
atuantes fossem inferiores à tensão limite de proporcionalidade (p) do material. 
 Portanto, no regime elástico, onde é válida a fórmula de Euler, devemos ter: 
 
 
p
fl
fl
A
P

 (9) 
 
 Substituindo 
2
fl
2
fl
l
EI
P


e lembrando a definição de raio de giração (r), temos: 
 
 
Al
EI
P
2
fl
2
fl


 e como 
2
fl
2
fl
2
r
l
E
A
I
r
A
I
r








 
 
 Definindo a relação entre o comprimento de flambagem (lfl) e o raio de giração (r) de índice de esbeltez 
da barra (): 
 
r
l
fl
 (10) 
 8.11 
 Portanto, a tensão de flambagem no regime elástico vale: 
 
 
2
2
fl
E



 (11) 
 
 Representando num sistema de eixos cartesianos 
 x
fl
, temos a chamada hipérbole de Euler, indicada 
na fig. 15b. 
 Impondo a condição do regime elástico, resulta: 
 
 
p2
2
fl
E




 
 
 Desta relação podemos tirar o valor limite do índice de esbeltez (lim) a partir do qual é válida a 
fórmula de Euler: 
 
 
p
2
lim
E



 (12) 
 
 Observa-se portanto que este limite depende exclusivamente do material. Por exemplo, para o antigo 
aço comum de construção do tipo ASTM-A7, temos: 
 E= 2,1 x 10
6
 Kgf/cm
2
 
105
1100
10.1,2. 62
lim



 
 p= 1900 Kgf/cm
2 
 
 
 Em resumo, para peças longas, com   lim , ocorre a flambagem no regime elástico e vale a fórmula 
de Euler: 
 
 
2
fl
2
fl
l
EI
P


 ou 
2
2
fl
E



 e 
A.P
flfl

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9- Flambagem no regime inelástico – Várias Teorias 
 
 
 Os estudos contemporâneos de Euler (1747), provavelmente não observaram o campo de validade 
correspondente e, certamente, não conseguiram resultados sequer razoáveis nas experiências de flambagem em 
peças curtas e o estudo da flambagem, além do regime elástico, ficou abandonado durante muito tempo. 
 Somente em 1847, Lamarle mostrou porque a fórmula de Euler só pode ser usada para peças com 
grande esbeltez onde fl  p e, a partir de 1889, começou com Considère e Engesser, o desenvolvimento de 
várias teorias e fórmulas empíricas para tentar resolver o problema. Apenas recentemente (em termos históricos) 
 
lim 
 
 
p 
fl 
 
p 
Etg 



 
Fig.15 – Regime Elástico – Hipérbole de Euler 
 8.12 
que Shanley, em 1947, resolveu definitiva e satisfatoriamente, o estudo da flambagem além do limite de 
proporcionalidade. 
 Nos itens seguintes, pretendemos comentar algumas das teorias e fórmulas de flambagem no regime 
plástico e depois estabelecermos algumas conclusões práticas relativas ao cálculo de peças curtas e médias 
sujeitas à compressão. 
 
 
9.1- Teoriado módulo tangente – Engesser (1889) 
 
 
 Analisando as fórmulas de Euler, válidas para regime elástico, onde como sabemos, o módulo de 
elasticidade longitudinal (E) corresponde numericamente à tangente trigonométrica do ângulo  que a reta OA 
faz com o eixo das deformações específicas (); Engesser, após alguns estudos iniciais de Considère, concluiu 
pela validade das mesmas fórmulas também na fase plástica, substituindo (E) pelo chamado módulo de 
elasticidade tangente (ET) definido como a tangente trigonométrica do ângulo () que a tangente à curva =f() 
faz com o eixo das deformações  no ponto correspondente à tensão  em estudo (fig. 16). 
 
 



 tg
d
d
E
T
 (13) 
 
 
 tgE
 
 
 Portanto, no regime elástico temos 
 tgE
constante para tensões até p e para tensões superiores a p 
temos 
 tgE
T
 variável de acordo com o nível de tensão. 
 Evidentemente, E T é uma fração m de E: 
 
 
E.mE
T

 com 0  m  1 
 
 No regime elástico m=1 e no regime plástico, ET é uma função da tensão, da esbeltez  e do 
comportamento do material, nem sempre de simples equacionamento. 
 Concluindo, verificamos que pela teoria do módulo tangente, admite-se que ET define perfeitamente as 
relações entre tensões e deformações para todos os pontos da seção transversal e portanto: 
 
 
2
fl
T
2
fl
l
IE
P


 (15) 
2
T
2
fl
E



 (16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.16 – Módulo Tangente ET 
0 
 
A p 
 8.13 
9.2- Teoria do duplo módulo – Karman – Engesser – 1910 
 
 
 O próprio Engesser em 1895, Karman, em 1910, e outros pesquisadores verificaram que uma peça ao 
flambar, apresenta, devido à flexão composta, tensões de compressão aumentadas nas fibras do lado côncavo e 
diminuídas no lado convexo. 
 Como sabemos nas fibras descarregadas, o comportamento da relação tensão x deformação, corresponde 
a reta BC paralela à reta OA da fig. 17 e portanto, valendo o módulo de Young (E); e como nas fibras carregadas 
vale o módulo tangente (ET) relativo à reta BD, definiu-se o chamado módulo reduzido ou duplo módulo (ED) 
como sendo uma função do material, dos mesmos E e ET e da forma da seção transversal. 
 
 
 
 
 Por exemplo, para a seção retangular chega-se a: 
 
 
2
T
T
D
)EE(
EE4
E


 (17) 
 
 
 Portanto, as fórmulas para flambagem inelástica segundo a Teoria do duplo módulo são: 
 
 
2
fl
D
2
fl
l
IE
P


 (15) 
2
D
2
fl
E



 (16) 
 
 
 Convém notar que os valores obtidos pela teoria do duplo módulo conduziam em geral a valores 
superiores aos que eram obtidos experimentalmente e apesar destas pequenas discrepâncias, tal teoria foi aceita 
como válida até 1947. 
 
 
9.3- Teoria de Engesser – Shanley (1947) 
 
 
 O conceito moderno de flambagem no regime plástico deve-se a Shanley, que em 1947, no seu famoso 
trabalho “Inelastic Column Theory” do “Journal of the Aeronautical and Sciences” demonstrou analítica e 
experimentalmente, a validade da teoria do módulo tangente de Engesser. 
 Algumas das principais conclusões dos estudos e pesquisas de Shanley estão relacionadas a seguir: 
a) Quando a carga axial atinge o valor correspondente ao ponto de bifurcação do equilíbrio, a passagem 
da forma reta para fletida, ocorre somente com um acréscimo de carga e para pequenas flechas não 
há descarregamento nas fibras do lado convexo da peça e, portanto, o módulo tangente define a 
relação tensão x deformação em toda seção. 
b) Aumentando-se a carga, as flechas aumentam rapidamente, o lado convexo é descarregado e como o 
lado côncavo é carregado, a deformação é definida, como vimos, pelo duplo módulo. Porém, quando 
p 
 
 B 
0 
Fig.17 – Duplo Módulo ED 
C 
A 
 
 
D 
BC – fibras descarregadas – E 
BD – fibras carregadas – ET 
ED = f(E,ET) 
 8.14 
a carga atinge o valor correspondente ao duplo módulo, a peça em geral, já apresenta grandes flechas 
incompatíveis com a utilização normal da estrutura. 
c) A fórmula do módulo tangente dá a máxima carga para a qual a coluna pode permanecer reta e 
portanto, é aconselhável considerá-la como carga crítica. 
d) A parcela da carga que pode exceder o valor dado pela teoria do módulo tangente é uma função, 
principalmente, do material e da forma com que é aplicada a carga. 
e) A carga crítica de flambagem numa coluna apresenta como limite inferior, o valor dado pela teoria 
do módulo tangente e como limite superior, o valor fornecido pela teoria do duplo módulo. 
 
 Convém observar que estas conclusões também foram endossadas pelo próprio Karman, um dos 
defensores da Teoria do duplo módulo. 
 Em resumo, aceita-se atualmente como correta, a definição de carga de flambagem no regime 
inelástico, no seu limite inferior, a partir da teoria do módulo tangente: 
 
 
2
fl
T
2
fl
l
IE
P


 (20) 
2
T
2
fl
E



 (21) 
 
 
 A título de comparação, reproduzimos abaixo as curvas de flambagem obtidas por Shanley, pelas 
teorias do módulo tangente e do duplo módulo para corpos de prova cilíndricos de alumínio (fig. 18). 
 
 
 
 Os resultados experimentais confirmam plenamente a teoria do módulo tangente ET que também é 
chamado de módulo de Engesser-Shanley. 
 
 
9.4- Conclusão Prática 
 
 
 Embora do ponto de vista conceitual, a flambagem no regime plástico esteja bem resolvida pela teoria de 
Engesser-Shanley, o tratamento analítico não é muito simples, pois a função ET é de determinação trabalhosa, 
razão pela qual existem várias fórmulas e curvas de natureza experimental e empírica que procuram traduzir de 
uma maneira mais clara a flambagem inelástica. 
 Do ponto de vista prático, as curvas de flambagem podem ser determinadas através de várias 
experiências com corpos de prova de esbeltez variável ou aproximadamente da seguinte maneira: no regime 
elástico, ou seja, para lim a curva é hipérbole de Euler, para =0, quando o material tem um limite de 
escoamento bem definido, admite-se que a tensão crítica é a tensão de escoamento, ou seja, fl =esc e entre esses 
pontos temos uma curva que para =0 tem tangente horizontal e para =lim tem a mesma tangente que a 
hipérbole de Euler, como mostra a fig. 19. 
 lim 
p 
fl 
E 
ET 
ED 
Fig.18 – Comparação das Teorias do 
Módulo Tangente e do Duplo Módulo 
E – Curva de Euler 
2
2
fl
E



 
ET – Curva do Módulo Tangente 
2
T
2
fl
E



 
ET – Curva do Módulo Duplo 
2
D
2
fl
E



 
 8.15 
 No caso de materiais onde o patamar do escoamento não é bem definido, recomenda-se determinar a 
curva de flambagem diretamente através de ensaios. 
 
 
 
 Entretanto para o projeto de barras comprimidas, no regime plástico, é mais usual recorrer a expressões 
analíticas que em geral, variam muito em função do autor, das normas e códigos estruturais dos diversos países, 
do coeficiente de segurança adotado, do material e de outros fatores. 
 A seguir, relacionamos algumas das fórmulas mais usadas no nosso meio. 
 
 
9.5- Fórmula de Tetmajer (1903) 
 
 
 É uma das fórmulas mais antigas e usadas na Resistência dos Materiais. Sua forma geral é a seguinte: 
 
 
2
fl
cba 
 (22) 
 
 
 Os coeficientes a, b, c são característicos do material e abaixo damos os valores para alguns materiais 
em Kgf/cm
2
: 
 
 
Material lim a b c 
Aço St 37 105 3100 11,40 0,00 
AçoSt 60 89 3350 6,20 0,00 
Ferro Fundido 80 7760 120,00 0,53 
Madeira 100 293 1,94 0,00 
Aço Ni 86 4700 23,00 0,00 
Fig.20 
 
 
 
 Por exemplo, para o antigo aço St-37, a fórmula de Tetmajer corresponde a uma linha reta dada por: 
 
 
 
 4,113100
fl
 [Kgf/cm
2
] (23) 
 
  lim 
Regime Plástico 
Peças Curtas 
 > lim 
Regime Elástico 
Peças Longas 
lim 
 
fl 
 
esc 
 
p 
 
Diversas Teorias 
 
Mesma Tangente 
 
Hipérbole de Euler 
 
Fig.19 – Curvas de Flambagem 
 
 
 
 8.16 
 
9.6- Fórmulas parabólicas (Johnson-1884, Ostenfeld-1898, Bleich-1952 e outros) 
 
 
 Diversos autores recomendam fórmulas parabólicas do tipo: 
 
 
 
2
fl
BA 
 (24) 
 
 
 onde A e B são também coeficientes característicos do material. 
 Por exemplo, segundo Bleich, os coeficientes A e B são obtidos através das seguintes condições, como 
já comentamos: 
1) para =0  fl = esc logo 
esc
A 
 
2) para =lim fl = p logo 
2
lim
pesc
B



 
 
resultando, portanto: 
 
2
2
lim
pesc
escfl




 (25) 
 
 Esta expressão representa com bastante aproximação a teoria do módulo tangente de Engesser-Shanley 
e é utilizada pela NB-14- Cálculo e Execução de Estruturas de Aço da ABNT. 
 Por exemplo, para o aço ASTM-A7 com 
 
  esc = 2400 Kgf/cm
2
,  p = 1900 Kgf/cm
2
, E = 2,1 x 10
6 
Kgf/cm
2 
e lim= 105 
 
Resulta: 
2400A
esc

; 
046,0B
2
lim
pesc




 
 
 
e portanto: 
]cm/Kgf[046,02400 22
fl

 (26) 
 
 
 
9.7- Fórmula do Prof. T. V. Langendonck (1953) 
 
 
 Corresponde a uma expressão baseada na teoria do módulo tangente, fazendo: 
 
 
)(
)(
1
E
E
flescfl
2
pfl
T




 (27) 
 
 Substituindo em: 
2
T
2
fl
E



 
 
e com algumas transformações, chega-se a seguinte fórmula: 
 
2
limp
pesc
2
lim
pesc
fl
2
1 



















 (28) 
 8.17 
 
a expressão anterior também pode ser obtida a partir da expressão geral: 
2
2
fl
c1
ba



 (29) 
 
onde os coeficientes a,b,c, característicos do material, são determinados com as condições já descritas: 
 
1) para =0,  fl =  esc 
2) para =lim ,  fl =  p 
3) para =lim , tangente à curva coincide com a tangente à hipérbole de Euler. 
 
 
9.8- Norma AISC (American Institute of Steel Construction) 
 
 
a) Regime elástico lim 
 
 
esc
2
p
2
lim
esc
p
2
2
fl
E2E
2
)tetancons(92,1
12
23
s
E












 
 
 
b) Regime plástico <lim 
 
 
 









2
lim
2
escfl
2
1
 
 
3
lim
3
lim
88
3
3
5
s






 (variável) 
 
 Para aplicação desta norma, ver exercício 12-4. 
 
 
9.9- CRC (Column Research Council) 
 
 
 No regime plástico, também é recomendada um tipo de fórmula parabólica (Johnson), semelhante ao 
código AISC: 
 
 

















2
0
escfl
2
1
1
 
 para  < 0 onde: 
p
2
0
E2



 
 
 
 
 
 
 8.18 
9.10- Outras fórmulas 
 
 Como já dissemos, várias são as fórmulas propostas para a flambagem no regime plástico, como por 
exemplo a de Gordon-Rankine (1860), do tipo: 
 
2fl b1
a


 (30) 
 
e uma série de outras fórmulas de menor uso em nosso meio técnico. 
 
 
10- Resumo – Orientação para cálculo – Principais Etapas: 
 
 
 De um modo geral, os problemas de verificação à flambagem por flexão para cargas axiais apresentam as 
seguintes etapas: 
 
a) determinar a força normal de compressão “ P ” na barra em estudo (ver Estática – Física – Equilíbrio 
– Treliças etc); 
b) determinar o momento de inércia mínimo da seção: Imin = I2; 
c) determinar o raio de giração mínimo da seção: 
A
I
rrr min
2min

; 
d) identificar as condições de vínculo e determinar o comprimento equivalente de flambagem: 
llL
fle

; 
e) determinar o índice de esbeltez da barra: 
r
l
r
L
fle 
 ; 
f) determinar o índice de esbeltez limite do material: 
p
2
lim
E



; 
g) comparar o índice de esbeltez da barra () com o índice de esbeltez limite do material (lim); 
h) se   lim , isto é, flambagem elástica (barras longas), aplicar as fórmulas de Euler e tirar as 
necessárias conclusões: 
 
 
2
2
fl
E



 , 
2
fl
2
fl
l
EI
P


 ou 
A.P
flfl

 
 
 
i) se  < lim , isto é, flambagem inelástica (barras curtas), aplicar a fórmula mais adequada ao material. 
Como dissemos, recomendamos usar fórmulas baseadas na teoria do módulo tangente de Engesser-
Shanley, por exemplo, a fórmula parabólica de Bleich, do tipo: 
 
 
2
fl
BA 
 ou 
A.P
flfl

 
 
 
j) determinar a carga admissível à flambagem: 
s
P
P fl
fl

; 
k) comparar a carga admissível à flambagem com a carga normal atuante: 
fl
PP 
. 
 
Finalmente, na fig. 21, representamos, em função do índice de esbeltez , para o material por nós escolhido 
para a fixação das idéias gerais, o aço comum de construção do tipo ASTM-A7, as seguintes funções que 
mostram como varia a tensão de flambagem com a esbeltez da barra: 
 
 Curva 1 – Euler: 
2
2
fl
E



 para   lim (hipérbole) 
 Curva 2 – Engesser – Shanley – Bleich: 
2
fl
BA 
 para  < lim (parábola) 
 8.19 
 
 8.20 
11- Exemplos 
 
11.1- Deduzir a fórmula da carga de flambagem para o caso de uma extremidade articulada e outra engastada 
(fig. 22). 
 
 
 
 
 Por ocasião da flambagem, surgem o momento de engastamento MB e as reações de apoio VA e VB. 
Logo o momento fletor na seção genérica vale: 
 
x.Vy.PM
A

 
 
 Substituindo na equação simplificada da linha elástica: 
 
 
 
0
I.E
x.V
y
I.E
P
"y
I.E
x.Vy.P
I.E
M
"y AA 


 
 
fazendo: 
I.E
P
k2 
, obtém-se: 
0x
P
V
kyk"y A22 
, 
cuja solução geral é:
x
P
V
kxcosCkxsenCy A
21

. 
 No caso, as condições de contorno são: 
 
a) x=0, y=0 C2 = 0 
b) x=l, y’=0 logo 
l.kcoskC
P
V
1
A 
 
c) x=l, y=0 logo 
  0l.kcoskll.ksenC
1

 
 
 Não considerando a possibilidade de C1 =0, a condição de flambagem resulta: 
 
 
0l.kcosl.kl.ksen 
 ou 
kll.tgk 
 
 
 A equação acima pode ser resolvida por tentativas ou graficamente e a 1
a
 solução diferente de zero é:
 
rd4934,4l.k 
 
 
 
19,20lk 22 
 
2
fl2
l
19,20
I.E
P
k 
 e portanto 
 
 
2
fl
2
2
2
2fl l
I.E
l
I.E2
I.E
l
19,20
P




 com 
l7,0l
fl

 
 
que é o resultado apresentado anteriormente. 
 
 
P P 
l 
x 
y 
VA 
VB 
MB 
A B 
Fig.22 
 8.21 
11.2- Determinar a carga admissível P nas peças abaixo esquematizadas (fig. 23). A seção transversal de todas 
elas é retangular e o material é aço ASTM-A7. Adotar coeficiente de segurança s=3. Considerar todas as barras 
como engastadasna extremidade inferior e livres na superior. 
 
 
 
 
 
Seção: b=0,5 cm 
 h=3,0 cm 
 Material: aço ASTM A7 
 
p

= 1900 Kgf/cm
2
 
 
TCesc

= 2400 Kgf/cm
2
 
 E = 2,1.10
6
.Kgf/cm
2
. 
 
 Na barra 1, consideraremos apenas o cálculo à compressão ou tração simples, isto é, desprezando a 
influência da esbeltez da peça: 
 
Kgf1200PKgf1200
3
3600
s
P
P
Kgf36005,0.3.2400A.P
esc
escesc

 
 
 Como sabemos, se o material é igualmente resistente à tração e compressão, teremos a mesma carga 
admissível à compressão e tração, independente do comprimento da peça. 
 Para as demais barras, consideraremos o efeito de flambagem. Como vimos, é necessário calcular o 
índice de esbeltez limite do material (lim) e comparar com o índice de esbeltez da coluna em questão, para 
sabermos se a barra flambará no regime elástico ou plástico. 
 
 
44,104
1900
10.1,2E 62
p
2
lim






 
 
Barra 2: 
cm2l 
 
cm4l.2l
fl

 
 
 
cm144,0
12
5,0
12
b
hb12
hb
A
J
rr
3
y
ymin

 
 
P 
P 
2cm 
P 
5cm 
P 
7,52cm 
P 
P 
15cm 
25cm 
[1] [2] [3] [4] [5] [6] 
Fig.23 
x 
y 
h 
b 
 8.22 
 
7,27
144,0
4
r
l
fl 
 
 
 Como  < lim a barra flambará no regime plástico e adotando a expressão de Bleich para o citado 
material, vem: 
 
 
 
Kgf1182PKgf1182
3
3547
s
P
P
Kgf35475,1.7,2364A.P
cm/Kgf7,23647,27046,02400046,02400
fl
flfl
222
fl



 
 
 
 
Barra 3: 
cm5l 
 
cm10l.2l
fl

 
 
 
lim
fl 4,69
144,0
10
r
l

 regime plástico 
 
 
Kgf1089PKgf1089
3
3267
s
P
P
Kgf32675,1.5,2178A.P
cm/Kgf5,21784,69046,02400
fl
flfl
22
fl



 
 
Barra 4: 
cm52,7l 
 
cm04,15l.2l
fl

 
 
 
44,104
144,0
04,15

 
 
 Como =lim estamos no ponto particular da transição do regime elástico para o plástico e, 
evidentemente, podemos utilizar qualquer uma das fórmulas. 
 Neste caso, sugere-se adotar a fórmula de Euler por ser, de um modo geral, mais precisa. 
 
 
 
Kgf950PKgf950
3
2850
s
P
P
Kgf28505,1.1900A.P
cm/Kgf1900
44,104
10.1,2.E
fl
flfl
p
2
2
62
2
2
fl








 
 
ou diretamente pela fórmula da carga de flambagem: 
  
4
33
ymin
2
62
2
fl
min
2
fl
cm0312,0
12
5,0.3
12
hb
II
Kgf2850
04,15
0312,0.10.1,2.
l
I.E
P






 
 
 
Kgf950PKgf950
3
2850
s
P
P fl 
 
Se utilizássemos as fórmulas do regime plástico: 
 
 
Kgf2850P
cm/Kgf190044,104.046,02400
fl
p
22
fl


 
e 
Kgf950P 
 
 8.23 
Barra 5: 
cm15l 
 
cm30l.2l
fl

 
 
Kgf239PKgf8,238
3
5,716
s
P
P
Kgf5,7165,1.7,477A.P
cm/Kgf7,477
3,208
10.1,2.E
3,208
144,0
30
r
l
fl
flfl
2
2
62
2
2
fl
lim
fl









 
 
Barra 6: 
cm25l 
 
cm50l.2l
fl

 
 
Kgf86PKgf86
3
9,257
s
P
P
Kgf9,2575,1.9,171A.P
cm/Kgf9,171
2,347
10.1,2.E
2,347
144,0
50
r
l
fl
flfl
2
2
62
2
2
fl
lim
fl









 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
 Neste exercício de fixação podemos destacar os seguintes pontos: 
a) a grande influência da esbeltez das peças, diminuindo a capacidade de suporte, quando comprimidas; 
b) para pequenos índices de esbeltez (<20) podemos em geral , na prática, desprezar a influência de 
flambagem. No nosso curso, consideraremos o efeito de flambagem para qualquer valor de . 
c) embora seja possível calcular peças com grandes esbeltez, as normas estruturais limitam em geral o 
valor de  nas barras comprimidas, em torno de 200. 
d) a seção retangular não é indicada para resistir à flambagem, pois Ix >> Iy e há portanto, muito 
desperdício de material. 
 
 
11.3- Verificar a estrutura abaixo (Fig. 24), considerando a flambagem nas barras bi-articuladas 1 e 2. 
 
 P1 = 25 tf P2 = 15 tf 
 a = 1,5 m b = 1,0 m 
  = 30o.  = 45o. 
 
 
 Barra 1 
"
8
3x"4x"4
 
 
 Barra 2 2 
"200,0x"2x"6
 espaçados de 1” 
 
 Material 
 Aço S AR55 (Usiminas), com 
 p = 2800 kgf/cm
2
 E = 2,1.10
6
 kgf/cm
2
 
 esc = 3600 kgf/cm
2
 
 No regime plástico, usar: 
 FIG.24 
2
2
lim
pesc
escfl
.



 
 
P1 
P2 
  
a b 
A 
B 
C 
 
 
 8.24 
Cálculo das forças nas barras 1 e 2: 
 
 Aplicando as equações de equilíbrio da estática para o nó B, vem: 
 
 
 

0cosNcosNP0F
0senNsenNP0F
211y
212x
 
 
 Resolvendo, obtém-se portanto: 
 
tf32,7N
1

(compressão na barra 1) 
 
tf39,26N
2

(compressão na barra 2) 
 
 
 
 
 
Barra 1: 
"
8
3x"4x"4
- 
cm0,2r
min

 - 
2cm5,18'A 
 
 
86
2800
10.1,2.E 62
p
2
lim






 
 
cm300
5,0
150
sen
a
l
fl



 

lim
min
fl 150
2
300
r
l
Regime Elástico 
 
 
33,2s33,2
7320
17039
N
P
s
Kgf170395,18.921A.P
cm/Kgf921
160
10.1,2.E
1
1
fl
1
flfl
2
2
62
2
2
fl








 
 
 
Barra 2: 2 
"200,0x"2x"6
 
 
   
cm91,2
5,15.2
3,262
A
I
r
cm3,26227,13,15,158,282I
cm1092546.2I
min
min
42
y
4
x



 
 
cm4,141
707,0
100
sen
b
l
fl



 
 
 
 
 
 
 

lim
min
fl 6,48
91,2
4,141
r
l
Regime Plástico 
 
22
2fl
108,03600
86
28003600
3600 


 
P1 
P2 
N1 
N2 
 
 
x 
y 
Fig.25 
1,3 1,27 
y 
x 
Fig.26 
Y1 
G1 G 
 
 
1,3 1,27 
 8.25 
 
  22
fl
cm/Kgf8,33446,48108,03600 
 
 
Kgf10369031.8,3344A.P
flfl

 
 
93,3s93,3
26390
103690
N
P
s
2
2
fl
2

 
Resp.: A estrutura resiste com um coeficiente de segurança à flambagem de s=2,33 . 
Obs.: 1) Na barra 1, de perfil , foram desprezados os efeitos de torção; 
 2) Na barra 2, de perfil , foi desprezado o efeito de cisalhamento, considerando-se a seção múltipla 
com um perfil único. 
 
11.4- Determinar a máxima carga P na estrutura da Fig. 27, considerando a flambagem da barra bi-articulada 
AB, para as seguintes seções e materiais: 
 
 a) aço ASTM-A7- 2 perfis 
"24,0x
8
52x"10
"
 - Usar NB 14 
 b) aço ASTM – A36 – 2 perfis 
"24,0x
8
52x"10
"
- Usar AISC (American Institute of 
 Steel Construction) 
 
 c) peroba rosa - d=20 cm – usar NB 11 – ABNT – s=4 
 (NB 11 – Cálculo e Execução de Estruturas de Madeira) 
 
 d) concreto a=18cm E=150000 Kgf/cm
2
 lim =70 s=3 
 
 e) ferro fundido D=30cm; d=26 cm. Adotar s=5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da força na barra AB 
 
 
P 
D6 m B 
C 
4 m 
A 
2 m 
Fig.27 
= 500 kgf/m p 
 
04.40006.V8.P0M
BD

P33,12667V
B

 
4 m 
D 
B 
C 
A 
B
V
 
R=500x8=4000 
P 
Fig.28 
 8.26 
a) aço ASTM – A7 – 2 
"24,0x
8
52x"10
"
 - usar NB 14 
 
 
  22
fl
cm/Kgf213847,75046,02400 
 
 
Kgf12400458.2138A.P
flfl

 
 
Kgf62002
2
124004
s
P
P fl
fl

 
 
Kgf44613PP33,1266762002VP
Bfl

 
 
 
b) aço ASTM – A36 - 2 
"24,0x
8
52x"10
"
- usar AISC 
Para este aço temos 
2
esc
cm/Kgf2540ksi36 
 
Pelo AISC devemos adotar: 
2
esc
p


 
 
128
2540
10.1,22E2E 62
esc
2
p
2
lim









 
 
esc2
lim
2
2
2
lim
pesc
escfl
2
1. 













 
 
2
2
2
fl
cm/Kgf20982540.
128.2
47,75
1 






 
 
Kgf12168458.2098A.P
flfl

 
 
 Na norma citada, o coeficiente de segurança é função da esbeltez da coluna e é dado pela expressão: 
 
 
 
86,1
128.8
47,75
128.8
47,75.3
67,1
88
3
3
5
s
3
3
3
lim
3
lim







 
 
Kgf65421
86,1
121684
s
P
P fl
fl

 
 
Kgf47183PP33,1266765421VP
Bfl

 
 
c) peroba rosa - d= 20 cm – usar NB11 – s=4 
 Para este tipo de madeira temos: 
 
2cm/Kgf94250E 
 
2
c
cm/Kgf85
 
e segundo a NB11: 
cp
3
8

 
64
85.
3
8
94250E 2
p
2
lim






 
6,6
1,61
x
G
y
G1
y
1
 
   42
y
4
x
cm163461,16,6291,952I
cm56002800.2I


cm3,5
29.2
1634
A
I
rr x
ymin

lim
47,75
3,5
400
r
lf

 
Fig.29 
 8.27 
para 
2
2
fllim
E



 e para 
lim
40 
 









40
40
.
3
1
1
lim
cfl
 
No caso temos: 
 
 
cm5
4
20
4
d
d
4
64
d
A
I
r
2
4




 
 
lim
fl 80
5
400
r
l

 
 
2
2
2
2
2
fl
cm/Kgf4,145
80
94250.E






 
 
Kgf45679
4
20
.4,145A.P
2
flfl



 
 
 
Kgf11420
4
45679
s
P
P fl
fl

 
 
 
Kgf6580PP33,1266711420 
 
 
d) concreto - 
2cm/Kgf150000Ecm18a 
 
 
 
70
lim

 Adotar : s=3 
 
 
cm2,5
12
18
12
a
a12
a
A
I
r
2
4

 
 
lim
fl 9,76
2,5
400
r
l

 
 
2
2
2
2
2
fl
cm/Kgf249
9,76
150000.E






 
 
Kgf8094318.249A.P 2
flfl

 
 
Kgf26981
3
80943
s
P
P fl
fl

 
 
Kgf18281PP33,1266726981 
 
 
 
e) ferro fundido - D= 30 cm; d= 26 cm; s= 5; lim= 80; E=1.10
6
 Kgf/cm
2
 . 
 Se < lim usar Tetmajer 
 
 
  222 cm1762630
4
A 


 
cm92,9
176
17329
A
I
r 
 
 
  444 cm173292630
64
I 


 
lim
fl 3,40
92,9
400
r
l

 
 
  222
fl
cm/Kgf37853,4053,03,40.120776053,01207760 
 
 
Kgf666119176.3785A.P
flfl

 
 
Kgf133224
5
666119
s
P
P fl
fl

 
 
Kgf98163PP33,12667133224 
 
 
 8.28 
11.5- Dimensionar a barra bi-articulada AB. Considerar o veículo representado pelo trem abaixo na posição mais 
crítica ao longo da viga CBD. Adotar coeficiente de segurança s=4. Considerar aço St 37 e se <lim usar a 
fórmula de Tetmajer. 
Cálculo da força na barra AB: 
 
Intuitivamente ou através do estudo de linhas de influência, percebe-se que a posição mais desfavorável do trem 
tipo, relativamente à força na barra AB, é a extremidade direita da barra CBD. 
H
4,1351
H37,0
500
r
l
fl 
 aço St 37 

 
105
lim

 
 Como já dissemos, o problema de dimensionamento à flambagem deve ser feito por tentativas, pois não 
se sabe à priori, em que regime a barra flambará. 
 
1
a
 TENTATIVA: Admitindo-se Regime Elástico. 
 
 
cm05,15H
500
H.049,0.10.1,2.
52042.4
l
I.E.
F.sP
2
462
2
fl
2
fl





 
 Verificação: 
lim
8,89
05,15
4,1351

 
 Portanto não foi válido a aplicação da fórmula de Euler. 
D
4 m 3 m
3 m
A
C
p
B

x
y

H

h
h
H
Secção da barra AB
h=0,8H
P=P 10 tf
2 m
Trem tipo
p=200 kgf/m
 
Fig.30 
3,5 m
5 m
10000
D
A
F
C
F
B
F
1400 10000
Fig. 34
 
 
0M
6,0
5
3
sen
c


Kgf52042F
05,3.14004.senF5.100007.1000


4
44444
222222
H049,0
12
H8,0H
12
hH
I
H36,0H8,0HhHA






H.37,0
H.36,0
H.049,0
A
I
r
2
4

 
Fig.31 
H
 
H 
h 
h
 
 P 
 8.29 
2
a
 TENTATIVA: Admitindo-se Regime Plástico, segundo Tetmajer. 
 
2
flfl
H36,0).4,113100(F.sA.P 
 
 
cm37,16HH36,0.
H
4,1351
.4,11310052042.4 2 






 
 Verificação: 
lim
6,82
37,16
4,1351

 
 Portanto, foi válida a aplicação da fórmula de Tetmayer do regime plástico e a resposta é 
 
 
cm37,16H 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
a) Poderíamos também ter adotado valores para a dimensão H e verificar o coeficiente de segurança. 
b) Se tivéssemos usado a fórmula parabólica no regime plástico, a equação obtida seria de resolução 
mais trabalhosa, podendo ser resolvida inclusive por tentativas. 
 
11.6- Determinar a máxima pressão admissível p no mecanismo abaixo ( fig. 32 ), considerando a flambagem na 
biela AB. Adotar coeficiente de segurança s=8. Material: aço ASTM – A7. 
 
2cm511.112.10.2A 
 
4
33
miny
cm25,334
12
1.11
12
10.2
.2II 
 
 
cm56,2
51
25,334
A
I
r 
 
lim
fl 2,117
56,2
300
r
l

 
 
Kgf76975
300
25,334.10.1,2.
l
EJ
P
2
62
2
fl
y
2
fl





 
Kgf9622
8
76975
s
P
P fl
fl

 
 
 A partir da força admissível na biela AB, podemos determinar para a posição dada, a força horizontal 
admissível 
F
, através do equilíbrio do ponto A. 
 
Kgf9476cosPF 
 
e portanto a pressão pedida será: 
2
22
cm/Kgf8,4p
4
50
.p9476
4
D
.pF 




 
Fig.33 
P
 

 
F
 
10
2
[ cm ]
Secção da biela
2
1
B

l
Fig. 35
11
A Ø
D
p
 
cm300l
cm50D
10


 
 
Fig.32 
 8.30 
11.7- Calcular a máxima carga admissível P na peça de aço abaixo indicada (Fig. 34). Adotar coeficiente de 
segurança s=3. Admitir para efeito de flambagem, barra bi-engastada, para flexão em torno do eixo y(flambagem 
na direção x); e barra bi-articulada, para flexão em torno do eixo x (flambagem na direção y). Utilizar o Sistema 
Internacional (SI) de Unidades de Medidas. 
Flambagem em torno do eixo yy (plano xz): 
 
 
cm87,0
12
9
A
I
r
y
y

 
lim
y
fly
y
4,172
87,0
150
r
l

 
 
N81325
5,1
10.9.10.06,2.
l
EI
P
2
8112
2
fly
y
2
fly





 
 
N27108PN27108
3
81325
s
P
P
fly

 
 
Flambagem em torno do eixo xx (plano yz): 
Admitindo-se como barra bi-engastada perfeita: 
m5,1cm150
2
300
2
l
l
fly

484
33
y
m10.9cm9
12
3.4
12
hb
I 
242 m10.12cm123.4h.bA 
 
Admitindo-se como barra bi-articulada perfeita: 
m3cm300ll
flx

484
33
x
m10.16cm16
12
4.3
12
bh
I 
cm15,1
12
16
A
I
r X
x

 
 
Fig.35 
l 
 Fig.36 
lL 
 
Fig. 37
P
P
l L
y
x
y
x
z
z
 
127
m/N10.06,2E
36açoASTMA
MATERIAL
cm4h
cm3b
cm300lL
lim
211





 
 
y 
y 
x x 
h 
b 
Fig.34 
 8.31 
 
lim
x
lfx
x
260
15,1
300
r
l

 
 
N36145
0,3
10.16.10.06,2.
l
EI
P
2
8112
2
flx
x
2
flx






 
 
N12048PN12048
3
36145
P 
 
 
 Como se observa, devido às condições especiais de vinculação, a barra neste caso, tenderá a flambar em 
torno do eixo de maior momento de inércia e portanto, nestas condições, o que define a flambagem é o valor do 
índice de esbeltez da peça. 
 
11.8- Verificar a barra 5 do dispositivo abaixo. 
Seção da barra 5 – 2 
"
8
1x"1x"1
, justapostos como indica a fig. 38. 
 Para o perfil composto temos: 
  
cm87,0
148.2
22,2
rr
cm22,2]721,048,1341,0[2I
cm638,2319,1.2I
minx
42
x
4
y



 
 O índice de esbeltez da barra será: 
 
69
87,0
60
r
l
min
fl 
 
 Para o cálculo do índice de esbeltez limite do material, temos: 
104
1900
10.1,2.E 62
p
2
lim






 
 
1
G
 
a 
a 
b 
b x
 
y
 
Fig.38 
 
1
G
 
G
 
a a 
x x 
y 
1,796 cm 
0,72 cm 
Desprezar os arredondamentos na região de contato das duas 
cantoneiras. 
Segundo o catálogo da COFAVI, os dados de uma 
cantoneira isolada são: 
cm48,0rr
cm76,0yx
cm83,0IyIx
cm48,1A
2min
4
11
2
1




 
4
11
422
a1
cm319,1341,083,0.2Ib
IaIyIxIb
cm341,048,0.48,1r.AIa


 
40 cm
P
A
30
 cm
4
Fig. 40
3
B
30
 cm
40 cm


1
5
2
C
P
D
 
Kgf4000P 
 
Material: 
Aço ASTM-A7 
2s
cm/Kgf10.1,2E
cm/Kgf1400
cm/Kgf2400
cm/Kgf1900
26
2
c
2
E
2
p





 
Fig.37 
 8.32 
 Portanto 
lim

, ou seja, Regime Plástico. 
 Usando a fórmula de SHANLEY-BLEICH, temos: 
 
  222
fl
cm/Kgf218069046,02400046,02400 
 
 
  Kgf322648,1.21090A.P
cm/Kgf1090
2
2180
2
flfl
2fl
fl



 
 O cálculo da força atuante na barra 5 é feito facilmente equilibrando os nós A e C: 
 Nó A: 
  31V NN0F
 
 
)tração(
cos2
P
N0F
1H

 
 
 
 
 
 
 Nó C: 
  21H NN0F
 
 
  PtgsenN2N0F 15V
 
 logo: 
)compressão(Kgf300075,0.4000N
5

 
 
 
 
 
 Como 
fl5
PN 
 , a barra está verificada contra a flambagem. 
 
11.9- Considere a barra da figura, de secção losangular, sujeita a uma carga axial, de compressão. Quando esta 
carga for igual a carga crítica, a barra irá flambar no plano `NS´ ou `OE´ ? Por quê ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
A P 

 

 
N1 
N3 Fig.39 
 
N2 N1 N5 
C 
Fig.40 
N 
 S 
O 
 a a 
 
2
a 
 
2
a 
E 
 E 
 O 
N 
 
 S 
P 
Fig.41 
 
4
3
NS
4
3
OE
a.667,0
12
a.2.a
.4I
a.667,2
12
a.2.a
.4I


 
Sendo INS < IOE , a barra irá flambar no plano OE, que é o plano 
perpendicular ao eixo de menor momento de inércia ( INS ). 
Podemos dizer também, que a barra flambará em torno do eixo 
NS de menor inércia. 
 8.33 
11.10- Verificar a segurança do tirante e da escora: 
DADOS 
 AB = 1 m 
AC = 0,5 m 
 secções transversais : 
 
tirante d = 1 cm 
 
escora 
 
 
 Materiais 
Tirante ET = 2000 Kgf/cm² 
Escora E = 2,1.10
6
 Kgf/cm² 
 
SOLUÇÃO: 
 
Equilíbrio do ponto A : 
 
 
Tirante AB : 
Escora AC : A=2cm
2
 
 
11.11- Para a estrutura da figura, calcular o máximo valor de “P” que pode ser aplicado, considerando o efeito da 
flambagem nas barras comprimidas. 
 
P 
 
 
O45
 

 
4,0m 
A B 
FAB 
FBC 
1 
2 
LBC=5m 
DADOS:- Material – Aço ASTM-A36 
P
2
lim
E.



 
MPa250ECET 
 
MPa190P 
 
GPa200E 
 
Para 
lim
 (REGIME PLÁSTICO) 
2
fl .0058,0250 
 ( MPa ) 
ADOTAR: c.s = 3 ( COEF. DE SEGURANÇA ) 
190
10.200. 32
lim


 
 
102lim 
 
Fig.43 
C 
3,0m 1,0m 
LAB 
SECÇÕES 
BARRA AB 
BARRA BC 
A, B, C ...ARTICULAÇÕES 
x’ 
2 6” x 2” x 0,2” 
O36,86
0,8 cos
0,6 sen
75,0 tg




 
 2 cm 
 
1 cm 
 
 FAB = 514,03 1000 
 
 A 
 
 
 FAC = 729,93 
06,3s
48,659
2000
s48,654
4
1
03,514
TT
2
T 


93,1
93,729
38,1409
s cm29,0
2
17,0
ii
38,1409
50
17,0101,2
P cm17,0
12
12
I
 4,10441,172
29,0
50
 4,104
1900
101,2
fl2min
2
62
fl
4
3
1
escora
62
lim









 
 B 
 tirante 
 1000 Kgf 
A 
 escora 
 
 C 
 60º 
 45º 
Fig.42 
G1 
5,08 
4cm 
4cm 
3cm 3cm 
x’ 
y’ 
y’ 
G 
G 
G1 
3,78 1,3 
2P 
 8.34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.12- Determinar a máxima carga w em Kgf/cm na estrutura, considerando o problema da flambagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
-Forças nas barras (Equilíbrio nó B) 
0Fx 
{+ FAB - FBCsen

 - Pcos45º= 0 
+ FAB - 0,6FBC - 0,71P = 0 (I) 
0Fy 
{+ FBC cos

 - 2P - Psen45º = 0 
+ 0,8FBC - 2P - 0,71P = 0 

FBC = 3,38P=N2 (compressão) 
De (I) vem: FAB - 0,6.(3,38P) - 0,71P= 0 

FAB = 2,74P=N1 (compressão) 
-Secções 
Barra AB: lfl=le=lAB=1m 
lim
fl
AB
mm
inm
4
3
y
4
3
x
2
97,81
22,1
100
r
l
22,1
24
36
ir
Icm36
12
3.4
.4'I
cm64
12
4.3
.4'I
cm24
2
6.8
A

















 
fl
250.0,0058.(81,97
2
)=211,03 Mpa 
Pfl=
fl
.A=(211,03.10
6
).(24.10
-4
)=506,47 kN 
 
 
kN61,61P
P.74,282,168FP
kN82,168
3
47,506
s.c
P
P
AB
fl
fl



 
Barra BC: lfl=le=lBC=5m 
lim
fl
AB
mm
inm
42
y
4
x
2
4,124
02,4
500
r
l
cm02,4
31
5,500
ir
Icm5,500)78,35,158,28.(2'I
cm1092546.2'I
cm315,15.2A





 
42,124
10.200.E. 32
2
2
fl





=127,4 MPa 
Pfl=
fl
.A=(127,4.10
6
).(31.10
-4
)=394,9 kN 
kN95,38P
P.38,365,131FPkN65,131
3
9,394
s.c
P
P
BC
fl
fl



 
MENOR P 
RESPOSTA: PMÁX=38,95 kN 
Dados da barra BD: 
 secção (ver figura) 
 Material 
ET = EC = 2400 Kgf/cm² 
p = 1900 Kgf/cm² 
E = 2,1.106 Kgf/cm² 
 Adotar sfl = 5 
 200.w 
 VC = 50.w 
 250.w 
 
 250.w 
 
1,3
 
y´
 
3,78
 
 y 
 x´ 
cm 
 5,08 
 
 400 cm 200 cm 
 
 
 2
0
0
 c
m
 
 
 C B A 
 D 
 w 
 6’’ x 2’’ x 0,2’’ 
 y 
 x 
 se regime plástico, usar 
SHANLEY - BLEICH 
Fig.44 
 8.35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  2
2
2
fl
barra
min
 min 
42
Y
fl
4
X
fl
62
lim
cm
Kgf
15,228675,49
44,104
19002400
2400
plástico) (campo 4,104 75,49
02,4
200
cm02,4
31
54,500
i
cm
Kgf
7,56wIcm54,50078,35,158,282I
5
w250
56,70870
s cm10925462I
 kgf56,708703115,2286P 44,104
1900
101,2












Fig.45 
Fig.46 
11.13- Esboçar o diagrama tensão de flambagem(
fl
) X índice de esbeltez (

), indicando os tipos de 
curvas, tipos de regime (elástico e plástico), índice de esbeltez limite (
lim
), tensão de proporcionalidade 
(
p
) e tensão de escoamento (
E
). No regime plástico usar 
2
Efl k
. 
PARÁBOLA

Barras curtas
Lim
R. Plástico
 

fl
E
p
- EULER
Barras longas
R. Elástico
Lim  Lim

HIPÉRBOLE
 
 
11.14- Dado o caso fundamental de Euler (barra biarticulada), esboçar os outros 3 principais casos, 
indicando a vinculação, a deformação e o valor do comprimento equivalente de flambagem ( Le = lfl ). 
P
 
P
 
L
 
P
 
P
 
L
fl
=
L
 
L
fl
=
2
.L
 
L
fl
=
0
,7
.L
 
L
fl
=
0
,5
.L
 
Fig.45 
Fig.46 
 8.36 
12 - Exercícios Propostos 
 
 
12.1- Calcular a carga admissível à flambagem para as seis colunas abaixo esquematizadas ( Fig. 47 a 52 ). 
 
a) 
 
 Material adotar 
 Aço ASTM A7 s=3 l=4m 
 
26
2
E
2
p
cm/Kgf10.1,2E
cm/Kgf2400
cm/Kgf1900



 
 
 
 
 
 
b) 
 Pinho do Paraná s=4 l=3m 
 
cp
2
2
c
3
8
cm/Kgf105225E
cm/Kgf51



 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 Ferro fundido s=5 l=3,5m 
 
26
2
p
2
c
cm/Kgf10.1E
cm/Kgf1500
cm/Kgf1800


 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 Liga de Al s=3 l=2m 
 
2
p
2
cm/Kgf1750
cm/Kgf703000E


 
 Para 
lim

 
 
2
fl
cm/Kgf192953 
 
 
 
 
 
secção 
1 
 
Fig.48 
d=20 cm 
l 
P 
P 
 Fig.47 
P 
P 
l 
30 cm 
20 
1 1 
2 
Fig.49 
Fig.50 
 
P 
P 
l 
12 cm 
5 
 
l 
P 
P 
20 cm 
3 cm 
3
0
 c
m
 
2
 c
m
 
 8.37 
e) 
 Aço ASTM A36 l=6m 
 
26
2
p
cm/Kgf10.1,2E
cm/Kgf2540


 
 
 usar AISC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 Aço St 37 s=2,5 l=1,5m 
 
2
p
26
cm/Kgf1900
cm/Kgf10.1,2E


 
 Para 
lim

 
 usar Tetmajer 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: a) 
Kgf69824P
fl

 b) 
Kgf5664P
fl

 c) 
Kgf22500P
fl

 
 d) 
Kgf24011P
fl

 e) 
Kgf13040P
fl

 f) 
Kgf16758P
fl

 
 
 
12.2- Verificar a estrutura abaixo (fig. 53) 
 
 
 
 FIG 55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: s  3 
 
 
4
 m
 
2
 m
 
3 m 
1,5 m 
1 
2 
C 
B 
A 
0,5” 
P= 50 tf 
Material: aço SAR-50 (Usiminas) 
26
2
p
2
E
cm/Kgf10.1,2E
cm/Kgf2640
cm/Kgf3300


 
Barra 1 : 
 2 L 
"
8
1x"4x"8
 
Barra 2 : 
 L 
"
8
5x"8x"8
 
 
 
2 I 
"31,0x"
8
54x"10
 
Fig.51 
l 
Fig. 54 
P 
P 
 
P 
P 
12 cm 
9 cm 
Fig.52 
Fig.53 
P 
 8.38 
12.3- Determinar a máxima carga P na estrutura abaixo, considerando a flambagem nas barras AB e AC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: P=5333 Kgf 
 
 
12.4- Determinar o acréscimo de temperatura que provoque flambagem na barra bi-articulada da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.5- Dimensionar a barra CD da estrutura abaixo (fig. 56): 
 
 P= 1000 Kgf 
 p= 1000 Kgf/m 
 s= 4 
 material – aço 
 
2
E
2
p
26
cm/Kgf2500
cm/Kgf2000
cm/Kgf10.1,2E


 
 
 
 
 
 
 
Resp.: t = 88oC 
e 
d 
l 
2,0
 m
1 m
Fig. 56 A
1 m

D
2,0
 m
P
B
C
5
5
20
0 m
m
[ mm ]
150
 
Dados: 
Barra AB: 
"200,0x"2x"6
 
Barra AC: 
Material: aço ASTM A7 
26
2
E
2
p
cm/Kgf10.1,2E
cm/Kgf2400
cm/Kgf1900


 
Adotar s=4 
 
Dados: l=200cm; d=10cm; 
e=1 cm; 
Material: aço estrutural 
C/10.12
cm/Kgf2400
cm/Kgf10.1,2E
cm/Kgf1900
6
2
E
26
2
p




 
Fig.55 
Fig.54 
Secção: triângulo
equilátero
 
C B A 
D 
p 
3 m 3 m 
4
 m
 
4 m 
a 
a a 
P 
Resp.: a= 13,7 cm 
Fig.56 
 8.39 
12.6- Determinar a máxima carga admissível na estrutura abaixo, nos seguintes casos: 
a) l = 4m b) l = 8m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.7- A coluna da figura seguinte é rotulada nas extremidades A e B e apresenta na seção central C ligações que 
impedem a flambagem segundo a direção xx, ou seja, em torno do eixo yy. Sabendo-se que se trata do perfil H 
de 5” (tipo Alcan Shape 29003) e que a liga de alumínio é do tipo 6351 T6, verificar a coluna para uma carga 
axial de compressão de 40 tf.D
l
Fig. 59
A
C
a

a
a B
P
 
As 3 barras bi-articuladas AD, 
BD e CD estão dispostas de tal 
forma que a base horizontal 
ABC é um triângulo equilátero 
de lado a=l/4 onde l é a altura 
GD da estrutura. 
G é o centro de gravidade do 
triângulo ABC. Adotar 
coeficiente de segurança s=3. A 
seção das barras é tubular  6” 
(DIN 2440): admitir material do 
tipo ASTM A7. Resp.: a) P=48482 Kgf 
 b) P=22745 Kgf 
xx
y
y
 
P= 40 tf 
l/2 
A 
x 
C 
y 
y x 
 
l = 6 m 
P= 40 tf 
 
Obs.: Consultar catálogo da 
Alcan ou equivalente. 
P= 40 tf 
l/2 
B 
 
Fig.57 
ADOTAR: 
A=34,52cm
2
 
Ix=565,24cm
4
 
Iy=326,74cm
4
 
E=713300Kgf/cm
2
 
σp=1770Kgf/cm
2
 
No regime plático: 
Σfl=2960 - 19λ (Kgf/cm
2
) 
 
Fig.58 
 
Resp: 
 
Pflx=18876Kgf 
Pfly=25558Kgf 
Portanto não resisste! 
 8.40 
12.8- Determinar o coeficiente de segurança da estrutura da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.9- Determinar a máxima carga P na estrutura na qual A, B e C são articulações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.10- O Prof. Renato Miranda está projetando e construindo uma treliça para uso no Laboratório de Resistência 
dos Materiais, semelhante à existente no Dep. de Física, como se indica abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se: 
a) Determinar as forças na barra mais tracionada e mais comprimida. 
Barra "AB"
Barra "BC"
A, B, C são articulaçõesC
B
2 
m
1,5 tf
1,5 m
A
3 cm
8 cm
5 cm
3 cm
 
Material das barras: 
2
2
2
/120
/100
/180
cmtfE
cmKgf
cmKgf
p
RCRT





 
Para 
lim

 vale: 
2
fl
cm/Kgf2,61800 
 
1,5
 m
10
 cm
P
Secção
espessura constante
C Obs:
5 cm
0,5
2 m
A
B
 
• Material: 
26
2
p
2
ECET
cm/Kgf10.1,2E
cm/Kgf1900
cm/Kgf2400


 
• Adotar: 
0,3s
5,1s
fl
T


 
• Se ocorrer flambagem no campo 
plástico, usar a fórmula de 
SHANLEY-BLEICH. 
60
mm445a
N30P
N20P
N10P
3
2
1





 
Material- Aço 
inoxidável 
4s
mm/Kgf21000E
mm/Kgf35
mm/kgf25
2
2
CT, E
2
p




 
Obs.: Todos os triângulos são equiláteros. 
 
1 
3 2 
4 
5 6 
9 8 
7 
A B 
C 
10 
11 
D F 
E G 
a a a 
P1 
P2 
P3 
Fig.59 
Fig.60 
Fig.61 
Resposta: 
s = 1,8 
Resposta: 
P = 3739Kgf 
 8.41 
 
b) Dimensionar a barra mais tracionada, de seção retangular: bx2b 
 
c) Dimensionar a barra mais comprimida, de seção circular: 
 
d) Instalando-se um extensômetro simples na barra n o. 6, qual deve ser a leitura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.11- Calcular a máxima carga P considerando a flambagem da barra AB: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se regime plátisco usar σfl=2540 – 0,0775λ
2
 (kgf/cm
2
) 
 
12.12- Uma coluna circular de aço, com secção de 100cm
2
 pode ser executada de dois modos: 
A) Secção circular maciça. 
B) Secção em forma de coroa circular, com espessura de parede de 1cm. 
Determinar o coeficiente de segurança à flambagem, para cada caso, para uma carga máxima atuante de 100tf. 
 
Material: 
EC = 2400 Kgf/cm
2
 
p = 1900 Kgf/cm
2
 
E = 2,1.10
6
 Kgf/cm
2
 
Se ocorrer flambagem no campo 
plástico, usar Stanley. 
 
 
 
Resposta: 
A) sfl = 1,03 
B) sfl = 2,34 
 
12.13- Para a estrutura carregada conforme figura, na qual A, B e C são articulações, 
pede-se: 
a) Verificar a tensão normal na barra AB. 
2,0 m 1,0 m
1,5
 m
A
C B D
 
Seção 
2 
"
8
3x"4x"4
 
2b
b
 
 
Material:- 
Aço ASTM-A36 
4s
cm/Kgf10.1,2E
cm/Kgf2540
cm/kgf1270
26
2
E
2
p




 
D F
6
 
2m 
P 
Fig.62 
Fig.63 
Fig.64 
Respostas: 
a) N6 = +39N, N10 
= -25N 
b) b = 0,47mm 
c) d = 3,74mm 
d) e= 2,36 ∙10-6 
Resposta: 
P=8251kgf 
 8.42 
b) Calcular o comprimento a dos cordões de solda da emenda. 
c) Determinar graficamente, o deslocamento do nó B. 
d) Calcular o coeficiente de segurança da barra BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DADOS 
 chapas e tubos 
pT = 1900 Kgf/cm² 
ET = EC = 2400 Kgf/cm² 
esc = 1800 Kgf/cm² , E = 2,1.10
6
 Kgf/cm² 
No regime elástico usar SHANLEY 
 
 
12.14- Calcular o coeficiente de segurança da estrutura da figura, considerando as solicitações nas colunas AB, 
CD e nas soldas do apoio da coluna AB. 
DADOS: 
 A e C são articulações 
 SOLDA: e = 100 MPa 
 COLUNAS AB e CD: p = 190 MPa 
 E T,C = 240 MPa 
 E = 210 GPa 
Para regime plástico, aplicar: 
 fl = 240 – 0,0046.² (MPa) 
 
Seção transversal da coluna CD: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Detalhe da ligação soldada (coluna AB) 
(medidas em milímetros) 
 
 
 
 
 
 
 0,5 0,5 1 
 
 9 10 
 a 
 
Detalhe da emenda ( cm ) 
Fig.65 
 
4 m 
 
E 
2m 1m 
100 KN 
3,5 m 
A 
C 
D 
B 
 6
0
 m
m
 
 
8
0
 m
m
 
150 
170 
200 
10 
10 
RESPOSTAS 
 
a) T = 1111 Kgf/cm²  2400 
ou sT = 2,16 
b) a  9,39 cm 
c) B = 0,23 cm 
d) sfl = 3,2 
 soldas 
T = C = 1000 Kgf/cm² 
 = 750 Kgf/cm² 
E = 1,9.10
6
 Kgf/cm² 
 emenda 
 A B 2tf 
 
 
 
 6tf 
 
 
 
 C 
 
 
 9cm 
 2m 
 
 
 1
,5
m
 
10cm 
Fig.66 
 8.43 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Barra CD: compressão de 50 KN 
 
 
BARRA AB: tração de 150 KN 
 
 
SOLDA: 
 
 
RESPOSTA: c.s.=1,88 
 
 
 
 
222
444
6
92
cm98,21)68(
64
A
cm4,137)68(
64
I
104
10190
10210
min
lim










Pa100808,0
160
210E
elástico reg. 104 160
50,2
400
cm50,2
98,21
4,137
r
9
2
2
2
2
fl
min








56,3.s.c 
50
8,177
.s.c
KN8,177N1777731098,21100808,0P
CDfl
fl
49

 
4,2.s.c 
100
240
.s.c
MPa100Pa10100
10)151(
150000
ABAB
T
6
4





88,1.s.c 
53
100
.s.c
MPa53Pa1053
)1010
2
2
10200(2
150000
so ld aso ld a
so ld a
6
33





150KN 50KN 
100KN