Apostila RESMAT

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Resistência dos materiais
Contextualização
• A disciplina de Resistência dos Materiais I está no Eixo Básico de Formação do
engenheiro, sendo ministrada no quarto período, quando o aluno já possui os conceitos
de:
– forças,
– momentos,
– equilíbrio,
– energia de deformação
– trabalho de forças externas,
• Conferidos pelas disciplinas de Física Teórica e Mecânica Geral.
• O aluno também possui conhecimentos em cálculo diferencial e integral conferidos nas
disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I, II, tendo os conceitos de segmentos, áreas
e volumes elementares, integração e diferenciação de funções, máximos e mínimos de
funções etc.
• A disciplina concentra-se na mecânica do contínuo, apresentando as tensões e
deformações atuantes em um corpo sólido, as relações de equilíbrio entre as
componentes de tensão, e as relações constitutivas que estabelecem a ligação
entre um dado estado de tensão e o estado de deformação correspondente,
procurando trazer os conceitos de mecânica já existentes para o âmbito de
tensões, deformações e energia de deformação em corpos elásticos.
• Também são contempladas as análises de tensões e deformações, provendo ao
estudante a capacidade para determinar as direções críticas para um determinado
estado de tensão, a interpretação de deformações e fissurações em elementos
estruturais, assim como a elaboração de ensaios de laboratório em elementos
estruturais.
• Esses conhecimentos são fundamentais para as disciplinas de
estruturas do Eixo Profissional Específico:
– Estruturas
– Geotécnica
• Assim como para a disciplina de Mecânica dos Solos, ministrada no
sexto período e pertencente ao Eixo Básico de Formação de
Engenheiro Civil.
Ementa
• Equilíbrio de estruturas;
• esforços, tensões e deformações em corpos
elásticos;
• relações constitutivas;
• energia de deformação;
• análise de estado plano de tensão.
Indicação de material didático
• HIBBELER, Russel Charles. Resistência dos materiais. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2010.
• Capitulo 1 – Tensão - 46 páginas
• Capitulo 2 – Deformações - 10 páginas
• Capitulo 3 – Propriedades mecânicas dos Materiais - 28 páginas
• Capitulo 9 - Transformação de tensão - 40 páginas
• Respostas dos exercícios (pag. 606 a 627) - 22 páginas
•
• Total: 146 páginas
Procedimento de avaliação
• A avaliação será realizada através da aplicação de
três provas escritas (AV1, AV2 e AV3), valendo dez
pontos cada uma.
• A média final é dada pela média das duas maiores
notas nas provas aplicadas, desconsiderando-se
notas inferiores a quatro pontos.
• Estarão aprovados os alunos que obtiverem média
igual ou superior a seis pontos.
Resistência dos materiais
• A Resistência dos Materiais estuda as relações entre cargas externas
aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas
que atuam dentro do corpo.
• O estudo tem por objetivo fornecer conhecimentos básicos das
propriedades mecânicas de sólidos reais, visando utilizá-los no
projeto, modelagem e calculo de estruturas.
Análise de Estruturas Mecânicas 
• No projeto de qualquer estrutura ou maquina é necessário
primeiro usar os princípios da estática para determinar as forças
que atuam no sistema.
• No entanto, as dimensões dos elementos, sua deflexão e sua
estabilidade dependem não só das cargas aplicadas, mas também
do tipo de material do qual os elementos desse sistema são feitos.
• Nesse primeiro momento vamos aprender que:
– Tensão: meio para medir a distribuição de força no
interior de um corpo.
– Deformação: maneira de medir a modificação
geométrica do corpo.
– Tensão x Deformação: essa relação depende do tipo de
material do qual o corpo é feito.
Equilíbrio de estruturas
e Carga Interna Resultante
Resistência dos materiais
Forças Externas
Forças Externas
1. Força de superfície ou de contato – Causadas pelo contato direto de um 
corpo com uma superfície.
2. Força de corpo ou Campo – Quando um corpo exerce força sobre outro 
sem o contato físico direto.
Tipos de Carga
• Carga concentrada
• Carga Uniforme distribuída
• Carga uniformemente variável
Reações de apoio
• As forças de superfície que se desenvolvem nos
apoios ou pontos de contato entre corpos são
chamadas reações de apoio.
• As reações de apoio são calculadas a partir das
equações de equilíbrio da estática.
Tipos de apoio
Reações de apoio
Tipos de apoio
• 1° genero ou Charriot 
Tipos de apoio
• 2° gênero ou Rótula
/////////////////////////
Tipos de apoio
• 3° Genero ou Engastamento
/////////////////////////
Isostática
• Grau de liberdade --- Movimentos fundamentais.
• Translação
• Rotação
• Um corpo rígido no espaço ---- 6 graus de liberdade
Equações de equilíbrio estático
• Equilíbrio de forças: Evita translação ou movimento acelerado 
do corpo ao longo de uma trajetória.
• Equilíbrio de momentos: Evita rotação do corpo.
• Equilíbrio de forças
• Equilíbrio de momentos
0000
0000
ozoyoxo
zyx
MMMM
FFFF
Diagrama de Corpo Livre
• A aplicação, com sucesso, das equações de equilíbrio
requer a especificação completa de todas as forças
conhecidas e desconhecidas que atuam sobre o corpo.
• A melhor maneira de considerar essas forças é desenhar o
diagrama de corpo livre
Tipos de Cargas Resultantes
 Força Normal (N) – Atua perpendicularmente á área. É criada sempre que as
forças externas tendem a empurrar ou puxar as duas partes do corpo.
 Força de Cisalhamento (V) ou (Q) – Localiza-s no plano da área e é criada
quando as cargas externas tendem a provocar o deslizamento das duas partes
do corpo,uma sobre a outra.
 Momento de Torção ou Torque (T) ou (MT) – Efeito criado quando as cargas
externas tendem a torcer uma parte do corpo em relaçao à outra.
 Momento Fletor (M) ou (MF) – O momento fletor é provocado pelas cargas
externas que tendem a fletir o corpo em relação ao eixo localizado no plano da
área.
• Esforço Normal (N): Tendência é comprimir ou 
distender a seção
– Tração +
– Compressão (-)
• Esforço cortante ou Cisalhante (V)
– Regra: pelas forças da esquerda
• Para cima +
• Para baixo -
• Momento Fletor (M)
– Regra: pelas forças da esquerda
• Sentio horário +
• Sentio anti-horário -
• Equilíbrio de forças
• Equilíbrio de momentos
0000
0000
ozoyoxo
zyx
MMMM
FFFF
• Na prática da engenharia, em geral, a carga
sobre um corpo pode ser representada como
um sistema coplanar de forças:
0
0
0
o
y
x
M
F
F
Sistema coplanar de forças plano x-y
Carga Interna Resultante
• Método das Seções 
– determinar a força resultante e o momento atuantes no interior do corpo, 
necessários para manter o corpo unido quando submetido a cargas externas.
– Esse método requer que seja feita uma seção ou corte através da região em 
que as cargas internas devem ser determinadas.
Apesar de a distribuição exata da carga interna ser desconhecida, podemos usar 
as equações de equilíbrio para relacionar as forças externas a qualquer ponto 
específico O da área secionada.
O ponto O é mais comumente escolhido como centróide da área secionada.
Se o elemento for comprido e estreito, como no caso de uma haste ou viga, a 
seção considerada é geralmente a transversal. 
Cargas coplanares
• Existirão na seção apenas os componentes de força
– normal,
– cisalhamento e
– momento fletor.
0
0
0
o
y
x
M
F
F
Exercício 1
1. Determinar a resultante das cargas internas
que atuam na seção transversal em C da viga
mostrada na figura.
Solução do 
exercício 1
Tensões
Resistência dos materiais• Nesse primeiro momento vamos aprender que:
– Tensão: meio para medir a distribuição de força no
interior de um corpo.
– Deformação: maneira de medir a modificação
geométrica do corpo.
– Tensão x Deformação: essa relação depende do tipo de
material do qual o corpo é feito.
• Determinar a distribuição das cargas internas é de primordial importância na
resistência dos materiais.
• Conceito de tensão
– A seção da área seja subdividida em ΔA e esse tende a zero.
• Material é contínuo (sem vazios ou espaços os constituintes da matéria)
• Coeso (sem trincas, separações ou falhas)
– A força ΔF (e seus componentes), que atua sobre a área ΔA, também tende a
zero.
– Assim, a relação entre a força e a área, em geral, tende para um limite finito.
– Essa relação é chamada tensão
• A tensão, descreve a intensidade da força interna sobre um plano específico (área)
que passa por um determinado ponto.
• Tensão é o valor limite da força por unidade de área quando a área tende a zero.
Nessa definição o material no ponto é considerado contínuo e coesivo
• Tensão normal σ (sigma).
– Força por unidade de área (intensidade da força), que atua no sentido
perpendicular a ΔA .
– Se a tensão normal puxa o elemento de área – tração
– Se a tensão normal empurra o elemento de área - compressão
• Tensão de cisalhamento τ (tau).
– Força por unidade de área (intensidade da força), que atua no sentido tangente
a ΔA.
– O índice z em σ é usado para especificar a orientação da área, enquanto x e y
referem-se às retas de direção das tenções de cisalhamento.
Estado geral de tensões
 Imagine se o corpo for também secionado por planos paralelos ao plano x-z e 
ao plano y-z, podemos então cortar um elemento cúbico de volume do 
material.
 Esse elemento cúbico representa o estado de tensão que atua em torno do 
ponto O escolhido do corpo.
Estado geral de tensões
•Em geral, há seis componentes independentes da tensão em cada ponto do 
corpo, consistindo de tensão normal σx , σy ,σz e tensão cisalhante, τxy ,τyz ,τxz
A intensidade desses componentes dependem do tipo de carga que atua sobre o 
corpo e da orientação do elemento no ponto.
Unidade de tensão no SI
• No Sistema Internacional de Unidades (SI), a intensidade da tensão é
especificada na unidade básica de newtons por metro quadrado
[N/m²].Esta unidade é denominada pascal
1 Pa = 1 N/m².
• Atenção aos prefixos multiplicadores como:
– quilo k=10³, mega M=106 ou giga G=109.
• No sistema de unidades usual norte-americano, ou sistema Pés-Libras-Segundos:
– Libras por polegada quadrada (psi)
– Quilolibras por polegada quadrada (ksi), em que 1 quilolibras (kip) = 1000 lb
Tensão Normal Média
Barra com carga axial
Tensão Normal Média
Barra com carga axial
Se desprezarmos o peso da barra e
a secionarmos, então, para o
equilíbrio do segmento inferior, a
resultante da força interna que atua
na seção transversal deverá ser igual
em intensidade, oposta em direção e
colinear à força externa que atua na
extremidade inferior da barra.
Tensão Normal Média
Barra com carga axial
• Hipóteses simplificadoras:
– 1) É necessário que a barra
permaneça reta tanto antes como
depois de a carga ser aplicada, e,
além disso, a seção transversal deve
permanecer plana durante a
deformação.
• Hipóteses simplificadoras:
– 2) A fim de que a barra possa
sofrer deformação uniforme, é
necessário que P seja aplicada ao
longo do eixo do centróide da
seção transversal e o material deve
ser homogêneo e isotrópico.
 Material Homogêneo: Possui as mesmas propriedades físicas
e mecânicas em todo o seu volume.
 Material Isotrópico: Possui as mesmas propriedades físicas e
mecânicas em todas as direções.
◦ Quando uma barra prismática (todas as seções transversais são iguais)
é feita de material homogêneo e isotrópico e esta submetida a força
axial que atua sobre o centróide da área da seção transversal, então o
material do interior da barra é submetido apenas à tensão normal.
Distribuição da Tensão Normal Média
 A barra está submetida a uma
deformação uniforme constante. Então, a
deformação é o resultado de uma tensão
normal constante.
 Cada área ΔA da seção transversal está
sujeita a uma força ΔF=σ ΔA, e o
somatório das forças que atuam sobre
toda a área da seção transversal deve ser
equivalente à força interna resultante P
na seção.
Distribuição da Tensão Normal Média
• Se ΔA tende a dA e, portanto ΔF tende a dF, então, admitindo
que σ seja uma constante, temos
• onde:
– σ = Tensão normal média em qualquer ponto da 
área da seção transversal.
– P = resultante da força normal interna, aplicada no 
centróide da área da seção transversal.
– A = área da seção transversal da barra.
Tensão Normal Média Máxima
 Caso a barra seja submetida a várias cargas externas ao longo do seu eixo.
 Caso em que ocorre mudança na área de sua seção transversal.
◦ Nesses dois casos a tensão normal no interior da barra pode ser diferente de uma 
seção para a outra.
 Tensão normal média MÀXIMA
◦ Local em que a relação P/A chega ao máximo.
◦ Determinar a força P em várias seções ao longo da barra.
◦ Diagrama de força axial ou normal
◦ O diagrama é um gráfico da força normal P contra sua posição x ao longo do 
comprimento da barra. Segundo a convenção de sinais, P é positivo se provoca 
tração no elemento e negativo se provoca compressão.
Tensão de cisalhamento Média
Barra com carga axial
 Considerando os apoios rígidos
 A Força F poderá provocar deformação e falha da barra ao longo dos planos AB e CD.
 Diagrama de corpo livre do segmento central não apoiado da barra: indica que a força de cisalhamento
V=F/2 deve ser aplicada em cada seção para manter o segmento em equilíbrio.
• onde:
– τméd = Tensão de cisalhamento média na seção.
– V = Resultante interna da força de cisalhamento.
– A = Área da seção transversal.
A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área secionada que desenvolve
essa força de cisalhamento é definida como mostrado abaixo.
A tensão de cisalhamento tem a mesma direção que V
Cisalhamento em Juntas
• Cisalhamento puro
– Equilíbrio
• Consideremos um elemento de volume do material removido em um
ponto localizado sobre a superfície de área em que atue a tensão de
cisalhamento média
Propriedade complementar do cisalhamento
Tensão Admissível
Resistência dos materiais
 O engenheiro responsável pelo projeto de elementos estruturais ou
mecânicos deve restringir a tensão do material a um nível seguro, portanto,
deve usar uma tensão segura ou admissível.
 Razões para adotar essa técnica
◦ A carga quando o elemento foi projetado pode ser diferente do carregamento
aplicado.
◦ As medidas dimensionais podem não ser exatas (erro de fabricação ou montagem).
◦ Vibrações desconhecidas
◦ Impacto ou cargas acidentais
◦ Corrosão, deterioração ou o desgaste provocado por agentes atmosféricos.
◦ Materiais que apresentam grande variação de propriedades mecânicas (cerâmicos,
compósitos reforçados com fibra, madeira)
Fator de Segurança
 O fator de segurança (F.S.) é a relação entre a carga de “ruptura” Frup e a carga
admissível Fadm. A carga admissível será sempre inferior a carga de “ruptura” o que
implica no fator de segurança ser um número maior que 1 a fim de evitar maior
possibilidade de falha.
◦ Se F.S. = 1; siguinifica que Frup = Fadm
◦ Se F.S. <1; Impossível pois Frup < Fadm (Não tem coerência)
 Valores específicos dependem dos tipos de materiais usados, da finalidade pretendida
da estrutura ou máquina. Em geral, esses valores são bem padronizados e encontrados
em códigos de projetos e manuais.
OBS: Para casos em que a carga
aplicada não forrelacionada
linearmente com a tensão apenas a
equação:
Pode ser usada (ex: colunas)
Projeto de Acoplamento Simples
Ao entender-se as relações acima o engenheiro buscará projetar as estruturas 
afim de que a operação seja segura.
Os problemas comuns são:
 Área da seção transversal de um elemento de tração.
 Área da seção transversal de um acoplamento submetido a 
cisalhamento.
 Área requerida para resistir ao apoio.
 Área requerida para resistir ao cisalhamento provocado por carga axial.
Área da Seção Transversal de um Elemento
sob Tração
Acoplamento Submetido a Cisalhamento
Área Requerida para Resistir ao Apoio
Tensão de apoio: A tensão normal produzida pela compressão de uma superfície
sobre a outra. Se essa tornar-se suficientemente grande, poderá esmagar ou
deformar localmente uma ou ambas as superfícies. Para evitar falha, é necessário
determinar a área de apoio adequada (baseando se no material de menor tensão
admissível de apoio)
Supondo que a distribuição de tensão esta distribuída uniformemente
Área requerida para resistir ao 
Cisalhamento provocado por Carga Axial
• Ocasionalmente, hastes ou outros elementos estão apoiados de tal maneira que
pode surgir uma tensão de cisalhamento, apesar de o elemento estar submetido a
uma carga axial
•EX: Haste de aço engastada em concreto e carregada na direção axial. Supondo uma
distribuição uniforme de tensão.
Área requerida para resistir ao 
Cisalhamento provocado por Carga Axial
Deformação
Resistência dos materiais
• Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar a
forma e o tamanho dele.
• Essas mudanças são denominadas como deformação e
podem ser perfeitamente visíveis ou praticamente imperceptíveis
sem o uso de equipamento para fazer medições precisas.
•O corpo também pode sofrer deformação quando sua
temperatura muda.
•Consideração: Seguimento de reta muito pequeno
permanecem aproximadamente retos após a deformação do
corpo.
• De maneira geral, a deformação do corpo não é
uniforme em todo o seu volume.
Deformação normal
O alongamento ou a contração de um segmento de reta por unidade de comprimento
é denominado deformação normal ε.
ε > 0 – alonga-se; se ε< 0 contai-se
Unidades: a deformação normal é uma
grandeza adimensional, pois representa a
relação entre dois comprimentos. Apesar disso é
prática comum expressá-la em termos de razão
como m/m no SI. Comumente pode ser expressa
em μm/m ou pol/pol. Pode ainda ser expressa
em porcentagem.
Deformação por cisalhamento
A mudança de ângulo ocorrida entre dois segmentos de reta
originalmente perpendiculares entre si é denominada
deformação por cisalhamento. O ângulo é designado por γ
(gama) e medido em radianos (rad).
`lim
2
AC
AB
A
C
B A`
C`
B`
θ
θ`
• Componentes cartesianos da deformação
• Deformações normais – provocam mudança de volume.
• Deformações por cisalhamento – provocam mudança no seu 
formato.
Naturalmente, ambos os efeitos ocorrem simultaneamente
durante a deformação.
• O estado de deformação em um ponto do corpo requer a
especificação de três deformações normais εx ,εy ,εz e três
deformações por cisalhamento γx ,γy ,γz .
• Componentes cartesianos da deformação
• Análise de pequenas deformações.
– A maioria dos projetos de engenharia envolve aplicações para as
quais são permitidas apenas pequenas deformações.
– Assim ε << 1
– Essa hipótese, baseada na intensidade da deformação, tem larga
aplicação prática.
– Permite aproximarmos, por exemplo
• Senθ ~θ
• Cos θ~θ
• tgθ~θ
mmL
L
mmL
L
L
mmmm
L
Máx
2,11
75
8
8002,0
/002,0
2
2
4000
0
0527,0
8
8)002,0042,08(
042,0´
12
´
)2,0(
00287,0
8
8)002,0021,08(
021,0´
6
´
)2,0(
00025,0
8
8002,8
C
B
A
polC
C
tg
polB
B
tg
Propriedades Mecânicas dos 
materiais
Resistência dos materiais
Propriedades mecânicas dos materiais
 A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar
a carga sem deformação excessiva ou ruptura.
 Essa propriedade é inerente ao próprio material e deve ser
determinada por experimento.
 Um dos testes mais importantes é o teste de tração ou compressão.
 Sua principal função é determinar a relação entre a tensão normal
média e a deformação normal média.
Ensaio de tração
• American Society for Testing and Materials (ASTM)
• Corpo de prova padronizado (Ex:metal)
• Extensômetro
Ensaio de tração
 A maquina é projetada para alongar (Ensaio de tração) o corpo de prova
a uma taxa lenta e constante até que ele atinja o ponto de ruptura.
 Ela é ainda projetada para ler continua e simultaneamente a carga
instantânea necessária para manter o estiramento uniforme.
 O alongamento δ (=l – l0) resultante são medidos por meio de um
extensômetro (calibre ou um dispositivo ótico denominado).
 Extensômetro por resistência elétrica.
 Com os dados do teste, pode ser construído um gráfico.
•Convencional
Com os dados registrados no ensaio, se determina a tensão
nominal ou de engenharia dividindo a carga aplicada P pela
área da seção transversal inicial do corpo de prova A0.
A deformação normal ou de engenharia é encontrada
dividindo-se a variação no comprimento de referência δ, pelo
comprimento de referência inicial L0.
Unidade da tensão – Mpa ou lb / pol2 (psi)
Diagrama
Tensão-Deformação
Diagrama
Tensão x Deformação
Esse diagrama é muito importante em engenharia, pois permite
obter dados sobre a resistência (à tração ou compressão) do
material sem considerar o tamanho ou formato físico desse
material (sua geometria).
OBS: dois diagramas tensão-deformação do mesmo material
não serão exatamente iguais, uma vez que os resultados
dependem de variáveis tais como:
Composição do material
Imperfeições microscópicas
Fabricação
Taxa da carga
Temperatura durante o teste
Diagrama
Tensão-Deformação
Características da curva 
tensão – deformação 
Comportamento Elástico
◦ A curva é aproximadamente uma reta, de modo que a tensão é
proporcional à deformação. (o material é linearmente elástico).
◦ Limite de proporcionalidade: limite superior dessa relação.
◦ Limite de escoamento: a curva após o limite de proporcionalidade
tende a se fletir e achatar. Essa condição continua até que a tensão
alcance o limite de elasticidade. (O material responde
elasticamente em toda essa região)
◦ Para o aço esses limites praticamente coincidem.
Diagrama
Tensão x Deformação
Características da curva 
tensão – deformação 
Escoamento
◦ Um pequeno aumento de tensão acima do limite de elasticidade resulta em uma
deformação permanente chamada de deformação plástica.
◦ Quando o material esta nesse estado é classificado como perfeitamente plástico.
◦ A tensão que provoca escoamento é chamada limite de escoamento. Para
muitos metais esse coincide com o limite de elasticidade.
◦ Aços baixo carbono ou nos laminados a quente, o limite de escoamento é
freqüentemente diferenciado por dois valores. O limite de escoamento superior
ocorre primeiro, seguido por um decréscimo súbito da capacidade de carga no
limite de escoamento inferior.
Diagrama
Tensão x Deformação
Diagrama
Tensão x Deformação
Diagrama
Tensão x Deformação
• Endurecimento por deformação
– Quando o escoamento termina, pode-se aplicar uma carga adicional, o
que resultará em uma curva que cresce continuamente, mas que se
torna mais plana até que alcança a tensão máxima denominada limite
de resistência.
– O corpo de prova sofre alongamento, o decréscimo da área é uniforme
até o limite de resistência.
Diagrama
Tensãox Deformação
 Estricção
◦ Ao atingir o limite de resistência, a área da seção transversal começa a
diminuir em uma região localizada.
◦ Esse fenômeno é provocado por planos de deslizamento formado no interior
do material, e as deformações produzidas são provocadas por tensão de
cisalhamento.
◦ Como a área da seção transversal nessa região está decrescendo
continuamente, a área menor pode suportar apenas carga decrescente.
◦ Portanto, (o diagrama tende a curvar-se para baixo até que o corpo de prova
quebre com a tensão de ruptura.
Diagrama Tensão x Deformação
 Diagrama Tensão-Deformação Real
◦ Em vez de usar a área da seção transversal inicial e o comprimento do corpo de
prova para calcular a tensão e a deformação, utiliza-se a área e o comprimento real
no instante em que a carga é medida.
◦ Tensão real e deformação real
◦ O diagrama convencional e o real são praticamente coincidentes quando a
deformação é pequena. As diferenças começam a aparecer na faixa de
endurecimento por deformação. E uma grande divergência após a estricção.
◦ Diagrama convencional – nota-se que o corpo de prova suporta realmente uma carga
decrescente ao calcular a tensão de engenharia.
◦ Diagrama real – devido a área real ser cada vez menor a tensão real cresce.
Materiais Dúcteis
 Qualquer material que possa ser submetido a grandes
deformações antes da ruptura é chamado de material dúctil.
 Freqüentemente, os engenheiros escolhem materiais dúcteis para
o projeto, pois estes são capazes de absorver choque ou energia
e, quando sobrecarregados, exibem, em geral, grande
deformação antes de falhar.
Materiais Dúcteis
Materiais Dúcteis
 Especificar a ductilidade
◦ Porcentagem de alongamento (Aço doce = 38%)
◦ Porcentagem de redução de área (aço doce = 60%)
◦ Outros metais como latão, molibdênio e zinco, também possuem características
dúctil similar a do aço.
◦ No entanto na maioria dos metais, entretanto, não ocorre escoamento
constante.
%)100(
0
0
L
LLrup
%)100(
0
0
A
AA rup
Materiais Dúcteis
• EX: Alumínio
– Não tem um limite de escoamento bem definido e, 
assim é prática padrão definir uma resistência ao 
escoamento.
– Método de deformação residual
• Escolhe-se normalmente uma deformação de 0,2% 
(0,002pol/pol) e, desse ponto no eixo ε, é desenhada uma reta 
paralela até a parte inicial reta do diagrama.
• O ponto em que essa reta intercepta a curva define a 
resistência ao escoamento. 
Materiais Dúcteis
 A resistência ao escoamento não é uma propriedade física do material, visto
ser uma tensão que provocou uma deformação permanente especificada no
material.
 A princípio:
◦ Considerar que os seguintes pontos coincidem
 Resistencia ao escoamento
 Ponto de escoamento ou limite de escoamento
 Limite de proporcionalidade
◦ A menos que seja declarado o contrário.
 EX: Polímero
◦ Apresenta comportamento elástico não linear
 EX: Madeira
◦ Moderadamente dúctil
◦ Material fibroso
Materiais Frágeis
• Os materiais que apresentam pouco ou nenhum escoamento são
chamados de materiais frágeis.
• Os materiais frágeis não possuem tensão de ruptura à tração
bem definida, uma vez que a aparência das trincas iniciais são
bastante aleatórios.
• Tensão de ruptura média (conjunto de testes)
Materiais Frágeis
• EX: Ferro fundido
– A ruptura ocorreu a 22ksi (152 MPa) em uma imperfeição ou
microtrinca, e depois espalhou se rapidamente por todo o
corpo de prova provocando a falha.
Materiais Frágeis
• EX: Ferro fundido
– Em comparação com seu comportamento sob tração, apresentam
resistência axial à compressão muito maior.
– Quaisquer trincas ou imperfeições tendem a fechar-se e, à medida que a
carga aumenta, geralmente o material abaula-se.
Materiais Frágeis
• EX: Concreto
– O concreto é classificado como material frágil
– Possui baixa resistência à tração
– As características de seu diagrama depende principalmente da mistura do
concreto (água, areia, brita e cimento) e da duração e temperatura da cura.
Dúctil – Frágil 
• A maioria dos materiais podem exibir
comportamento tanto dúctil como frágil.
– Temperatura
– Composição química
Lei de Hooke
A maioria dos materiais da engenharia
apresentam relação linear entre tensão e
deformação na região de elasticidade.
Conseqüentemente, um aumento na
tensão provoca um aumento proporcional
na deformação. Essa característica é
conhecida como Lei de Hooke.
Onde:
E = módulo de elasticidade , constante de proporcionalidade, modulo de young ou
rigidez do material
Unidade: mesma de tensão – psi, ksi ou Pascal
Lei de Hooke
• O limite de proporcionalidade para um tipo particular de aço
depende dos componentes de sua liga; entretanto, a maioria dos
tipos de aço, tem aproximadamente o mesmo módulo de elasticidade
em geral, aceito como:
 E=29(103)ksi ou 200GPa
Recuperação elástica durante uma deformação 
plástica
• Se um material dúctil tal como o aço, sofrer carregamento na região
plástica e, em seguida, descarregamento:
– a deformação elástica é recuperada à medida que o material volta ao seu
estado de equilíbrio.
– A deformação plástica permanece e, como resultado, o material fica
empenado.
– O modulo de elasticidade é o mesmo e, portanto a inclinação da reta também.
Recuperação elástica durante uma deformação 
plástica
• Endurecimento por deformação a frio
– Se a carga for reaplicada, os atomos do material serão novamente deslocados
até que ocorra o escoamento próximo a tensão A`e o diagrama continua ao
longo do mesmo trajeto.
– Observa-se, entretanto, que esse novo diagrama tem um ponto de escoamento
maior (A`).
• Região de elasticidade maior
• Menos ductilidade
• Energia pode ser perdida
quando o corpo de prova é
descarregado de A`.
• A área entre essas curvas
representa a energia perdida e é
chamado de histerese mecânica.
Energia de deformação
• A medida que um material é deformado por uma carga
externa, tende a “armazenar” energia internamente ao longo
de todo o seu volume.
• Essa energia relaciona-se à deformação.
Energia de deformação
• Resiliência
– Capacidade de um material absorver energia quando ele é deformado
elasticamente e depois, com o descarregamento, ter essa energia recuperada.
• Como calcular:
– Trabalho – produto da força pelo deslocamento na direção dessa força.
– Esse “trabalho externo” é equivalente ao “trabalho interno” ou energia de
deformação armazenadano elemento (admitindo que a energia não seja
perdida sob a forma de calor)
2
1
2
1
)(
22
)(
2
)(
)(
r
médiaF
U
V
zyxz
yx
d
F
Fd
yxFAF
Energia de deformação
 Resiliência
◦ O modulo de resiliência, em particular,
quando a tensão σ atinge o limite de
proporcionalidade, Pode ser calculada
fazendo udo da lei de Hooke
◦ Pela região elástica do diagrama, observe
que ur é equivalente à área triangular
sombreada sob o diagrama.
◦ Fisicamente, a resiliência de um material
representa a habilidade para absorver
energia sem sofrer qualquer dano
permanente.
E
u
E
E
lp
r
2
2
1
Energia de deformação
 Tenacidade
◦ Representa a habilidade do material em absorver energia até a sua fratura.
◦ O módulo de tenacidade, ut representa toda a área sob o diagrama.
◦ Materiais com módulo de tenacidade alto distorcem muito devido uma
sobrecarga, assim, não correm o risco de romper-se subitamente sem dar sinais da
ruptura iminente.
◦ Frequentemente os materiais dúcteis são mais tenazes do que os materiais frágeis.
◦ Embora, materiais frágeis tenham maior limite de escoamento e maior limite de
resistência à tração.
Energia de deformação
• Tenacidade
• O grau de resiliência e
tenacidade podem mudar conformemuda a composição e o tratamento
térmico das ligas metálicas
Energia de deformação
 Obviamente, os metais podem experimentar deformações plásticas
sob a influencia da aplicação de cargas compressivas, cisalhantes e
torcionais.
 O comportamento tensão-deformação resultante dentro da região
plástica será semelhante à componente de tração.
 Contudo, no caso da compressão, não irá existir um valor máximo,
uma vez que não há a ocorrência de um pescoço.
00025,0
10.29
25,7
/25,7
002,0
512,14
512,14
5
3.186,24
03.5.
0
186,24002,0.093,12.
/093,12000417,0).10.29(
000417,0
)12(3
015,0
015,0025,0:
35
3
2
0
23
CD
D
D
D
DDBD
BB
B
EB
EB
EB
BD
BD
pollb
A
F
WF
lbFFFF
M
lbAF
pollb
pol
pol
L
L
polLpolLse
LL
Exercício
Exercício
• Se a porca do indicador direto de tensão estiver com as 6 cabeças (que inicialmente
possui 3,0mm) esmagada com 0,3mm deixando uma área de contato de 1,5mm²
em cada cabeça. Determinar a tensão na rosca do parafuso. O material tem seu
diagrama mostrado abaixo.
Força axial exercida pelo parafuso
Coeficiente de Poisson
Coeficiente de Poisson
Considerando um material isotrópico (radial: εx = εy):
Representa a relação entre as deformações lateral e
longitudinal na faixa de elasticidade. A razão entre essas
deformações é uma constante denominada coeficiente de
Poisson v.
O sinal negativo é utilizado pois o alongamento
longitudinal (deformação positiva) provoca
contração lateral (deformação negativa) e vice-
versa.
O coeficiente de Poisson é adimensional e seu
valor se encontra entre zero e meio.
Coeficiente de Poisson
Coeficiente de Poisson
Para materiais isotrópicos, os módulos de
cisalhamento e de elasticidade estão
relacionados entre si e com o coeficiente de
Poisson de acordo com a expressão:
)1(2 vGE
Transformação de tensão
Transformação de tensão
• O estado geral de tensão em um ponto é
caracterizado por seis componentes independentes
de tensões normal e de cisalhamento, o que atuam
nas faces de um elemento do material localizado
em tal ponto.
Transformação de tensão
• No entanto, esse estado de tensão não é encontrado com freqüência
na prática da engenharia. Em vez disso, geralmente fazemos
aproximações ou simplificações das cargas sobre o corpo, a fim de
que a tensão produzida em um elemento estrutural ou mecânico
possa ser analisada em um plano simples.
Transformação de tensão
• O estado plano de tensões no ponto é representado
unicamente pelos três componentes que atuam em
um elemento que tenha orientação específica
naquele ponto
Transformação de tensão
• A transformação dos componentes de tensão, entretanto, é mais
difícil que a dos componentes de força, visto que, no primeiro caso, a
transformação deve considerar a intensidade e a direção de cada
componente de tensão e a orientação da área sobre a qual cada um
atua.
• No caso da força, a transformação deve considerar apenas a
intensidade e a direção do componente.
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Convenção de sinal
– A tensão normalpositiva atua para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva atua para cima na face direita do elemento.
– Os conjuntos de eixos constituem sistemas de coordenadas dextrogiro (eixo positivo z ou z´ é estabelecido pela regra da mão direita).
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Componentes das Tensões Normal e de cisalhamento.
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Componentes das Tensões Normal e de cisalhamento.
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Componentes das Tensões Normal e de cisalhamento.
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Tensões Principais e Tensão de cisalhamento Máximo
no Plano.
– Essas tensões dependem do ângulo de inclinação θ. Assim, é
extremamente importante determinar a orientação dos
planos que fazem a tensão normal chegar ao máximo e ao
mínimo, bem como a orientação dos planos que fazem a
tensão de cisalhamento chegar ao máximo.
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Tensões Principais e Tensão de cisalhamento Máximo
no Plano.
– Para determinar a tensão normal máxima e a mínima.
Devemos derivar a função abaixo em relação a θ e igualar a
zero para assim achar os pontos de máximo da função.
– Assim:
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Tensões Principais e Tensão de cisalhamento Máximo no Plano.
– Assim:
– Resolvendo a equação, obtemos duas raízes para θ (θ=θP) . Chamaremos de θP1 e θP2
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Tensões Principais e Tensão de cisalhamento Máximo
no Plano.
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Tensões Principais e Tensão de cisalhamento Máximo
no Plano.
– Se qualquer um desses dois conjuntos de relações
trigonométricas for substituído na equação:
» Obtemos:
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Tensões Principais e Tensão de cisalhamento
Máximo no Plano.
– Dependendo do sinal escolhido, esse resultado revelará a tensão normal
máxima ou a mínima no plano a qual atua sobre um ponto em que σ1≥σ2 .
Esse conjunto de valores particulares é
denominado tensões principais no
plano e os planos correspondentes
nos quais ele atua são chamados de
planos principais de tensão.
Quando o estado de tensões é
representado pelas tensões principais,
nenhuma tensão de cisalhamento atua
sobre o elemento.
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Tensões Principais e Tensão de cisalhamento
Máximo no Plano.
– Para determinar a tensão de cisalhamento máxima. Devemos derivar a função
abaixo em relação a θ e igualar a zero para assim achar os pontos de máximo
da função.
– Resolvendo a equação, obtemos duas raízes para θ (θ=θc) . Chamaremos de θc1
e θc2
– Assim:
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Tensões Principais e Tensão de cisalhamento
Máximo no Plano.
– Comparando: cada raiz 2θc está defasada em relação a 90° de 2θP. Assim, as
raízes. Assim, as raízes estão separadas por 45° e, como resultado, os planos
para a tensão de cisalhamento máxima são determinados orientando-se um
elemento a 45° da posição do elemento que define os planos da tensão
principal.
Relembrando
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Tensões Principais e Tensão de cisalhamento
Máximo no Plano.
– Usando qualquer uma das raízes θc1 ou θc2, determinamos a tensão de
cisalhamento máxima calculando os valores trigonométricos de sen 2θc e cos
2θc substituindo em seguida na equação:
– Temos:
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Tensões Principais e Tensão de cisalhamento
Máximo no Plano.
– Usando qualquer uma das raízes θc1 ou θc2, determinamos a tensão de
cisalhamento máxima calculando os valores trigonométricos de sen 2θc e cos
2θc substituindo em seguida na equação:
– Temos:
– Observamos que também há uma tensão normal nos planos da tensão de
cisalhamento máxima. Para isso, os valores trigonométricos de sen 2θc e cos
2θc devem ser substituídos na equação:
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Círculo de Mohr – Estado plano de tensões
– As equações de transformação para o estado plano de tensões têm uma
solução gráfica.
– O parâmetro θ pode ser eliminado elevando-se ao quadrado cada uma das
equações e adicionando-as.
– Simplificando:Temos a equação da circunferência
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Círculo de Mohr – Estado plano de tensões
– As equações de transformação para o estado plano de tensões têm uma
solução gráfica.
– Simplificando: Temos a equação da circunferência
– Lembrando:
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Círculo de Mohr – Estado plano de tensões
– As equações de transformação para o estado plano de tensões têm uma
solução gráfica.
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Círculo de Mohr – Estado plano de tensões
– As equações de transformação para o estado plano de tensões têm uma
solução gráfica.
Para desenhar o circulo
Como os componentes σx ,σy e τxy são conhecidos, o centro do circulo pode
ser marcado C(σméd,0). Os eixos x`=x e y`=y também podem ser determinados,
esse será o ponto A (σx,τxy) onde θ=0°. Linha de referencia CA. O raio pode
ser determinado pelo teorema de Pitágoras e assim o circulo de Mohr está
construído.
Analisando
Consideremos agora o eixo x` girado 90° no sentido anti-horário.Então σx`=σy
e τx`y` =-τxy . Esses valores são as coordenadas do ponto G(σy ,-τxy).
Conclusão: uma rotação θ do eixo x` corresponde a uma rotação 2θ no
circulo na mesma direção.
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Círculo de Mohr – Estado plano de tensões
– As equações de transformação para o estado plano de tensões têm uma
solução gráfica.
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Círculo de Mohr – Estado plano de tensões
– As equações de transformação para o estado plano de tensões têm uma solução gráfica.
– As tensões principais σ1 e σ2 são (σ1 ≥σ2) são representados pelos pontos B (2θP1) e D (2θP2) nesses
pontos τ=0.
Essas tensões atuam sobre os planos definidos
pelos ângulos θP1 e θP2 e medidos da linha de
referencia radial CA para as linhas CB (2θP1) e CD
(2θP2), respectivamente.
Apenas um desses ângulos precisa 
ser calculado pelo círculo, usando-
se trigonometria, uma vez que θP1 e 
θP2 estão 90° afastados. 
As componentes da tensão normal média e da
tensão de cisalhamento máxima no plano são
determinados a partir do círculo como as
coordenadas do ponto E (2θC1 ) e F (2θC2 )
Equações gerais de transformação de tensão 
para o estado plano
• Círculo de Mohr – Estado plano de tensões
– As equações de transformação para o estado plano de tensões têm uma
solução gráfica.
OBS: Mecânica geral
Elemento de duas forças e treliças