Vetores e Espaços Vetoriais

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Vetores e espaços vetoriais 
O conceito de vetores e espaço vetorial no plano e no espaço.
Prof. Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender o conceito de vetor e espaço vetorial, aplicando as propriedades e operações vetoriais no plano
e no espaço.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a
calculadora de seu smartphone/computador.
Objetivos
Identificar o conceito de vetor, suas caracterizações e operações básicas.
 
Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço.
 
Aplicar os produtos escalares, vetoriais e misto.
 
Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade.
• 
• 
• 
• 
1. O vetor, suas caracterizações e operações básicas
Introdução
Em várias aplicações da ciência e da Matemática, torna-se necessária a definição de um elemento que requer
na sua concepção, além de seu tamanho, sua orientação (direção e sentido).
Por exemplo, ao se afirmar que um veículo está
se locomovendo a uma velocidade de 80km/h,
falta a informação de direção e sentido que ele
está se encaminhando, para que se tenha um
dado completo do problema.
 
Este elemento, que tem na sua concepção o
tamanho e a orientação, é o vetor. O conjunto
dos vetores, atendendo a algumas operações
básicas, irá definir o espaço vetorial.
 
Neste estudo, vamos definir o espaço vetorial, o vetor e as suas operações básicas e, posteriormente, aplicar
estes conceitos na resolução de alguns problemas
Espaço Vetorial
O espaço vetorial V consiste em um conjunto, não vazio, de elementos (objetos) que atendem a operações da
adição e de multiplicação por um número real.
 
Sejam u e v elementos de V, não vazio. Assim, V será um espaço vetorial, se e somente se:
Se u e v pertencem a V então u + v pertence a V;
Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V.
Estas duas propriedades nos dizem que o espaço vetorial é fechado para operação da adição e multiplicação
por real, pois ao operarmos com elementos do espaço, o resultado fornece um outro elemento do mesmo
conjunto.
 
Na Álgebra, podemos definir espaços vetoriais de vários tipos de elementos, como por exemplo de matrizes
de n linhas e m colunas, de funções reais de variável real e o espaço vetorial real de n dimensões (Rn).
 
Um espaço vetorial muito trabalhado nas aplicações em Geometria Analítica e de Álgebra Linear é o espaço
vetorial Rn. Este espaço vetorial será composto por elementos de n-dimensões reais, isto é
Para n = 2 e n = 3, consegue-se associar uma análise geométrica ao estudo analítico do Rn. A partir de n > 3
as representações geométricas não são mais possíveis.
• 
• 
 
Desta forma, particularmente para problemas no plano e no espaço, trabalharemos com R² e R³,
respectivamente.
Exemplos
Exemplo 1
Seja o conjunto C = {(x , 5) / x número real}. Verifique se o conjunto C é um espaço vetorial.
 
Solução:
 
Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas operações básicas.
Quando , o elemento (2,5) pertence a , assim prova-se que o conjunto é um conjunto não vazio.
Seja um número real .
Se , então .
 
Mas para todo . Portanto, não pertence ao conjunto .
 
Desta forma, a operação de multiplicação por real não é fechada para o conjunto . Então, não é espaço
vetorial.
 
Pode-se também verificar que a operação de adição igualmente não é fechada para o conjunto .
 
Se e , ambos pertencem a . Mas não pertencerá a 
.
Exemplo 2
Seja o conjunto M composto de todas as Matrizes 2 x 2 com elementos reais. Verifique se o conjunto C é um
espaço vetorial.
 
Solução
 
Para ser espaço vetorial, deve ser um conjunto não vazio de elementos que atende a duas operações básicas.
 
Seja o elemento do conjunto , onde e são reais. Fazendo 
tem-seo elemento que pelo menos um elemento existe no conjunto , portanto ele não é vazio.
Vamos supor real.
 
Ao multiplicarmos uma matriz por um número real, multiplica-se cada elemento da matriz por este número.
Assim
Mas e são número reais, portanto, também é um elemento do conjunto demostrando
que a operação de multiplicação por real é fechada no conjunto .
 
Sejarn e dois elementos de e .
Ao somarmos duas matrizes, somamos elemento a elemento, assim:
Como e são número reais, então pertence a , demonstrando também que a
operação da adição é fechada para o conjunto .
 
Desta forma, verifica-se que o conjunto é um espaço vetorial.
Vetores e operações básicas
Existem dois tipos de grandeza: escalares e vetoriais.
O vetor é amplamente utilizado na Geometria Analítica e na Álgebra Linear e será o objeto (elemento) do
espaço vetorial Rn, definido no item anterior. O vetor será representado pelos seus componentes.
GRANDEZA ESCALAR 
A grandeza escalar é um ente matemático
definido completamente pelo seu valor
(magnitude, módulo, valor ou amplitude). A
temperatura de uma sala ou a massa de um
objeto são exemplos de grandezas escalares.
GRANDEZA VETORIAL 
A grandeza vetorial, denominada de
vetor, é um ente matemático que, para
ser definido completamente, necessita,
além da sua magnitude (módulo, valor
ou amplitude), da definição da direção e
do sentido. A velocidade de um carro ou
a força atuante em um objeto são
exemplos de grandeza vetorial.
Atenção
Assim sendo, um vetor de será definido por componentes reais, representado por . Cada componente
real representa um tamanho da projeção do vetor na i-ésima dimensào. A combinação das n-
componentes do vetor irá definir a orientação deste, dentro do espaço vetorial . 
Para nosso caso particular do e podemos dar uma definição geométrica para o vetor através de um
segmento de reta orientado.
 
]Seja o seguimento orientado de reta ( ), no plano ou no espaço, que seria um segmento de reta que
apresenta um sentido definido.
 ponto é denominado de origem ou ponto inicial. O ponto é chamado de extremidade ou ponto final.
Este segmento orientado é definido pelo seu módulo (tamanho), direção e sentido.
Se dois segmentos orientados tiverem módulos, direções e sentidos iguais serão segmentos
equipolentes ou equivalentes.
Atenção
O conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes é denominado de vetor. Assim, vetor será
representado geometricamente por um segmento orientado que apresenta um módulo, uma direção e
um sentido determinado. 
O vetor será representado por vetor ou pelos dois pontos que são suas extremidades na ordem do seu
sentido, vetor .
 
Dessa forma, os vetores e são dois vetores diferentes. Eles terão mesmo módulo, mesma direção,
mas sentidos opostos.
Operações básicas
Como já visto, os vetores são objetos do espaço vetorial. Logo, podemos definir algumas operações básicas
contidas no espaço vetorial:
Igualdade entre vetores
Sejam vetores do .
 
Assim , para todo 
Adição entre vetores
Sejam e dois vetores pertencentes ao .
, para todo 
 
 também pertence ao .
Multiplicação por número real
Seja vetor do e um número real.
 
Se para todo 
 
 também pertence ao .
Algumas propriedades podem ser definidas através da adição e multiplicação por um número real k:
Associativa na Adição: 
Comutativa: 
Existência do Elemento Neutro na Adição ( 0 , denominado de elemento nulo): 
Existência do Elemento Oposto na Adição: 
Distributiva por Vetor: 
Distributiva por Escalar: 
Associativa na Multiplicação por Real: 
Existência do Elemento Neutro na Multiplicação (1, denominado de elemento unitário): 
Recomendação
Para realizar a subtração de dois vetores , seria semelhante a multiplicar o vetor por -1 e somar ao vetor . 
Exemplo
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Determine o valor de e para que os vetores sejam iguais.
 
Solução:
Para que dois vetores sejam iguais, todos os seus elementos devem ser iguais.
 
Assim: 
Resolvendo o sistema, através da segunda equação tem-se 
Substituindo na primeira, 
Então, 
Atenção
Este exercício só foi possível porque o primeirocomponente, que vale 4, e o terceiro, que vale 0, eram
iguais nos dois vetores. Se um dos dois fosse diferente, o exercício seria impossível. 
Teoria na Prática
Em uma determinada região do espaço, um avião tem velocidade, em , dada por vetor .
Um segundo avião apresenta uma velocidade, em , dada por . 
Determine o valor de para que os aviões tenham a mesma velocidade.
Solução
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
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Mão na Massa
Questão 1
Um conjunto B é um espaço vetorial. Marque a alternativa que NÃO está correta em relação ao
conjunto B.
A
Tem pelo menos um elemento.
B
É fechado em relação à operação de adição.
C
Se u e v pertencem a V então u - v pode não pertencer a V.
D
Se u pertence a V e k é um número real, então ku pertence a V.
A alternativa C está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de espaço vetorial.
Se o conjunto é um espaço vetorial, então consiste em um conjunto, não vazio, de elementos (objetos)
que atendem a operações da adição e de multiplicação por um número real.
Assim, a letra A, B e D são verdadeiras.
Em relação à letra é uma operação de multiplicar um elemento por -1 e depois somar dois
elementos do conjunto, logo, obrigatoriamente, este resultado pertence ao conjunto . Esta afirmativa é
verdadeira.
Questão 2
Sejam os vetores e . Determine valor de 
A
(−4, 1, 2, 7, −1)
B
(4, 2, 1, 6, 0)
C
(2, 3, 2, −1, 1)
D
(0, 2, 7, 1, 1)
A alternativa A está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Assim,
Portanto,
Questão 3
A força age em um objeto. Este objeto de massa de 1 kg adquire uma aceleração
igual à . Sabendo que , determine o valor de e respectivamente.
A
5 e 0
B
0 e 5
C
10 e 15
D
2 e 4
A alternativa A está correta.
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
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Questão 4
Sejam os vetores com e números reais. Determine e 
respectivamente, sabendo que 
A
0 e 0
B
−1 e 1
C
1 e −1
D
0 e 1
A alternativa B está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Usando as propriedades vistas:
Usando as operações vetoriais e sabendo que 0 é representado por (0,0):
Assim, substituindo a segunda questão na primeira se tem
Questão 5
Quatro vetores do e , com a e b reais, satisfazem a
seguinte equação: . Determine o valor de .
A
12
B
13
C
14
D
15
A alternativa C está correta.
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Questão 6
Sejam os vetores e , com e números reais. Determine a soma de 
, sabendo que o vetor é equivalente ao vetor (2,3,3).
A
1
B
2
C
3
D
4
A alternativa B está correta.
Parabéns! Você entendeu a operação de vetores.
Usando as propriedades vistas, se o vetor é equivalente ao vetor , eles terão as mesmas
coordenadas.
Usando as operações vetoriais para se obter as coordenadas do vetor 
Igualando ao vetor 
Multiplicando a primeira equação por 2: , somando a segunda equação
Substituindo na terceira equação 
Assim,
Verificando o aprendizado
Questão 1
Seja o vetor e o vetor . Determine o valor de , onde a e b são
números reais, para que e .
A
175
B
215
C
375
D
470
A alternativa C está correta.
Você entendeu a operação de vetores.
Para que , as componentes devem ser iguais nas três dimensões.
Assim
Somando as duas equações 
Então,
Assim,
Questão 2
Sejam os vetores , v e w elementos do espaço vetorial . Sabe-se que é equivalente ao
elemento nulo. Definimos e , com e c números reais.
Determine o valor de .
A
1
B
3
C
5
D
impossível, 
A alternativa C está correta.
Você entendeu a operação e propriedades dos vetores.
Para que , as componentes devem ser iguais nas três dimensões.
Assim:
(ok, se aqui desse algo diferente disso a resposta seria impossível)
Substituindo a quarta equação na segunda se tem:
Mas na terceira equação:
Substituindo na anterior:
Se
E
Portanto
2. O conceito de vetor no plano e no espaço
Introdução
Nas aplicações da Geometria Analítica, utiliza-se uma interpretação geométrica, além do cálculo
analítico. Assim, para se trabalhar no plano ou no espaço, usa-se os espaços vetoriais R² e R³.
Os vetores, sujeitos às mesmas operações descritas no módulo anterior, terão neste caso uma representação
por segmento orientado de reta e necessitarão de referências para serem definidos. Dessa forma, será
apresentado o sistema cartesiano como um sistema de representação e referência para nossos estudos.
 
Por fim, a definição de direções e sentidos é importante em várias aplicações, sendo necessária, portanto, a
definição de vetores unitários que terão este objetivo.
Vetores no plano e no espaço
Como já visto no módulo anterior, a representação geométrica de um vetor será um segmento orientado de
reta. Desse modo, torna-se necessário definir direções e sentidos, isto é, definir referências. Estas referências
devem ser tanto para posição quanto para direção/sentido. Por isso, vamos adotar o sistema cartesiano para
referenciarmos o espaço vetorial e .
 
No caso do , serão utilizados três eixos ortogonais, e , com valores reais, para referenciar as três
dimensões. Qualquer direção/sentido no espaço pode ser definida por três direções ortogonais. A origem do
sistema será definida no cruzamento dos eixos, ponto 0 . 0 eixo é denominado de abscissa, o eixo y de
ordenada e o eixo de cota. A seta de cada eixo define o sentido positivo de cada direção de referência.
No caso do , serão utilizados apenas dois eixos ortogonais, e , com valores reais, para referenciar as
suas duas dimensões. Qualquer direção/sentido no plano pode ser definida por duas direções ortogonais.
Atenção
Antes de definirmos como representar um vetor no plano ou no espaço, necessitamos definir a
representação de um ponto nestas regiões. Um ponto P do será representado por 3 componentes, que
denominaremos de coordenadas. Cada coordenada representa as distâncias que o ponto tem em
relação aos três planos que definem o espaço. 
Seja o Ponto , com e Z números reais. X representa a distância de P ao plano a
distância de P ao plano XZ e Z a distância de P ao plano XY .
Se o ponto estiver do lado oposto do plano, antes da origem, os sinais serão negativos.
 
Na figura acima estão representados os pontos:
A origem dos eixos será representada por .
 
O é um caso particular do , assim, os pontos no apresentam apenas valores para abscissa e
ordenada, ou seja, .
 
Para representarmos um vetor, é preciso conhecer a sua projeção nas três direções representadas pelos eixos
que definem o sistema de coordenadas. 
 
Veja a figura, o vetor projetado na direção do eixo apresenta um tamanho , na direção do eixo y
apresenta um tamanho na direção do eixo z um tamanho .
Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo, o sinal da coordenada
será negativo. Portanto, o vetor terá coordenadas , em que são número reais. No
caso do , caso particular do , o vetor não terá a componente .
Podemos representar, também, as coordenadas de um vetor através de uma matriz coluna, ou seja
Na figura a seguir temos a representação, no plano, dos vetores .
Podemos observar que os segmentos e apresentam o mesmo módulo, mesma direção e mesmo
sentido, sendo representações, portanto, do mesmo vetor . Por isso, terão as mesmas coordenadas .
Atenção
A notação de Grassmann nos mostra que as coordenadas de um vetor podem ser obtidas com as
coordenadas dos seus pontos extremos, isto é, sua origem e sua extremidade. Assim, Se a origem do
vetor for a origem dos eixos coordenados , a coordenada do vetor será igual à coordenada de sua
extremidade. Logo, Hermann Grassmann (1809-1877) foi o matemático e físico alemão responsável pela
criação da Álgebra Linear. 
Exemplos
Exemplo 1
Representeno sistema cartesiano os pontos e .
 
Solução:
Exemplo 2
Represente no sistema cartesiano os vetores:
a) com ponto inicial no ponto ;
b) com ponto inicial no ponto ;
c) com ponto inicial no ponto .
 
Solução:
Exemplo 3
Determine as coordenadas do vetor que tem origem no ponto e extremidade no ponto 
. Determine também o vetor .
 
Solução:
 
Usando a notação de Grassmann:
Como poderia também se usar a propriedade de multiplicação por real.
Módulo ou norma de um vetor
Denominamos o tamanho de um vetor por módulo ou norma. 
O módulo do vetor será representado por
Observe a figura do item anterior, que apresenta as componentes do vetor. 
O módulo do vetor será dado pelo tamanho do segmento , assim será representado por .
 
Ao aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo e verificar que o tamanho de é a componente 
do vetor , isto é, tem-se que
Aplicando agora o Teorema de Pitágoras no triângulo , obtém-se.
O tamanho de será a componente do vetor , isto é, e o tamanho de será igual ao tamanho
de que é a componente do vetor , isto é, .
 
Desta forma:
Obtendo-se, assim, a fórmula que determina o módulo ou norma através das componentes do vetor:
Exemplo
Determine o módulo dos vetores :
 
Solução:
Saiba mais
Seja um triângulo ABC
Na Geometria existe um teorema que diz que o comprimento de um dos lados é sempre menor do que a soma
dos outros dois lados. Repare que, se um dos lados fosse a soma dos outros, não haveria um triângulo
formado.
 
Se e , então AC será a soma dos dois vetores: 
Dessa forma, os lados dos triângulos serão os módulos dos vetores . Usando o mesmo
teorema da Geometria, obtemos , que é denominada de Desigualdade Triangular.
 
Desta desigualdade podemos definir outras:
a) Se substituirmos por 
Então
b) Se substituirmos o vetor por 
Operações básicas no plano ou no espaço
Retornando às operações básicas dos vetores, vistas no módulo anterior, vamos agora aplicá-las para o caso
do e . Assim, temos:
Multiplicação por número real
Seja e , onde é o número real.
Então: 
A multiplicação por um número real positivo tem como resultado um vetor de mesma direção, mesmo sentido
e de tamanho alterado para vezes o módulo do vetor original. Caso o seja negativo, o vetor altera
também o sentido. Se , o novo vetor aumenta em relação ao anterior, porém, se , ocorre uma
redução do tamanho.
Adição entre vetores
Seja 
 
Então:
Se , seria semelhante a multiplicar o vetor por -1 e somar ao vetor .
 
Então: 
Geometricamente, podemos representar a soma e a subtração de vetores, no plano ou no espaço, pela regra
do paralelogramo.
Pode-se usar a Lei de Cossenos para calcular o módulo da soma dos vetores:
e da diferença dos vetores:
Exemplo
1. Determine o módulo do vetor , sendo .
 
Solução
Assim,
Versor de um vetor
Às vezes torna-se necessário definir-se um vetor unitário em uma determinada direção e sentido.
Este vetor unitário é conhecido por versor.
Um vetor pode ser representado pela forma , isto é, seu módulo multiplicado pelo versor que
define a sua direção e sentido.
 
Por exemplo, imagine que eu queira um vetor que tenha a mesma direção e sentido do que o vetor , mas
que tenha módulo . Se eu definir estaria errado, pois , e o módulo de só seria se
o módulo de fosse unitário.
 
Preciso, portanto, definir o vetor unitário que tenha a direção e o sentido do vetor , com notação ou ,
que é denominado de versor: 
 
Como é uma constante positiva, terá a mesma direção e sentido do que , mas com módulo 
Como é uma constante positiva, terá a mesma direção e sentido do que , mas com módulo 
 
Retornando ao nosso exemplo, o correto, então, é definir que , pois . Agora, sim, ele
teria a mesma direção e sentido do que , que são os mesmos do que e módulo .
Atenção
Uma aplicação direta do versor é a definição dos vetores unitários canônicos que definem as direções e
sentidos do sistema cartesiano. Desse modo, a direção de é definida pelo vetor , a direção de por e a
direção de por . No caso do plano, haveria os vetores . 
Qualquer vetor pode ser representado através dos vetores unitários canônicos, pois podemos considerar um
vetor como sendo a soma de três vetores ortogonais.
Seja , vamos definir os vetores , assim,
Mas, podemos definir estes vetores através dos vetores unitários
Exemplo
1. Determine versor do vetor :
 
Solução:
Teoria na Prática
Uma caixa de de massa percorre um piso liso com uma aceleração de . A direção e o sentido
do movimento são definidos pelo vetor unitário , a força que gera o movimento tem vetor
representado por , com a real. Determine o valor de e .
Chave de resposta
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Mão na Massa
Questão 1
O vetor tem origem no ponto e extremidade no ponto . Determine o vetor .
A
(−2, −6, 3)
B
(0, 6, 3)
C
(2, 6, −3)
D
(6, 1, −3)
A alternativa C está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de vetores no plano e espaço.
Outra forma de fazer é que como
Questão 2
Determine o módulo do vetor (2, 4, −5).
A
B
45
C
1
D
A alternativa A está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor.
Questão 3
Seja o versor do vetor . Determine as coordenadas do vetor .
A
B
C
D
A alternativa C está correta.
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Questão 4
Determine vetor que tem módulo 6 e tem a mesma direção e sentido do vetor .
A
B
C
D
A alternativa D está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de versor de um vetor.
Questão 5
Determine o módulo da diferença de por . Sabe-se que o módulo de vale 5 e o módulo de vale 12.
Os dois vetores são ortogonais.
A
12
B
15
C
13
D
10
A alternativa C está correta.
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Questão 6
Determine o módulo da diferença de por . Sabe-se que o módulo de vale 3, o módulo vale 
ângulo formado por eles vale .
A
B
C
D
A alternativa B está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor.
Usando a Lei dos cossenos
Assim,
Assim
Assim,
Verificando o aprendizado
Questão 1
Determine o módulo do vetor que tem origem no ponto e extremidade na origem dos eixos.
A
21
B
C
3
D
A alternativa B está correta.
Você entendeu o conceito de vetores no plano e no espaço e módulo de um vetor.
Questão 2
O vetor , com a e b reais positivos, tem módulo 10 e apresenta a mesma direção e sentido do que
o vetor . Determine o valor de (a + b), sabendo que o vetor têm módulo 5 .
A
1
B
7
C
9
D
11
A alternativa B está correta.
Você entendeu o conceito de módulo de um vetor.
mas como a e b são positivos, , então .
Assim,
3. Produtos escalares, vetoriais e misto
Introdução
A operação matemática de multiplicação (produto) entre dois vetores não é definida. Em compensação,
definimos três tipos de produtos entre dois elementos vetoriais:
 
Produto escalar
Produto vetorial
Produto misto
 
Neste módulo, iremos definir estes produtos e apresentar algumas de suas aplicações.
Produto escalar ou produto interno
Sejam os vetores do .
 
Define-se o produto escalar entre como:
Atenção
Como foi observado, o produto escalar tem como resultado um escalar, isto é, um número que pode ser
positivo, negativo ou zero. O produto escalar pode ser definido para vetores do . Para , esta operação
será denominada apenas de produto interno. 
O produto escalar apresenta algumas propriedades:
Comutativa Multiplicação por real Distributiva
 
Importante!
Repare que
• 
• 
• 
Assim,
Exemplo
1. Dados os vetores , determine o produto escalar entre os vetores .
 
Solução:
Produto vetorial ou produto externo
Sejam os vetores do . Considere que o ânguloentre vale (alpha).
 
Define-se o produto vetorial entre , com notação , tal que:
Direção: ortogonal a e a 
 
Sentido: regra da mão direita
Como o nome informa, o resultado do produto vetorial é um vetor que tem direção perpendicular aos
dois vetores iniciais, sendo, portanto, um vetor perpendicular ao plano formado pelos vetores .
Regra da mão direita - passo 1
A regra da mão direita permite identificarmos o
sentido do vetor .
Regra da mão direita - passo 2
Na regra da mão direita, o dedo indicador fica
na direção/sentido do primeiro vetor do produto
e o dedo médio do segundo vetor. Assim, 
 será apontado para baixo, diferente de 
.
O produto vetorial, de forma diferente do produto escalar, só é definido para o .
Atenção
O vetor . Eles terão mesmo módulo e mesma direção, mas pela regra da mão direita, mudando a ordem
de , terão sentidos contrários. 
O produto vetorial apresenta algumas propriedades:
a) Multiplicação por real: , onde é real
b) Distributiva pelo produto vetorial: 
c) , isto é, se é paralelo a 
d) 
e) 
 
Seja , ao se resolver analiticamente a busca do vetor que atende às definições de produto
vetorial, obtêm-se que:
Dica
O sistema acima pode ser representado pelo cálculo de um determinante:
Exemplo
1. Determine o vetor , sabendo que .
 
Solução:
 
Você pode aplicar diretamente as equações, mas fazendo através do determinante, fica mais prático:
 
Produto Misto
Sejam os vetores do .
 
O produto misto, cuja notação é , é definido através de uma combinação entre produto escalar e
produto vetorial.
Atenção
O produto misto só é definido no , e por ser o resultado de um produto escalar, fornece como resultado
um escalar. 
Ao se resolver analiticamente o produto misto, obtém-se uma expressão que pode ser representada pelo
cálculo do seguinte determinante:
Atenção
Se o produto misto é nulo, quer dizer que um dos três vetores é combinação linear dos outros dois. Em
outras palavras, os três vetores fazem parte de um mesmo plano no espaço. Assim, três vetores serão
coplanares, isto é, pertencerão ao mesmo plano, se e somente se, 
O produto misto apresenta algumas propriedades:
a) Multiplicação por real 
b) 
c) 
Exemplo
1. Dados os vetores . Determine o produto misto entre os vetores 
, nesta ordem.
 
Solução:
Teoria na Prática
Três aeronaves, que realizam um movimento retilíneo, têm velocidades dadas pelos vetores 
 e . Elas desejam voar de tal forma que as direções de seus movimentos
formem um plano. Determine o valor de , real, para que isso ocorra.
Chave de resposta
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Mão na Massa
Questão 1
Sejam e . Determine o produto escalar entre ) :
A
−14
B
70
C
−84
D
84
A alternativa D está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
Assim, 
Questão 2
Determine o módulo do vetor , sabendo que que e .
A
B
C
144
D
68
A alternativa A está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto escalar.
Questão 3
Determine o valor de . Sendo :
A
(8, 8, −32)
B
(−8, −8, 32)
C
(24, 24, −32)
D
(8, −12, −32)
A alternativa A está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito do produto vetorial.
Questão 4
Dados os vetores e , determine o produto misto entre os vetores ,
nesta ordem:
A
2
B
−4
C
−2
D
4
A alternativa C está correta.
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Questão 5
Sejam os vetores e . Determine o valor de , sabendo que o produto misto 
 ] vale o produto escalar somado a 6.
A
B
−3
C
3
D
A alternativa B está correta.
Veja a solução:
Assim,
Questão 6
Sejam os vetores e . Sabe-se que vale duas vezes o produto vetorial de com .
Determine o módulo do vetor :
A
B
C
D
A alternativa B está correta.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Sendo e , determine o produto escalar entre o vetor e o vetor :
A
4
B
6
C
10
D
8
A alternativa D está correta.
Você entendeu o conceito do produto escalar.
Assim,
Questão 2
Sendo , determine o valor de sabendo que :
A
−2
B
−4
C
2
D
4
A alternativa A está correta.
Você entendeu o conceito do produto vetorial.
Assim,
4. Ângulo vetorial 
Introdução
O conhecimento do ângulo formado por dois vetores pode ter algumas aplicações práticas, por
exemplo, a verificação se os vetores são paralelos ou ortogonais.
Assim, torna-se necessária uma forma de obter o ângulo através das coordenadas vetoriais.
Ângulo entre vetores
O ângulo entre dois vetores é aquele definido entre suas orientações positivas, ou seja, suas setas.
No módulo anterior, aprendemos a usar a Lei de Cossenos, então, uma forma para obter o ângulo dos vetores
é através desta solução:
Ou,
No entanto, existe uma forma mais simples para cálculo do ângulo entre vetores através do produto escalar.
Pode ser provado que
Assim, 
Se conhecemos o ângulo entre dois vetores, podemos verificar o sinal do produto escalar através da equação
dada:
a) Se , se tem alpha , então 
b) Se , se tem , então 
c) Se alpha se tem cos alpha , então 
Exemplo
1. Determine o cosseno do ângulo formado entre os vetores :
 
Solução:
Projeção de um vetor sobre outro
Uma aplicação direta do produto escalar, versor e ângulo entre vetores é a determinação da projeção de um
vetor sobre o outro. Sejam dois vetores que formam um ângulo (alpha) entre si. A projeção de 
sobre será denominada de .
Mas
Então,
Exemplo
1. Determine a projeção do vetor sobre o vetor :
 
Solução:
Assim,
Condição de paralelismos e ortogonalidade
A equação dada no item anterior nos permite conhecer o ângulo através do produto escalar, assim:
Desse modo, se dois vetores são ortogonais, isto é, com ângulo entre si de , então 
sendo esta a condição de ortogonalidade.
 
Se dois vetores são paralelos entre si, então , com real.
 
Como já visto, neste caso . Sendo esta uma possível condição de paralelismo.
 
Outra opção é que se real, usando as propriedades básicas do vetor:
Atenção
As condições de ortogonalidade e paralelismo podem ser extrapoladas para a dimensão do . Assim, dois
vetores em serão ortogonais se seu produto interno for zero e serão paralelos se suas coordenadas
forem proporcionais. 
Exemplos
Exemplo 1
Determine o valor de b para que os vetores e sejam ortogonais.
 
Solução:
Para serem ortogonais,
Exemplo 2
Determine o valor de a e b para que os vetores e sejam paralelos.
 
Solução:
Se e são paralelos, então
Assim,
Teoria na Prática
O trabalho de uma força (w), medido em Joule ( ), é um conceito de Física que mede o efeito de uma força
sobre um deslocamento, logo, , em que é a força aplicada ao objeto e o vetor deslocamento
feito pelo objeto. Uma caixa de massa 2 kg sofre o efeito de uma força . Com a aplicação desta
força, a caixa se desloca do ponto até o ponto . 
Determine o trabalho provocado por esta força na caixa durante este deslocamento.
Chave de resposta
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
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Mão na Massa
Questão 1
Determine o ângulo formado pelos vetores e :
A
B
C
D
A alternativa C está correta.
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.
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Questão 2
Determine para que os vetores e sejam paralelos:
A
0
B
1
C
−1
D
−2
A alternativa C está correta.
Se u e v são paralelos, então
Assim,
Então, 
Questão 3
Determine para que os vetores e sejam ortogonais:
A
0
B
1
C
−1
D
−2
A alternativa D está correta.
No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão.Conteúdo interativo
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Questão 4
Determine o módulo da projeção do vetor sobre o vetor :
A
B
C
D
A alternativa C está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
Primeiramente precisamos calcular o módulo do vetor , sendo assim:
Agora, vamos determinar o versor :
Feito isso, agora precisamos do produto escalar entre os vetores :
Agora que temos todas as informações, podemos calcular a projeção de sobre , da seguinte maneira
O módulo dessa projeção então, tem valor de:
Questão 5
Dois vetores, e , são ortogonais entre si. Sabe que e que vale 5 . Determine o valor da
constante a, sabendo que , com reais.
A
B
C
D
A alternativa C está correta.
Você entendeu o conceito de ortogonalidade entre os vetores. 
Se os vetores são ortogonais então:
Assim,
Se os vetores são ortogonais, usando o teorema de Pitágoras
 
Assim,
Se não fosse observado o triângulo retângulo, poderia ser achado o vetor 
Assim, 
Dando o mesmo resultado.
Questão 6
O ângulo entre dois vetores vale . O módulo do vetor vale . Quanto vale o produto escalar
entre e o versor do vetor ?
A
2
B
1
 
 
C
0
D
- 1
A alternativa B está correta.
Parabéns! Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
Mas, 
Verificando o aprendizado
Questão 1
Determine o cosseno do ângulo formado pelos vetores .
A
B
 
C
 
D
 
A alternativa A está correta.
Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores.
Questão 2
Determine o valor da constante para que os vetores e sejam ortogonais.
A
0
B
1
C
2
D
3
A alternativa B está correta.
Você entendeu a condição de ortogonalidade.
Para serem ortogonais
5. Conclusão
Considerações finais
Ao longo dos quatro módulos, foi possível descrever a definição de espaço vetorial e, principalmente, do
elemento vetorial denominado de vetor, além da representação do vetor, suas operações matemáticas e
aplicações no plano e no espaço. Por fim, relacionado à determinação do ângulo entre vetores, foram
analisadas as condições de ortogonalidade e paralelismo.
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Referências
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. p. 119-180.
 
APOSTOL, T. M. Cálculo, Volume 1. Espanha: Editorial Reverte SA, 1985. p. 519-536.
 
HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Linear Algebra. 2. ed. Nova Jersey: Prentice-Hall, 1971. p. 28-39.
 
PEREIRA, Paulo. Cálculo é fácil - Cálculo 1: aulas 2 a 15, In: Equaciona com Paulo Pereira, Youtube. Publicado
em: 8 mar. 2019
 
SANTOS, R. J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da
UFMJ, 2012. p. 132-208.
	Vetores e espaços vetoriais
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	1. O vetor, suas caracterizações e operações básicas
	Introdução
	Espaço Vetorial
	Sejam u e v elementos de V, não vazio. Assim, V será um espaço vetorial, se e somente se:
	Exemplos
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Vetores e operações básicas
	Atenção
	Atenção
	Operações básicas
	Igualdade entre vetores
	Adição entre vetores
	Multiplicação por número real
	Recomendação
	Exemplo
	Atenção
	Teoria na Prática
	Solução
	Conteúdo interativo
	Mão na Massa
	Um conjunto B é um espaço vetorial. Marque a alternativa que NÃO está correta em relação ao conjunto B.
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	2. O conceito de vetor no plano e no espaço
	Introdução
	Vetores no plano e no espaço
	Atenção
	Atenção
	Exemplos
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Exemplo 3
	Módulo ou norma de um vetor
	Exemplo
	Saiba mais
	Operações básicas no plano ou no espaço
	Multiplicação por número real
	Adição entre vetores
	Exemplo
	Versor de um vetor
	Atenção
	Exemplo
	Teoria na Prática
	Conteúdo interativo
	Mão na Massa
	Determine o módulo do vetor (2, 4, −5).
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	3. Produtos escalares, vetoriais e misto
	Introdução
	Produto escalar ou produto interno
	Atenção
	Importante!
	Exemplo
	Produto vetorial ou produto externo
	Regra da mão direita - passo 1
	Regra da mão direita - passo 2
	Atenção
	Dica
	Exemplo
	Produto Misto
	Atenção
	Atenção
	Exemplo
	Teoria na Prática
	Conteúdo interativo
	Mão na Massa
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	4. Ângulo vetorial
	Introdução
	Ângulo entre vetores
	Exemplo
	Projeção de um vetor sobre outro
	Exemplo
	Condição de paralelismos e ortogonalidade
	Atenção
	Exemplos
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Teoria na Prática
	Conteúdo interativo
	Mão na Massa
	Conteúdo interativo
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore+
	Referências