Exercicios Calculo (134)

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−4𝑎2 = −1 
𝑎2 =
1
4
 
𝑎 = ±
1
2
 
 
𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟐. 
 
𝑎) 𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑃(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 2018)(𝑥 + 2018),𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 
𝑃′(𝑥)
𝑃(𝑥)
=
1
𝑥
+
1
𝑥 − 2018
+
1
𝑥 + 2018
. 
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑃′(1009) = −(1009)2. 
 
𝑃′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥(𝑥 − 2018)(𝑥 + 2018)] 
 =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
. [(𝑥 − 2018)(𝑥 + 2018)]+ 𝑥.
𝑑
𝑑𝑥
[(𝑥 − 2018)(𝑥+ 2018)] 
 = 1. (𝑥 − 2018)(𝑥 + 2018) + 𝑥[1.(𝑥 + 2018)+ 1. (𝑥 − 2018)] 
 = (𝑥 − 2018)(𝑥+ 2018)+ 𝑥(𝑥 + 2018) + 𝑥(𝑥 − 2018) 
 
𝑃′(𝑥)
𝑃(𝑥)
=
(𝑥 − 2018)(𝑥+ 2018)+ 𝑥(𝑥 + 2018) + 𝑥(𝑥 − 2018)
𝑥(𝑥 − 2018)(𝑥+ 2018)
 
 
𝑃′(𝑥)
𝑃(𝑥)
=
(𝑥 − 2018)(𝑥 + 2018)
𝑥(𝑥 − 2018)(𝑥+ 2018)
+
𝑥(𝑥 + 2018)
𝑥(𝑥 − 2018)(𝑥 + 2018)
+
𝑥(𝑥 − 2018)
𝑥(𝑥 − 2018)(𝑥+ 2018)
 
 
𝑃′(𝑥)
𝑃(𝑥)
=
1
𝑥
+
1
𝑥 − 2018
+
1
𝑥 + 2018
. 
 
𝑃′(1009) = (1009− 2018)(1009+ 2018) + 1009(1009+ 2018)+ 1009(1009 − 2018) 
 
∗ 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 2018 = 2× 1009… 
 
𝑃′(1009) = (−1009)(3× 1009) + 1009(3 × 1009) + 1009(−1009) 
𝑃′(1009) = −3× (1009)2+ 3× (1009)2 − (1009)2 
𝑃′(1009) = −(1009)2. 
 
𝑏) 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒, 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟, 𝑜(𝑠) 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜(𝑠) 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑦 = 𝑥 + 𝑒𝑥 − 𝑒2𝑥 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑒(𝑠) 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜(𝑠) 𝑠ã𝑜 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠. (ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑠!) 
 
𝑦′ = 1 + 𝑒𝑥 −2𝑒2𝑥 
 
𝑆𝑒 𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 é ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 
𝑜 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 é 𝑛𝑢𝑙𝑜.𝑂𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑦′ = 0. 
 
𝑦′ = 0 ⟹ −2𝑒2𝑥 + 𝑒𝑥 + 1 = 0 
 
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑒𝑥 = 𝑎, 𝑎 > 0 ∀𝑥 ∈ ℝ. 𝐶𝑜𝑚 𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
 
−2𝑎2 +𝑎 + 1 = 0