Exame de Mecânica Quântica

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Universidade Federal de Pernambuco 
Departamento de Física 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXAME GERAL DE DOUTORADO 
 
Primeiro semestre de 2011 
 
 
 
 
 
MECÂNICA QUÂNTICA 
 
10 / 02 / 2011 
 
 
(Escolha três dentre as quatro questões) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXAME GERAL DE DOUTORADO 
Mecânica Quântica 
 
 
QUESTÃO 1: FUNDAMENTOS DA MECÂNICA QUÂNTICA 
 
 
Um operador 
A
, correspondente ao observável , tem dois auto-estados normalizados, 
 e , com auto-valores e . Um operador B , correspondente ao observável 
 , tem auto-estados normalizados, e , com auto-valores e . Os auto-
estados são relacionados por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) (40%) Considere que se mede inicialmente e se obtém o valor . Logo em 
seguida realiza-se uma medida de . Determine a probabilidade de ser 
obtido o resultado . 
b) (60%) Considerando que após a medida do item (a) é feita novamente a medida 
do observável , mostre que a probabilidade de obter é 97/169. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXAME GERAL DE DOUTORADO 
Mecânica Quântica 
 
 
QUESTÃO 2: PERTURBAÇÃO DEPENDENTE DO TEMPO 
 
 
Átomos de hidrogênio no estado fundamental 
 
estão localizados entre as placas 
paralelas de um capacitor separados por uma distância unitária. Aplica-se um pulso de 
tensão ao capacitor produzindo-se um campo elétrico homogêneo dado por 
 
 
 
 
 
 
 
que pode induzir a excitação dos átomos para um estado excitado. 
 
a) (10%) Escreva o Hamiltoniano de interação campo – átomo e usando a teoria 
de perturbação dependente do tempo, em primeira ordem, determine a 
probabilidade de transição do estado para o estado excitado de 
energia . 
Observação: basta indicar o cálculo que deve ser feito. 
 
b) (50%) Mostre que, decorrido um tempo muito longo, a fração de átomos no 
 estado é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 onde é o raio de Bohr e é a diferença de energia entre o estado 
 e o estado fundamental. 
c) (40%) Examinando as simetrias dos estados quânticos, determine a fração de 
 átomos no estado . 
 
Dados: 
 
A) Supondo que o estado inicial é com energia , a amplitude de probabilidade 
de transição para o estado de energia , no tempo , é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 , na qual . 
 
 
B) 
 
 
 
 
 
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EXAME GERAL DE DOUTORADO 
Mecânica Quântica 
 
 
QUESTÃO 3: EVOLUÇÃO TEMPORAL 
 
 
Um elétron na presença de campo magnético uniforme encontra-se em 
no auto-estado do operador de spin com autovalor Seja  uma constante tal 
que o Hamiltoniano do sistema possa ser escrito como 
 
a) (60%) Obtenha a função de onda em um tempo qualquer. 
b) (40%) Qual a probabilidade de uma medida de encontrar o valor 
 
 no 
instante ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXAME GERAL DE DOUTORADO 
Mecânica Quântica 
 
 
QUESTÃO 4: AUTO-ESTADOS E AUTO-VALORES 
 
 
Considere uma rede unidimensional de N núcleos fixos separados pela distância . 
Nesta rede existem elétrons cuja dinâmica é governada pela equação de Schrodinger. 
Os elétrons podem saltar de um sítio para o próximo segundo certas probabilidades. A 
equação de Schrodinger nestas condições é dada por 
 
 
 
 
 . 
 
Assim, 
 nos dá a probabilidade de encontrar o elétron no sítio n (0 ) 
e W é a amplitude de tunelamento. 
 
a) (20%) Utilizando a simetria translacional discreta da rede, mostre que o 
operador T de translação, definido por , comuta com o operador H. 
b) (60%) Determine os auto-valores e auto-estados do operador T. 
c) (20%) Determine uma expressão para os auto-valores de energia, E, soluções de 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Formulário 
 
Função de onda 1s: 
)/(exp
1
2
1
02/3
0
100 ar
a
u 

 
Função de onda 2s: 
2/3
0
0
0
200
)2(
2
exp
2
24
1
a
a
r
a
r
u














 
Função de onda 2p: 
 cos)2/(exp)2(
1
4
1
0
0
2/3
0
210 ar
a
r
a
u 