Relatório Experimental 2 - Pêndulo simples e Pêndulo físico

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RELATÓRIO EXPERIMENTAL 
 
 
Pêndulo Simples e Pêndulo Físico 
Aluno: Jonathan Georg Rieff (cartão: 00231418) 
Professor: Jonder Morais 
 
Resumo: O presente relatório trata de dois experimentos sobre pêndulos: o pêndulo 
simples e o pêndulo físico. Os objetivos principais são observar a influência do 
comprimento do fio no período (pêndulo simples) e observar como o ponto de sustentação 
da barra influência no período de oscilação (pêndulo físico). 
Utilizando-se modelos matemáticos preestabelecidos para as devidas experiências 
pudemos comprovar suas previsões teóricas e estimar o ponto em que a oscilação de um 
pêndulo físico será mínima. 
 
Introdução 
 
Neste relatório, vamos explorar duas experiências realizadas em sala de aula. 
Uma delas é chamada de Pêndulo Simples e a outra de Pêndulo Físico. Nossa primeira 
experiência consiste em utilizar um pêndulo formado por uma haste, um fio pouco 
extensível com uma bola metálica em sua ponta e um sensor de movimento para que, 
ao pôr o pêndulo a oscilar horizontalmente possamos capturar o período de nossa 
oscilação. O objetivo deste experimento é observar a influência do comprimento do fio 
no período de um pêndulo real. Para isso, será utilizado um modelo matemático já 
preestabelecido chamado “modelo de pêndulo simples”, que é um sistema ideal onde 
temos uma massa pontual suspensa por um fio inextensível de massa desprezível. 
Segundo a previsão teórica, para pequenas amplitudes de oscilação o período do 
pêndulo simples é dado por Ƭ = 2𝜋√
𝑙
𝑔
 , onde Ƭ representa o período, 𝑙 o comprimento 
e 𝑔 a aceleração da gravidade local (que consideraremos como 9,8𝑚 𝑠²⁄ ). Na segunda 
experiência, utilizaremos o chamado “modelo de pêndulo físico”, que após algumas 
simplificações e cálculos algébricos temos o período dado por: Ƭ = 2𝜋√
𝑙²
12
+𝑥²
𝑔𝑥
 , onde 𝑙 
representa o tamanho da barra de alumínio, 𝑔 a aceleração da gravidade local e 𝑥 a 
distância do ponto de sustentação da barra ao centro de massa da mesma. Neste 
experimento a peça à oscilar não será um fio com uma bola metálica fixada na sua 
extremidade, e sim uma barra metálica, com diversos furos em sua extensão para que 
possamos variar o ponto de suspenção da barra a oscilar. Visto que o objetivo desta 
experiência é observar como o ponto de sustentação da barra influência no período de 
oscilação. 
 
Materiais Utilizados 
 
 Haste metálica; 
 Fio pouco extensível com uma bola metálica presa em sua extremidade; 
 Cronômetro com sensor de movimento com precisão de 0,1 𝑚𝑠; 
 Fita métrica (1𝑚𝑚); 
 Pêndulo físico, composto de uma barra de alumínio com furos em sua extensão; 
 Régua (1𝑚𝑚) 
 
Sistema de montagem 
 
 Para a construção dos experimentos foi posto uma haste metálica perpendicular 
ao chão para sustentar os pêndulos. Os pêndulos são postos a oscilar na horizontal 
(sendo puxados para o lado e soltos, fazendo com que oscilem devido a força da 
gravidade) e passam entre os sensores de movimento. Foi ajustado, no sensor, o modo 
“pend” que captura o período de oscilação do objeto posto a oscilar em seu centro. Para 
melhor compreensão, seguem as figuras 1 e 2. 
 
 
 
Procedimentos: 
 
 Procedimento Pêndulo Simples 
 Foram feitas dez medidas de período com cinco amplitudes e com dois 
comprimentos de fios diferentes. As medidas de período foram obtidas pelo sensor de 
movimento ligado ao cronômetro e as amplitudes com uma régua com precisão de 1𝑚𝑚. 
Utilizando média aritmética obtemos o período médio de cada amplitude, sendo que 
esta varia de 0,05𝑚 em 0,05𝑚. Para a medição do tamanho do pêndulo, medimos o 
comprimento do fio até o centro da esfera, visto que o centro de massa de uma esfera 
se dá em seu ponto geométrico. Portanto 𝑙 = 𝑐 + 𝑟 , sendo 𝑙 o comprimento do pêndulo, 
𝑐 o comprimento do fio e 𝑟 o raio da esfera. 
 
 Procedimento Pêndulo Físico 
 Foram feitas dez medidas de período para quatro medidas diferentes do ponto 
onde a haste sustenta o pêndulo. As medidas de período foram obtidas da mesma forma 
como no procedimento anterior assim como o cálculo do período médio. O tamanho da 
barra é fixo, visto que não trocamos de barra durante o experimento, o que muda é o 
ponto onde a barra é sustentada pela haste metálica. Mudamos de 0,8𝑚 à 0,5𝑚 saltando 
de 0,1𝑚 em 0,1𝑚. Nossa barra tem comprimento 𝑙 = 1𝑚 e portando seu centro de 
massa é 𝑐𝑚 = 0,5𝑚, considerando que a barra seja homogênea. Lembrando que 𝑥 é a 
distância do centro de massa ao ponto de sustentação da barra. 
 
Dados experimentais 
 
 Pêndulo Simples 
Nas tabelas abaixo pode-se conferir os dados obtidos com 𝑙 = 0,740 ± 0,005 𝑚 
(tabela 1), e 𝑙 = 0,375 ± 0,005 𝑚 (tabela 2). Lembrando que Ƭmed representa o 
período médio, ɵ a amplitude e 𝑥 a distância de lançamento do pendulo ao 
ponto de equilíbrio. 
 
 
 
𝑥 (𝑚) Ƭmed (𝑠) ɵ(º) 
0,050 1,719 ± 0,005 3,870 ± 0,100 
0,100 1,721 ± 0,005 7,760 ± 0,100 
0,150 1,724 ± 0,005 11,70 ± 0,100 
0,200 1,727 ± 0,005 15,70 ± 0,100 
0,250 1,732 ± 0,005 19,74 ± 0,100 
Tabela 1: amplitude, oscilação média e distância de lançamento 
 
𝑥 (𝑚) Ƭmed (𝑠) ɵ(º) 
0,050 1,238 ± 0,005 7,660 ± 0,100 
0,100 1,244 ± 0,005 15,47 ± 0,100 
0,150 1,253 ± 0,005 23,58 ± 0,100 
0,200 1,263 ± 0,005 32,23 ± 0,100 
0,250 1,282 ± 0,005 41,80 ± 0,100 
Tabela 2: amplitude período médio e distância de lançamento 
 
Procedimento Pêndulo Físico 
Na tabela 3 podemos verificar os dados, sendo e Ƭmed o período médio e 𝑥 a 
distância do centro de massa ao ponto de sustentação da barra. 
 
𝑥 (𝑚) Ƭmed (𝑠) 
0,300 1,5269 ± 0,0050 
0,200 1,5752 ± 0,0050 
0,100 1,9329 ± 0,0050 
Tabela 3: período médio e distância 
Análise de Dados 
 
 Pêndulo Simples 
Para a obtenção da amplitude (ɵ) neste experimento, utilizamos trigonometria 
relacionando o cateto oposto (𝑥), e a hipotenusa (𝑙), assim, ɵ = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 
𝑥
𝑙
. O 
nosso modelo matemático de Pêndulo Simples, nos diz que só funciona para 
pequenas amplitudes. Interpretaremos isso da forma em que o período do 
pêndulo varie no máximo de 1%. Calcula-se portanto, o período real através do 
modelo Ƭ = 2𝜋√
𝑙
𝑔
 , Sendo nosso 𝑙 = 0,74 ± 0,005 𝑚 e 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠²⁄ temos que 
Ƭ𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = 1,725 ± 0,006 (𝑠). Podemos observar que a incerteza de Ƭ𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 
vem por conta da incerteza de nosso 𝑙 (A incerteza foi obtida dividindo-se a 
precisão do instrumento por dois.) E sendo nosso e 𝑙 = 0,375 ± 0,005 temos 
que Ƭ𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = 1,229 ± 0,0076 (𝑠). Montamos assim a Tabela 4: 
l (m) Ƭ𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 (s) Ƭ de corte (s) 
0,740 ± 0,005 1,7250 ± 0,0060 1,7310 
0,350 ± 0,005 1,2290 ± 0,0076 1,2499 
 Tabela 4: nota de corte (período teórico + 1% do mesmo) 
Comparando com as tabelas 1 podemos ver que só ultrapassamos o Ƭ de corte 
quando x = 0,25 e já na tabela 2 ultrapassamos o o Ƭ de corte no 𝑥 = 0,15, x =
0,20 e x = 0,25. Analisamos o gráfico 1 que ilustra o comportamento da 
amplitude angular máxima (ɵ) com Ƭ. Gráfico 1 foi criado a partir dos dados da 
Tabela 2. 
 Pêndulo Físico. 
O modelo matemático para a realização desta experiência é dada por Ƭ =
2π√
𝐼
𝑚𝑔𝑥
 (1) sendo 𝐼, o momento de inércia em relação ao eixo de rotação e 𝑥 a 
distância do ponto de sustentação ao centro de massa da peça posta a oscilar. 
Através do teorema dos eixos paralelos, podemos determinar a inércia da barra 
como: (2). Aplicando a equação (2) em (1) obtemos: 
 
 (3) 
 
Derivando (3): 
 
 
 
 (4) 
 
Obtendo máximos e mínimos da função do período: Para localizar o valor de 𝑥 
para o qual a função é máxima e/ou mínima, devemos igualar a equação 
derivada(4) a zero. Portanto: 
 
 (5) 
 
 
 Sendo que a distância não pode ser nula e/ou negativa. Logo, . 
Para determinar a inércia do centro de massa da barra, podemos fazer uma 
aproximação e tomá-la como uma barra delgada, com área de seção transversal 
tendendo a 0 e comprimento . Desta forma: (6) 
Aplicando (6) em (5): 
Medindo o comprimento da barra, temos . Portanto, o único 
valor de para um extremo absoluto da função do período é 
Podemos observar na Tabela3 que quando 𝑥 = 0,3𝑚 de fato temos o menor 
período. Tentamos fazer 𝑥 = 0, ou seja, no centro de massa, e como esperado, 
não houve oscilação. 
 
Conclusão 
 
 Através dessas análises, pudemos determinar a relação entre o período e 
comprimento de um pêndulo. Vimos que quanto maior o comprimento do fio na 
experiência de pêndulo simples mais confiável é a medição do período. Constatamos 
também que, num pêndulo físico, existe um ponto onde a oscilação será mínima 
 (𝑥 ≅ 
𝐼
2√3
. ) e que não há como obter uma oscilação se o ponto de sustentação 
coincide com o centro de massa do objeto. Devemos observar que, tanto a resistência 
do ar quanto o atrito com a haste foram desprezadas para facilitar os cálculos. 
 
Referências 
 
 http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php acesso dia 
09.abril.2015 
 http://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%AAndulo_f%C3%ADsico acesso dia 09.abril.2015