Seções Cônicas

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DEFINIÇÃO
Aplicação dos conceitos de seções cônicas na Geometria Analítica.
PROPÓSITO
Definir as seções cônicas e aplicar seus conceitos nos problemas da Geometria Analítica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a equação e elementos da parábola nos problemas da Geometria Analítica
MÓDULO 2
Aplicar a equação da elipse e da circunferência nos problemas da Geometria Analítica
MÓDULO 3
Aplicar a equação da hipérbole nos problemas da Geometria Analítica
MÓDULO 4
Aplicar a equação geral das cônicas
MÓDULO 1
 Aplicar a equação e elementos da parábola nos problemas da Geometria Analítica.
INTRODUÇÃO
Um conjunto particular de figuras que são analisadas na Geometria Analítica são chamadas de seções
cônicas ou simplesmente cônicas. Estas seções são definidas através de uma interseção entre um
plano e um cone, formando a parábola, elipse, hipérbole e suas degenerações.
Neste módulo, vamos definir as seções cônicas e aplicar as equações da parábola na solução de
problemas de Geometria Analítica.
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SEÇÕES CÔNICAS - DEFINIÇÃO
A interseção entre um cone de duas folhas e um plano cria um conjunto de lugares geométricos que
são denominados de cônicas ou seções cônicas. Dependendo da posição relativa entre o plano e o
cone, a curva plana formada terá uma equação e, consequentemente, um gráfico, diferente, sendo
chamada de: parábola, elipse ou hipérbole. A circunferência será um caso particular da elipse.
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ELIPSE

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PARÁBOLA

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HIPÉRBOLE
Além destas, existem outras interseções denominadas de cônicas degeneradas, que serão formadas
pela interseção do cone com planos particulares, podendo se formar: um ponto, uma reta, duas retas
concorrentes ou duas retas paralelas.
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CÔNICAS DEGENERADAS:
Por exemplo, se o plano passar pelo vértice do cone, podem se formar um ponto, uma reta ou
até mesmo duas retas concorrentes.
 DICA
As cônicas apresentam propriedades geométricas que atualmente possuem várias aplicações práticas
em construção de antenas, radares, telescópios, entre outros. Cada cônica e suas degenerações
serão analisadas em seus módulos específicos
PARÁBOLA - EQUAÇÃO REDUZIDA
O cone reto é uma figura espacial que apresenta uma abertura angular que parte de seu vértice. Ao
cortarmos o cone reto por um plano perpendicular à sua base e passando bem pelo seu eixo central,
forma-se um triângulo. As laterais deste triângulo são as retas denominadas de geratriz do cone e
formam um ângulo α com seu eixo, que é denominado abertura do cone.
Elaborado pelo o autor
CONE RETO

Elaborado pelo autor
TRIÂNGULO
Ao realizar a interseção de um plano com o cone, com o plano tendo um ângulo com o eixo do cone
igual a sua abertura, isto é, igual a α(alpha), a figura que se formará será a de uma parábola. Isto é, o
plano secante será paralelo às geratrizes do cone de duas folhas.
Elaborado pelo o autor
 COMENTÁRIO
O caso degenerativo será aquele em que este plano passa pelo vértice, assim, a figura formada será
de apenas uma reta (duas retas coincidentes), que será a reta geratriz do cone.
A parábola é uma curva plana com propriedades geométricas que ajudaram a definir a sua equação.
DEFINIÇÃO DA PARÁBOLA COMO LUGAR
GEOMÉTRICO
Seja um ponto F e uma reta r dados. A Parábola será o lugar geométrico (conjunto) de todos os pontos
do plano, tais que a distância do ponto ao ponto dado, chamado de foco, será igual à distância do
ponto à reta dada, denominada de diretriz.
A distância entre P e a reta diretriz é a metade do parâmetro da parábola e, pela definição, será igual à
distância de P ao foco. A figura apresenta todos os elementos de uma parábola. Observe que o seu
eixo será perpendicular à reta diretriz.
Elaborado pelo o autor
O parâmetro da parábola, simbolizado por 2p, será a distância entre o foco (F) e a reta diretriz (r).
Observe que o vértice, que é o ponto no qual a parábola corta seu eixo, também pertence à parábola,
assim, a distância entre o vértice e o foco (F) será igual a distância entre o vértice e a reta diretriz r,
que valerá metade do parâmetro, isto é, p.
Para definirmos a equação de uma parábola, iniciaremos com o caso mais simples, colocando os dois
eixos cartesianos, um paralelo ao eixo da parábola e outro paralelo à reta diretriz. Assim, teremos dois
casos: a parábola horizontal, com eixo x paralelo ao eixo da parábola e a parábola vertical com eixo y
paralelo ao eixo da parábola. As equações desta forma são denominadas de Equações Reduzidas ou
Canônicas da Parábola.
EQUAÇÃO REDUZIDA DA PARÁBOLA
Vamos começar pelo caso mais simples, uma parábola horizontal, com o vértice da parábola na
origem do sistema cartesiano. Considerando o parâmetro da parábola como 2p, então, a distância de
qualquer ponto da parábola ao foco é igual à distância do ponto à reta diretriz e vale p.
Elaborado pelo o autor
 ATENÇÃO
Assim, os elementos da parábola terão as seguintes coordenadas:
 Vértice V(0,0)
 Foco F(p, 0)
 Eixo da parábola: y = 0
 Diretriz da parábola: x = −p ou x + p = 0
Seja P(x, y) um ponto genérico da parábola, assim dPF = drP, aplicando as equações de distância de
ponto a ponto e distância de ponto à reta já conhecidas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando ao quadrado:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a equação da parábola horizontal com abertura para o sentido positivo do eixo x e vértice
na origem será y² = 4px.
Vamos agora deslocar os eixos, porém mantendo-os paralelos ao eixo de simetria da parábola. Em
outras palavras, tirando o vértice da parábola do centro do sistema cartesiano e colocando o vértice da
parábola no ponto V(x0, y0).
Elaborado pelo o autor
 ATENÇÃO
Assim, as coordenadas dos elementos serão:
 Vértice V(x0, y0)
 Foco F(x0+p, y0)
 Eixo da parábola: y = y0
 Diretriz da parábola: x = (x0−p) ou x − (x0−p) = 0
Seja P(x, y) um ponto genérico da parábola, então dPF = drP, igualmente ao caso anterior:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a equação da parábola horizontal com abertura para o sentido positivo do eixo x e vértice
no ponto (x0, y0) será (y−y0)² = 4p×(x−x0)
Observe que, se fizer x0 = y0 = 0, cai-se na equação anteriormente definida.
Fazendo o raciocínio análogo para os outros três casos:
 A) PARÁBOLA HORIZONTAL COM ABERTURA NO
SENTIDO NEGATIVO DO EIXO X
 Vértice V(x0, y0)
 Foco f(x0−p, y0)
 Eixo da parábola: y = y0
 Diretriz da parábola: x − (x0+p) =
0
Equação: (y − y0)² =
−4p(x−x0)⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 B) PARÁBOLA VERTICAL COM ABERTURA NO SENTIDO
POSITIVO DO EIXO Y:
 Vértice V(x0, y0)
 Foco f(x0, y0+p)
 Eixo da parábola: x = x0
 Diretriz da parábola: y − (y0−p) =
0
Equação: (x − x0)² =
4p(y−y0)⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 C) PARÁBOLA VERTICAL COM ABERTURA NO SENTIDO
NEGATIVO DO EIXO Y:
 Vértice V(x0, y0)
 Foco f(x0, y0−p)
 Eixo da parábola: x = x0
 Diretriz da parábola: y − (y0+p) =
0
Equação: (x − x0)² =
−4p(y−y0)⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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Uma forma de olhar para a equação reduzida e reconhecer que tipo de parábola está se trabalhando é
verificar qual a variável está elevada ao quadrado. O eixo relacionado à variável que está elevada ao
quadrado é paralelo à diretriz da parábola e o eixo relacionado à variável que não está elevado ao
quadrado é paralelo ao eixo de simetria da parábola. Por exemplo, na parábola horizontal, a variável x
não está ao quadrado, e na vertical, a variável y não está ao quadrado.
O sentido da abertura da parábolaanteriores, todas as cônicas e suas degenerações podem ser
representadas por uma equação geral do tipo: ax² + bxy + cy² + dx + ey + g = 0, em que a, b, c, d, e, f
e g são constantes reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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Existe uma forma de se analisar esta equação do segundo grau com duas variáveis e se classificar a
cônica que está sendo representada pela equação.
Se b = 0, na equação, isto é, se não existir o termo xy, as cônicas têm seus eixos de simetria paralelos
aos eixos cartesianos. Se b ≠ 0, as cônicas serão inclinadas em relação aos eixos cartesianos. Neste
caso, para se obter as equações reduzidas ou canônicas é preciso fazer uma rotação de eixos
cartesianos (só assim é possível obtê-las).
1) SE B = 0 E A = C (COEFICIENTE DE X² IGUAL AO
DO Y²):
Nesta hipótese, obrigatoriamente o caso geral é a equação representando uma circunferência, porém
pode ser também a sua degeneração, a qual é um ponto somente, ou até mesmo uma equação que
não representa nenhum ponto. Isto é conjunto vazio.
ETAPA 01
ETAPA 02
Deve-se completar quadrados e obter qual valor representará o raio da circunferência:
ax² + ay² + dx + ey + g = 0 → a(x² + d/ax) + a(y² + e/a) = −g
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + d/ax) + (y² + e/ay) = −g/a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + d/ax) + (d/2a)² − (d/2a)²) + (y² + e/ay + (e/2a)² − (e/2a)²) = −g/a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + d/2a)² + (y + e/2a)² = d²/4a² + d²/4a² − g/a = r²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
d²/4a² + d²/4a² − g/a > 0 → r = √(d²/4a² + d²/4a² − g/a)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Circunferência de raio r e centro (− d/2a, −e/2a)
d²/4a² + d²/4a² − g/a = 0 → r = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um ponto (− d/2a, −e/2a)
d²/4a² + d²/4a² − g/a 0: Hipérbole ou suas degenerações (2 retas concorrentes).
PARÁBOLA E SUAS DEGENERAÇÕES
Se b = 0, obrigatoriamente será uma parábola, não podendo ser uma de suas degenerações. Mas se b
≠ 0, deve-se transformar a equação em uma do 2o grau em x ou em y. Assim, deve-se calcular o
discriminante desta equação do segundo grau ((delta)Δ0).
 ATENÇÃO
(delta)Δ0 for um número real diferente de zero: tem-se duas retas paralelas;
(delta)Δ0 for zero: tem-se duas retas coincidentes;
(delta)Δ0 for diferente de um número real: parábola.
EXEMPLO 18
Identifique o lugar geométrico representado por
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0, e que (delta)Δ = (−4)² − 4×1×4 = 0.
Portanto, será uma parábola ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
4x² + y² − 4xy − 22x − 4y + 49 = 0 → 4x² − (22 + 4y)x + (y² − 4y + 49) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (−22 − 4y)² − 4×4×(y² − 4y + 49)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4x
2 + y2 − 4xy − 22x − 4y + 49 = 0
(delta)Δ0 = 16y² + 176y + 484 − 16y² + 64y − 784 = 240y − 300
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como (delta)Δ0 é diferente de um número real, a equação representa uma parábola inclinada em
relação aos eixos cartesianos.
EXEMPLO 19
Identifique o lugar geométrico representado por
x² + 9y² + 6xy + 3x + 9y + 2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0 e que (delta)Δ = 6² − 4×1×9 = 0.
Portanto, será uma parábola ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
x² + 9y² + 6xy + 3x + 9y + 2 = → x² + (3 + 6y)x + (9y² + 9y + 2) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (3 + 6y)² − 4×1×(9y² + 9y + 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 9 + 36y + 36y² − 36y² − 36y − 8 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como (delta)Δ0 é um número real diferente de zero, a equação representa duas retas paralelas de
equações dadas pela solução da equação do segundo grau
x =
−(3 + 6y) ±√1
2
= {
x = −3y − 2
x = −3y − 1
→ {
x + 3y + 2 = 0
x + 3y + 1 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, se você multiplicasse as duas retas, obteria a equação do segundo grau dada no
enunciado.
ELIPSE E SUAS DEGENERAÇÕES
Se b = 0, deve-se completar os termos retângulos para x e y de forma similar à feita nos casos da
circunferência a
(x − x0)² + c (y − y0)² = k.
Assim:
 ATENÇÃO
k > 0: Elipse de centro (x0, y0);
k = 0: um ponto de coordenada (x0, y0);
kem uma equação do segundo grau em x:
5x² + 2y² + 4xy + 20x + 20y + 44 = 0 → 5x² + (20 + 4y)x + (2y² + 20y + 44) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (20 + 4y²) − 4×5×(2y² + 20y + 44)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 400 + 160y + 16y² − 40y² − 400y − 880 = −24y² − 240y − 480
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = −24y²) − 240y − 480 = −24×(y² + 10y + 20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que y² + 10y + 20 é uma equação do segundo grau com concavidade para cima, assim,
(delta)Δ0 = −24(y² + 10y + 20) é um equação do segundo grau com concavidade para baixo, logo,
(delta)Δ0 = −24(y² + 10y + 20) assume valores positivos e assumirá valores positivos para y entre as
raízes de
(y² + 10y + 20).
Portanto, a equação do enunciado representa uma elipse.
HIPÉRBOLE E SUAS DEGENERAÇÕES
Tanto para b igual ou diferente de zero, deve-se transformar a equação em uma do 2o grau em x ou
em y. Então, deve-se calcular o discriminante desta equação do segundo grau ((delta)Δ0).
 ATENÇÃO
(delta)Δ0 for um quadrado perfeito: a equação representará duas retas concorrentes;
(delta)Δ0 não for um quadrado perfeito: a equação representará uma hipérbole.
EXEMPLO 21
Identifique a figura plana representada pela equação
x² + 2y² + 4x − 5y − xy + 3 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0, e que
(delta)Δ = (−1)² − 4×1×(−2) = 9 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, será uma hipérbole ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
x² − 2y² − xy + 4x − 5y + 3 = 0 → x² + (4 − y)x + (−2y² − 5y + 3) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (4 − y)² − 4×1×(−2y² − 5y + 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 16 − 8y + y² + 8y⊃2 + 20y − 12 = 9y² + 12y + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 9y² + 12y + 4 = (3y + 2)²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que (delta)Δ0 é um quadrado perfeito, assim, a equação representará duas retas concorrentes
de equações dadas pela solução da equação do segundo grau:
x =
−(4 − y) ± √(3y + 2)²
2
= {
2x = −4 + y + 3y + 2 → 2x = 4y − 2 → x − 2y + 1 = 0
2x = −4 + y −(3y + 2) → 2x = −6 − 2y → x + y + 3 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Ao projetar um campo na forma de uma elipse, um projetista gostaria de plotar a elipse no computador
através de uma equação que representa os pontos externos do campo em relação a um sistema
cartesiano referenciado. A equação é
2x² + 3y² + 4x − 6y + 6 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verifique se a equação obtida pelo projetista representa ou não uma elipse.
RESOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA A EQUAÇÃO DE UMA
PARÁBOLA, DUAS RETAS PARALELAS OU DUAS RETAS COINCIDENTES:
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO,
UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 2x² + 2y² + 3x − 4y + 10 = 0
B) 2x² + 2y² − 4xy + 2x − 4y + 10 = 0
C) 2x² + 2y² − xy − 4y + 10 = 0
D) 2x² + 2y² − 4xy − 4y + 10 = 0
2. IDENTIFIQUE O LUGAR GEOMÉTRICO FORMADO PELA EQUAÇÃO
X² + Y² − 12X + 12Y + 12 = 0
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) Uma circunferência de centro (6, −6)
B) O ponto (6, −6)
C) Conjunto vazio
D) Uma elipse de centro (6, −6)
3. IDENTIFIQUE O LUGAR GEOMÉTRICO FORMADO PELA EQUAÇÃO
X² + Y² + 2X − 2Y − 2 = 0
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) Uma circunferência de centro (−1 , 1)
B) O ponto (−1, 1)
C) Conjunto vazio
D) Uma elipse de centro (−1, 1)
4. MARQUE A ALTERNATIVA DA FIGURA PLANA REPRESENTADA PELA
EQUAÇÃO
X² + 4Y² − 4XY − 4X + 12Y + 9 = 0
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) Duas retas paralelas
B) Duas retas coincidentes
C) Uma elipse
D) Uma parábola
5. MARQUE A ALTERNATIVA DA FIGURA PLANA REPRESENTADA PELA
EQUAÇÃO
X² + 4Y² + 4XY + 6X + 12Y + 9 = 0
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) Duas retas paralelas
B) Duas retas coincidentes
C) Uma elipse
D) Uma parábola
6. IDENTIFIQUE O LUGAR GEOMÉTRICO FORMADO PELA EQUAÇÃO
2X² − Y² − XY − 5X + 4Y + 10 = 0
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) Duas retas concorrentes
B) Hipérbole
C) Elipse
D) Circunferência
GABARITO
1. Marque a alternativa que representa a equação de uma parábola, duas retas paralelas ou
duas retas coincidentes:
� Atenção! Para visualização completa das equações abaixo, utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral das cônicas.
A alternativa a não tem termo retângulo xy, mas os coeficientes de x2 e y2 são iguais, assim, pode ser
uma circunferência ou duas degenerações.
As alternativas B, C e D têm termos retângulos xy, deve-se verificar qual delas tem (delta)&Delta 0
Portanto, apenas a alternativa B pode ser uma parábola ou suas degenerações.
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
2. Identifique o lugar geométrico formado pela equação
x² + y² − 12x + 12y + 12 = 0
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral das cônicas.
Verifica-se que não tem o termo xy e os coeficientes que multiplicam x2 e y2 são idênticos, assim,
trata-se de uma circunferência, um ponto ou um conjunto vazio.
Completando os quadrados
x² − 12x + y² + 12y + 12 = 0 → (x² − 12x) + (y² + 12y) + 12 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 2×6x + ...) + (y² + 2×6y + ...) + 12 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x − 6)² = x² − 12x + 36
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 6)² = y² + 12y + 36
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
(x² − 12x + 36 − 36) + (y² + 12y + 36 − 36) + 12 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 12x + 36) + (y² + 12y + 36) + 12 − 36 − 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x − 6)² + (y + 6)² = 36 + 36 − 121
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y − 1)² = y² − 2y + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim.
(x² + 2x + 1 − 1) + (y² − 2y + 1 − 1) − 2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 2x + 1) + (y² − 2y + 1) = 2 + 1 + 1 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x + 1)² + (y − 1)² = 4, que é a equação de uma circunferência de centro (−1, 1) e raio 2.
Desta forma, a alternativa correta é a letra A.
4. Marque a alternativa da figura plana representada pela equação
x² + 4y² − 4xy − 4x + 12y + 9 = 0
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
5. Marque a alternativa da figura plana representada pela equação
x² + 4y² + 4xy + 6x + 12y + 9 = 0
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral das cônicas.
Repare que a equação tem termo xy, isto é, b ≠ 0, e que (delta)Δ = (4)×2 − 4×1×4 = 0.
Portanto, será uma parábola ou suas degenerações.
Transformando a equação em uma equação do segundo grau em x:
x² + 4y² + 4xy + 6x + 12y + 9 = 0 → x² + (6 + 4y)x + (4y² + 12y + 9) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante desta equação vale
(delta)Δ0 = (6 + 4y)² − 4×1×(4y² + 12y + 9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(delta)Δ0 = 36 + 48y + 16y² − 16y² − 48y − 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como (delta)Δ0 é zero, a equação representa duas retas coincidentes.
Seria a reta
x =
−6 − 4y
2
→ x = −3 − 2y → x + 2y + 3 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verifique que a equação do enunciado é
(x + 2y + 3)(x + 2y + 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra A.
6. Identifique o lugar geométrico formado pela equação
2x² − y² − xy − 5x + 4y + 10 = 0
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral das cônicas. 
Assista ao vídeo com a solução desta questão
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. QUAL EQUAÇÃO ABAIXO REPRESENTA A EQUAÇÃO DE UMA ELIPSE OU
SUAS DEGENERAÇÕES?
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO,
UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 2x² + 5y² + 4xy + 20x + 20y + 44 = 0
B) 2x² + 2y² + 4xy + 2x + 4y + 10 = 0
C) x² − 5y² + 2xy + 2x − 4y + 12 = 0
D) 3x² + 3y² + 6x + 4y + 10 = 0
2. QUAL EQUAÇÃO ABAIXO REPRESENTA A EQUAÇÃO DE UMA
CIRCUNFERÊNCIA?
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) x² + y² + 4x + 2y + 9 = 0
B) x² + y² + 4x + 2y + 10 = 0
C) x² + y² + 4x + 2y + 12 = 0
D) x² + y² + 4x + 2y + 4 = 0
GABARITO
1. Qual equação abaixo representa a equação de uma elipse ou suas degenerações?
� Atenção! Para visualização completa das equações abaixo, utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Primeiro é necessário Identificar ao cônica representada pela equação
2x² + 5y² + 4xy + 20x + 20y + 44 = 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução
A alternativa D não tem termo retângulo xy, mas os coeficientes de x² e y² são iguais, assim, pode ser
uma circunferência ou duas degenerações.
As alternativas A, B e C têm termos retângulos xy, deve-se verificar qual delas tem (delta)Δ 0
Portanto, apenas a alternativa A pode ser uma elipse ou suas degenerações.
Desta forma, a alternativa correta é a letra A.
2. Qual equação abaixo representa a equação de uma circunferência?
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Repare que as equações não têm termo xy, e os coeficientes de x² e y² são iguais, podendo
representar uma circunferência, um ponto ou conjunto vazio.
Completando os quadrados, considerando o termo independente igual a k real:
x² + y² + 4x + 2y + 4 = 0 → (x² + 4x) + (y² + 2y) + k = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 2×2x + ...) + (y² + 2×1y + ...) + k = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x + 2)² = x² + 4x + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 1)² = y² + 2y + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
(x² + 4x + 4 − 4) + (y² + 2y + 1 − 1) + k = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 4x + 4) + (y² + 2y + 1) = − k + 4 + 1 = −k + 5 > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, kserá dado pelo sinal positivo ou negativo antes do fator 4p (duas
vezes o parâmetro da parábola). Se o sinal for positivo, a abertura coincide com o sentido positivo do
eixo, se o sinal for negativo, a abertura tem sentido negativo do eixo.
EXEMPLO 1
Obter a equação da parábola com foco no ponto F(2, 1) e reta diretriz x = 4.
RESOLUÇÃO
Como a reta diretriz é paralela ao eixo y, então a parábola será horizontal.
2p = drF = |
xF−4
√(1²+0²)
| = |
2−4
√(1²+0²)
| = |−2| = 2 → p = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a diretriz está à direita do foco, a parábola terá concavidade à esquerda.
Neste caso, o vértice terá coordenadas
V(x0, y0) = (xF+p, yF) = (2+1, 1) = (3, 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será dada por
(y − y0)² = −4p(x − x0) → (y−1)² = −4(x−3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Seja a parábola de equação (x + 1)² = −4(y−1). Determine os principais elementos da parábola.
RESOLUÇÃO
Observe a equação: trata-se de uma parábola vertical com concavidade virada para baixo.
(x−x0)² = −4p(y−y0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela equação, as coordenadas do vértice serão V(−1 , 1)
O parâmetro 2p =
4
2
= 2 → p = 1
.
As coordenadas do Foco F
(xf, yf) = (x0, y0−p) = (−1, 1−1) = (−1, 0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A reta diretriz terá equação
y = y0 + p = 1 + 1 = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Eixo será
x = x0 = −1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARÁBOLA - EQUAÇÃO GERAL
Ao se expandir os termos quadráticos da equação reduzida, ter-se-á a equação geral da parábola.
Por exemplo, para o caso da parábola vertical:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação do tipo y = ax² + bx + c, com a ≠ 0, b e c reais. Este tipo de equação já foi
trabalhado na Álgebra, no tema de funções, como função quadrática ou do segundo grau.
Se o valor de a for positivo, a parábola será vertical no sentido positivo do eixo y, isto é, parábola com
concavidade para cima. Se o valor do a for negativo, será vertical no sentido negativo do eixo y, ou
seja, parábola com concavidade para baixo.
Para as parábolas horizontais, a equação geral será x = ay² + by + c, com a ≠ 0, b e c reais. E o sinal
de a informará se a concavidade está para a direita, sentido positivo do eixo x (a > 0), ou se a
concavidade está para a esquerda, sentido negativo do eixo x (a 0: existem 2 soluções → parábolas e reta secantes.
No nosso caso,
(delta)Δ = b² − 4ac = (−2)² − 4×(1)×(−15) = 4 + 60 = 64 > 0
x =
2±√64
2
=
2±8
2
= { x = 5 → y = −5 − 1 = −6x = −3 → y = −(−3) − 1 = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, as figuras serão secantes nos pontos (5, −6) e (−3, 2).
TEORIA NA PRÁTICA
Uma antena parabólica tem a forma de uma parábola. Como os sinais enviados pelos satélites vêm de
pontos muito distantes, considera-se que eles chegam à antena paralelos ao seu eixo de simetria, por
isso, após refletirem na parabólica, encaminham-se para a direção do seu foco. Considere que a
equação que representa a antena seja dada por y = x² + 8x + 26. Determine a coordenada do foco da
antena para que se possa colocar o receptor no local correto.
RESOLUÇÃO
Assista ao vídeo com a solução desta questão
MÃO NA MASSA
1. SABE-SE QUE O PONTO P(K, 22) PERTENCE À PARÁBOLA COM FOCO NO
PONTO F(5, 7) E RETA DIRETRIZ
Y + 3 = 0. O VALOR DE K É:
A) 10
B) 12
C) 15
D) 17
2. SEJA A PARÁBOLA DE EQUAÇÃO Y2 = −16X − 32. DETERMINE A EQUAÇÃO
DA RETA DIRETRIZ DA PARÁBOLA.
A) y + 2 = 0
B) x + 2 = 0
C) y − 2 = 0
D) x− 2 = 0
3. DETERMINE AS COORDENADAS DO FOCO DA PARÁBOLA DA EQUAÇÃO X
− 4Y² − 32Y + 4 = 0:
A) (68 + 1/16, −4)
B) (68, −4)
C) (68, 1/16)
D) (1/16, −4)
4. SEJA UMA PARÁBOLA COM VÉRTICE V NA ORIGEM, CUJA RETA FOCAL
PASSA NO EIXO O − Y E PASSA NO PONTO
(4, −2). DESEJA-SE SABER A EQUAÇÃO DA RETA DIRETRIZ E DA PARÁBOLA.
A) x² = 4, diretriz y = 2
B) x² = 2, diretriz y = 2
C) x² = 8, diretriz y = 2
D) x² = −8, diretriz y = 2
5. DETERMINE A O VALOR DE K PARA QUE A RETA X + Y + K = 0 SEJA
TANGENTE À PARÁBOLA (X − 1)² = Y − 2.
A) −1/4
B) −5/4
C) 11/4
D) −11/4
6. O PONTO P(2, K) PERTENCE À PARÁBOLA VERTICAL DEFINIDA PELOS
PONTOS (1, 8), (−1, 0) E (−2, 2). DETERMINE O VALOR DE K.
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
GABARITO
1. Sabe-se que o ponto P(k, 22) pertence à parábola com foco no ponto F(5, 7) e reta diretriz
y + 3 = 0. O valor de k é:
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da parábola.
Como a reta diretriz é paralela ao eixo x, então a parábola será vertical.
2p = dr F = |
yf + 3
√1² + 0²
| = |
7 + 3
√1² + 0²
| = 10 → p = 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a diretriz está abaixo do foco, a parábola terá concavidade para cima.
Neste caso, o vértice terá coordenadas
(x0, y0) = (xf, yf − p) = (5, 7 − 5) = (5, 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será dada por
(x − x0)² = 4p×(y − y0) → (y − 2)² = 20×(x − 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como P(k, 22) pertence à parábola, ele satisfaz a equação, assim:
(22 − 2)² = 20×(k − 5) → k − 5 = 400/20 = 20 → k = 15
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, alternativa correta é a letra C.
2. Seja a parábola de equação y2 = −16x − 32. Determine a equação da reta diretriz da parábola.
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da parábola.
Observe a equação: trata-se de uma parábola horizontal com concavidade virada para direita
(y − y0)² = −4p×(x − x0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela equação y2 = −16x − 32 = 16×(x − 2), as coordenadas do vértice serão V(2, 0)
O parâmetro 2p = 16/2 = 8. As coordenadas do Foco F
(xF, yF) = (x0 + p, y0) = (2 + 4, 0) = (6, 0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A reta diretriz terá equação
x = s0 − p = 2 − 4 = −2 → x + 2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
3. Determine as coordenadas do foco da parábola da equação x − 4y² − 32y + 4 = 0:
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral da parábola.
x − 4y² − 32y + 4 = 0 → x = 4y² + 32y − 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe o termo (4y² + 32y − 4), o que falta nele para se ter um quadrado perfeito?
4y² + 32y − 4 = 4×(y² + 8y + ...) − 4 = 4×(y² + 2×4y + ...) − 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare: olhando para a fórmula do quadrado perfeito, o termo entre parênteses pode ser transformado
em
(y² + 2×4y + ...) = (y + 4)², mas para isso está faltando o termo 4².
Para não se modificar a equação, deve ser somado e subtraído
4(y² + 2×4y + 4² − 4²) − 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
x = 4(y + 4)² − 4 − 4 × 4²
x = 4(y + 4)² − 68
x − 68 = 4(y + 4)²
1/4(x − 68) = (y + 4)²
1/4 = 4p
p = 1/16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de parábola horizontal, concavidade para direita, vértice V(68, −4) e parâmetro 2p = 1/8.
Assim, o foco terá coordenadas
(xF, yF) = (x0 + p, y0) = (68 + 1/16, −4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra A.
4. Seja uma parábola com vértice V na origem, cuja reta focal passa no eixo O − Y e passa no
ponto
(4, −2). Deseja-se saber a equação da reta diretriz e da parábola.
A alternativa "D " está correta.
Passando pela origem
x² = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podendo ser positivo ou negativo, a depender do direcionamento da concavidade.
Como o vértice está na origem e o foco abaixo dele, a concavidade está para baixo, logo:
x² = −4
Ep = 2
F = (0, −2)
Diretriz y = 2, pois p = 2
x² = −4×(2), y = −8y
5. Determine a o valor de k para que a reta x + y + k = 0 seja tangente à parábola (x − 1)² = y − 2.
A alternativa "D " está correta.
Você entendeu o conceito de interseção e tangência da parábola.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
6. O ponto P(2, k) pertence à parábola vertical definida pelos pontos (1, 8), (−1, 0) e (−2, 2).
Determine o valor de k.
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito de pontos da parábola.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A PARÁBOLA COM FOCO NO PONTO F(5, 7) E VÉRTICE NO PONTO
V(1, 7). SABE-SE QUE O PONTO P(K, 15) PERTENCE À PARÁBOLA.
DETERMINE O VALOR DE K REAL.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
2. DETERMINE A EQUAÇÃO DA RETA DIRETRIZ DA PARÁBOLA DE EQUAÇÃO
Y + 12X² − 96X + 184 = 0.
A) y − 4 = 0
B) y − 12,02 = 0
C) y − 9,02 = 0
D) y − 8,02 = 0
GABARITO
1. Seja a parábola com foco no ponto F(5, 7) e vértice no ponto V(1, 7). Sabe-se que o ponto P(k,
15) pertence à parábola. Determine o valor de k real.
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da parábola.
Como o foco e o vértice têm valores de ordenada iguais, obrigatoriamente a parábola é uma parábola
horizontal.
O parâmetro da parábola será dado por
dr F = 2dF V = 2 √(5 − 1)² + (7 − 7)² = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o foco está à direita do vértice, a parábola terá concavidade para a direita com equação
(y − y0)² = 4p × (x − x0) → (y − 7)² = 16 × (x − 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como P(k, 15) pertence à parábola
(15 − 7)² = 8² = 64 = 16 × (x − 1) → x − 1 = 4 → x = 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra c.
2. Determine a equação da reta diretriz da parábola de equação y + 12x² − 96x + 184 = 0.
A alternativa "D " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral da parábola.
y + 12x² − 96x + 184 = 0 → y = −12x² + 96x − 184
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe o termo (−12x² + 96x − 184), o que falta neste para se ter um quadrado perfeito?
−12x² + 96x − 184 = −12×(x² − 8 + ...) − 184 = −12×(x² − 2×4 + ...) − 184
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare: olhando para a fórmula do quadrado perfeito, o termo entre parênteses pode ser transformado
em
(x² − 2×4 + ...),
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
mas, para isso, está faltando o termo 4².
Para não se modificar a equação, deve ser somado e subtraído
−12×(x² − 2×4x − 4² + 4²) − 184
−12×(x² − 2×4 + 4²) − 184 − 12×(4²)
−12×(x − 4)² + 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
y = −12×(x − 4)² + 8
y − 8 = −12×(x − 4)²
−(1/12)×(y − 8) = (x − 4)²
4p = (1/12) → p = 1/48
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de parábola vertical, concavidade para baixo, vértice V(4, 8) e parâmetro 2p = 1/48.
Assim, a reta diretriz será
y = y0 + p = 8 + 1/48 ≈ 8,02
y − 8,02 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra D.
MÓDULO 2
 Aplicar a equação da elipse e da circunferência nos problemas da Geometria AnalíticaELIPSE E CIRCUNFERÊNCIA
Quando se intercepta o cone de duas folhas com um plano que forma um ângulo com eixo do cone
maior do que seu ângulo de abertura, forma-se a elipse.
Um caso particular da elipse, quando seus dois eixos forem iguais, é a circunferência.
Neste módulo, iremos aplicar as equações da elipse e da circunferência na solução de problemas de
Geometria Analítica.
ELIPSE - EQUAÇÃO REDUZIDA E GERAL
Ao realizar a interseção de um plano com o cone de duas folhas, com o plano tendo um ângulo com o
eixo do cone maior do que sua abertura, a figura que se formará será a de uma elipse.
Quando o plano tiver um ângulo com o eixo do cone menor do que abertura, ele apresentará
interseção nas duas folhas do cone. No caso da elipse, como o ângulo do plano com o eixo do cone é
maior do que a abertura do cone, obrigatoriamente ele só consegue cortar uma das folhas do cone,
formando apenas uma figura.
gstraub/Shutterstock
 COMENTÁRIO
Com esta consideração, existem autores que usam outra definição para a criação da elipse: interseção
entre um plano e o cone de duas folhas, com o plano que não é paralelo à geratriz do cone e que o
corta em apenas uma das folhas.
O caso degenerativo será aquele em que esse plano passa pelo vértice, assim, a figura formada será
de apenas um ponto. Como a parábola, a elipse é uma curva plana com propriedades geométricas
que ajudaram a definir a sua equação.
DEFINIÇÃO DA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Sejam dois pontos fixos F1 e F2 denominados de focos. A elipse será o lugar geométrico (conjunto) de
todos os pontos do plano, tais que a soma da distância do ponto a cada um dos focos é constante. O
valor desta soma será igual ao tamanho do eixo maior da elipse. Vide a figura e os principais
elementos da elipse.
Elaborado pelo o autor
Elementos da Elipse
 A1, A2, B1, B2: Vértices da Elipse;
 A1A2: 2a(eixo maior da elipse), a > 0;
 B1B2: 2b(eixo menor da elipse), a > b;
 C: Centro da elipse, encontro dos eixos maior com o menor, ponto médio entre os focos;
 F1 e F2: focos da elipse, sendo F1F2: 2c (eixo focal) com a > c e c > 0;
 Pela definição: sendo F1P+F1P = A1A2 = 2a;
 As retas r1 e r2 são retas diretrizes da elipse.
Repare que os vértices B1 e B2 pertencem à elipse, assim, a distância de B1 aos dois focos segue a
definição da elipse que vale 2a. Como estas distâncias são iguais, B1F1 = B1F2 = a.
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo B1OF1 tem-se B1F1
2 = OB1
2 + OF1
2, então se define a
relação fundamental ou notável da elipse, que relaciona os valores dos eixos:
A² = B² + C²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, define-se a excentricidade (e) como a relação e = c/a. No caso da elipse, a excentricidade
vale
0 b, assim, o maior
denominador da equação reduzida representa a variável que está paralela ao eixo maior. Por exemplo,
na elipse horizontal, o denominador da fraçãorelacionada à variável x é maior do que o denominador
da fração relacionada à variável y.
Um ponto a ressaltar: chama-se elipse equilátera a elipse em que b = c.
Neste caso, pela relação notável, a = √2b = √2c e a excentricidade (e) será √2/2.
EXEMPLO 6
Determine a equação reduzida da elipse de focos nos pontos (2, 3) e (2, 11) e eixo maior igual a 10.
RESOLUÇÃO
Ao analisar os dois focos, verifica-se que eles têm a mesma abscissa, logo, a elipse é horizontal, isto
é, eixo maior paralelo ao eixo x.
dF1 F2 = 2c = 11 − 3 = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como uma das coordenadas é igual, basta fazer a diferença entre as outras coordenadas. Assim, c =
4.
O enunciado informou que 2a = 10 → a = 5
Usando a relação:
b² = a² − c² = 25 − 16 = 9 → b = 3,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
pois b > 0.
O centro é o ponto médio entre os focos. Terá a mesma abscissa, x0 = 2, e a ordenada será y0 =
11 + 3
2
= 7.
Desta forma, a equação reduzida será:
(x−2)²
25
+
(y − 7)²
9
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 7
Determine a equação da elipse e de suas retas diretrizes, sabendo que tem o centro no ponto (1 , −1),
eixo maior igual a 26, paralelo ao eixo y, e excentricidade 12/13.
RESOLUÇÃO
Como o eixo maior é paralelo ao eixo y, a elipse é vertical.
2a = 26 → a = 13. Pela excentricidade,
e = c/a = 12/13 → c = 13 × 12/13 = 12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a relação:
b² = a² − a² = 169 − 144 = 25 → b = 5, pois b > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a equação reduzida será:
(x−1)²
25
+
(y+1)²
169
= 169
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As retas diretrizes serão
y = y0 ±a²/c = −1 ± 169/12 → y = 157/12 e y = −181/12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retas diretrizes:
12y − 157 = 0 e 12y + 181 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma similar à parábola, ao se expandir os termos do segundo grau das equações reduzidas,
transforma-se a equação para sua forma geral, com tipo ax² + by² + cx + dy + e = 0, com a, b, c, d, e
reais e atendendo a algumas particularidades. Para se transformar a equação geral para equação
reduzida, usaremos o método de completar quadrados já visto anteriormente, com a diferença que
aplicaremos para as duas variáveis (x e y), pois, na parábola, fazíamos apenas para a variável que
estava ao quadrado, sendo limitada apenas a uma.
EXEMPLO 8
Determine as coordenadas do foco da elipse de equação
x² + 4y² − 4x + 24y + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
x² − 4x + 4y² + 24y + 36 = 0 → (x² − 4x) + 4(y² + 6y) + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 2 × 2x + ...) + 4(y² + 2×3y + ...) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x − 2)² = x² − 4x + 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 3)² = y² + 6y + 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
(x² − 4x + 4 − 4) + 4(y² + 6y + 9 − 9) + 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² − 4x + 4) + 4(y² + 6y + 9) + 36 − 4 − 36 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x − 2)² + 4(y + 3)² = 4 →
(x − 2)²
4
+
(y + 3)²
1
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma elipse horizontal de centro (2, −3), eixo maior a = √4 = 2 e b = √1 = 1.
Usando a relação:
c² = a² − b² = 4 − 1 = 3 → c = √3, pois c > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Coordenadas dos focos (2 + c, −3) e (2 − c, −3), desta forma, os focos serão
F1(2 + √3, −3) e F2(2 − √3, −3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando os eixos cartesianos não forem paralelos aos eixos da elipse, ela será inclinada em relação
aos eixos e não será mais possível definir-se sua equação reduzida. Para este caso, só teremos a
equação geral que apresentará obrigatoriamente um tempo do tipo xy. Este tipo de análise será feita
no último módulo no estudo da equação geral das cônicas.
O caso degenerativo do ponto será obtido analiticamente quando o valor do a e b tenderem para zero,
assim, a elipse tende a ser apenas o ponto designado pelo centro.
CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência é um caso particular de elipse. Ela aparece quando o eixo focal é zero. Neste caso, a
= b, isto é, o eixo maior é igual ao eixo menor e será denominado de raio. Se partirmos da equação
reduzida da elipse, fazendo a = b = r, obtém-se a equação reduzida da circunferência que será dada
por:
Elaborado pelo o autor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta circunferência terá centro C(x0, y0) e raio r, com r > 0.
A circunferência é a elipse de excentricidade zero.
A circunferência será definida como o lugar geométrico de todos os pontos do plano em que a
distância a um ponto fixo, denominado de centro, é constante. Esta constante é denominada de raio.
Assim, dC P = r, r > 0. Se for usada a fórmula da distância entre pontos, obtém-se a mesma equação
reduzida já apresentada.
EXEMPLO 9
Determine a equação da circunferência de centro (3, −2) e raio 3.
RESOLUÇÃO
Sabe-se que a equação da circunferência é (x − x0)² + (y − y0)² = r²
Assim, a equação fica
(x − 3)² + (y + 2)² = 3² = 9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao se expandir os termos de segundo grau da equação reduzida, será apresentada a equação geral
ou normal da circunferência. Assim, teremos uma equação do tipo ax² + ay² + bx + cy + d = 0, com a,
b, c e d reais e atendendo a algumas particularidades. Esta equação será estudada no último módulo
deste tema. No entanto já pode ser observado que obrigatoriamente o coeficiente do termo x² e y²
deve ser igual e não existirá termo do tipo xy.
Sendo dada a equação geral para se obter a equação reduzida, usa-se o método de se completar o
quadrado, já estudado anteriormente neste tema.
EXEMPLO 10
Determine o centro e raio da circunferência de equação
x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0.
RESOLUÇÃO
x² + y² + 2x − 8y + 8 = 0 → (x² + 2x) + (y² − 8y) + 8 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 2×1x + ...) + (y² − 2×4y + ...) + 8 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar (x + 1)² = x² + 2x + 1
O segundo termo pode ser completado para formar (y − 4)² = y² − 8y + 16
Assim,
(x² + 2x + 1 − 1) + (y² −8y + 16 − 16) + 8 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x² + 2x + 1) + (y² −8y + 16) + 8 − 1 − 16 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x + 1)² + (y − 4)² = 9 → Centro em (−1, 4) e raio √9 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PONTO DA ELIPSE, INTERSEÇÕES E
TANGÊNCIAS
Um ponto pertencer ou não à elipse ou circunferência, bem como a obtenção de interseções ou
tangências destas com outras curvas segue a mesma metodologia já analisada para parábola e
qualquer outro lugar geométrico.
Assim, para um ponto pertencer à elipse ou à circunferência, as suas coordenadas devem satisfazer a
sua equação.
Para se obter interseções, deve-se realizar um sistema entre as equações dessa elipse ou
circunferência com a outra curva e se observar o resultado desse sistema. Podemocorrer casos de
não interseção, de tangência ou de secância.
EXEMPLO 11
Determine a posição relativa entre a reta x − √6y + 3 = 0 e a elipse
(x − 1)²
4
+
y²
2
= 1
.
RESOLUÇÃO
Determinando a equação geral da elipse (x − 1)² + 2y² = 4
Para verificar os pontos de interseção, é preciso resolver o sistema
{
(x − 1)² + 2y² = 4
x − √6y + 3 = 0
→ x = √6y − 3,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
substituindo na primeira equação.
(√6y − 3 − 1)² + 2y² = 4 → (√6y − 4)² + 2y² = 4 → 6y² + 8√6y + 16 + 2y² = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
8y² + 8√6y + 12 = 0 → 2y² + 2√6y + 3 = 0 → y =
2√6 ± √(2√6)² − 4×3×2
4
=
√6
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x = √6y − 3 → x = √6√6/2 − 3 = 0,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
assim, existe um ponto de interseção P(0, √6/2).
A reta e a elipse são tangentes.
Um caso particular, com uma metodologia alternativa para se verificar a posição relativa entre duas
circunferências, pode ser comparando a distância entre os centros com os valores dos raios, assim:
 ATENÇÃO
dC1 C2 > r1 + r2: circunferências são externas sem interseção;
dC1 C2 = r1 + r2: circunferências são tangentes exteriores;
dC1 C2 = |r1 − r2|: circunferências são tangentes interiores;
|r1 − r2| r: circunferência e reta sem interseção;
dC reta = r: circunferência e reta tangentes;
dC reta √29 > 5, r1 + r2 = 7e|r1 − r2| = 2, então|r1 − r2| 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será
(x − 3)²
(2√3)²
+
(y − 4)²
4²
= 1 →
(x − 3)²
12
+
(y − 4)²
16
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma a alternativa correta é a letra C.
2. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos de um plano cuja distância ao ponto
(−1, 2) é fixa e igual a 5.
� Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito da circunferência. O lugar geométrico pedido no enunciado é a
circunferência, com centro em (−1, 2) e raio 5.
Assim, a equação
(x − x0)² + (y − y0)² = r²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
será
(x − (−1))² + (y − 2)² = 5²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra A,
(x + 1)² + (y − 2)² = 25.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a excentricidade da elipse dada pela equação 2x² + y² − 12x + 2y + 11 = 0
� Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito da equação geral da elipse. Achando a equação reduzida, completando os
quadrados.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
4. Seja C o centro da circunferência (x − 2)² + (y + 4)² = 8. Seja F o foco, de abscissa positiva da
elipse
x²
36
+
(y − 2)²
35
= 1. Determine a distância entre
C e F.
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito da equação da elipse.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
5. Determine a(s) interseção(ões) da circunferência (x + 3)² + (y + 4)² = 20 com a reta
x − y + 1 = 0.
A alternativa "D " está correta.
Você entendeu o conceito da interseção da circunferência com a reta.
Assista ao vídeocom a solução desta questão
6. Os pontos P(a, b) e Q(c, d) são os pontos de interseção entre as retas diretrizes da elipse
equilátera horizontal de centro no ponto (2, 2) com eixo menor igual a 4√2 e a reta x + y − 2 = 0.
Determine o valor de a + b + c + d:
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da interseção da elipse.
Foi dado 2b = 4√2 → b = 2√2. Se a elipse é equilátera, b = c e consequentemente a = √2b = 4.
Como a elipse é horizontal e centro em (2,2), sua equação será:
(x − 2)²
16
+
(y − 2)²
8
= 1
A reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas (y):
x = x0 ± a²/c = 2 ±
16
2√2
= 2 ±4√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As retas serão
x = 2 + 4√2 e x = 2 − 4√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo a interseção com a reta dada y = 2 − x
Assim, os pontos serão:
x = 2 + 4√2 → y = −4√2 e x = 2 −4√2 → y = 4√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
a + b + c + d = 2 + 4√2 + 2 − 4√2 − 4√2 + −4√2 = 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A ELIPSE COM UM DOS FOCOS EM (2, 1), CENTRO EM (2,0) E UM DOS
VÉRTICES EM (2, 6). DETERMINE A EQUAÇÃO REDUZIDA DA ELIPSE.
A)
(x − 2)²
36
A) +
(y)²
35
A) = 1
B)
(x − 2)²
35
B) +
(y)²
36
B) = 1
C)
(x − 2)²
36
C) +
(y)²
1
C) = 1
D)
(x − 2)²
1
D) +
(y)²
36
D) = 1
2. O PONTO (3, 4) PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA DE CENTRO EM (1, 2).
DETERMINE A EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA.
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO
UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) (x − 3)² + (y − 4)² = 2√2
B) (x + 3)² + (y + 4)² = 2√2
C) (x − 3)² + (y − 4)² = 8
D) (x + 3)² + (y + 4)² = 8
GABARITO
1. Seja a elipse com um dos focos em (2, 1), centro em (2,0) e um dos vértices em (2, 6).
Determine a equação reduzida da elipse.
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da elipse. Se o Centro está em (2, 0) e o foco em (2,
1), a elipse obrigatoriamente é vertical e o valor do c = 1 − 0 = 1 (diferença entre o foco e o centro).
Igualmente, o valor do semieixo maior a = 6 − 0 = 6 (diferença entre o vértice e o centro).
Usando a relação notável:
b² = a² − c² = 36 − 1 - 35 → b = √35, pois b > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será
(x − 2)²
35
+
(y)²
36
= 1
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
2. O ponto (3, 4) pertence à circunferência de centro em (1, 2). Determine a equação da
circunferência.
� Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito de circunferência.
Se o ponto pertence à circunferência, a distância dele ao centro será o raio da circunferência:
dP C = r = √ = √(3 − 1)² + (4 − 2)²4 + 4 = 2√2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação
(x − x0)² + (y − y0)² = r²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
será
(x − 3)² + (y − 4)² = (2√2)²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a alternativa correta é a letra C,
(x − 3)² + (y − 4)² = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Aplicar a equação da hipérbole nos problemas da Geometria Analítica
HIPÉRBOLE
Quando se intercepta o cone de duas folhas com um plano que forma um ângulo com eixo do cone
menor do que seu ângulo de abertura, este corta cada uma das duas folhas do cone, formando a
hipérbole.
A partir de agora iremos aplicar as equações da hipérbole na solução de problemas de Geometria
Analítica.
HIPÉRBOLE – EQUAÇÃO REDUZIDA E GERAL
A interseção de um plano com o cone de duas folhas com o plano tendo um ângulo com o eixo do
cone menor do que sua abertura, forma nas duas folhas do cone a figura que será denominada
hipérbole. 
Existem autores que usam outra definição para a criação da hipérbole: interseção entre um plano e o
cone de duas folhas com o plano que não é paralelo à geratriz do cone e que o corta em suas duas
folhas.
gstraub/Shutterstock
O caso degenerativo relacionado à hipérbole será o conjunto de duas retas concorrentes, obtido
quando o plano passa pelo vértice. Como as duas cônicas anteriores, a hipérbole é uma curva plana
com propriedades geométricas que ajudaram a definir a sua equação.
DEFINIÇÃO DA HIPÉRBOLE COMO LUGAR
GEOMÉTRICO
Sejam dois pontos fixos F1 e F2 denominados de focos. A hipérbole será o lugar geométrico
(conjunto) de todos os pontos do plano tais que o módulo da diferença da distância do ponto a cada
um dos focos é constante. O valor do módulo desta diferença será igual ao tamanho do eixo real da
hipérbole. Vide a figura e os principais elementos da hipérbole.
Elaborado pelo o autor
 ATENÇÃO
Elementos da Hipérbole
A1, A2: Vértices da hipérbole;
A1A2: 2a(eixo real ou transverso da hipérbole), a > 0;
B1B2: 2b(eixo imaginário da hipérbole), b > 0;
C: Centro da hipérbole, Encontro dos eixos real e imaginário, Ponto médio entre os focos;
F1 e F2: focos da hipérbole, sendo F1F2: 2c(eixo focal), com c > a;
Pela definição: sendo |F1P − F2P| = A1A2 = 2a;
As retas r1 e r2 são retas diretrizes da hipérbole.
O eixo imaginário é um eixo abstrato que será explicado posteriormente à sua criação. Como na
elipse, a hipérbole tem uma relação notável ou fundamental: c² = b² + a².
Da mesma forma com as cônicas anteriores, define-se a excentricidade (e) como a relação e = c/a. No
caso da hipérbole, a excentricidade vale e > 1. Existe outra definição para hipérbole relacionada à
distância entre o foco e a diretriz e que envolve a excentricidade.
Define-se hipérbole, também, como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto fixo,
denominado foco, será igual à distância do ponto a uma reta fixa, denominada de diretriz, multiplicada
por uma constante denominada de excentricidade. Assim, dF P = e×dr P. No caso da hipérbole, similar
à elipse, cada foco está relacionado a sua reta diretriz.
Repare, também, que os vértices A1 e A2 são pontos da hipérbole, assim, dr A1 = 1/edA1 F1. Mas a
distância de A1 até o foco F1 vale (c − a). Logo,
dr A1 = 1/e(c − a) = a/c(c − a) = a − a²/c
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, a distância da diretriz para o eixo imaginário da hipérbole será dado como a − dr1 A1 =
a²/c. A equação das retas diretrizes da hipérbole serão paralelos ao eixo imaginário da hipérbole e
estão com uma distância a²/c deste eixo.
Assim, a distância da diretriz para o eixo menor da elipse será dada como dr1 A1 + a = a²/c.
ruzanna/Shutterstock
Iniciaremos com o caso dos eixos real e imaginário serem paralelos ao eixos cartesianos. Neste caso,
teremos a hipérbole horizontal quando o eixo real for paralelo ao eixo x, e a hipérbole vertical quando
o eixo real for paralelo ao eixo y.
EQUAÇÃO REDUZIDA OU CANÔNICA DA
HIPÉRBOLE
Vamos começar pelo caso mais simples, uma hipérbole horizontal, com o centro da hipérbole na
origem do plano cartesiano. Seria o desenho anterior, com o eixo x sobre o eixo real, o eixo y sobre o
eixo imaginário e o centro no ponto (0, 0).
 ATENÇÃO
Seja a hipérbole com tamanho do eixo real 2a, imaginário 2b e focal 2c. Assim, os elementos da
hipérbole terão as seguintes coordenadas:
 Centro: C (0,0) e vértices: A1(−a, 0) e A2(a, 0).
 Focos: F1 (−c, 0 ) e F2(c, 0 ).
 Eixo real: y = 0 e eixo imaginário: x = 0
 Retas diretrizes: x = a²/c e x = −a²/c.
Seja P(x, y) um ponto genérico da hipérbole, assim, a diferença das distâncias aos dois focos vale 2a:
|dP F1 − dP F2| = 2a → | √(x − (−c))² + (y − 0)² − √(x − c)² + (y − 0)²| = 2a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal| √(x + c)² + y² − √(x − c)² + y²| = 2a → √(x + c)² + y² = √(x − c)² + y² ± 2a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Elevando ao quadrado:
(x + c)² + y² = (x − c)² + y² ± 4a √(x − c)² + y² + 4a²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
± 4a √(x − c)² + y² = (x + c)² + y² − (x − c)² − y² − 4a²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
± 4a √(x − c)² + y² = 4cx − 4a² → ± √(x − c)² + y² = c/ax − a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando novamente ao quadrado:
(x − c)² + y² = (c/ax − a)²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x² − 2cx + c² + y² = c²/a²x² − 2cx + a² → (c²/a² − 1)x² − y² = c² − a²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como c > a → c² − a² > 0, então, existe um número real b tal que c² − a² = b². Aqui é o ponto da
criação do eixo imaginário.
(
c² − a²
a²
)x² − y² = b² → b²/a²x² − y² = b² → b²x² − a²y² = a²b²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, obtém-se a equação reduzida:
x²
a²
−
y²
b²
= 1
Se agora deslocarmos o centro do sistema cartesiano mantendo os eixos paralelos aos eixos da
hipérbole horizontal, de forma que o novo centro da hipérbole está agora no ponto C(x0, y0).
Seja a mesma hipérbole com eixo real 2a, imaginário 2b e focal 2c. Assim, os elementos da hipérbole
horizontal, de centro
C(x0, y0), terão as seguintes coordenadas:
Elaborado pelo o autor
 ATENÇÃO
 Centro: C(x0, y0) e vértices: A1(x0−a, y0) e A2(x0+a, y0).
 Focos: F1(x0−c, y0) e F2( x0+c, y0).
 Eixo real: y = y0 e eixo imaginário: x = x0
 Retas diretrizes: x = x0 + a²/c e x = x0 − a²/c.
Seja P(x, y) um ponto genérico da hipérbole, logo, a diferença das distâncias aos dois focos vale 2a:
Elaborado pelo o autor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando matematicamente de forma similar à feita no raciocínio anterior, obtém-se a equação
reduzida da hipérbole horizontal como:
Elaborado pelo o autor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo o raciocínio semelhante ao caso da hipérbole vertical. Seja a Hipérbole com eixo real 2a,
imaginário 2b e focal 2c. Reforça-se que a diferença é que o eixo real está paralelo, agora, ao eixo y, e
não mais ao eixo x. Assim, os elementos da hipérbole vertical de centro C(x0, y0) terão as seguintes
coordenadas:
 ATENÇÃO
 Centro: C(x0, y0) e vértices: A1(x0, y0 − a ) e A2(x0, y0 + a).
 Focos: F1(x0, y0−c) e F2(x0, y0 + c).
 Eixo real: x = x0 e eixo imaginário: y = y0
 Retas diretrizes: y = y0 + a²/c e y = y0 − a²/c.
Manipulando matematicamente de forma semelhante à feita no raciocínio anterior, obtém-se a
equação reduzida da hipérbole vertical como:
Elaborado pelo o autor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma forma de olhar para equação reduzida e reconhecer o tipo de hipérbole com que está se
trabalhando é verificar qual variável está com o sinal negativo, tendo o número 1 do lado direito.
Ressalta-se que, diferentemente da elipse, b pode ser maior do que a na hipérbole. Por exemplo, na
hipérbole horizontal, o sinal negativo está antes da fração relacionada à variável y e, na hipérbole
vertical, antes da fração relacionada à variável x.
marekuliasz/Shutterstock
 COMENTÁRIO
Um ponto a ressaltar: chama-se de hipérbole equilátera a hipérbole com a = b. Neste caso, pela
relação notável c = √2b = √2a e a excentricidade (e) será √2.
EXEMPLO 14
Determine a equação reduzida da hipérbole de focos nos pontos (2, 3) e (2, 13) e eixo real igual a 6.
RESOLUÇÃO
Ao analisar os dois focos, verifica-se que eles têm a mesma abscissa, dessa forma, a hipérbole é
vertical, isto é, o eixo real é paralelo ao eixo y.
2a = 6, logo a = 3.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo:
dF1 F2 = 2c = √(2 − 2)² + (13 − 2)² = 10.
c = 5.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela relação:
b² = c² − a² = 4
y0 =
13 + 3
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Equação reduzida −
x − 2
16
+
y − 8
9
= 1
EXEMPLO 15
Determine a equação da hipérbole vertical e de suas diretrizes, sabendo que tem o centro no ponto (1,
−1), eixo real igual a 16 e excentricidade 2.
RESOLUÇÃO
Como a hipérbole é vertical, o eixo real é paralelo ao eixo y.
2a = 16 → a = 8.
Pela excentricidade
e = c/a = 2 → c = 2a = 16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a relação:
b² = c² − a² = 256 − 64 = 192 → b = 8√3, pois b = > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim sendo, a equação reduzida será: −
(x − 1)²
192
+
(y + 1)²
64
= 1.
As retas diretrizes serão
y = y0 ± a²/c = −1 ± 64/16 → y = 3 e y = −4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retas diretrizes: y − 3 = 0 e y + 4 = 0.
De forma similar à parábola e à elipse, ao se expandir os termos do segundo grau das equações
reduzidas, transforma-se a equação para sua forma geral, com tipo ax² + by² + cx + dy + e = 0, com a,
b, c, d, e reais e atendendo a algumas particularidades. Para se transformar a equação geral para
equação reduzida, usaremos o método de “completar quadrados” já visto anteriormente.
EXEMPLO 16
Determine as coordenadas do foco da elipse de equação:
y² − 2x² + 4x + 2y − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
y² − 2x² + 4x + 2y − 1 = 0 → (−2)×(x² − 2x) + (y² + 2y) − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(−2)×(x² − 2×1x + ...) + (y² + 2×1y + ...) − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo pode ser completado para formar
(x − 1)² = x² − 2x + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O segundo termo pode ser completado para formar
(y + 1)² = y² + 2y + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
(−2)×(x² − 2x + 1 − 1) + (y² + 2y + 1 − 1) − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(−2)×(x² − 2x + 1) + (y² + 2y + 1) − 1 + 2 − 9 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(−2)×(x² − 1) + (y + 1)² = 8 → −
(x − 1)²
4
+
(y + 1)²
8
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma hipérbole vertical de centro (1, −1), eixo real a = √8 = 2√2 = 2 e b = √4 = 2
Usando a relação:
c² = a² + b² = 4 + 8 = 12 → c = 2√3, pois c > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Coordenadas dos focos (1, −1 − c) e (1, −1 + c), desta forma os focos serão
F1(1, −1 − 2√3) e F2(1, −1 + 2√3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Rawpixel.com
Quando os eixos cartesianos não forem paralelos aos eixos da hipérbole, ela será inclinada em
relação aos eixos e não será mais possível definir sua equação reduzida. Para este caso, só teremos
a equação geral que apresentará obrigatoriamente um tempo do tipo xy.
Um ponto pode pertencer ou não à hipérbole ou os problemas de interseção ou tangência se resolvem
da mesma forma que foram solucionadas para outras cônicas. Assim, para um ponto pertencer, as
coordenadas do ponto devem satisfazer a sua equação e, para se obter interseções, deve-se realizar
um sistema entre as equações da hipérbole com a outra curva e se observar o resultado deste
sistema, podendo ocorrer casos de não interseção, de tangência ou de secância.
A hipérbole tem duas retas assíntotas para as quais ela se aproxima quando varia para omais ou
menos infinito.
As equações das assíntotas serão dadas por:
HIPÉRBOLE HORIZONTAL:
(y − y0) = ±b/a(x − x0)
HIPÉRBOLE VERTICAL:
(y − y0) = ±a/b(x − x0)
TEORIA NA PRÁTICA
Um telescópio é montado baseado na propriedade refletora da hipérbole. Um raio quando incide por
um dos focos, segue uma reta cuja extensão passa no outro foco. Seja a equação que regula a lente
do telescópio hiperbólica:
(x + 2)²
16
−
(y − 3)²
9
= 1
Determine as coordenadas do foco desta lente.
RESOLUÇÃO
Verifica-se pelo sinal negativo antes da fração com variável y que a hipérbole é horizontal com centro
em C(−2 , 3). A metade do eixo real, a, vale e a metade do eixo imaginário, b, vale √16 = 4 e
a metade do eixo imaginário, b, vale √9 = 3.
Pela relação notável:
c² = a² + b² = 16 + 9 = 25 → c = 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na hipérbole horizontal, as coordenadas do foco serão (x0 − c, y0) e (x0 + c, y0).
No caso da lente hiperbólica, ter-se-á foco nos pontos (−2 − 5, 3) e (−2 + 5, 3).
√16 = 4
Assim, os focos serão (−7, 3) e (3, 3).
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A EQUAÇÃO REDUZIDA DA HIPÉRBOLE QUE TEM RETA
DIRETRIZ PARALELA AO EIXO DAS ORDENADAS, CENTRO NO PONTO (3, 4),
EIXO FOCAL DE 4 E EXCENTRICIDADE DE 2.
A)
(x + 3)²
3
A) −
(y + 4)²
1
A) = 1
B)
(x + 3)²
3
B) +
(y + 4)²
1
B) = 1
C)
(x − 3)²
1
C) −
(y − 4)²
3
C) = 1
D)
(x − 3)²
1
D) +
(y − 4)²
3
D) = 1
2. OBTER O FOCO DA CÔNICA CUJA EQUAÇÃO VALE
(Y + 2)²
7
−
(X + 2)²
2
= 1
A) (−2, 0) e (−2, 2)
B) (−2, −5) e (−2, 1)
C) (−5, −2) e (1, −2)
D) (2, −1) e (2, 5)
3. UM PONTO PERTENCE A UMA HIPÉRBOLE VERTICAL DE EXCENTRICIDADE
2 E QUE TEM EIXO IMAGINÁRIO IGUAL A 6. ESTE PONTO ESTÁ MAIS PERTO
DE F1 DO QUE F2, QUE SÃO OS DOIS FOCOS DESTA HIPÉRBOLE. SABENDO
QUE A DISTÂNCIA ENTRE O PONTO E O FOCO F1 VALE √3, DETERMINE A
DISTÂNCIA ENTRE O PONTO E FOCO F2
A) √3
B) 2√3
C) 3√3
D) 3
4. DETERMINE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A EQUAÇÃO DE UMA DAS
ASSÍNTOTAS DA HIPÉRBOLE COM EQUAÇÃO
(X − 1)²
16
−
(Y + 2)²
9
= 1.
A) 4x + 3y + 5 = 0
B) 3x + 4y + 5 = 0
C) 4x + 3y + 12 = 0
D) 3x − 4y + 11 = 0
5. UMA HIPÉRBOLE TEM CENTRO NA ORIGEM E PASSA NO PONTO (−4 ,1).
SABE-SE QUE ESTA HIPÉRBOLE TEM FOCO EM F(3, 0). DETERMINE A
EXCENTRICIDADE DA HIPÉRBOLE.
A) 3√2 ÷ 4
B) 3√3 ÷ 4
C) √2 ÷ 4
D) 3 ÷ 4
6. UMA HIPÉRBOLE COM EXCENTRICIDADE 2 TEM AS RETAS DIRETRIZES
COM EQUAÇÃO X − 8 = 0 E X + 2 = 0. SEU CENTRO TEM ORDENADA IGUAL A
1. DETERMINE A EQUAÇÃO CANÔNICA DESTA HIPÉRBOLE.
A)
(x + 8)²
300
A) −
(y − 1)²
100
A) = 1
B) −
(x − 2)²
400
B) +
(y − 1)²
300
B) = 1= 1
C)
(x − 3)²
300
C) −
(y − 1)²
100
C) = 1
D)
(x − 3)²
100
D) −
(y − 1)²
300
D) = 1
GABARITO
1. Determine a equação reduzida da hipérbole que tem reta diretriz paralela ao eixo das
ordenadas, centro no ponto (3, 4), eixo focal de 4 e excentricidade de 2.
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da hipérbole.
Se a reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas (y), então a hipérbole é horizontal.
Como 2c = 4 → c = 2. Mas e = c/a = 2, então a = c/2 = 1
Usando a relação notável:
b² = c² − a² = 4 − 1 = 3 → b = √3, pois b > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação será
(x − 3)²
1²
−
(y − 4)²
(√3)²
= 1 →
(x − 3)²
1
−
(y − 4)²
3
= 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma a alternativa correta é a letra C.
2. Obter o foco da cônica cuja equação vale
(y + 2)²
7
−
(x + 2)²
2
= 1
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito de hipérbole.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
3. Um ponto pertence a uma hipérbole vertical de excentricidade 2 e que tem eixo imaginário
igual a 6. Este ponto está mais perto de F1 do que F2, que são os dois focos desta hipérbole.
Sabendo que a distância entre o ponto e o foco F1 vale √3, determine a distância entre o ponto
e foco F2
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito de hipérbole.
Se a reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas (y), então a hipérbole é horizontal.
Se 2b = 6 → b = 3. Como e = 2 = c/a → c = 2a
Usando a relação notável
c² = a² + b² = a² + 3² → (2a)² = a² + 9 → 3a² = 9 → a = √3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas pela definição da hipérbole:
|dP F1 − dP F2| = 2a = 2√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o ponto está mas perto de F1, a distância é menor para este ponto, assim
|dP F1 − dP F2| = dP F1 − dP F2 = 2√3 → dP F2 = 2√3 + √3 = 3√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma a alternativa correta é a letra C.
4. Determine a alternativa que apresenta a equação de uma das assíntotas da hipérbole com
equação
(x − 1)²
16
−
(y + 2)²
9
= 1.
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito de hipérbole. 
Assista ao vídeo com a solução desta questão
5. Uma hipérbole tem centro na origem e passa no ponto (−4 ,1). Sabe-se que esta hipérbole
tem foco em F(3, 0). Determine a excentricidade da hipérbole.
A alternativa "A " está correta.
Assista ao vídeo com a solução desta questão
6. Uma hipérbole com excentricidade 2 tem as retas diretrizes com equação x − 8 = 0 e x + 2 = 0.
Seu centro tem ordenada igual a 1. Determine a equação canônica desta hipérbole.
A alternativa "D " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da hipérbole. 
Se a reta diretriz é paralela ao eixo das ordenadas (y), então a hipérbole é horizontal.
As retas das diretrizes são x = 8 e x = −2.
Como as equação das retas diretrizes serão x = x0 ± a/e, então:
{
2x0 = 8 − 2 → x0 = 3
2a/e = 8 − (−2) = 10 → a = 5e = 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C = a×e = 20 → b² = c² − a² = 400 − 100 = 300 → b = 10√3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação da hipérbole será:
(x − 3)²
100
−
(y − 1)²
300
= 1
Desta forma, a alternativa correta é a letra D.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A HIPÉRBOLE VERTICAL COM TAMANHO DE EIXO REAL 24 E EIXO
FOCAL 26. SABE-SE QUE SEU CENTRO ESTÁ NO PONTO (0, 3). DETERMINE A
EQUAÇÃO REDUZIDA DA HIPÉRBOLE
A)
(x − 2)²
36
A) +
(y)²
35
A) = 1
B)
(y − 3)²
144
B) −
(x)²
25
B) = 1
C)
(x)²
25
C) −
(y − 3)²
144
C) = 1
D)
(x)²
144
D) −
(y − 3)²
25
D) = 1
2. CONSIDERE A SEGUINTE EQUAÇÃO 25Y² − 9X² = 225. QUAIS SÃO AS
ASSÍNTOTAS DESSA HIPÉRBOLE?
A) y = ± 3/5x
B) y = ± 5/3x
C) y = ± 25/3x
D) y = ± 9/2x
GABARITO
1. Seja a hipérbole vertical com tamanho de eixo real 24 e eixo focal 26. Sabe-se que seu centro
está no ponto (0, 3). Determine a equação reduzida da hipérbole
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da equação reduzida da hipérbole.
Se 2a = 24 → a = 12 e 2c = 26 → c = 13. Pela relação notável b2 = c2 − a2 = 169 − 144 = 25.
Assim, b = 5. O enunciado diz que o centro está no ponto (0, 3).
Como a hipérbole é vertical, o sinal de menos e o eixo imaginário ficam abaixo da variável y.
Então, a equação será
(y − 3)²
144
−
(x)²
25
= 1.
Desta forma, a alternativa correta é a letra B.
2. Considere a seguinte equação 25y² − 9x² = 225. Quais são as assíntotas dessa hipérbole?
A alternativa "B " está correta.
A equação pode ser reescrita por:
y²/9 − x²/25 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde os focos estão no eixo y, 9 = a², 25 = b², V(0, −3).
As assíntotas são dadas por
y = b/a x
y = − b/a x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, para essa equação:
y = ± 5/3 x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resposta correta é a letra C.
MÓDULO 4
 Aplicar a equação geral das cônicas.
EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS
Como estudado nos módulos