D1T1 - Teoria das Filas

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Teoria das filas
Você vai entender que as filas (ou filas de espera) ajudam o processo produtivo e as empresas a fornecer
serviços de maneira ordenada.
Prof. Mauro Rezende Filho
1. Itens iniciais
Propósito
A formação de fila, se bem gerenciada, é benéfica. Como basicamente os processos de manufatura e/ou
serviços normalmente geram filas, é importante para o engenheiro estudar o fenômeno para otimizar esses
processos.
Preparação
Antes de iniciar seus estudos, tenha em mãos o software Excel, para poder replicar o conteúdo e os exercícios
que serão apresentados.
Objetivos
Aplicar o conceito de teoria das filas.
Analisar filas em sistemas de produção.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e entenda a teoria das filas.
Conteúdo interativo
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1. Introdução à teoria das filas
O conceito de teoria das filas
Confira no vídeo como interpretar a teoria das filas, suas formulações, e como analisar suas aplicações.
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Interpretando a teoria das filas
Por que costumamos ver filas de espera em hospitais, casas lotéricas ou restaurantes? Podemos imaginar que
há mais pessoas precisando de serviços do que os atendentes podem dar conta. Isso é verdadeiro para o
instante em que a estação de serviço é inspecionada. Só que não pode durar para sempre. 
Vamos imaginar um sistema com um servidor, com chegadas de clientes a cada 3 minutos, com um
atendimento médio de 4 minutos por cliente. Se essa dinâmica continuar por muito tempo, é claro que haverá
um tempo de espera nesse sistema que crescerá sem limites, veja:
Chegada
3 clientes por minuto.
Atendimento
4 minutos por cliente.
Fila
Taxa de atendimento > taxa de chegada.
O resultado será uma longa fila, infinita, uma vez que a taxa de atendimento é superior à taxa de chegada – ou
seja, os clientes chegam mais rápido do que se consegue atender. 
Assim, quando estamos falando de postos de atendimento, consideramos que os servidores devem trabalhar
rápido o suficiente para atender o fluxo de clientes ou trabalhos. Ou seja, a taxa média de chegada deve ser
no máximo igual à taxa máxima de atendimento possível.
 
Por que ainda temos que lidar com filas?
 
Uma das explicações é que há filas quando poucos recursos são compartilhados por entidades não
homogêneas (em seu padrão de chegada e/ou carga de trabalho).
Vamos entender agora o que afeta o comprimento (médio) de uma fila e, dessa forma, os tempos de espera.
Apresentamos quatro fatores:
 
Taxa de chegada
Taxa de serviço
Variabilidade dos tempos entre chegadas
Variabilidade dos requisitos de serviço
Analisando esses fatores, podemos identificar alguns elementos básicos dos sistemas:
Processo de chegada
Se a chegada e a oferta do serviço ocorrerem rigorosamente dentro do
cronograma, filas podem ser evitadas. Na prática, isso não acontece.
Quase sempre as chegadas são produto de fatores externos. Portanto, o
melhor que se pode fazer é descrever o processo de entrada em termos
de variáveis aleatórias, que podem representar o número de chegadas
durante um intervalo de tempo ou o intervalo de tempo entre chegadas
sucessivas.
Se os clientes chegam em grupos, seu tamanho também pode ser uma
variável aleatória.
Processo de atendimento
As incertezas envolvidas no mecanismo de serviço são o número de
servidores e de clientes atendidos a qualquer momento, bem como a
duração e o modo de serviço. Redes de filas são mais de um servidor
organizado em série e/ou paralelo. Utilizam-se variáveis aleatórias para
representar os tempos de serviço e o número de servidores, quando
apropriado.
Se o serviço for fornecido para clientes em grupos, seu tamanho também
pode ser uma variável aleatória.
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Capacidade do sistema
O número de clientes que podem esperar por vez em um sistema de filas
é um fator significativo. Por exemplo, se a sala de espera for grande,
podemos supor que, para todos os efeitos práticos, ela seja infinita.
Nossa experiência cotidiana com sistemas telefônicos nos diz que o
tamanho do buffer (local de armazenagem) que acomoda nossa chamada
enquanto esperamos para obter uma linha gratuita também é importante.
Disciplina das filas
Temos que analisar a forma de atendimento por parte do servidor. A
primeira disciplina óbvia de fila que pode vir a nossa mente é a do
primeiro a chegar, primeiro a ser servido (first in, first out – FIFO). Os
clientes podem iniciar o serviço em uma ordem inversa de chegada:
último a chegar, primeiro a ser atendido (last in, first out – LIFO). Os
clientes também podem ser atendidos assim: quem recebe o serviço é
aquele com menos (ou mais) trabalho inacabado entre os que estão no
sistema.
Algumas disciplinas permitem a preempção – interromper o serviço de
alguém e permitir que outro inicie ou retome o serviço.
A representação básica bastante utilizada na teoria das filas é composta por símbolos que representam três
elementos: entrada/serviço/número de servidores.
Por exemplo, usando:
M para Poisson ou exponencial
D para determinístico (constante)
E k para a distribuição Erlang com parâmetro de escala k
G para geral (também GI para independente geral)
Podemos ter:
M/G/1
Chegadas de Poisson, serviço geral, servidor único.
Ek/M/2
Chegada erlangiana, serviço exponencial, dois servidores.
M/D/s
Chegada exponencial, serviço constante, “s” servidores.
Essas representações simbólicas são modificadas quando há outros fatores envolvidos. Vejamos:
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Se não há variabilidade na chegada, nem nos processos de atendimento, não teremos filas. De fato, assim que
a primeira chegada aparece, o servidor funciona por um tempo de duração . Em seguida, o servidor fica
ocioso por um período de até a próxima chegada, atende-o por um período de e assim por
diante.
No caso determinístico que acabamos de ver, a probabilidade de o servidor estar ocupado depende do tempo
e, em particular, não tem limite. Entretanto, imagine que exista alguma variabilidade nos processos de
chegada e/ou serviço. Agora sim tal limite pode existir.
Como veremos a seguir, essas suposições são necessárias não só porque é isso que costumamos enfrentar
nas filas, mas também para que a análise seja tratável. Levando em conta que existam essas probabilidades-
limite, será a probabilidade-limite (ou seja, para um horizonte longo o suficiente) de que o servidor esteja
ocupado.
É impossível lidar com filas sem introduzir a lei de Little. Imagine um sistema no qual entidades contínuas e
indefinidas chegam, ficam por um tempo e depois saem. Em que:
 é a taxa média-limite de chegadas (que, claro, coincide com a taxa-limite de partida).
 é o tempo médio-limite gasto no sistema por chegada.
 é o número médio-limite no sistema.
Se todos esses limites existirem, a lei de Little é enunciada como:
A lei de Little foi apresentada por um argumento heurístico bastante simples. No entanto, sua importância está
em toda a flexibilidade que se gostaria de ter para definir “o sistema”. Aplica-se, é claro, a todos os modelos
de filas de que falamos até agora, mas também a sistemas em que há apenas uma fração das chegadas.
Exemplo
Uma escola primária tem cinco séries (da 1ª até a 5ª série). Todos os anos, quarenta novos alunos se
matriculam na 1ª série. Os alunos avançam nas séries até chegar à 5ª série, quando saem. Qual é o total
de alunos matriculados na escola? A resposta é direta: a taxa de chegada ao sistema é novos alunos por
ano. Cada aluno fica cinco anos na escola, então . Pela lei de Little, a média total de matrículas na escola
é . 
Chegada x tempo de atendimento 
Considere uma única fila de servidores com
taxa média de chegada por unidade de
tempo e como o tempo médio de
atendimento. Suponha que esse seja o caso
para um horizonte longo o suficiente. Nossa
primeira hipótese é que ; caso
contrário, a fila "explodirá" e a análise de longo
prazo será impossível.
Intensidade de tráfego 
Represente por e observe que é o
nívelde utilização do servidor: a
proporção de tempo em que o servidor
está ocupado. Obviamente, 1 - é a
proporção de tempo em que o servidor
está ocioso.
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Para abordar essas questões com mais cuidado, damos agora uma declaração matematicamente precisa da
lei de Little. Considere um sistema com clientes que chegam e partem, veja:
Seja:
 o tempo de o cliente entrar no sistema, em que é ordenado de forma que ;.
 é o número cumulativo de chegadas ao sistema no tempo .
 é o tempo que o cliente passa no sistema - um cliente não pode partir antes de chegar.
Então:
É o número de clientes no sistema no tempo , ou seja, o número de índices tais que:
Vamos definir, então, os seguintes limites, quando existirem:
Primeiro limite 
É a taxa média de chegadas de longo prazo.
Segundo limite 
É o tempo médio de longo prazo gasto no
sistema por cliente.
Terceiro limite 
É o número médio de longo prazo de clientes no
sistema.
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A seguir, apresentamos a notação utilizada para filas, com “q” referindo-se à fila:
λ Taxa média de chegada
S Tempo de serviço aleatório
μ = 1/E(S) Taxa média de serviço
c Número de servidores
r = ρ = λ/μ Carga ofertada
ρc = λ/cμ Intensidade ou utilização do tráfego
T, T q Tempo aleatório que um cliente gasta no sistema/fila
W, W q Tempo médio que um cliente fica no sistema/fila
N, N q Número aleatório de clientes no sistema/fila
L, L q Número médio de clientes no sistema/fila
Mauro Rezende Filho.
Formulações
Vamos analisar algumas formulações de teoria de filas.
Seja:
 - tempo aleatório que um cliente (em estado estacionário) gasta esperando na fila antes de entrar
no serviço.
 - tempo aleatório que um cliente gasta no sistema.
 - tempo de serviço aleatório.
Assim:
Duas medidas de desempenho do sistema muito utilizadas são:
Tempo médio de espera na fila Tempo médio de espera no sistema 
Considere agora as variáveis aleatórias:
 é o número estável de clientes na fila.
 é o número estável de clientes no sistema.
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Seja a probabilidade de estado estacionário de que haja "n" clientes no sistema. Então, para
um sistema de servidor "c", duas medidas de interesse podem ser expressas da seguinte forma:
Número médio na fila Número médio no sistema 
Usando a lei de Little, podemos estabelecer relações entre as quatro medidas de desempenho, e 
, veja:
Lei de Little aplicada ao sistema Lei de Little aplicada à fila
Além disso, como – o tempo que um cliente passa no sistema é o tempo gasto na fila mais o
tempo gasto no atendimento –, temos então:
Relações entre \(L, L_q, W\) e \(W_q\).
Obtemos então a relação entre e :
No caso de um único servidor, , a equação tem uma forma particular:
Como quando , temos:
Observe a execução da lei de Little em uma linha de produção:
Lei de Little aplicada à linha de produção.
Para a fila M/M/1: 
Para a fila M/G/1: 
Para a fila G/G/1: não temos um resultado exato, mas a seguinte aproximação:
Se a taxa média de chegada for e para a variação do tempo entre chegadas, então:
Da mesma forma, se é a taxa de atendimento e a variação do tempo de atendimento, temos que:
Vamos considerar apenas o caso de servidores idênticos (homogêneos) em que há c servidores idênticos em
paralelo e apenas uma fila de espera (ou seja, a fila é uma fila de canal único). Seja c o número de servidores
idênticos, temos:
Para a fila M/M/c:
Em que:
Observe que indica a chance de termos 0 clientes no sistema. Assim, pode ser obtido da seguinte
forma:
Então, para a fila G/G/c, temos a seguinte aproximação:
Analisando aplicações de teoria das filas
Exemplo: filas de clientes em um estabelecimento
Você recebe um sistema de filas com dois servidores em uma condição estável. O número de clientes no
sistema varia entre 0 e 4 . Para , a probabilidade de que exatamente clientes estejam no
sistema é , , , , . 
Dessa forma, vamos determinar os seguintes elementos:
, o número esperado de clientes no sistema.
, o número esperado de clientes na fila.
O número esperado de clientes atendidos.
Se a taxa média de chegada é de dois clientes por hora, determine o tempo esperado de espera no
sistema, , e o tempo de espera na fila, .
Se ambos os servidores têm o mesmo tempo de atendimento esperado, use os resultados da parte 
 para determinar esse tempo.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Solução
Vamos aplicar ao exemplo as definições de e . Como vimos, as relações entre eles são:
Veja agora a solução para cada um dos elementos listados:
1
Como foram dados os , pode-se facilmente obter :
$
Em média, há dois clientes no sistema.
2
Das probabilidades e de , pode-se também obter diretamente :
$
Em média, há 0,375 clientes esperando na fila.
3
Pela diferença , sabemos que, em média, existem 1,625 (2 - 0,375) clientes atendidos; assim,
em média, os dois servidores ficam ocupados por uma fração de tempo igual a .
O mesmo resultado pode ser obtido diretamente dos valores de :
$
4
Da lei de Little obtém-se:
$
Analogamente, para a fila obtém-se:
$
5
Finalmente, de obtemos:
$
Assim, o tempo médio de atendimento é:
$
Exemplo: filas de insumos
Um centro de trabalho como eventos de Poisson recebe em média 10 tarefas por minuto. São colocadas num 
buffer, gerido segundo uma política FIFO, de onde são retiradas para processamento em uma das duas
máquinas disponíveis. As máquinas são idênticas e trabalham em paralelo, independentemente uma da outra.
Cada uma exige um tempo variável para processar cada job: a distribuição dos tempos de atendimento é
exponencial com valor médio igual a 10 segundos por job.
Qual é o fator de utilização do sistema de filas?
Qual é o número médio de trabalhos no buffer?
Qual o número médio de tarefas no sistema (buffer + máquinas)?
Qual é o tempo médio em que um trabalho permanece no buffer?
Qual é o tempo médio que um tarefa fica no sistema?
Além disso, deseja-se saber como projetar a capacidade do buffer para que a probabilidade de que não seja
suficiente para acomodar os trabalhos em espera seja inferior a 3%.
Por fim, vamos avaliar o lucro da substituição das duas máquinas por uma única máquina nova que processe
todas as tarefas em um tempo fixo igual a 5 segundos. Se o custo de ter trabalhos na fila for avaliado em $ 0,2
por minuto e o custo para atualizar a linha de produção for $ 2.000, quanto tempo levará para amortizar o
investimento?
Solução
Considerando:
Cenário atual
Modelo: M/M/2Parâmetros: jobs/
minuto e jobs/minuto.
Segundo cenário
Modelo: M/D/1Parâmetros: ( jobs/
minuto\) e jobs/minuto.
Veja agora a solução para cada um dos elementos listados:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
1
Cenário atual: 
Segundo cenário: 
2
Cenário atual: e então trabalhos
Segundo cenário: trabalhos
3
Cenário atual: trabalhos
Segundo cenário: trabalhos
4
Cenário atual: minutos
Segundo cenário: minutos
5
Cenário atual: minutos
Segundo cenário: minutos
Respondendo aos questionamentos finais, temos:
Probabilidade de ter mais de jobs no sistema (buffer + máquinas)
A partir das probabilidades podemos ver que a probabilidade de ter mais de jobs no sistema
(buffer + máquinas) é para e para .
Assim, a probabilidade é menor que para , uma capacidade de buffer de 17 ( 2 jobs
estão nas máquinas, não no buffer).
Amortização do custo de atualização
O custo da fila é o número médio de jobs, , vezes o custo de cada job. No primeiro cenário,
temos por minuto. No segundo, por
minuto. A diferença é por minuto.
Portanto, para amortizar o custo de atualização de , são necessários minutos, ou seja,
100 horas.
Exemplo: análise de fila única
Considere a seguinte fila de um único servidor: o tempo entre chegadas é exponencialmente distribuído com
média de 10 minutos, e o tempo de atendimento também é exponencialmente distribuído com média de 8
minutos.
Qual é a espera média na fila?
Qual o número médio na fila?
Qual o tempo médio de espera no sistema?
Qual o número médio no sistema?
Qual a proporção de tempo que o servidor está ocioso?Solução
Temos um sistema . Temos também .
Assim, .
Então, vamos ver a seguir a solução para cada um dos elementos listados:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
1
Número na fila: 
2
Espera na fila: minutos
3
Tempo de espera no sistema:
 minutos
4
Número médio no sistema: 
5
Proporção de tempo que o servidor está ocioso: 
Exemplo: tempo de espera em fila única
Considere a seguinte fila de servidor único: o tempo entre chegadas tem uma distribuição gama com média de
10 minutos e variância de 20 minutos. O tempo de atendimento tem distribuição normal com média de 8
minutos e variância de 25 minutos.
Qual é a espera média na fila?
Qual o número médio na fila?
Qual o tempo médio de espera no sistema?
Qual o número médio no sistema?
Qual a proporção de tempo que o servidor está ocioso?
Os resultados da simulação indicam que é de cerca de 8,1 minutos.
Solução
Temos um sistema , com . A variância do tempo entre chegadas é 20. 0 tempo médio de
atendimento será 8, ou seja, . A variância do tempo de serviço, , é 25. Além disso, .
Então:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Agora, usando a aproximação de Marchal, vamos ver a solução para cada um dos elementos listados:
1
Número na fila:
$
2
Espera na fila:
 minutos minutos, que é a estimativa da simulação.
3
Espera no sistema:
 minutos
4
Número no sistema:
$
5
Proporção de tempo que o servidor está ocioso:
Exemplo: analisando o tempo de chegadas
Considere o seguinte cenário: o tempo entre chegadas tem uma distribuição exponencial com média de 10
minutos. Existem dois servidores, e o tempo de atendimento de cada servidor tem a distribuição uniforme com
máximo de 20 minutos e mínimo de 10 minutos.
Qual é a espera média na fila?
Qual o número médio na fila?
Qual o tempo médio de espera no sistema?
Qual o número médio no sistema?
Qual a proporção de tempo que o servidor está ocioso?
Os resultados da simulação de eventos discretos, conhecidos por sua precisão, mostram que o tempo médio
de espera na fila é de 9,5693 minutos. Calcule o erro na aproximação G/G/c.
Solução
Esse é um sistema . Temos ; e como resultado. tempo médio de atendimento
será , ou seja, . A variação do tempo de serviço, , será igual a 
. Além disso, . Então:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Usando a aproximação , primeiro assumimos que a fila é e calculamos seu . Agora,
usando a fórmula, temos . Então podemos calcular:
Assim:
Agora, precisamos transformar isso em uma fila G/G/2:
Então:
Portanto, o erro de aproximação será igual a:
Espera no sistema: minuto
Número no sistema: 
Em resumo, vamos ver a solução para cada um dos elementos listados:
1
Espera média na fila:
$
2
Número médio na fila:
$
3
Tempo médio de espera no sistema:
$
4
Número médio no sistema:
$
5
Proporção de tempo que o servidor está ocioso:
$
$
Teoria na prática
Um banco comercial tem três assistentes de pagamento em dinheiro. Os clientes chegam conforme uma
distribuição de Poisson a uma taxa média de 6/h para transações comerciais. O tempo de atendimento tem
uma distribuição exponencial com média de 18 minutos. Os clientes são processados com base no FIFO.
 
Qual o número médio de clientes no sistema?
Qual o tempo médio que um cliente passa no sistema?
Qual o comprimento médio da fila?
Quantas horas por semana um caixa pode gastar com os clientes?
Chave de resposta
Assista ao vídeo e confira a resolução da questão.
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Conteúdo interativo
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Mão na massa
Questão 1
As chegadas de ligações a um telefone são consideradas como distribuição de Poisson, tendo como tempo
médio, 8 minutos entre uma nova chamada e a seguinte. A duração da chamada telefônica é distribuída
exponencialmente, com média de 4 minutos. A fração esperada do dia em que o telefone estará em uso será
igual a
A
100%.
B
80%.
C
60%.
D
50%.
E
30%.
A alternativa D está correta.
Calculando, temos:
Taxa média de chegada hora.
Serviço médio hora.
Assim, a fração do dia em que o telefone estará em uso será:
Questão 2
Em uma loja de autoatendimento com um caixa, 8 clientes chegam em média a cada 5 minutos. O caixa pode
atender 10 clientes em 5 minutos. Se os tempos de chegada e atendimento forem distribuídos
exponencialmente, o tempo de espera esperado na fila será de
A
0,033.
B
0,33.
C
3,3.
D
0,066.
E
0,66.
A alternativa A está correta.
Calculando, temos:
Taxa média de chegada hora
Taxa média de atendimento hora
Número médio de clientes esperando na fila para atendimento:
Tempo de espera em fila:
Questão 3
Um técnico de TV conserta os aparelhos na ordem em que chegam. Ele espera que o tempo necessário para
consertar cada aparelho seja, em média, de 30 minutos. Os conjuntos chegam com uma distribuição de
Poisson a uma taxa média de 10/8 horas por dia. Quantos aparelhos de TV estarão esperando pelo conserto?
A
1,78
B
2,06
C
1,04
D
0,98
E
2,46
A alternativa C está correta.
Calculando, temos:
Taxa média de chegada hora
Taxa média de serviço horas
Número de televisores aguardando reparo:
Questão 4
Em um hospital municipal, a chegada de pacientes é considerada Poisson, com um tempo de intervalo de
chegada de 10 minutos. O tempo dos médicos (exame e dispensa) tem uma média de 6 minutos. Imagine que
o município queira recrutar outro médico quando o tempo médio de espera de uma chegada é de 30 minutos
na fila. É justificável?
A
Sim, pois a taxa de atendimento será aumentada de 6 para 8,33.
B
Sim, pois a taxa de atendimento será aumentada de 6 para 6,33.
C
Não, pois a taxa de atendimento cairá de 8,33 para 6.
D
Sim, pois a taxa de atendimento será aumentada de 6 para 7,28.
E
Sim, pois a taxa de atendimento será aumentada de 6 para 9,45.
A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo e confira a resolução da questão.
Questão 5
Em um guichê num estádio de futebol, 20 clientes chegam em média a cada 10 minutos para comprar
ingressos para uma partida. O funcionário consegue atender em média 5 clientes em 2 minutos. O tempo
médio de espera de um cliente será
A
0,032 hora.
B
0,120 hora.
C
0,028 hora.
D
0,074 hora.
E
0,089 hora.
A alternativa C está correta.
Solução: Calculando, temos:
Taxa média de chegada por hora
Taxa média de serviço por hora
Número médio de clientes no sistema:
Tempo médio de espera de um cliente:
Questão 6
Os trabalhos chegam a uma estação de inspeção, de acordo com o processo de Poisson, a uma taxa média de
2/h. São inspecionados um por vez em uma base FIFO. O engenheiro de controle de qualidade faz pequenos
ajustes durante a inspeção. O tempo total de serviço para o trabalho segue uma distribuição exponencial, com
uma média de 25 minutos. Os trabalhos que chegam, mas não podem ser inspecionados imediatamente,
devem ser armazenados até que o engenheiro esteja livre. Cada trabalho requer 1 m2 de espaço. O espaço a
ser fornecido na sala de controle de qualidade será aproximadamente de
A
2 m2
B
3 m2
C
4 m2
D
5 m2
E
6 m2
A alternativa D está correta.
Taxa média de chegada por hora
Taxa média de serviço por hora
Espaço na sala de controle de qualidade:
Verificando o aprendizado
Questão 1
Um mecânico é contratado para consertar uma máquina que quebra a uma taxa média de 3/h. As avarias são
distribuídas no tempo de uma maneira que pode ser considerada como Poisson. Considera-se o custo do
tempo não produtivo em qualquer máquina de $ 5/h para a Empresa. A instituição tem que escolher entre dois
mecânicos, chamados de A e B. O mecânico A conserta as máquinas a uma taxa média de 4/h a um custo de
$ 3/h. O mecânico B custa $ 5/hora e pode reparar as máquinas exponencialmente a uma taxa média de 6/h.
Qual mecânico deve ser contratado?
A
A, pois o custo será de $ 10.
B
A, pois o custo será de $ 18.
C
B, pois o custo será de $ 10.
D
B, pois o custo será de $ 18.
E
A, pois o custo será de $ 8.
A alternativa B está correta.
O esquema do sistema será:
Considerando o mecânico A:
Número de máquinas quebradas no sistema:
Temponão produtivo da empresa por hora 
Valor pago ao mecânico por hora 
Custo total esperado por hora 
Considerando o mecânico B:
Número de máquinas quebradas no sistema:
Tempo não produtivo da empresa por hora 
Valor pago ao mecânico por hora 
Custo total esperado por hora 
Portanto, o custo total esperado por hora do mecânico B é menor que o custo total esperado por hora do
mecânico A.
Questão 2
Uma secretária da engenharia de produção de uma universidade recebe em média 8 trabalhos/h. Muitos são
curtos; outros, longos. Suponha, no entanto, que o tempo para executar um trabalho tenha uma média
exponencial de 6 minutos. Determine o tempo médio decorrido desde o momento em que a secretária recebe
um trabalho até que seja concluído.
A
0,5 hora
B
0,7 hora
C
0,85 hora
D
0,9 hora
E
1,1 hora
A alternativa A está correta.
Calculando, temos:
Taxa média de chegada por hora
Taxa média de serviço por hora
Tempo médio decorrido desde o momento em que a secretária recebe um trabalho até que ele seja
concluído:
2. Filas em sistemas produtivos
Reconhecendo filas em sistemas de produção
Confira no vídeo como reconhecer filas em sistemas de produção, suas notações, definições e diagramas,
bem como suas aplicações.
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Notação, definições e diagramas
Confira no vídeo como integrar os conceitos de diagramas e notações.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Uma fábrica costuma ter várias máquinas agrupadas por tipo, ou estações de trabalho, e trabalhos/tarefas
devem ser produzidos nessas máquinas. As etapas de processamento de um trabalho geralmente ocorrem em
várias operações de processamento executadas por diferentes máquinas em uma sequência predeterminada,
ou seja, um processo de produção.
É possível então pensar em trabalho como uma série de atividades se movendo pela fábrica:
Esperando na fila.
Sendo processado.
Seguindo para a próxima máquina.
Essa sequência é repetida até a conclusão de todas as operações necessárias.
Os trabalhos chegam à fábrica, individualmente ou em lotes, com base em alguma distribuição do tempo entre
as chegadas. Esses trabalhos são processados e, após a sua conclusão, enviados para um cliente ou
depósito.
Possivelmente, as duas medidas de desempenho mais importantes de uma fábrica são são o tempo de ciclo e
o trabalho em processo. Vamos conhecer essas e outras definições:
Tempo de ciclo (CT ou TC)
É o tempo que um trabalho gasta dentro de um sistema.
Trabalho em processo (work in process – WIP)
É o número de trabalhos, dentro de um sistema, em processamento ou aguardando em uma fila.
Também conhecido como trabalho em andamento.
Taxa de transferência (th)
É o número de trabalhos concluídos que saem do sistema por unidade de tempo, em média.
Estação de trabalho (work station – WS)
É uma coleção de uma ou mais máquinas ou recursos idênticos. Também conhecida como grupo de
máquinas.
Roteamento
É a sequência de etapas de processamento de uma tarefa.
Trabalhos com roteamentos idênticos são considerados do mesmo tipo. Assim, diferentes tipos de trabalho
são trabalhados com diferentes roteamentos. Veja:
Representação de uma estrutura de fábrica contendo estações de trabalho e fluxo
de trabalho.
O tempo médio de ciclo na estação de trabalho é dado como a soma de dois componentes:
Em que:
 (i) é o tempo médio que uma tarefa gasta na fila em frente à estação de trabalho.
 é o tempo de processamento na estação de trabalho .
Para a maioria dos sistemas, a taxa de produção de longo prazo deve ser igual à taxa de entrada de trabalhos.
Como a taxa de produção é conhecida, a questão principal será então a estimativa do tempo total para o
processo de fabricação (CTs). Levando em conta que há capacidade para satisfazer a demanda média de
longo prazo, o tempo médio de ciclo na fábrica ou sistema é uma função da capacidade da fábrica em relação
à capacidade mínima necessária.
Os diagramas usados para ilustrar a natureza de um sistema modelado irão omitir a estrutura do nível do
sistema e enfatizar a estrutura interna do próprio modelo. O nível de detalhe, geralmente necessário em
diagramas, incluirá estações de trabalho e fluxo de trabalho dentro da fábrica. O diagrama a seguir representa:
Estação de trabalho 1
Duas máquinas na estação de trabalho.
Estação de trabalho 2
Uma operação de processamento em lote.
• 
• 
Estação de trabalho 3
O processamento individual em uma única máquina na estação de
trabalho.
Na modelagem e análise de sistemas de manufatura/produção, algumas medidas comuns são quase sempre
utilizadas. Entre elas está o número de chegadas e partidas de e para o sistema. Usando dados coletados
sobre esses eventos, as medidas de desempenho do sistema CT e WIP podem ser desenvolvidas. Contudo, é
preciso reconhecer que as características do sistema variam com o tempo.
A informação geralmente desejada sobre o tempo de ciclo é o tempo de ciclo médio para o sistema
calculado para todas as tarefas dentro do sistema em um tempo especificado t. Essa medida é
denotada por CTs(t).
Medidas dependentes do tempo, como CTs(t) e WIPs(t), são muito difíceis de desenvolver. Assim, nosso foco
será restrito às chamadas medidas de “estado estacionário” que são o valor-limite das medidas dependentes
do tempo.
Por conta da propriedade ergódica, os valores de estado estacionário também podem ser considerados
valores médios no tempo, à medida que o tempo se torna muito grande. Essas medidas de estado
estacionário são independentes das condições iniciais do sistema.
Na teoria das filas, que fundamenta o desenvolvimento de nossa abordagem de modelagem de fábrica, os
resultados mais tratáveis são para medidas de sistema de estado estacionário.
Observe a seguir uma realização possível para as funções chegada C(·) e saídas S(·):
Funções chegada C(·) e saídas S(·)
É difícil obter comportamento transiente para um sistema, especialmente quando há componentes aleatórios.
Se, em vez disso, o interesse for no comportamento médio de longo prazo do sistema (que na verdade é
sobre todas as informações que podem ser assimiladas de qualquer maneira), então esses dados são mais
facilmente desenvolvidos.
As medidas de desempenho do sistema CT e WIP podem ser estimadas a partir dos fluxos de chegada e
partida do sistema.
Vamos a algumas definições:
Tempo de chegada da i-ésima tarefa.
Número total de chegadas durante o intervalo de tempo [0,t].
Tempo de saída da i-ésima tarefa.
Número total de saídas durante o intervalo [0,t].
(a, b)
Intervalo de tempo tal que o sistema comece vazio e volte a ficar vazio.
Número de jobs que chegam ao sistema durante o intervalo (a,b).
Trabalhos específicos.
O tempo médio de espera, , para tarefas durante esse intervalo será dado por:
A área representa a integral do número de trabalhos no sistema no tempo , pois é o
número de trabalho no sistema em .
O número médio de tarefas aguardando no sistema durante o intervalo de tempo é dado por:
Observe, então, que existe uma relação entre o número médio durante o intervalo e o tempo médio de
espera ou tempo de ciclo durante esse intervalo. Como a área entre e (ou seja, ) é constante,
independentemente do método para medi-la, temos:
Assim, obtemos a seguinte relação:
Uma observação final é que o número médio de tarefas que chegam ao sistema por unidade de tempo,
normalmente denotado como , é . A notação que é usada então será:
Em geral, é desejado que os modelos analíticos desses sistemas descrevam a distribuição de probabilidade do
estado estacionário. As várias medidas, como a média e a variância, são calculadas usando a distribuição
derivada.
Os WIPs do sistema são um bom exemplo de uma dessas medidas. Para um sistema de servidor único, com
tempos exponenciais entre chegadas (de taxa média ) e tempos de atendimento exponenciais (de taxa
média ), a probabilidade de estado estacionário de trabalhos no sistema é dada pela equação a seguir,
em que é o númerode tarefas de longo prazo dentro do sistema:
O número médio de trabalhos no sistema é o valor esperado dessa distribuição de probabilidade
discreta:
Assim obtemos:
Você também pode avaliar a quantidade de tempo necessária para completar um ciclo dividindo o número de
unidades produzidas pela quantidade de tempo necessária para concluir a produção dessas unidades. A
fórmula para cálculos de tempo de ciclo é:
Aplicação da teoria das filas em um sistema produtivo
Assista ao vídeo e conheça um exemplo de aplicação trabalhado de forma estocástica, gerando uma
estatística que apresenta a probabilidade de determinado fato ocorrer.
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Agora vamos analisar um exemplo de aplicação da teoria das filas no sistema produtivo, considerado o status
do sistema no início da hora 15:
Máquina 1
Há um novo trabalho que acaba de entrar
(nenhum processamento ocorreu).
Máquina 2
Há 8 trabalhos sem nenhum processamento
concluído no trabalho na máquina.
Máquina 3
Há um trabalho que acabou de entrar.
Máquina 4
A máquina está vazia.
Esse estado de fábrica é representado por quatro pares de números, um para cada máquina. O primeiro
número em um par de máquinas é o número de trabalhos na máquina, incluindo o trabalho que está sendo
processado; o segundo são as horas de processamento nessa máquina já concluídas no trabalho.
A última entrada é o número cumulativo de trabalhos concluídos até esse ponto no tempo. A hora 15, a
entrada do status de fábrica na tabela, é:
Após uma hora adicional de processamento, o status de fábrica é:
Isso demonstra que:
O trabalho na máquina 1 foi concluído e movido para a máquina 2.
O processamento do trabalho na máquina 2 precisa de uma hora adicional antes de ser concluído, pois
requer um total de duas horas para processamento.
O trabalho na máquina 3 foi concluído e movido para a máquina 4, para iniciar o processamento.
Após mais uma hora de processamento:
O trabalho da máquina 4 é concluído e retirado da fábrica.
Um novo trabalho é, portanto, inserido na máquina 1.
O processamento do trabalho na máquina 2 é concluído e movido para a máquina 3.
O status no final do tempo 17 é idêntico ao do tempo 15, exceto quando um trabalho adicional é
concluído.
Veja na tabela o processo por 24 horas a partir da hora zero:
Mauro Rezende Filho.
O cálculo do tempo de ciclo para um trabalho consiste em iniciar com um novo lançamento de trabalho na
fábrica e seguir até 10 conclusões subsequentes. Essa liberação ocorre no final do período determinado, que
coincide com o início do próximo período de tempo.
É conveniente colocar o novo trabalho em seu local na lista da máquina 1 antes de registrar o status de
fábrica, para que o sistema mantenha os 10 trabalhos necessários.
Considere a tarefa que acaba de entrar na fábrica no final do período 15 (início do período 16). Essa tarefa sai
da fábrica no final do período 35 (ou seja, igual ao tempo 36). O tempo no sistema para esse trabalho é 36 -
16 = 20 horas.
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Imagine agora como modelar a fábrica sob a
hipótese de uma nova máquina 2 com um
tempo de processamento constante de 1,5
hora. Para tanto, a equipe de produção usou
incrementos de tempo de 1/2 hora para a etapa
de tempo do modelo.
Os requisitos de tempo de processamento
associados nas máquinas foram (2,3,2,2) em
termos do número de etapas de tempo
necessários para concluir um trabalho.
Resumindo
Os resultados para a situação apresentada concordaram com o proposto pela empresa que pretende
vender a nova máquina. Esses resultados formam um tempo de ciclo de 30 incrementos de tempo (15
horas) e uma taxa de produção de 2/3 trabalhos por hora (10 trabalhos a cada 15 horas). 
Vamos agora fazer um exemplo estocástico. Quando nos referimos a taxas de atendimento e de serviço,
estamos utilizando valores médios, e sabemos que quando utilizamos uma média, esse valor é o resultado de
uma série de dados coletados.
Veja o esquema que montamos:
Esquema de chegada e atendimento.
Vamos supor que as taxas de chegada e de atendimento variem aleatoriamente e, para tal, utilizaremos o
Excel, fazendo 1.000 iterações. Veja a planilha:
Captura de tela – Software Excel.
Estamos apresentando somente as dez primeiras, mas você poderá rodar em seu computador, utilizando as
seguintes fórmulas:
B5 = (-LN(1-ALEATÓRIO()))/$C$1
C5 = (-LN(1-ALEATÓRIO()))/$G$1
D5 = D4+B5
E5 = MÁXIMO(F4;D5)
F5 = E4+C5
G5 = E5-D5
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H5 = SE(F5-D5os recursos são limitados. Se um
processo de fila não for estabelecido para lidar com o excesso de capacidade, os resultados são negativos.
Podcast
Ouça agora um bate-papo sobre a importância das taxas de chegada e de serviço; como aderir a uma
distribuição de probabilidades e a diferença prática entre teoria das filas e simulação.
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Referências
MARCHAL, W. G. An approximation formula for waiting times in single-server queues. AIIE Transactions, v. 8, n.
473, 1976.
 
MEDHI, J. Stochastic models in queueing theory. Amsterdam: Academic Press, 2003.
 
PHILLIPS, D. T.; RAVIDRAN, A.; SOLBERG, J. J. Operations research: principles and practice. Nova Jersey: John
Wiley & Sons, 1991.
 
ROSS, S. M. Introduction to probability models. California: Academic Press, 2014.
 
WHITT, W. The queueing network analyzer. Bell System Technical Journal, v. 62, n. 9, p. 2779-2815, 1983.
	Teoria das filas
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Introdução à teoria das filas
	O conceito de teoria das filas
	Conteúdo interativo
	Interpretando a teoria das filas
	Chegada
	Atendimento
	Fila
	Por que ainda temos que lidar com filas?
	Processo de chegada
	Processo de atendimento
	Capacidade do sistema
	Disciplina das filas
	M/G/1
	Ek/M/2
	M/D/s
	Exemplo
	Primeiro limite
	Segundo limite
	Terceiro limite
	Formulações
	Tempo médio de espera na fila
	Tempo médio de espera no sistema
	Número médio na fila
	Número médio no sistema
	Lei de Little aplicada ao sistema
	Lei de Little aplicada à fila
	Analisando aplicações de teoria das filas
	Exemplo: filas de clientes em um estabelecimento
	Solução
	1
	2
	3
	4
	5
	Exemplo: filas de insumos
	Solução
	Cenário atual
	Segundo cenário
	1
	2
	3
	4
	5
	Probabilidade de ter mais de jobs no sistema (buffer + máquinas)
	Amortização do custo de atualização
	Exemplo: análise de fila única
	Solução
	1
	2
	3
	4
	5
	Exemplo: tempo de espera em fila única
	Solução
	1
	2
	3
	4
	5
	Exemplo: analisando o tempo de chegadas
	Solução
	1
	2
	3
	4
	5
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Verificando o aprendizado
	2. Filas em sistemas produtivos
	Reconhecendo filas em sistemas de produção
	Conteúdo interativo
	Notação, definições e diagramas
	Conteúdo interativo
	Tempo de ciclo (CT ou TC)
	Trabalho em processo (work in process – WIP)
	Taxa de transferência (th)
	Estação de trabalho (work station – WS)
	Roteamento
	Estação de trabalho 1
	Estação de trabalho 2
	Estação de trabalho 3
	(a, b)
	Aplicação da teoria das filas em um sistema produtivo
	Conteúdo interativo
	Máquina 1
	Máquina 2
	Máquina 3
	Máquina 4
	Resumindo
	Atenção
	Verificando o aprendizado
	3. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore +
	Referências