Variável Aleatória

Prévia do material em texto

1 
Variável Aleatória: Sejam E um experimento e S o espaço amostral associado 
ao experimento (S é o conjunto de todos os resultados possíveis). Uma função 
X, que associe a cada elemento s ∈ S um número real X(S) é denominado de 
variável aleatória. 
Variável Aleatória com um número infinito de valores que podem ser 
associados a pontos de um intervalo contínuo da reta, é considerada Variável 
Aleatória Contínua. 
 
As variáveis aleatórias contínuas são modeladas por uma função densidade de 
probabilidade (fdp) que apresentam as seguintes propriedades: 
a) f(x) ≥ 0 para todo x pertencente aos números reais (x ∈ Rx). 
b) ∫
RX
f(x) dx = 1. 
c) P(a < X < b) = ( ) ,∫
b
a
dxXf para a < b em RX 
Considerações importantes: 
1. A probabilidade de qualquer valor especificado de X, por exemplo, x0, 
tem P(X = x0) = 0, pois P(X = x0) = ( )∫ =
0
0
.0
X
X
dxXf Assim, as 
probabilidades a seguir são todas iguais, se x for variável aleatória 
contínua: P(a ≤ x ≤ b) = P( a ≤ x < b) = P( a < x ≤ b) = P( a < x < b). 
2. Note que f(x), densidade de probabilidade, não é probabilidade. 
Somente quando a função é integrada entre dois entre dois limites 
diferentes, ela produzirá uma probabilidade, que será a área sob a curva 
da função entre x = a e x = b; a < b. 
Função repartição: Quando x é uma variável aleatória contínua, a função 
repartição (função de distribuição) é definida como F(x) = ( )∫
∞−
0X
dxXf . 
Exemplo: Seja x uma variável aleatória contínua com a seguinte fdp: f(x) = 2x 
para 0 < x < 1, Pede-se: a) mostrar que f(x) é uma fdp; b) P(1/4 < x < 3/4); c) 
F(mediana); d) obter x tal que P(X < x) = 0,33; e) P(x > 0,9). 
 2 
a) f(x) é uma fdp porque f(x) ≥ 0 para qualquer x no intervalo entre 0 e 1 e 
porque .1
2
22 10
21
0
==∫
x
xdx 
b) P(1/4 < x < 3/4) = F(3/4) - F(1/4) = (3/4)2 - (1/4)2 = 1/2 = 0,5. 
c) F(md) = md2 = 0,5 ⇒ md = (0,5)1/2 = 0,707, ou seja F(0,707) = P(X < 0,707) = 
0,5. 
d) P(X < x) = 0,33 ⇒ F(x) = x2 = 0,33 ⇒ x = (0,33)1/2 = 0,574. 
e) P(x > 0,9) = 1 - P(x < 0,9) = 1 - F(0,9)2 = 0,19. 
Distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias: Existem casos em que há 
interesse por dois resultados simultâneos. Por exemplo, altura e diâmetro de 
plantas. Assim, sejam E um experimento aleatório e S o espaço amostral 
associado a E. Sendo X = X(s) e Y = Y(s) duas funções, cada uma associando 
um número real a cada resultado s ∈ S, denomina-se (X,Y) como sendo uma 
variável aleatória bidimensional que poderá ser discreta, contínua ou uma 
discreta e outra contínua. 
Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional contínua, então a função 
densidade de probabilidade conjunta f(x,y) satisfaz as seguintes condições: 
f(x,y) ≥ 0 e ( ) .1, =∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
dxdyyxf A função repartição conjunta é: F(x,y) = P(X≤ x, 
Y≤y). 
 
Distribuição de probabilidade marginal: Dada uma variável aleatória 
bidimensional e sua distribuição conjunta, pode-se determinar a distribuição de 
X sem considerar Y, ou vice versa. São as chamadas distribuições marginais. 
Seja (x,y) variável aleatória bidimensional contínua, então a função densidade 
marginal de x é: g(x) = ∫
+∞
∞−
dyyxf ),( . A função densidade marginal de Y é: h(y) = 
∫
+∞
∞−
.),( dxyxf 
Variáveis aleatórias independentes: Seja (x,y) uma variável aleatória contínua 
bidimensional. Diz-se que x e y são independentes se, e somente se, f(xi, yj) = 
g(xi) x h(yi) para todo (x,y) ou simplesmente F(x,y) = F(x) x F(y). 
 3 
Exemplo: Verifique se X independe de Y, dada a função de densidade de 
probabilidade conjunta igual a f(x,y) = xy/96, x ∈ (0;4) e y ∈ (1;5). A solução é 
verificar se F(x;y) = F(x) x F(y) ⇒ f(x) = 
162
*
8
1
8
)(
82
*
9696
2
0
2
0
5
1
25
1
xxdxxxFxyxdyxy
xx
===⇒== ∫∫ 
f(y) = 
24
1
2
*
12
1
12
)(
122
*
9696
2
1
2
1
4
0
24
0
−
===⇒== ∫∫
yydyyyFyxydxxy
yy
 
F(x;y) = .
384
)1(
2
*
192192
1
2
*
9696
22
0
22
0
2
10
2
10
−
==
−
== ∫∫∫∫
yxxy
xdxydxyxdydxxy
xxyxyx
 
Prova: Como F(x) * F(y) = {x2/16} * {(y2 - 1)/24} = F(x;y), as variáveis X e Y são 
independentes. 
Distribuição condicional: 
A distribuição condicional de x dado y é f(x/y) = f(x;y)/f(y) e F(x/y) = .)/(∫
∞−
x
dxyxf 
A distribuição condicional de y dado x é f(y/x) = f(x;y)/f(x) e F(y/x) = ∫
∞−
y
dyxyf .)/( 
Medidas de posição: 
Média ou esperança matemática: A esperança matemática ou média de uma 
variável aleatória contínua x é obtida por E[X] = µx = µ = .)(*∫
+∞
∞−
dxxfx 
Exemplo: Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte fdp: f(x) = 2x 
para 0 < X < 1. Pede-se para obter a esperança matemática de X, isto é E[X]. 
E[X] = ( ) .
3
201
3
2
3
*222* 33
1
0
31
0
2
1
0
=−=== ∫∫
xdxxxdxx 
Propriedades da média: 
1. A média de uma constante é a própria constante: E[K] = K; 
2. Multiplicando uma variável aleatória por uma constante, sua média fica 
multiplicada pela constante: E[KX] = KE[X]; 
3. A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é a soma ou 
diferença das médias: E[X±Y] = E[X] ± E[Y]; 
4. Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, sua média 
fica somada ou subtraída da mesma constante: E[X ± K] = E[X] ± K; 
 4 
5. A média de uma variável aleatória centrada na média é zero: E[X - µx] = E[X] 
- E[µx] = 0; 
6. A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é o produto 
das médias: E[XY] = E[X]*E[Y]. 
Mediana de uma variável aleatória (md): É o valor que divide a distribuição em 
duas partes iguais, ou seja, F(md) = 0,5. 
Moda de uma variável aleatória: É o valor da variável com a maior densidade, 
para X contínua. 
Medidas de dispersão: 
Variância: Define-se variância de uma variável aleatória X como sendo: Var[X] 
= σ
2(x) = E[(X - µx)2] ⇒ ( ) .)()( 2∫
+∞
∞−
− dxxfxXi µ 
Obs.: E[(X - µx)2] = E{X2 + µx2 - 2X µx} = E[X2] + µx2 - 2 µx2 = E[X] - µx2. 
Propriedades da variância: 
1. A variância de uma constante é zero: σ2(K) = 0; 
2. Multiplicando uma variável aleatória por uma constante, sua variância fica 
multiplicada pelo quadrado da constante: 
σ
2(KX) = K2 σ2(X) ou Var (KX) = K2Var(X); 
3. Somando-se ou subtraindo-se uma constante à uma variável aleatória, sua 
variância não se altera: Var (X ± K) = Var (X); 
4. A variância da soma ou diferença de duas variáveis aleatórias 
independentes é a soma das respectivas variâncias: Var(X ± Y) = Var (X) + 
Var(Y). 
Desvio Padrão: É a raiz quadrada da variância: σ2(X) = ( ) .2 Xσ 
Exemplo: Seja X uma variável aleatória com a seguinte fdp: f(x) = 3x2, x ∈ (0;1), 
calcular: E[X]; Var[X] e o desvio padrão. 
E[X] = .
4
3
4
*3*3*
1
0
41
0
2
X
xdxxx µ===∫ 
E[X2] = .
5
3
5
*3*3*
1
0
51
0
22
==∫
xdxxx 
Var(x) = [ ]
80
3
4
3
5
3 2222
=





−=−= Xx XE µσ . 
 5 
σX = (3/80)1/2 = 0,1936. 
Coeficiente de variação: É igual ao desvio padrão expresso em percentagem 
da média. CV=(σ(X)/µ)*100. Esta estatística é útil para comparar a variabilidade 
de populações com unidades de medidas diferentes. 
Propriedades do desvio padrão: 
1. Somando ou multiplicando uma constante a uma variável aleatória, seu 
coeficiente de variação fica, respectivamente, reduzido ou aumentado; 
2. Multiplicando ou dividindo uma variável aleatória X por uma constante, seu 
coeficiente de variação não altera. 
Covariância e Coeficiente de correlação: O grau de dispersão conjunta e de 
associação linear entre duas variáveis aleatórias podem ser avaliados pela 
covariância e coeficiente de correlação. 
Define-se a covariância entre X e Y como sendo COVXY = E[(Xi - µX)(Yj - µY)] ou 
simplesmente COVXY = E[XY] - µXµY. 
Define-se o coeficiente de correlação entre X e Y como sendo 
[ ]
( ) ( )
[ ] ( )
( )contínua. , para
,*11 :onde ;
YX
dxdyyxfxyXYEXYE XY
YX
YX
XY ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
=⇒≤≤−
−
= ρ
σσ
µµρ
 
Exemplo: Seja f(x,y) = (1/48)(8 - x - y), x ∈ (0;2), y ∈ (0;6). Calcular a 
correlação entre X e Y. 
 6 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
pequena. e negativa é Y e X entre correlaçãoA 07007,0
16
39
*
144
47
48
108
*
12
112
16
39
48
108
2
15
2
15
4
*2
3
*14
48
1
48
214][
48
108
3
*2
2
*14
48
1
48
214][
48
214
2
*8
48
1
48
8
144
47
12
11
6
7
6
7
48
56
4
*6
3
*30
48
1
48
630][
12
11
3
*6
2
*30
48
1
48
630][
48
630
2
**8
48
1
48
8
2
3
*18
2
*72
48
11872
48
17218144
48
1
322
8
48
1
48
8][
2
2
6
0
46
0
36
0
22
6
0
36
0
26
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
2
0
42
0
32
0
22
2
0
32
0
22
0
6
0
2
6
0
6
0
6
0
2
0
32
0
22
0
22
2
0
2
0
6
0
36
0
2
2
6
0
26
0
2
0
⇒−=
−
=
=





−=⇒=








−=
−
=
==








−=
−
=
−
=








−−=
−−
=
=





−=⇒==








−=
−
=
==








−=
−
=
−
=








−−=
−−
=
=








−=−=−−
=








−−=
−−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫∫
XY
y
y
x
x
yydyyyYE
yydyyyYE
y
xyxxdxyxyf
xxdxxxXE
xxdxxxXE
xyyxydyyxxf
xxdxxxdxxxx
dxyxyxyxdydxyxxyXYE
ρ
σ
µ
σ
µ