Retas e Planos

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DEFINIÇÃO
Aplicação dos conceitos de retas e planos na Geometria Analítica.
PROPÓSITO
Definir as equações de retas e planos na Geometria Analítica e aplicar os conceitos nas posições
relativas entre retas e planos, bem como na distância entre pontos e estas figuras geométricas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou
use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a definição da reta na determinação da equação da reta no plano e no espaço
MÓDULO 2
Aplicar equações da reta na obtenção da interseção, do ângulo e das posições relativas entre retas
MÓDULO 3
Aplicar a definição do plano na determinação da equação do plano e nas posições relativas entre os
planos
MÓDULO 4
Aplicar o conceito de ponto, reta e plano na determinação de distância entre pontos, retas e planos
MÓDULO 1
 Aplicar a definição da reta na determinação da equação da reta no plano e no espaço
INTRODUÇÃO
A Geometria Analítica apresenta, através de equações analíticas, diversas figuras da Geometria, que
serão denominadas de Lugares Geométricos.
Neste módulo, estudaremos a reta e obteremos a equação que a representa analiticamente. A reta é
definida por dois pontos, mas existem outras formas de determinarmos a sua equação.
A equação de uma reta, no plano ou no espaço, pode ter vários tipos de apresentação: simétrica,
geral, reduzida, vetorial e paramétrica. Todos os tipos de equação serão equivalentes, isto é,
representam os mesmos pontos no plano ou no espaço.
EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO
A geometria nos ensina, através de um de seus axiomas, que uma reta é definida por dois pontos. No
plano estes dois pontos podem ser representados por sua abscissa e ordenada, isso é, A(XA, YA) e
B(XB,YB).
Deseja-se obter uma equação que representa todos os pontos dessa reta. Assim, define-se um ponto
genérico P(x, y), pertencente à reta formada pelos pontos A e B, e determina-se uma equação que é
satisfeita por ele.
Na Geometria Analítica são definidos vários tipos de apresentação para a equação da reta, com
formatos diferentes, porém, representando os mesmos pontos. Diz-se que essas equações são
equivalentes. Será definida a equação simétrica, geral, vetorial, reduzida e paramétrica. Como será
visto, de uma forma pode-se obter as demais. A figura abaixo representa a reta r formada pelos pontos
A e B:
EQUAÇÃO SIMÉTRICA E GERAL
Os pontos A, B e P estão alinhados, assim, o vetor AB→ = B − A e o vetor AP→ = P − A são paralelos,
consequentemente, tem suas coordenadas proporcionais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os pontos A e B são dados, a parcela da direita se transforma em uma fração numérica.
Então,
x−XA
y−YA
=
x−XA
d
=
x−XA
f
, d e f reais e diferentes de zero.
~
Obtém-se, assim, uma equação que representa todos os pontos (x,y) que pertencem à reta analisada.
Esta equação é denominada de EQUAÇÃO SIMÉTRICA da reta.
x−XA
d
=
y−XA
f
Os valores de d e f são números reais obtidos através dos dois pontos conhecidos da reta.
 EXEMPLO
Determine a equação simétrica da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B( 3, −1).
SOLUÇÃO
Assim, aplicando diretamente no modelo da equação:
x−XA
y−YA
=
XB−XA
YB−YA
→
X−1
Y−2
=
3−1
(−1)−2
. Logo, a equação simétrica da reta será:
x−1
2
=
y−2
−3
Partindo da equação simétrica da reta, através de uma manipulação matemática, obtém-se uma
equação da forma
ax + by + c = 0, com a, b e c sendo números reais.
Assim,
x−XA
d
=
y−YA
f
→ f x − d y + (dYA − fXA) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Chamando de f = a e d = −b, obtém-se uma equação do tipo ax + by + c = 0, denominada de
EQUAÇÃO GERAL da reta.
Cuidado: se multiplicarmos ambos os lados por um número real k, ainda temos a mesma equação.
a x + b y + c = d ↔ a k x + b k y + c k = 0, com k real
Existe uma forma alternativa para se determinar a equação geral da reta diretamente através dos dois
pontos dados, A e B. Esta forma é através de um cálculo de um determinante.
Sejam A(XA,YA) e B(XB,YB) dois pontos distintos da reta r, então a equação geral da reta será obtida
por: |
x y 1
XA YA 1
XB YB 1
| = 0
 EXEMPLO
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, −1).
SOLUÇÃO
Aplicando diretamente o determinante |
x y 1
XA YA 1
XB YB 1
| = |
x y 1
1 2 1
3 −1 1
| = 0
Resolvendo o determinante: (2+1)x + (3−1)y + (−1−6) = 0 → 3x + 2y − 7 = 0
Importante - Condição de um Ponto Pertencer a Reta
Um ponto para pertencer a reta tem que satisfazer a equação da reta.
Dessa forma, seja a reta r : ax + by + c = 0 e um ponto P(X0, Y0). Se o ponto P pertence à reta r, então
aX0+bY0+c = 0. Se o ponto P não pertence à reta r, então aX0+bY0+c ≠ 0
Esta propriedade vale para qualquer tipo de equação da reta, não apenas para equação geral.
 EXEMPLO
Ache a equação geral da reta e verifique se os pontos Q(5, −4) e R(2, 3) pertencem à reta r dada pela
equação
x−1
2
=
y−2
−3
.
SOLUÇÃO
x−1
2
=
y−2
−3
→ (−3)×(x−1) = 2×(y−2) → −3x + 3 = 2y − 4 → 3x + 2y − 7 = 0.
Substituindo o ponto Q(5, −4) na reta se tem:
x−1
2
=
5−1
2
= 2 e
y−2
−3
=
−4−2
−3
= 2 → 2 = 2
Portanto, as coordenadas do ponto satisfazem a equação da reta e o Ponto Q pertence à reta r.
Substituindo o ponto R(2, 3) na reta se tem: 3.2 + 2.3 − 7 = 6 + 5 − 7 ≠ 0
Como as coordenadas do ponto não satisfazem a equação da reta, então R não pertence à reta.
EQUAÇÃO REDUZIDA
Continuando na apresentação dos tipos das equações da reta. Partindo agora da equação geral e
isolando o valor de y se tem:
ax + by + c = 0 → y = −
a
b
x −
c
b
,com a,b e c reais.
Substituindo m = −
a
b
e q = −
c
b
→ y = mx + q, que será a EQUAÇÃO REDUZIDA da reta.
O parâmetro m é denominado de coeficiente angular da reta, ele é igual à tangente do ângulo que a
reta forma com o eixo x. O parâmetro q é denominado de coeficiente linear, que representa o ponto
onde a reta corta o eixo y.
Quando m > 0 → tg θ > 0 → 0é um vetor diretor da reta,
então todo os vetores kv→ , com k real diferente de zero, também serão.
Se substituirmos as coordenadas dos pontos A, B e P (genérico) na equação vetorial, obtém-se duas
equações, cada uma relacionada a uma das coordenadas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta equação é denominada de EQUAÇÃO PARAMÉTRICA da reta.
Ressalta-se que se pode obter a equação simétrica através da equação paramétrica. Basta isolar o
valor de λ(lambda) nas duas equações.
Se
x−XA
d
=
y−YA
f
for a equação simétrica da reta r, então o vetor (d,f) é o vetor diretor da reta r.
 EXEMPLO
Determine a equação vetorial e paramétrica da reta que passa nos pontos A(1, 2) e B(3, −1).
Determine qual ponto desta reta tem ordenada igual a 5.
SOLUÇÃO
Determinando o vetor diretor da reta AB→ = B − A = (3 − 1, −1 − 2) = (2, −3)
Assim, a equação vetorial será P = A + (lambda)λ AB→ , λ(lambda) real ou, (x, y) = (1, 2) +
(lambda)λ(2, −3) = ( 1 + 2λ(lambda), 2 − 3λ(lambda)) , λ real
Separando as duas equações, obtém-se a equação paramétrica: r: {
x = 1 + 2λ(lambda)
y = 2 − 3λ(lambda)
, λ(lambda) real
Para determinar o ponto Q(x, 5) que pertence à reta, ele deve satisfazer a equação x = 1 + 2λ(lambda)
e y = 2 −3λ(lambda).
Assim,y = 5 = 2 − 3λ(lambda) → 3λ(lambda) = 2 − 5 = −3 → λ(lambda) = −1.
Portanto, x = 1 + 2λ(lambda) = 1 + 2×(−1) = 1 − 2 = − 1, o ponto será (−1, 5).
VETOR NORMAL DA RETA
Nós já vimos que o vetor diretor da reta pode ser obtido diretamente da equação paramétrica ou da
equação simétrica da reta. Outro vetor importante é o vetor perpendicular a ela, denominado de vetor
normal da reta, com notação de n→ .
Para o caso do plano, comparando as equações da reta simétrica e geral, ax + by + c = 0 , tem-se a =
f e b = −d, onde (d, f) é o vetor diretor da reta. Vide transformação feita no início deste item.
Se definirmos um vetor n→ ( a, b), pode ser verificado que: n→ × v→ = a×d + b×f = f×d + (−d)×f = 0,
portanto, o vetor n→ é perpendicular ao vetor diretor da reta v→ . As coordenadas de n→ serão (a, b),
que pode ser obtida diretamente da equação geral da reta.
 ATENÇÃO
Se ax + by + c = 0 for a equação geral da reta r, então o vetor (a, b) é o vetor normal à reta r.
O vetor normal pode ser usado como uma terceira alternativa para se obter a equação geral da reta.
Ao se conhecer um ponto da reta e o vetor normal, pode-se obter a equação geral através de um
produto escalar n→ × AP→ = 0, pois serão vetores perpendiculares.
n→ × AP→ = 0 → (a, b) × (x−XA, y−YA) = 0 → ax − aXA + by − bYA = 0 → ax + by + c = 0
 EXEMPLO
Determine a equação geral da reta que passa no ponto (2, 3) e tem vetor normal (1,4).
SOLUÇÃO
A equação geral é dada pela equação
n→ × AP→ = 0 → (1, 4) × (x−2, y−3) = 1×(x−2) + 4×(y−3) = 0 → x − 2 + 4y − 12 = 0
Assim, a equação geral da reta é x + 4y − 14 = 0.
 SAIBA MAIS
SAIBA MAIS
Veja a demonstração da obtenção da equação geral da reta através do determinante.
Na equação geral da reta obtida através da equação simétrica
AP→ //AB→ ↔
XAP
YAB
=
YAP
YAB
↔
x−XA
y−YA
=
XB−XA
YB−YA
(YB−YA)x − (YB−YA)XA = (XB−XA)y − (XB−XA)YA
(YB−YA)x − (XB−XA)y − [(YB−YA)XA − (XB−XA)YA = 0
javascript:void(0)
javascript:void(0)
O determinante proposto é
|
x y 1
XA YA 1
XB YB 1
| = 0
Resolvendo o determinante:
YA x + XB y + XA YB − XB YA − YB x − XA y = 0
(YA−YB)x − (XA−XB)y − [(YA − YB) XA − (XA − XB) YA] = 0
Multiplicando ambos os lados por (−1)
(YB − YA)x − (XB − XA)y − [(YB − YA) XA − (XB − XA) YA] = 0
Que é a mesma equação definida pela transformação da equação simétrica, provando, assim, que o
determinante proposto fornece a equação geral da reta.
EQUAÇÃO DA RETA NO ESPAÇO
Como no caso do plano, uma reta no espaço pode ser definida tendo-se dois pontos ou até mesmo
um ponto e o vetor diretor. A diferença é que tanto os pontos como o vetor diretor possuem três
dimensões e não mais duas.
No caso do espaço, não existem as equações geral e reduzida da reta. Como será visto em módulo
posterior, a equação do tipo
ax + by + cz+ d = 0 representará um plano e não uma reta.
Assim, seguindo raciocínio análogo da equação da reta no plano, seja a reta r que passa pelos pontos
A(XA,YA,ZA) e B(XB,YB,ZB) e tem um vetor diretor v→ = AB→ = (XA - XB, YA - YB, ZA - ZB) = (c ,d ,f),
com c, d e f pertencente aos reais. Definimos as seguintes equações da reta no espaço:
Simétrica:
x−XA
XB−XA
=
y−YA
YB−YA
=
z−ZA
ZB−ZA
→
x−XA
c
=
y−YA
d
=
z−ZA
f
;
Vetorial:
P = A + (lambda)λAB→ → (x, y, z) = (XA, YA, ZA) + (lambda)λ(c, d, f), com (lambda)λ real;
Paramétrica:
r: {
x = XA + cλ(lambda)
y = YA + dλ(lambda)
z = ZA + fλ(lambda)
, com λ(lambda) real
;
Da mesma forma que no plano, um ponto para pertencer a uma reta no espaço deve ter suas
coordenadas satisfazendo a equação da reta.
No caso do espaço, não temos nenhuma equação que nos apresenta diretamente o vetor normal da
reta, como no caso da equação geral da reta no plano.
 EXEMPLO
Determine a equação simétrica e paramétrica da reta que passa pelos pontos A (1, 2, −1) e B(0, 3, 1).
SOLUÇÃO
Assim, aplicando diretamente no modelo da equação simétrica
x−XA
XB−XA
=
y−YA
YB−YA
z−ZA
ZB−ZA
→
x−1
0−1
=
y−2
3−2
=
z−(−1)
1−(−1)
A equação simétrica da reta será
x−
−1
=
y−2
1
=
z−(−1)
2
Analisando a equação, verifica-se que o vetor diretor da reta será o vetor v→ (−1, 1, 2)
Escolhendo o ponto A que pertence à reta, portanto, a equação paramétrica será
{
x = XA + cλ(lambda)
y = YA + dλ(lambda)
z = ZA + fλ(lambda)
, com λ(lambda) → {
x = 1 + λ(lambda)
y = 2 + λ(lambda)
z = −1 + 2λ(lambda)
, com λ(lambda) real ou {
x = −a
y = 3 + a
z = 1 + 2a
, com a real
 EXEMPLO
Determine o valor de k e p para que o ponto P(0, k, p) pertença à reta que passa pelos pontos A(2, 3,
4) e B(1, 0, 3).
SOLUÇÃO
Obtendo o vetor diretor da reta: v→ = AB→ = B − A = (1−2, 0−3, 3−4) = (−1, −3, −1).
O ponto A(2 ,3, 4) pertence à reta, então, a equação paramétrica será dada por
{
x = XA + cλ(lambda)
y = YA + dλ(lambda)
z = ZA + fλ(lambda)
, com λ(lambda) real → {
x = 2 − λ(lambda)
y = 3 − 3λ(lambda)
z = 4 − λ(lambda)
, com λ(lambda) real
Para que P pertença à reta, ele deve satisfazer as três equações acima
x = 0 = 2 − λ(lambda) → λ(lambda) = 2, y = k = 3 − 3λ(lambda) → k = 3 − 3×2 = −3 e z = p = 4 − 2 → p
= 4 − 2 = 2
TEORIA NA PRÁTICA
Um canhão se encontra em uma posição do solo e deve acertar um alvo que se encontra em cima de
uma elevação. Considera-se, por não ser uma distância muito longa, que o projetil ao sair do canhão
percorre a trajetória até o alvo em linha reta. Sabendo que o canhão se encontra na posição (0, 5) e o
alvo se encontra na posição (100, 400), qual deve ser o ângulo de elevação do canhão em relação ao
solo para que o projetil acerte o objetivo?
Solução em vídeo:
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão.
Assista:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Aplicar equações da reta na obtenção da interseção, do ângulo e das posições relativas entre retas
INTRODUÇÃO
No módulo anterior, aprendemos a equação analítica de uma reta no plano ou no espaço.
Ao compararmos as equações de duas retas, observa-se que duas retas no plano podem ter três
posições relativas entre si: concorrentes, paralelas ou coincidentes. No caso do espaço, além dos três
tipos anteriores, temos o caso de retas reversas, que são aquelas que pertencem a dois planos
paralelos distintos.
As equações analíticas das retas podem também ser usadas para se descobrir o ângulo formado
pelas retas e, se for o caso, o ponto de interseção que elas possuem.
INTERSEÇÃO ENTRE DUAS RETAS
Como já visto no módulo anterior, um ponto P para pertencer a uma reta deve satisfazer a equação da
reta. Assim, se um ponto é interseção entre duas retas, ele deve, obrigatoriamente, obedecer,
simultaneamente, às equações das duas retas.
Destaforma, a coordenada do ponto de interseção, caso exista, será a solução do sistema linear
composto pelas duas retas analisadas. Se este sistema for possível e determinado, a solução será o
ponto de interseção entre as retas. Se a solução do sistema for possível e indeterminada, será o caso
de as duas retas serem a mesma reta, assim, todos os pontos da reta são comuns entre as duas,
tendo, portanto, infinitas soluções no sistema. E, por fim, se a solução do sistema for impossível, é
porque as retas não têm ponto comum.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS
Quando se está trabalhando no plano, duas retas podem ter, entre si, três posições relativas, são elas:
CONCORRENTES
Apresentam um ponto de interseção, isto é, um ponto comum.
COINCIDENTES
São na verdade a mesma reta, tendo, portanto, infinitos pontos comuns.
PARALELAS
Têm a mesma direção, porém são distintas, não tendo nenhum ponto em comum.
Um caso particular das retas concorrentes é o caso das retas perpendiculares ou ortogonais, que
fazem 90° entre si.
Os três casos anteriores representam retas que pertencem ao mesmo plano, isto é, coplanares. No
caso de estar se trabalhando no espaço, temos uma quarta possibilidade. Esta quarta possibilidade
está associada com as retas que não são coplanares. Em outras palavras, pertencem a dois planos
paralelos distintos. Estas retas são denominadas de retas reversas e não apresentam pontos de
interseção. As retas reservas podem ser obliquas ou ortogonais, veja.
O item anterior apresentou uma forma de se obter os pontos de interseção através da resolução do
sistema. Ao se determinar os pontos de interseção, pode-se avaliar as posições relativas entre as
retas. Se as retas tiverem apenas um ponto em comum, elas só podem ser retas concorrentes. Se
tiverem infinitos pontos em comum, as retas serão coincidentes. Se as retas não tiverem pontos em
comum, podem ser paralelas ou reversas.
Para o último caso, observa-se que apenas com a análise da interseção não se pode concluir sobre a
posição entre as retas, tornando-se necessária a análise complementar de se observar a direção
relativa das retas, através dos vetores diretores.
 RESUMINDO
Assim, resumidamente:
Retas concorrentes: apenas um ponto comum. Neste caso, apesar de não ser necessária a análise, os
vetores diretores não são paralelos;
Retas coincidentes: infinitos pontos em comum. Neste caso, apesar de não ser necessária a análise,
os vetores diretores são paralelos;
Retas paralelas: nenhum ponto em comum e os vetores diretores são paralelos;
Retas Reversas: nenhum ponto em comum e os vetores diretores não são paralelos.
A verificação se os vetores diretores são ou não paralelos é feita através da averiguação das
coordenadas dos mesmos serem ou não proporcionais, isto é: Se v→ 1 // v→ 2 ↔
xv1
xv2
=
yv1
yv2
=
zv1
zv2
.
No caso do plano, a comparação das equações gerais é um método simples para se verificar a
posição relativa entre duas retas. Seja a reta r: a1 x + b1 y + c1 = 0 e a reta s: a2 x + b2 y + c2 = 0,
assim:
Se
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
, então, as retas r e s serão coincidentes;
Se
a1
a2
=
b1
b2
≠
c1
c2
, então, as retas r e s serão paralelas;
Se
a1
a2
≠
b1
b2
, então, as retas r e s serão concorrentes.
As condições acima estão relacionadas com as direções dos vetores normais das retas.
ÂNGULO ENTRE RETAS
O ângulo entre as retas será o mesmo ângulo que existe entre seus vetores diretores. Assim, sejam as
retas r, com vetor diretor v→ 1 e a reta s, com vetor diretor v→ 2. O ângulo θ(theta) formado entre as
duas retas será calculado por: cosθ(theta) = |
v→ 1v→ 2
|v→ 1| |v→ 2|
|
Por definição, como as retas não têm sentido, o ângulo entre elas será sempre o ângulo agudo, isto é,
menor ou igual a 90o. Como o ângulo agudo tem cosseno positivo, foi colocado um módulo na fórmula
do cosseno do ângulo entre as retas.
O ângulo formado entre os vetores diretores também será o mesmo ângulo formado pelos vetores
normais. Isto parte de uma propriedade da Geometria. Assim, no cálculo do ângulo através da fórmula
anterior, ela pode ser usada com o vetor normal ao invés do vetor diretor.
Se as retas forem paralelas ou coincidentes, por definição se considera como 0o o ângulo entre elas.
No caso das retas reversas, define-se ângulos entre elas como o ângulo formado pela primeira reta e
uma reta paralela à segunda reta, porém pertencente ao plano da primeira. A fórmula apresentada já
leva em conta esta definição.
No caso da análise no R², o plano, ao invés de usar o vetor diretor para a análise das posições
relativas das retas, pode ser usado, alternativamente, o vetor normal da reta.
 EXEMPLO
Determine, caso exista, o ponto de interseção entres as retas 2x + y − 1 = 0 e 3x − y + 6 = 0 verifique
as posições relativas entre as retas.
SOLUÇÃO
Resolvendo o sistema abaixo. Se o sistema for possível e determinado, existirá o ponto de interseção.
{
2x + y − 1 = 0
3x − y + 6 = 0
→ 2x + 3x + y − y − 1 + 6 = 0 → 5x + 5 = 0 → x = −1 → y = 3
Assim, o ponto (−1, 3) pertence as duas retas sendo o ponto de interseção entre elas.
Portanto, neste caso, as duas retas são concorrentes.
Se for verificado os coeficientes das equações das retas:
a1
a2
=
2
3
e
b1
b2
=
1
−1
= −1, então as retas r e s são concorrentes.
 EXEMPLO
Determine o ângulo existente entre as retas do exemplo anterior.
SOLUÇÃO
Os vetores normais das retas são n→ 1(2, 1) e n→ 2(3,−1).
|n→ 1| = √(2² + 1²) = √5, |n→ 2| = √(3² + 1²) = √10 e n→ 1 e n→ 2 = 2×3 + 1×(−1) = 5
Assim, cosθ(theta) = |
v→ 1v→ 2
|v→ 1| |v→ 2|
| =
5
√5 √10
=
√2
2
→ θ(theta) = arc cos
√2
2
 EXEMPLO
Determine, caso exista, o ponto de interseção entre a retas r :{
x = 2 − 2λ(lambda)
y = 3 − 3λ(lambda)
z = 1 + 2λ(lambda)
, com λ(lambda) real, e a reta s:
x−4
2
=
y−6
3
=
z−3
−6
e verifique as posições relativas entre as retas.
SOLUÇÃO
Transformando a equação simétrica da reta s para equação paramétrica s:{
x = 4 + 2a
y = 6 + 3a
z = 3 − 6a
, com a real.
Igualando as coordenadas s:{
x = 4 + 2a = 2 − 2λ(lambda)
y = 6 + 3a = 3 − 3λ(lambda)
z = 3 − 6a = 1 + 2λ(lambda)
→ {
2a + 2λ(lambda) = −2
3a + 3λ(lambda) = −3
6a + 2λ(lambda) = 2
→ {
a + λ(lambda) = −1
a + λ(lambda) = −1
3a + λ(lambda) = 1
.
Assim, λ(lambda) + a = −1 → λ(lambda) = −1 − a que substituindo na terceira equação
3a + (−1 − a) = 1 → 2a = 2 → a = 1 → λ(lambda) = −2
Portanto, existe apenas uma solução a = 1 e λ(lambda) = −2. Para achar o valor do ponto de
interseção, substitui-se em qualquer uma das duas retas
{
x = 2 − 2λ(lambda) = 2 − 2×(−2) = 6
y = 3 − 3λ(lambda) = 3 − 3×(−2) = 9
z = 1 + 2λ(lambda) = 1 + 2×(−2) = −3
ou {
x = 4 − 2a = 4 + 2×1 = 6
y = 6 − 3a = 6 + 3×1 = 9
z = 3 − 6a = 3 − 6×(1) = −3
.
Logo, o ponto P(6, 9, −3) é o ponto de interseção e as retas são concorrentes.
Apenas como observação, se fossem verificados os vetores diretores das retas, eles seriam v→ 1(−2,
−3, 2) e v→ 2(2, 3, −6) sendo, portanto, vetores que não são paralelos. A conclusão dessa análise
seria que as retas poderiam ser concorrentes ou reversas, mostrando que esta análise isolada não
permite, neste caso, concluir sobre as posições relativas, tornando-se necessário verificar a
interseção.
Se na solução do sistema anterior fossem encontrados infinitos valores de a e λ(lambda), então o
sistema seria possível e indeterminado, e as retas seriam a mesma reta. Se não fosse determinado
nenhum valor de a e λ(lambda) para satisfazer o sistema, as retas não se cortariam, não tendo ponto
de interseção.
TEORIA NA PRÁTICA
Um determinado terreno tem dois de seus lados fazendo um ângulo de 60o. A primeira cerca liga os
pontos (4, 1) e (1, 1). A segunda cerca liga os pontos (1, 1) ao ponto (4, 3√3 + 1). O morador do
terreno do lado diz que a segunda cerca está entrando em seu terreno, isto é, está fazendo um ângulo
maior do que 600 com o primeiro lado do terreno. Como você pode ajudar ao dono do terreno a
mostrar que oângulo está correto?
Solução em vídeo:
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão.
Assista:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Aplicar a definição do plano na determinação da equação do plano e nas posições relativas entre
os planos
INTRODUÇÃO
Abordamos, anteriormente, a figura geométrica da reta no plano e no espaço. Neste módulo,
estudaremos o lugar geométrico denominado de plano. Como visto na Geometria, um plano é definido
por três pontos não colineares. Apesar disso, existem diversas maneiras de se definir a sua equação.
De forma similar à reta, o plano terá alguns tipos de equações equivalentes para representar os seus
pontos: geral, vetorial e paramétrica. Por fim, além de definirmos a equação que representa um plano
no espaço, serão analisadas também as posições relativas e o ângulo entre os planos, de forma
similar ao feito na reta.
EQUAÇÃO DO PLANO NO ESPAÇO
Não há sentido em falar de equação do plano no R², pois todo R² é um plano particular, isto é, o plano
xy com equação z = 0. A equação do plano vai ser estudada no espaço, ou seja, no R³.
Para se definir um plano, necessita-se de três pontos que não pertençam à mesma reta (não
colineares), porém, para se definir uma equação de um plano, algumas alternativas são possíveis.
É importante termos a seguinte noção:
Um ponto, para pertencer a um plano, deve satisfazer a equação do plano;
Um vetor, para pertencer ao plano, deve ser paralelo ao plano. Assim, vetor paralelo ao plano ou
pertencente ao plano serão sinônimos;
Uma reta, para pertencer ao plano, deve ter, no mínimo, dois pontos distintos da reta que
satisfaça a equação do plano.
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
Assim, pode-se definir uma equação do plano, conhecendo-se no mínimo:
Um ponto e o vetor normal ao plano;
Dois pontos e um vetor do plano;
Três pontos não colineares;
Um ponto e dois vetores, não paralelos, que pertencem ao plano;
A primeira equação analisada é a EQUAÇÃO GERAL do plano, que tem forma similar à equação geral
da reta: ax + by + cz + d = 0, com a, b, c e d reais. Uma das formas para se determinar esta equação
parte do conhecimento de um ponto A (XA,YA,ZA), que pertence ao plano, e um vetor normal
(perpendicular) ao plano
n→ (a, b , c). A metodologia é similar à que fizemos na reta.
Define-se um ponto genérico do plano P(x, y, z) e calcula-se o vetor AP→ = P − A = (x−XA, y−YA,
z−ZA. O vetor normal n→ , por ser perpendicular ao plano π(pi) , será perpendicular a qualquer vetor
deste plano, então, n→ perpendicular a AP→ → n→ × AP→ = 0
n→ × AP→ = 0 → (a, b, c) × (x−XA, y−YA, z−ZA) = 0 → ax − aXA + by − bYA + cz − cZA = 0 → ax + by
+ cz + d = 0, com
d = −(axA, bYA, cZA)
Se multiplicarmos ambos os lados por um número real k, ainda temos a mesma equação.
a x + b y + c z + d = 0 ↔ ak x + bk y + ck z + dk = 0 , k ∃ R
 EXEMPLO
Determine a equação geral e paramétrica do plano que passa pelos pontos A(1, 4, 2) e é
perpendicular ao vetor (2, −1, 2).
SOLUÇÃO
Resolvendo a equação n→ × AP→ = 0 será obtida a equação geral do plano. P(x, y, z) é um ponto
genérico.
n→ × AP→ = 0 → (2, −1, 2) × (x−1, y−4, z−2) = 0 → 2x − 2 − y + 4 + 2z − 4 = 0
2x − y + 2z − 2 = 0
Para obter a equação paramétrica, façamos x = a e y = λ(lambda), com a e λ(lambda) reais.
Assim, 2a − λ(lambda) + 2z − 2 = 0 → 2z = 2 − 2a + λ(lambda)
Desta forma π(pi): {
x = a
y = λ(lambda)
z = 1 − a + ½λ(lambda)
, com a e λ(lambda) reais.
A segunda possibilidade, caso se conheça dois pontos (A e B) e um vetor do plano, transforma-se no
caso anterior, pois pode-se obter o vetor normal através de um produto vetorial com dois vetores que
pertencem ao plano. Um já é conhecido e o outro é obtido através dos dois pontos dados, isto é, AB→
ou BA→ . Dessa forma, teremos novamente um ponto e o vetor normal ao plano.
Na terceira possibilidade, são dadas as coordenadas de 3 pontos do plano (A, B e C). Neste caso,
podemos ter duas alternativas. Através dos três pontos, define-se dois vetores que pertenceram ao
plano, por exemplo, AB→ e AC→ . Com estes dois vetores, obtém-se o vetor normal pelo produto
vetorial entre eles e se repete o primeiro caso analisado neste tópico.
A segunda alternativa é lembrar a condição de coplanaridade entre três vetores, que é o produto misto
igual a zero. Assim, através dos 3 pontos, acrescentamos um ponto genérico P(x,y,z) e fazemos que:
[AP→ ,AB→ ,AC→ ] = 0. Ressalta-se que pode ser escolhido qualquer vetor que liga os pontos,
apenas se escolhendo um vetor com o ponto P genérico.
O último caso, no qual se é conhecido um ponto e dois vetores do plano, também recai no primeiro,
pois o vetor normal pode ser obtido pelo produto vetorial destes dois vetores dados. Existe, porém,
uma segunda alternativa para este caso, definindo-se o outro tipo de equação do plano.
 EXEMPLO
Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A(1, 1, −1), B(2, 0, 3) e
C(0, 4, 2).
SOLUÇÃO
A primeira forma é fazer o produto misto [AP→ ,AB→ , AC→ ]=0
AP→ = (x−1, y−1, z−(−1)) = (x−1, y−1, z+1)
AB→ = (2−1, 0−1, 3−(−1)) = (1, −1, 4)
AC→ = (0−1, 4−1, 2−(−1)) = (−1, 3, 3)
3×(−1)×(x−1) + 1×3(z+1) + (−1)×4×(y−1) − (−1)×(−)×(z+1) − 4×3×(x−1) − 3×1(y−1) = 0
−15x − 7y + 2z + 24 = 0 → 15x + 7y − 2z − 24 = 0
Outra opção é achar o vetor normal n→ = AB→ × AC→ e usar a mesma solução do exemplo anterior.
EQUAÇÃO VETORIAL E PARAMÉTRICA DO
PLANO
Além da equação geral, pode ser definida a equação paramétrica do plano. Para isso, torna-se
necessário conhecer um ponto do plano e dois vetores pertencentes ou paralelos a ele. O conceito é
que qualquer ponto P(x, y, z) que pertença ao plano π(pi), obrigatoriamente é obtido, partindo do ponto
dado A, por uma combinação linear dos dois vetores do plano.
Em outras palavras, seja o ponto A(XA, YA, ZA) e dois vetores não paralelos v→ 1(c, d, f) e v→ 2(p, q,
r) que pertencem ao plano π(pi). E seja o ponto genérico P(x, y, z) do plano, assim: AP→ =
(alpha)αv→ 1 + (beta)βv→ 2, com (alpha)α e (beta)β reais
AP→ = (alpha)αv→ 1 + (beta)βv→ 2 → (x−XA, y−YA, z−ZA) = (alpha)α(c, d, f) + (beta)β(p, q, r)
A equação P = A + (alpha)αv→ 1 + (beta)βv→ 2, com (alpha)α e (beta)β reais, é denominada de
EQUAÇÃO VETORIAL da reta.
Separando a mesma para cada uma das coordenadas, define-se a EQUAÇÃO PARAMÉTRICA do
plano como:
(pi)π: {
x = XA + cα(alpha) + pβ(beta)
y = YA + dα(alpha) + qβ(beta)
z = ZA + fα(alpha) + rβ(beta)
, para α(alpha) e β(beta) reais
Pode-se obter a equação paramétrica através da equação geral do plano, basta fazer x = α(alpha), y =
β(beta) na equação geral e obter o valor de z. Assim, se produz uma equação paramétrica
{
x = α(alpha)
y = β(beta)
z = −d/c − b/cβ(beta) − a/cα(alpha)
, para α(alpha) e β(beta) reais
Para se obter a equação geral através da equação paramétrica do plano: pegue duas das três
equações e ache o valor de α(alpha) e β(beta) em relação as duas coordenadas escolhidas, por
exemplo, x e y. Depois, substitua o valor de α(alpha) e β(beta) na terceira equação, então, obtém-se a
equação geral.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS
Você sabia que dois planos no espaço apresentam entre si posições relativas que podem ser
classificadas como concorrentes, paralelos ou coincidentes? A seguir, veja detalhadamente cada um:
CONCORRENTES
Apresentam uma reta de interseção.
COINCIDENTES
São, na verdade, o mesmo plano, tendo, portanto, infinitos pontos comuns.
PARALELOS
Não têm nenhum ponto em comum.
Um caso particular dos planos concorrentes, são os planos ortogonais, isto é, fazem 90° entre si.
A posição relativa entre os planos é dada pela análise do vetor normal aos mesmos. Como visto no
item anterior, um plano de equação geral ax + by + cz + d = 0 tem um vetor normal dado por n→ (a, b,
c). Sejam dados dois planos π(pi): a1x + b1y + c1z + d1 = 0, com vetor normal n→ π(pi)(a1, b1, c1), e
μ(mu): a2x + b2y + c2z + d2 = 0, com vetor normal n→ μ(mu)(a2, b2, c2).
Se
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
=
d1d2
, as duas equações representam o mesmo plano, assim, os planos π(pi) e μ(mu) serão planos
coincidentes.
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
≠
d1
d2
representam que os dois vetores normais são paralelos, mas não são equações do mesmo
plano, assim, os planos π(pi) e μ(mu) serão planos paralelos.
Os demais casos vão denotar que os planos π e μ serão planos concorrentes.
No caso dos planos concorrentes, pode-se obter a equação da reta que há a interseção dos planos.
Os pontos da reta de interseção devem satisfazer as duas equações do plano
{
(pi)π: a1x + b1y + c1z + d1 = 0
(mu)μ: a2x + b2y + c2z + d2 = 0
Uma solução é resolver o sistema para duas variáveis em relação a terceira. Dessa forma, teremos,
por exemplo, y e z em função de x. Logo, define-se x como um parâmetro λ(lambda) e teremos as
equações paramétricas.
 EXEMPLO
Determine a posição relativa, interseção e ângulo entre os planos 2x + 3y − z + 4 = 0 e
6x + 9y − 3z + 3 = 0.
SOLUÇÃO
Comparando os coeficientes das equações gerais dos planos:
a1
a2
=
6
2
= 3,
b1
b2
=
9
3
3,
c1
c2
=
−3
−1
= 3 e
d1
d2
=
3
4
Como
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
≠
d1
d2
, assim, os planos π(pi) e μ(mu) serão planos paralelos.
Desta forma, não existe interseção entre os planos e o ângulo formado entre eles é zero.
ÂNGULOS ENTRE PLANOS
De forma similar às retas, o ângulo entre os planos será o mesmo ângulo entre seus vetores normais.
Assim, sejam os planos π(pi) e μ(mu), com vetores normais n→ π(pi) e n→ μ(mu). O ângulo θ(theta)
formado entre os planos será calculado por: cosθ(theta) = |
n→ π(pi) n→ μ(mu)
|n→ π(pi)| |n→ μ(mu)|
|
Por definição, o ângulo entre os planos será sempre o ângulo agudo, isto é, menor ou igual a 90o.
Se o produto escalar n→ 1× n→ 2 = 0, então os dois planos serão ortogonais. Se os planos forem
paralelos ou coincidentes, o ângulo é dito como 0o
 EXEMPLO
Determine a posição relativa, interseção e ângulo entre o plano 2y − 4x − 4z − 2 = 0 e o plano {
x = 1 + α(alpha) + β(beta)
y = 7 + 6α(alpha) + 4β(beta)
z = 2 + 2α(alpha) + β(beta)
, com α(alpha) e β(beta) reais.
.
SOLUÇÃO
Convertendo a equação do segundo plano para equação geral. Separando duas das três equações e
achando o valor de β(beta) e α(alpha) em relação às coordenadas:
{
x = 1 + α(alpha) + β(beta)
z = 2 + 2α(alpha) + β(beta)
→ na primeira equação α(alpha) = x − 1 − β(beta).
Substituindo na segunda: z = 2 + 2x − 2 − 2β(beta) + β(beta) = 2x − β(beta) → β(beta) = 2x − z
Assim, α(alpha) = x − 1 − β(beta) = x − 1 − 2x + z = z − x − 1
Substituindo na equação do y = 2x + 2z + 1 → 2x − y + 2z + 1 = 0
Comparando agora os coeficientes das equações gerais dos planos:
a1
a2
=
−4
2
= −2,
b1
b2
=
2
−1
−2,
c1
c2
=
−4
2
= −2 e
d1
d2
=
−2
1
Como
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
=
d1
d2
as duas equações representaram o mesmo plano, portanto os planos π e μ serão coincidentes. A
interseção entre eles é o próprio plano e o ângulo formado entre eles é zero.
 EXEMPLO
Determine a posição relativa, interseção e ângulo entre o plano e o plano
.
SOLUÇÃO
Comparando os coeficientes das equações gerais dos planos 
Como
a1
a2
≠
b1
b2
≠
c1
c2
, os dois planos são concorrentes.
Para se obter o ângulo entre os planos: θ(theta) = |
n→ 1n→ 2
|n→ 1| |n→ 2|
|
x  +  y –  3  =  0
2x –  y  +  z –  1  =  0
=    e  =   = −1
a1
a2
1
2
b1
b2
1
−1
n→ 1 = (1,10) e n→ 2 = (2, −1, 1), |n→ 1| = √(1² + 1²) = √2, |n→ 2| = √(2² + −1² + 1²) = √6 e n→ 1 × n→
2 = 1×2 + 1×(−1) + 0×1 = 1.
Assim, θ(theta) = |
n→ 1n→ 2
|n→ 1| |n→ 2|
| = |
1
√2√6
|
=
√3
6
, portanto θ(theta) = arc cos
√3
6
;
{
x + y − 3 = 0
2x − y + z − 1 = 0
→ y = 3 − x e z = 1 + y − 2x = 1 + (3−x) − 2x = 4 − 3x
Fazendo x = λ(lambda) , então y = 3 − λ(lambda) e z = 4 − 3λ(lambda) , λ(lambda) real.
A reta de interseção dos planos será r: {
x = λ(lambda)
y = 3 − λ(lambda)
z = 4 − 3λ(lambda)
, com λ(lambda) real
TEORIA NA PRÁTICA
Na interseção entre duas elevações, existe um rio que segue uma trajetória retilínea. A primeira
elevação é modelada como plano x + 3y + 5 = 0 e a segunda elevação é modelada pela equação do
plano 3y − z + 8 = 0 Qual a equação que modela a trajetória do rio?
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão.
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 4
 Aplicar o conceito de ponto, reta e plano na determinação de distância entre pontos, retas e planos
INTRODUÇÃO
Nos módulos anteriores, introduzimos os conceitos de ponto, reta e plano.
Neste módulo, aplicaremos estes conceitos na determinação da distância entre pontos, entre ponto e
reta e entre reta e plano.
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Sejam dois pontos no espaço A(XA, YA, ZA) e B(XB, YB, ZB). A distância entre A e B será dada pelo
módulo do vetor AB→ .
Assim, AB→ = (B − A) = (XA−XB, YA−YB, ZA−ZB)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso particular do R2, os pontos só terão abscissa e ordenada, assim:
 EXEMPLO
Determine a distância entre os pontos A(2, 1, −2) e B(1, −1, 0)
SOLUÇÃO
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E PLANO
Sejam o ponto P(XP, YP, ZP) e o plano π(pi) com vetor normal n→ (a,b,c) e equação ax + by + cz + d =
0. A distância do Ponto P ao plano será dada pela projeção vertical do vetor AP→ na direção do vetor
normal n→ , sendo, portanto, o módulo do vetor PQ→
 EXEMPLO
Determine a distância entre os pontos A(3, 2, −2) e o plano 2x + y − z + 2 = 0
SOLUÇÃO
A equação do plano já está na forma geral. Se estivesse em outro formato, teríamos que converter
para geral para obtermos o vetor normal. O vetor normal é n→ (2, 1, −1), assim:
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Seja um ponto P(XP, YP, ZP) e a reta r. A distância entre o ponto P e a reta r é dada pelo módulo do
vetor PQ→ , no qual o ponto Q pertence à reta r e o segmento PQ é perpendicular à reta. A distância
entre o ponto e a reta, no espaço, será: dP r =
|TP→ × TR→ |
|TR→ |
ou dP r =
|PR→ × v→ |
|v→ |
, em que T e R são dois pontos quaisquer da reta e v→ é o vetor diretor desta reta.
No caso do R², o raciocínio pode ser análogo ao feito para determinar a distância do ponto ao plano.
Seja o ponto P(XP,YP) e a reta r, de equação ax + by + c = 0, com vetor normal n→ (a, b), a distância
entre o ponto P e a reta r vai ser dada pela projeção vertical do vetor AP→ na direção do vetor normal
n→ . Que será o módulo do vetor PQ→ .
 EXEMPLO
Determine a distância entre os pontos P(1, 3, −1) e a reta
x−3
2
=
y+2
1
=
z−1
−1
.
SOLUÇÃO
Da equação da reta, obtém-se o vetor diretor v→ (2 ,1 ,−1) e |v→ | = √(2² + 1² + −1²) = √6
Escolhe-se um ponto arbitrário que pertence à reta r: R(3, −2, 1), assim PR→ = R − P = (2, −5, 2)
PR→ × v→ = |
x^ y^ z^
2 −5 2
2 1 −1
| = 3x^ + 6y^ + 12z^ = (3, 6, 12)
|PR→ × v→ | = √(3² + 6² + 12²) = √189 = 3√21
A fórmula será dada por: dP r =
|PR→ × v→ |
|v→ |
=
3√21
√6
=
3√14
2
.
TEORIA NA PRÁTICA
Duas estações de telecomunicações se encontram em uma posição do planeta. Através de uma
medição em coordenadas cartesianas, obteve-se sua localização como sendo E1 (−200, 100 , 1000) e
E2(500, 800, 2200). As coordenadas estão medidas em metros. Para realizar o projeto de propagação
entre elas, necessita-se medir a distância entre as estações. Determine esta distância para que seja
possível a realização do projeto.
No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão.
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo deste tema, foi possível determinar os diversos tipos da equação da reta no R2 e no R3, bem
como a equação do plano no R3.
Analisamos também as posições relativas entre as retas e entre os planos e os ângulos que existem
entre duas retas e dois planos. Por fim, examinamos a distância entre pontos, entre ponto e reta e
entre ponto e plano. Vimos os principais conceitos relacionados a reta e plano, suas representações,e
aplicamos os conceitos nas posições relativas, distâncias e ângulos.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
PEREIRA, P. Curso Geometria Analítica. YouTube. Consultado em meio eletrônico em: 02 jul. 2020.
SANTOS, R. J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. 1. ed. Belo Horizonte: Imprensa
Universitária da UFMJ, 2012. cap. 4, p. 209-278.
STEINBRUNCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. cap. 4,
p. 99- 132, cap. 5, p. 143-178, cap. 6, p.190-201.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
IEZZI, G. Fundamento de Matemática Elementar 7. 4. ed. São Paulo: Atual, 1978. cap. 2, p. 25-45,
cap. 3, cap. 4, p. 77-82.
Para aprofundar os conhecimentos adquiridos neste tema, veja mais alguns conteúdos
complementares.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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