Planos

Prévia do material em texto

Geometria Anaĺıtica
Planos em E 3: equações - vetor normal a um
plano - posição relativa entre reta e plano -
posição relativa entre dois planos
Ana Julia Gomes Alves
Maria do Carmo Carbinatto
SMA - ICMC - USP
Geometria Anaĺıtica Planos
Planos
Seja π um plano em E 3.
Objetivo
Encontrar uma equação para π.
Dois vetores LI paralelos ao plano π são chamados vetores
diretores de π.
Sejam ~u e ~v vetores diretores de π e seja A um ponto de π.
A •
• X π
"
"
""
"
"
""
-���:
��* ~u~v
Um ponto X pertence a π⇐⇒ −→AX , ~u e ~v são coplanares⇐⇒ −→AX = λ~u + µ~v para algum λ, µ ∈ R⇐⇒ X = A+ λ~u + µ~v para algum λ, µ ∈ R.
Geometria Anaĺıtica Planos
Planos
Variando λ e µ em R, obtemos todos os pontos do plano π, Então
Um ponto X pertence a π⇐⇒ X = A+ λ~u + µ~v λ, µ ∈ R.
A equação
π : X = A+ λ~u + µ~v λ, µ ∈ R,
é chamada uma equação vetorial do plano π. Os escalares λ e µ
são chamados parâmetros do plano.
Seja Σ = (O,E ) um sistema ortogonal de coordenadas em E 3. Se
X = (x , y , z)Σ, A = (x0, y0, z0)Σ, ~u = (r , s, t)E e ~v = (m, n, p)E ,
temos
π : X = (x0, y0, z0)Σ + λ(r , s, t)E + µ(m, n, p)E λ, µ ∈ R.
e escrevendo em coordenadas obtemos
Geometria Anaĺıtica Planos
Planos
π :

x = x0 + λr + µm
y = y0 + λs + µn, λ, µ ∈ R
z = z0 + λt + µp
Estas são equações paramétricas do plano π.
Exemplo 7
Seja Σ = (O,E ) um sistema ortogonal de coordenadas em E 3 e
considere os pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1,−1) e C = (1,−1, 0).
(a) Encontre equações para o plano π que passa pelos pontos A, B
e C .
(b) O ponto P = (1, 2, 3) pertence ao plano π?
Solução: Aqui
Geometria Anaĺıtica Planos
https://youtu.be/BRBB41K5vlY
Equação geral de um plano
Sejam ~u e ~v vetores diretores de π e seja A um ponto de π.
Um ponto X pertence a π⇐⇒ −→AX , ~u e ~v são coplanares.
Seja Σ = (O,E ) um sistema ortogonal de coordenadas em E 3. Se
X = (x , y , z)Σ, A = (x0, y0, z0)Σ, ~u = (r , s, t)E e ~v = (m, n, p)E ,
temos
Um ponto X pertence a π⇐⇒ −→AX , ~u e ~v são coplanares
⇐⇒
∣∣∣∣∣∣
x − x0 y − y0 z − z0
r s t
m n p
∣∣∣∣∣∣ = 0
⇐⇒(sp − tn)x + (mt − rp)y + (rn − sm)z
− (sp − tn)x0 − (mt − rp)y0 − (rn − sm)z0 = 0.
Geometria Anaĺıtica Planos
Equação geral de um plano
Denote
a = sp − tn
b = mt − rp
c = rn − sm
d = −((sp − tn)x0 + (mt − rp)y0 + (rn − sm)z0) = −(ax0 + by0 + cz0).
Obtemos
X = (x , y , z) pertence a π⇐⇒ π : ax + by + cz + d = 0.
Esta equação é chamada uma equação geral do plano π.
Observação
Os números reais a, b e c não se anulam simultaneamente. Por
quê?
Geometria Anaĺıtica Planos
Equação geral de um plano
Exemplo 8
Seja Σ = (O,E ) um sistema ortogonal de coordenadas em E 3 e
considere os pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1,−1) e C = (1,−1, 0).
(a) Encontre uma equação geral para o plano π que passa pelos
pontos A, B e C .
(b) O ponto P = (1, 2, 3) pertence ao plano π?
Solução: Aqui
Exemplo 9
Seja Σ = (O,E ) um sistema ortogonal de coordenadas em E 3.
(a) Encontre uma equação geral para os planos coordenados.
(b) Encontre uma equação geral para o plano que passa pelos
pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1).
Solução: Aqui
Geometria Anaĺıtica Planos
https://youtu.be/efkcXeMtE4c
https://youtu.be/bkuIfDEPipQ
Equação geral de um plano
Observação
Sejam a, b, c e d números reais e suponha que a, b e c não se
anulem simultaneamente. Então a equação ax + by + cz + d = 0
define um plano.
Exemplo 10
Encontre os vetores diretores e uma equação vetorial do plano
π : 2x + 3y − 6z + 12 = 0.
Solução: Devemos encontrar três pontos de π não colineares. Uma
sugestão é determinar as interseções com os eixos coordenados.
Interseção com o eixo-x : seja A o ponto comum de π com o
eixo-x . Logo, A = (x , 0, 0), onde x ∈ R. O ponto A pertence ao
plano π ⇐⇒ 2x + 12 = 0 ⇐⇒ x = −6.
Geometria Anaĺıtica Planos
Equação geral de um plano
Interseção com o eixo-y : seja B o ponto comum de π com o
eixo-y . Logo, B = (0, y , 0), onde y ∈ R. O ponto B pertence ao
plano π ⇐⇒ 3y + 12 = 0 ⇐⇒ y = −4.
Interseção com o eixo-z : seja C o ponto comum de π com o
eixo-z . Logo, C = (0, 0, z), onde z ∈ R. O ponto C pertence ao
plano π ⇐⇒ −6z + 12 = 0 ⇐⇒ z = 2.
Com isso, os vetores
−→
AB = (6,−4, 0) e
−→
AC = (6, 0, 2)
são vetores diretores de π. Observe que também são vetores
diretores de π:
~u = (3,−2, 0) e ~v = (3, 0, 1).
Uma equação vetorial para π:
X = (−6, 0, 0) + λ(3,−2, 0) + µ(3, 0, 1), λ, µ ∈ R. �
Geometria Anaĺıtica Planos
Equação geral de um plano
Exemplo 11
Descreva os pontos que pertencem à interseção dos planos
π1 : 2x + y − z − 1 = 0 e π2 : x − y + 2z + 2 = 0.
Solução: X = (x , y , z) pertence à interseção dos planos π1 e π2⇐⇒ { 2x + y − z − 1 = 0
x − y + 2z + 2 = 0
⇐⇒ { 2x + y − z = 1
x − y + 2z = −2
⇐⇒ { 2x + y − z = 1
3x + z = −1
⇐⇒ { 2x + y − z = 1
z = −1 − 3x
⇐⇒ { y = 1 − 2x + z
z = −1 − 3x
⇐⇒ { y = 1 − 2x − 1 − 3x = −5x
z = −1 − 3x
⇐⇒

x = λ
y = −5λ, λ ∈ R
z = −1 − 3λ.
Ou seja, temos uma reta que passa pelo ponto P = (0, 0,−1) e
com vetor diretor ~u = (1,−5,−3). �
Geometria Anaĺıtica Planos
Vetor normal a um plano
Seja π um plano em E 3. Qualquer vetor não nulo ortogonal a π é
chamado vetor normal a π.
Sejam ~u e ~v vetores diretores de π
Um vetor ~η é normal a π⇐⇒ ~η é ortogonal a ~u e a ~v
Como ~u e ~v são LI,
~η e ~u ∧ ~v são paralelos.
Proposição 1
Seja Σ = (O,E ) um sistema ortogonal de coordenadas em E 3 e
seja π um plano em E 3. Então ~η = (a, b, c)E é um vetor normal a
π se, e somente se, π possui equação geral da forma
ax + by + cz + d = 0.
Geometria Anaĺıtica Planos
Vetor normal a um plano
Demonstração. Seja ~η = (a, b, c)E é um vetor normal a π e seja
A = (x0, y0, z0)Σ um ponto de π. Logo,
Um ponto X = (x , y , z)Σ pertence a π⇐⇒ −→AX e ~η são orgonais⇐⇒ −→AX · ~η = 0⇐⇒ a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0⇐⇒ ax + by + cz + (−ax0 − by0 − cz0).
Defina d = −ax0 − by0 − cz0. Como ~η 6= ~0, segue que a, b e c não
se anulam simultaneamente e ax + by + cz + d = 0 é uma equação
geral do plano π.
Geometria Anaĺıtica Planos
Vetor normal a um plano
Agora suponha que ax + by + cz + d = 0 é uma equação geral do
plano π.
Defina o vetor ~η = (a, b, c)E . Como a, b e c não se anulam
simultaneamente, segue que ~η 6= ~0. Seja ~u = (m, n, p)E um vetor
paralelo ao plano π.
Sejam A = (x0, y0, z0)Σ e B = (x1, y1, z1)Σ dois pontos de π tais
que
−→
AB = ~u. Logo
x1 − x0 = m, y1 − y0 = n, z1 − z0 = p.
E
~η · ~u = am + bn + cp = a(x1 − x0) + b(y1 − y0) − c(z1 − z0)
= ax1 + by1 + cz1 − (ax0 + by0 + cz0) = d − d = 0.
Portanto, ~η e ~u são ortogonais. Mostramos que ~η = (a, b, c)E é
um vetor normal a π. �
Geometria Anaĺıtica Planos
Exemplo
Exemplo 12
Determine uma equação geral para o plano que passa pelos pontos
A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1) e C = (1, 1, 0).
Geometria Anaĺıtica Planos
Posição relativa entre retas e planos
Sejam r uma reta e π um plano em E 3. Sabemos que existem três
possibilidades para a posição relativas de r e π
· r está contida no plano π
· r é paralela ao plano π
· r e π se interceptam num ponto.
Objetivo
Conhecendo equações de r e π, obter um critério para analisar a
posição relativa.
Σ = (O,E ) um sistema ortogonal de coordenadas em E 3 e seja π
um plano em E 3. Suponha que
r : X = A+ λ~u, λ ∈ R e π : ax + by + cz + d = 0.
Então ~η = (a, b, c)E é um vetor normal a π.
Geometria Anaĺıtica Planos
Posição relativa entre reta e plano
Temos
1. r está contida no plano π ⇐⇒ ~u e ~η são ortogonais e A ∈ π.
2. r é paralela ao plano π ⇐⇒ ~u e ~η são ortogonais.
3. r e π se interceptam num ponto ⇐⇒ ~u e ~η não são
ortogonais.
Geometria Anaĺıtica Planos
Posição relativa entre reta e plano
Se ~u e ~η são paralelos, dizemos que r e π são perpendiculares.
π
"
"
""
"
"
""
6~η
Uma reta com vetor diretor paralelo a um vetor normal de π é
chamada reta normal.
Exemplo13
Estude a posição relativa da reta r e do plano π dados por
r : x−1
2 = y = −z e
π : (x , y z)Σ = (3, 0, 1)Σ + λ(1, 0, 1)E + µ(2, 2, 0)E , λ, µ ∈ R.
Solução: Exerćıcio.
Geometria Anaĺıtica Planos
Posição relativa entre reta e plano
Exemplo 14
Obtenha uma equação geral do plano π que passa pelo ponto
P = (1, 2,−1) e é perpendicular à reta
r : X = (0, 0, 1)Σ + λ(1, 1, 0)E , para λ ∈ R.
Solução:
P •
π
"
"
""
"
"
""
6~u = (1, 1, 0)
r
Como o plano π e a reta r devem ser perpendiculares, segue que o
vetor ~η = (1, 1, 0) é um vetor normal ao plano π. Logo, uma
equação geral para o plano π possui a forma
x + y + d = 0,
para algum d ∈ R.
Geometria Anaĺıtica Planos
Posição relativa entre reta e plano
Agora
o ponto P = (1, 2,−1) pertence ao plano π⇐⇒ 1 + 2 + d = 0⇐⇒ d = −3.
Portanto, uma equação geral é
π : x + y − 3 = 0. �
Exemplo 15
Determine a projeção ortogonal do ponto P = (1, 0, 1) sobre o
plano π : 3x − y + z + 2 = 0.
Solução: O ponto P = (1, 0, 1) pertence ao plano π?
3 · (1) − 0 + 1 + 2 = 6 6= 0 =⇒ P não pertence ao plano π
Geometria Anaĺıtica Planos
Posição relativa entre reta e plano
r
P•
Q•
π
"
"
""
"
"
""
6~η = (3,−1, 1)
Uma equação para a reta r :
r : X = (1, 0, 1) + λ(3,−1, 1), λ ∈ R.
O ponto Q = (x , y , z) pertence ao plano π e à reta r se e somente
se 
x = 1 + 3λ
y = −λ
z = 1 + λ
3x − y + z + 2 = 0
Geometria Anaĺıtica Planos
Posição relativa entre reta e plano
Logo, 3(1 + 3λ) − (−λ) + (1 + λ) + 2 = 0. E obtemos, 11λ+ 6 = 0
e λ = −6/11. Portanto,
x = 1 + 3(−6/11) = −7/11
y = 6/11
z = 1 − 6/11 = 5/11
e Q = (−7/11, 6/11, 5/11). �
Geometria Anaĺıtica Planos
Posição relativa entre dois planos
Sejam π1 e π2 dois planos em E 3. Sabemos que existem três
possibilidades para a posição relativas.
· coincidentes
· paralelos
· concorrentes.
Objetivo
Conhecendo equações de π1 e π2, obter um critério para analisar a
posição relativa.
Σ = (O,E ) um sistema ortogonal de coordenadas em E 3 e seja π
um plano em E 3. Suponha que
π1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e π2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0.
Então ~η1 = (a1, b1, c1)E é um vetor normal a π1 e
~η2 = (a2, b2, c2)E é um vetor normal a π2.
Geometria Anaĺıtica Planos
Posição relativa entre dois planos
1. π1 e π2 são paralelaos ⇐⇒ ~η1 e ~η2 são paralelos⇐⇒ existe um k ∈ R tal que a1 = ka2, b1 = kb2, c1 = kc2 e
d1 6= kd2.
2. π1 e π2 são coincidentes ⇐⇒ ~η1 e ~η2 são paralelos e existe
um ponto A ∈ π1 tal que A ∈ π2⇐⇒ existe um k ∈ R tal que a1 = ka2, b1 = kb2, c1 = kc2 e
d1 = kd2.
3. π1 e π2 são concorrentes ⇐⇒ ~η1 e ~η2 são LI.
Geometria Anaĺıtica Planos
Posição relativa entre dois planos
Se π1 e π2 são concorrentes e ~η1 ⊥ ~η2, dizemos que π1 e π2 são
perpendiculares.
Exemplo 16
Encontre uma equação geral do plano π passando por P = (2, 1, 0)
que é perpendicular aos planos π1 : x + 2y − 3z + 4 = 0 e
π2 : 8x − 4y + 16z − 1 = 0.
Geometria Anaĺıtica Planos
Posição relativa entre dois planos
Seja ~η um vetor normal ao plano π.
π e π1 são perpendiculares⇐⇒ ~η e (1, 2,−3) são vetores ortogonais
π e π2 são perpendiculares⇐⇒ ~η e (8,−4, 16) são vetores ortogonais.
Portanto, podemos escolher ~η como um vetor paralelo ao vetor
(1, 2 − 3)∧ (2,−1, 4). Temos
(1, 2 − 3)∧ (2,−1, 4) = (5,−10,−5).
Tome ~η = (1,−2,−1) e π : x − 2y − z + d = 0, para algum d ∈ R.
Notemos que
P = (2, 1, 0) pertence ao plano π⇐⇒ 2 − 2 + d = 0⇐⇒ d = 0.
Portanto, uma equação geral do plano π é x − 2y − z = 0. �
Geometria Anaĺıtica Planos
Posição relativa entre dois planos
Exemplo 17
Obtenha uma equação vetorial da reta t que passa pelo ponto
P = (1, 0, 1), é paralela no plano π : x − 3y − z = 1 e é
concorrente com a reta s : X = (0, 0, 0) + λ(2, 1, 1), λ ∈ R.
Geometria Anaĺıtica Planos