Exame de Teoria Quântica - UFPE

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de F´ısica
Programa de Po´s-graduac¸a˜o em F´ısica
Exame Geral de Doutorado
Segundo semestre de 2010
Teoria Quaˆntica
5 de agosto de 2010 - 9 a`s 12h
(Escolha treˆs dentre as quatro questo˜es)
Exame Geral de Doutorado - 2010.2 - Prova de Teoria Quaˆntica 1
Questa˜o 1: Oscilador harmoˆnico
Sejam |n〉, n = 0, 1, 2, . . ., os auto-estados de um oscilador harmoˆnico unidimensional de
massa m e frequeˆncia ω, cujo operador Hamiltoniano e´ dado por
Hˆ = ℏω(aˆ†aˆ+ 1/2),
onde aˆ† e aˆ sa˜o os operadores de criac¸a˜o e destruic¸a˜o, respectivamente. Considere o
seguinte estado de superposic¸a˜o:
|z〉 = N
∞∑
n=0
zn√
n!
|n〉,
onde z e´ um nu´mero complexo. Esta superposic¸a˜o e´ denominada estado coerente.
(a) (20%) Mostre que |z〉 e´ auto-estado do operador de destruic¸a˜o com autovalor z e
calcule a constante de normalizac¸a˜o N .
(b) (40%) Calcule os valores me´dios de posic¸a˜o e momento, 〈qˆ〉 = 〈z|qˆ|z〉 e 〈pˆ〉 = 〈z|pˆ|z〉,
e escreva o nu´mero complexo z em termos de 〈qˆ〉 e 〈pˆ〉.
(c) (40%) Seja
Uˆ = exp
[
− i
ℏ
Hˆ t
]
o operador de evoluc¸a˜o temporal.
Mostre que Uˆ |z〉 e´ um estado coerente para todo tempo t e determine 〈qˆ(t)〉 e 〈pˆ(t)〉.
Interprete seus resultados fisicamente.
Informac¸o˜es adicionais:
aˆ =
√
mω
2ℏ
(
qˆ + i
pˆ
mω
)
, aˆ|n〉 = √n|n− 1〉
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Exame Geral de Doutorado - 2010.2 - Prova de Teoria Quaˆntica 2
Questa˜o 2: Momento angular
Considere uma part´ıcula de spin 1/2.
(a) (30%) Ache os autovalores e as autofunc¸o˜es do operador Sˆx+Sˆy, onde Sˆi e´ o operador
spin na direc¸a˜o i(i = x, y, z).
(b) (20%) Considere que a part´ıcula esta´ no estado |α〉, onde |α〉 representa a autofunc¸a˜o
de Sˆx + Sˆy com maior autovalor. Ache a direc¸a˜o nˆ na qual a medida do spin ira´
certamente dar o valor Sn = ~/2.
O operador gˆ que descreve a interac¸a˜o entre duas part´ıculas de spin 1/2 e´ dado por:
gˆ = a+ b σˆ1 ⊗ σˆ2,
onde a e b sa˜o constantes, σˆ1 e σˆ2 sa˜o as matrizes de Pauli.
O momento angular total do spin e´ dado por:
Jˆ = jˆ1 + jˆ2 =
~
2
(σˆ1 + σˆ2)
(c) (20%) Mostre que gˆ, Jˆ2 e Jˆz podem ser medidos simultaneamente.
(d) (30%) Derive os elementos de matriz para gˆ nas bases:
(i) |J,M, j1, j2〉.
(ii) |j1, j2, m1, m2〉 .
Informac¸o˜es adicionais:
Jˆ2 |J, M〉 = ~2 J(J + 1) |J, M〉
Jˆ± |J, M〉 = ~
√
J(J + 1)−M(M ± 1) |J, M ± 1〉
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Exame Geral de Doutorado - 2010.2 - Prova de Teoria Quaˆntica 3
Questa˜o 3: Teoria de perturbac¸a˜o
O movimento rotacional de uma mole´cula constitu´ıda por dois a´tomos pode ser descrito
aproximadamente pela equac¸a˜o de Schro¨dinger:
− ~
2
mr20
d2
dθ2
φ(θ) = E φ(θ)
onde m e´ a massa e r0 e´ uma distaˆncia efetiva. Considere que a func¸a˜o de onda φ(θ) e´
perio´dica na coordenada angular θ.
(a) (30%) Determine os autovalores de energia e as autofunc¸o˜es (normalizadas) deste
sistema.
(b) (40%) Considere agora que o sistema e´ perturbado pela adic¸a˜o de um potencial da
forma
V = a cos θ,
onde a e´ um nu´mero muito pequeno. Calcule as correc¸o˜es de energia em primeira
ordem na perturbac¸a˜o e as autofunc¸o˜es em ordem zero para os dois estados de mais
baixa energia.
(c) (30%) Calcule a correc¸a˜o de segunda ordem no autovalor da energia do sistema para
o estado n = 1 (ate´ termos da ordem de a2).
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Exame Geral de Doutorado - 2010.2 - Prova de Teoria Quaˆntica 4
Questa˜o 4: Teoria de espalhamento
O espalhamento de uma part´ıcula de massa m por um potencial, V (~r), pode ser descrito
pela func¸a˜o de onda espalhada, para pontos distantes e fora da regia˜o de alcance do
potencial, dada pela equac¸a˜o integral
ψ+~k (~r) = φ~k(~r) + f(
~k′, ~k)
e−ik r
r
,
onde
f(~k′, ~k) = − 1
4π
2m
~2
∫
d~r′ e−i
~k′·~r′ V (~r′)ψ+~k (
~r′)
e´ a amplitude da onda esfe´rica emergente e
φ~k(~r) =
ei
~k·~r
(2π)3/2
representa a func¸a˜o de onda da part´ıcula incidente (onda plana) propagando-se na direc¸a˜o
~k.
(a) (20%) Defina a aproximac¸a˜o de Born e obtenha a soluc¸a˜o em primeira ordem con-
siderando que os potenciais sa˜o esfericamente sime´tricos, i.e., V (~r) = V (r).
(b) (20%) Defina conceitualmente sec¸a˜o de choque diferencial em um processo de es-
palhamento. Escreva a sec¸a˜o de choque diferencial em termos de f(~k′, ~k) na apro-
ximac¸a˜o de Born.
(c) (60%) Considere o potencial
V (r) = V0e
−(r/r0)2
onde r0 e´ o comprimento caracter´ıstico do alcance do potencial. Calcule a sec¸a˜o de
choque diferencial do espalhamento na aproximac¸a˜o de Born, em primeira ordem.
Informac¸o˜es adicionais:
∫ ∞
−∞
e−(x+a)
2/b2 x dx = −√π a
b
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