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EN 2703 – Circuitos Elétricos I Laboratório 4- 2014.3 
1 
 
 
Laboratório 4: Potência em Regime Permanente Senoidal 
 
1. Objetivo: Medição de potência em regime permanente senoidal. 
 
2. Introdução 
 
 Seja uma tensão variável no tempo v(t), aplicada em um circuito passivo, no qual se 
estabelece a corrente i(t). A potência instantânea é dada por: 
 
( ) ( ) ( )p t v t i t
 (1) 
 
 V(t)
i(t)
circuito
passivo
es(t)
+
 
Figura 1: Tensão e corrente variáveis aplicadas em um circuito passivo. 
 Como está sendo usada a convenção do receptor, tem-se que: 
 
p(t) 
 positiva → transferência de energia da fonte para o circuito 
 
negativa → transferência de energia do circuito para a fonte 
 
 
2.1 Resistor (ideal) 
 
R
(ideal)
V(t)
i(t)
es(t)
+
 
Figura 2: Tensão em regime permanente senoidal aplicada em um resistor ideal. 
 No resistor, a relação tensão-corrente é dada por 
( ) . ( )v t R i t
 
 
 Portanto, se a tensão aplicada for permanente senoidal, isto é, 
 
( ) cos( )máxv t V t 
 [V,s], 
 
com seu fasor dado por 
ˆ 0omáxV V  
, 
 
v(t) 
v(t) 
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então, a corrente será dada por 
 
cos( )( )
( ) cos( ) cos( )máx máx máx
V t Vv t
i t t I t
R R R
      . 
 
 Pode-se escrever o fasor da corrente como 
 
ˆ 0omáxI I  
, 
 
o que evidencia que a corrente e a tensão estão em fase. 
 
 A potência instantânea é, então, dada por 
 
2( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) cos ( )máx máx máx máxp t v t i t V t I t V I t     . 
 
 Lembrando que 
2 1 1cos ( ) cos(2 )
2 2
A A 
, tem-se que 
 
 2( ) cos ( ) 1 cos(2 )
2
máx máx
máx máx
V I
p t V I t t    [W,s] 
 
 
( ) cos(2 )
2 2
máx máx máx máxV I V Ip t t  
 
 
 I. termo 
 constante 
 II. termo variável 
 
 Valor médio do termo variável da equação (2): 
 
 
2
2-II
0 0
22
00
1 1
Valor médio cos(2 ) cos(2 )
2 2 2
(2 )
 cos(2 )
4 4 2
 (4 ) (0) 0
8
T
máx máx máx máx
máx máx máx máx
máx máx
V I V I
t dt d
T
V I V I sen
d
V I
sen sen


  


 
 


  
 
   
 
  
 

 
 
 Portanto, o valor médio da potência instantânea em um resistor ideal, ou seja, a potência 
média (Pmédia), é igual ao termo constante I da equação (2): 
 
2
máx máx
média
V I
P 
 [W]. 
 
0 0 
(2) 
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 A Figura 3 apresenta os gráficos da tensão, corrente e potência instantâneas no resistor ideal. 
Analisando-se a equação (2) e os gráficos da Figura 3, pode-se concluir que: 
 
 a potência é sempre positiva, então, a energia é fornecida da fonte para o resistor; 
 a potência tem uma componente constante (valor médio não-nulo); 
 a potência tem uma componente oscilatória cuja frequência é o dobro da frequência de v(t) e 
i(t). 
 
-90o 0o 90o 180o 270o 360o 450o 540o
i(t)
V(t)
p(t)
-90o 0o 90o 180o 270o 360o 450o 540o
i(t)
V(t)
p(t)
 
Figura 3: Tensão, corrente e potência instantâneas em um resistor ideal. 
 
2.2 Indutor (ideal) 
 
L
(ideal)
V(t)
i(t)
es(t)
+
 
Figura 4: Tensão em regime permanente senoidal aplicada em um indutor ideal. 
 
 No indutor, a relação tensão-corrente é dada por 
( )
( )
di t
v t L
dt

 
 
 Portanto, se a tensão aplicada for senoidal, ou seja, 
 
( ) cos( )máxv t V t 
 [V,s], 
 
com seu fasor dado por 
ˆ 0omáxV V  
, então a corrente será dada por 
 
1
1 1 ( )
( ) ( ) cos( ) máxmáx
V sen t
i t v t dt V t dt k
L L L
        
 
 
, 
v(t) 
v(t) 
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sendo k1 uma constante que exprime a condição inicial do indutor. 
Considerando que no regime permanente, a condição inicial do indutor já não afeta a 
resposta da corrente, obtém-se 
 
 
( )
( ) ( )máx máx
V Vsen t
i t sen t
L L
  
 
  
 
 
 
. 
 
 Lembrando que XL = L = reatância indutiva [] e 
( ) cos
2
sen a a
 
  
 
 
, chega-se a 
 
 ( ) ( ) cos cos
2 2
máx máx
máx
L
V V
i t sen t t I t
L X
                  
 [A,s]. 
 
 Pode-se escrever o fasor da corrente como 
 
ˆ 90omáxI I 
, 
 
o que evidencia o atraso de 90° da corrente em relação à tensão. 
 A potência instantânea é, então, dada por 
 
( ) ( ) ( ) cos( ) cos
2
máx máxp t v t i t V t I t
     
 
 
 [W,s]. 
 
 Lembrando que 
 
1
cos( ).cos( ) cos( ) cos( )
2
a b a b a b    
, tem-se que 
 
( ) cos 2
2 2
máx máxV Ip t t
   
 
 
 [W,s] (3) 
 
-90o 0o 90o 180o 270o 360o 450o 540o
i(t)
V(t)
p(t)
-90o 0o 90o 180o 270o 360o 450o 540o
i(t)
V(t)
p(t)
 
Figura 5: Tensão, corrente e potência instantâneas em um indutor ideal. 
v(t) 
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 A Figura 5 apresenta os gráficos da tensão, corrente e potência instantâneas no indutor ideal. 
Analisando-se a equação (3) e os gráficos da Figura 5, pode-se concluir que: 
 
 para v(t) e i(t) com sinais iguais, a potência é positiva. A energia, então, é fornecida da fonte 
para o indutor; 
 para v(t) e i(t) com sinais opostos, a potência é negativa. Logo, a energia é fornecida do 
indutor para a fonte; 
 a potência tem o dobro da frequência de v(t) e i(t); 
 a potência média (Pmédia) num período completo é nula. 
 
 
2.3 Capacitor (ideal) 
 
C
(ideal)
V(t)
i(t)
es(t)
+
 
Figura 6: Tensão em regime permanente senoidal aplicada em um capacitor ideal. 
 No capacitor, a relação tensão-corrente é dada por 
( )
( )
dv t
i t C
dt

 
 
Portanto, se a tensão aplicada for senoidal, isto é, 
 
( ) cos( )máxv t V t 
 [V,s], 
 
com seu fasor dado por 
ˆ 0omáxV V  
, então a corrente é calculada como 
 
 cos( )( )
( ) ( )
máx
máx
d V tdv t
i t C C CV sen t
dt dt
      . 
 
 Lembrando que 
C
XC 
1

 = reatância capacitiva [] e 
   - cos cos
2 2
sen t sen t t t
                  
   
 
, 
obtém-se 
( ) cos cos cos
2 2 2
máx
máx máx
C
V
i t CV t t I t
X
                    
     
 
 [A,s]. 
 
 Pode-se escrever o fasor da corrente como 
 
ˆ 90omáxI I  
, 
 
o que evidencia o avanço de 90° da corrente em relação à tensão. 
 
v(t) 
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A potência instantânea é, então, dada por: 
 
( ) ( ) ( ) cos( ) cos
2
máx máxp t v t i t V t I t
     
 
 
 [W,s] 
 
 Lembrando que 
 
1
cos( ).cos( ) cos( ) cos( )
2
a b a b a b    
, chega-se a 
 
( ) cos( )cos cos 2
2 2 2
máx máx
máx máx
V I
p t V I t t t
            
   
 
 [W,s] (4) 
 
 
-90o 0o 90o 180o 270o 360o 450o 540o
i(t)
V(t)
p(t)
-90o 0o 90o 180o 270o 360o 450o 540o
i(t)
V(t)
p(t)
 
Figura 7: Tensão, corrente e potência instantâneas em um capacitor ideal. 
 
 A Figura 7 apresenta os gráficos da tensão, corrente e potência instantâneas no capacitor 
ideal. Analisando-se a equação (4) e os gráficosda Figura 7, pode-se concluir que: 
 
 para v(t) e i(t) com sinais iguais, a potência é positiva. Assim, a energia é fornecida da fonte 
para o capacitor; 
 para v(t) e i(t) com sinais opostos, a potência é negativa e, portanto, a energia é fornecida do 
capacitor para a fonte; 
 a potência tem o dobro da frequência de v(t) e i(t); 
 a potência média (Pmédia) num período completo é nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v(t) 
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2.4 Impedância (genérica) 
 
Z V(t)
i(t)
es(t)
+
 
Figura 8: Tensão em regime permanente senoidal aplicada em uma impedância genérica. 
 
 Considere uma tensão permanente senoidal aplicada no circuito da Figura 8, ou seja, 
 
( ) cos( )máxv t V t 
 → 
ˆ 0omáxV V  
 [V]. 
 
 O fasor da corrente será relacionado ao fasor da tensão através da impedância 
 
0ˆ 0ˆ máx máxV VVI
Z Z Z



   

, 
 
sendo 
Z x jy Z    
 = impedância genérica []. 
 
 Obs.: O ângulo de fase 

 será positivo ou negativo, dependendo do caráter indutivo ou 
capacitivo da impedância Z, respectivamente. 
 
 Pode-se escrever o fasor da corrente como 
 
ˆ -máxI I   
 
 
 A potência instantânea é, então, dada por 
 
( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )máx máxp t v t i t V t I t     . 
 
 Lembrando que 
 
1
cos( ).cos( ) cos( ) cos( )
2
a b a b a b    
, obtém-se 
 
    ( ) cos( )cos( - ) cos cos
2
máx máx
máx máx
V I
p t V I t t t t t t                     
 
 
 ( ) cos( ) cos(2 )
2
máx máxV Ip t t     
 
 
 
 
v(t) 
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( ) cos( ) cos(2 )
2 2
máx máx máx máxV I V Ip t t    
 
 
 I. termo constante II. termo variável 
 
 Valor médio do termo variável da equação (5): 
 
2
0 0
1 1
cos(2 ) cos(2 )
2 2 2
T
máx máx máx máxV I V It dt d
T
        5-IIValor médio 
 
 
 Lembrado que 
 cos( ) cos cos( ) ( ) ( )A B A B sen A sen B  
, tem-se que 
 
 
2
0
2 2
0 0
cos(2 )cos( ) (2 ) ( )
4
cos( ) cos(2 ) ( ) (2 )
4
(2 )
cos( )
4 2
máx máx
máx máx
máx máx
V I
sen sen d
V I
d sen sen d
V I sen

 
    

     




  
  
   
  
 
 
 

 
5-IIValor médio
 
 
    
2 2
0 0
cos(2 )
( )
2
cos( ) (4 ) (0) ( ) cos(4 ) cos(0) 0
8
máx máx
sen
V I
sen sen sen
 


   

   
     
   
      
 
 
 Portanto, o valor médio da potência instantânea em uma impedância genérica, ou seja, a 
potência média (Pmédia), é igual ao termo constante I da equação (5): 
 
)cos(
2
máxmáx
média 
IV
P 
 [W]. 
 
Como para sinais senoidais valem as relações 
2
máx
ef
V
V 
 e 
2
máx
ef
I
I 
, então 
 
 
cos( ) cos( ) cos( )
2 2 2
máx máx máx máx
média ef ef
V I V I
P V I     [W]. (6) 
 
 
 O termo 
)cos(
 na equação (6) é chamado fator de potência (f.p.), e (-

) é a defasagem da 
corrente em relação à tensão, sendo 

 o ângulo da impedância complexa. Uma vez que –90° ≤ 

 
≤ 90°, então 0 ≤ 
)cos(
 ≤ 1. Conclui-se, portanto, que a potência média (Pmédia) é sempre positiva. 
 
 
 
0 0 1 1 
(5) 
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A Tabela 1 resume as relações de fase entre tensão e corrente em função do caráter indutivo 
ou capacitivo da impedância genérica. A Figura 9 apresenta os gráficos da tensão, corrente e 
potência instantâneas em uma impedância genérica. Deve-se ressaltar que o valor do fator de 
potência de uma carga deverá ser sempre acompanhado pela informação “atrasado” ou 
“adiantado”, para que fique clara a natureza indutiva ou capacitiva da carga, respectivamente. 
 
Tabela 1: Relação da defasagem entre tensão e corrente (

) e o fator de potência. 

 positivo circuito indutivo 
corrente i(t) atrasada em 
relação à tensão v(t) 
fator de potência 
atrasado 

 negativo circuito capacitivo 
corrente i(t) adiantada em 
relação à tensão v(t) 
fator de potência 
adiantado 
 
 
-90o 0o 90o 180o 270o 360o 450o 540o
i(t)
V(t)
p(t)
-90o 0o 90o 180o 270o 360o 450o 540o
i(t)
V(t)
p(t)
 
Figura 9: Tensão, corrente e potência instantâneas em uma impedância genérica. 
 
2.5 Triângulo de Potências 
 
2.5.1 Definições 
 
 Potência Aparente (S): 
 
ap ef efS P V I 
 → 
apS P VI 
 [VA] (7) 
 
 
 Potência Reativa (Q): 
 
( )ef efQ V I sen 
 → 
( )Q VI sen 
 [VAR] (8) 
 
 
v(t) 
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10 
 
 
 
 
Potência Média ou Ativa (P): 
 
cos( )ef efP V I 
 → 
cos( )P VI 
 [W] (9) 
 
 
2.5.2 Impedância Indutiva 
 
 Numa impedância indutiva, o diagrama fasorial que apresenta a relação entre a tensão e a 
corrente é mostrado na Figura 10. 
 
V
I
 < 0
V
I
 < 0
 
Figura 10: Relação de fase entre a tensão e a corrente em uma impedância indutiva. 
 
 Decompondo-se a corrente nas direções horizontal e vertical, segundo o ângulo 

, chega-se 
ao triângulo de correntes apresentado na Figura 11. 
 
I
 I sen()
I cos()
.
I
 I sen()
I cos()
..
 
Figura 11: Triângulo de correntes em uma impedância indutiva. 
 
 Multiplicando-se cada lado do triângulo de correntes (Figura 11) pela tensão eficaz, 
mantém-se a proporcionalidade entre os lados e chega-se ao triângulo de potências para uma 
impedância indutiva (Figura 12). 
 
S = VI

Q = VI sen()
P = VI cos()
(atrasado)
.
S = VI

Q = VI sen()
P = VI cos()
(atrasado)
..
 
Figura 12: Triângulo de potências para uma impedância indutiva. 
 
2.5.3 Impedância Capacitiva 
 
 Procedendo-se de maneira análoga para uma impedância capacitiva, inicialmente obtém-se o 
diagrama fasorial que mostra a relação de fase entre a tensão e a corrente (Figura 13). 
 
V
I
 > 0
V
I
 > 0
 
Figura 13: Relação de fase entre a tensão e a corrente em uma impedância capacitiva. 
 
> 0 
< 0 
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 Fazendo-se a decomposição da corrente nas direções horizontal e vertical, segundo o ângulo 

, chega-se ao triângulo de correntes (Figura 14). 
 I
 I sen()
I cos()
.
I
 I sen()
I cos()
..
 
Figura 14: Triângulo de correntes em uma impedância capacitiva. 
 
 Multiplicando-se os lados do triângulo de correntes (Figura 14) pela tensão eficaz, chega-se 
ao triângulo de potências para uma impedância capacitiva (Figura 15). 
 
S = VI

Q = VI sen()
P = VI cos()
(adiantado)
.
S = VI

Q = VI sen()
P = VI cos()
(adiantado)
..
 
Figura 15: Triângulo de potências para uma impedância capacitiva. 
 
 
3. Parte Prática 
 
3.1 Potência CA 
 
3.1.1 Usando o medidor LCR de bancada, meça os valores dos componentes e o respectivo fator 
de qualidade ou de dissipação para a frequência de 10kHz e preencha a Tabela I com os valores 
medidos e suas respectivas unidades. 
Atenção: As configurações a serem utilizadas com o medidor LCR são: 
Frequência: 10kHz 
Nível do sinal: 1V 
Resistência interna do gerador: 30  
Range (faixade medida): AUTO 
Medida do resistor e do indutor: Modelo série 
Medida de capacitor: Modelo paralelo 
 
 
Tabela I: Valores medidos dos parâmetros para cada componente a ser utilizado na montagem dos circuitos 
 
Componente R L C Q D Z 
Resistor 
Indutor 
Capacitor C1 
Capacitor C2 
 
 
3.1.2 Montar o circuito mostrado esquematicamente na Figura 16, com: R1 = 10 , L = 1 mH, 
Emáx = 10 Vpp (em aberto) e f = 10 kHz. 
 
Nota: Neste circuito, observe que a tensão sobre o resistor R1, vR1(t), será proporcional à corrente 
i(t) que atravessa a impedância de carga. 
 
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3.1.3 Visualize as formas de onda de v1(t) e vR1(t) respectivamente nos canais 1 e 2 do 
osciloscópio, e obtenha também na tela a forma de onda proporcional à potência instantânea 
(v1(t)*vR1(t)). Utilizando os recursos do osciloscópio, faça as medidas dos parâmetros abaixo e 
preencha os valores na Tabela II: 
 os valores eficazes das tensões nos dois canais 
 a defasagem de vR1(t) com relação a v1(t) 
 o valor pico-a-pico de v1(t)*vR1(t) 
 o valor médio de v1(t)*vR1(t) 
 
 
 
 
Figura 16 
 
Tabela II: Medidas com o circuito sem capacitor 
 
1V 
 Vef 
1RV 
 Vef Fase 2→1 graus 
Vpp v1(t)*vR1(t) V
2
 Vmédio v1(t)*vR1(t) V
2
 
 
3.1.4 A partir dos resultados medidos, determine: 
 o valor eficaz da corrente no circuito 
 a defasagem entre corrente e tensão (-) 
 os valores de S (Pap), P e Q consumidas pela impedância de carga do circuito 
 
Desenhe o triângulo de potências da carga e preencha a Tabela III com os valores determinados, 
através de medidas e cálculos, não se esquecendo de especificar se o fator de potência é atrasado ou 
adiantado. 
 
Tabela III: Resultados para o circuito sem capacitor 
 
1V 
 Vef I = Aef  = graus f.p. = cos = 
Pap (medido)= VA P (medido)= W 
Pap (calc.)= VA P (calc.)= W Q (calc.)= VAR 
Rg= 50 
gerador 
v1 (t) 
vR1(t) 
i(t) 
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3.1.5 Conecte o capacitor C1 de 220nF em paralelo com o indutor, e repita o procedimento dos 
itens 3.1.3 e 3.1.4, preenchendo as Tabelas IV e V. 
 
Tabela IV: Medidas para o circuito com capacitor C1 de 220nF 
 
1V 
 Vef 
1RV 
 Vef Fase 2→1 graus 
Vpp v1(t)*vR1(t) V
2
 Vmédio v1(t)*vR1(t) V
2
 
 
 
Tabela V: Resultados para o circuito com capacitor C1 de 220nF 
 
1V 
 Vef I = Aef  = graus f.p. = cos = 
Pap (medido)= VA P (medido)= W 
Pap (calc.)= VA P (calc.)= W Q (calc.)= VAR 
 
3.1.6 Adicione mais um capacitor C2 de 100nF em paralelo com o indutor e repita o procedimento 
dos itens 3.1.3 e 3.1.4, preenchendo as Tabelas VI e VII. 
 
Tabela VI: Medidas para o circuito com capacitor C1 de 220nF e C2 de 100nF 
 
1V 
 Vef 
1RV 
 Vef Fase 2→1 graus 
Vpp v1(t)*vR1(t) V
2
 Vmédio v1(t)*vR1(t) V
2
 
 
 
Tabela VII: Resultados para o circuito com capacitor C1 de 220nF e C2 de 100nF 
 
1V 
 Vef I = Aef  = graus f.p. = cos = 
Pap (medido)= VA P (medido)= W 
Pap (calc.)= VA P (calc.)= W Q (calc.)= VAR 
 
 
3.1.7 Trazer para o pré-relatório: Determine e desenhe o triângulo de potências para a carga de 
cada um dos três circuitos que serão estudados no laboratório, a partir do valor nominal dos 
componentes. 
 
3.1.8 Compare os valores calculados no pré-relatório com os valores obtidos no laboratório e 
explique eventuais diferenças. 
 
3.1.9 Explique qual foi o efeito dos capacitores nos valores: do fator de potência; da potência média 
(ou ativa) P; da corrente eficaz no circuito. 
 
3.1.10 Qual é a importância econômica em se fazer a correção do fator de potência das cargas 
elétricas indutivas utilizando-se bancos de capacitores? 
 
 
EN 2703 – Circuitos Elétricos I Laboratório 4- 2014.3 
14 
 
 
 
4. Material utilizado 
 
 gerador de sinais 
 osciloscópio com duas pontas de prova 
 medidor LCR de bancada 
 componentes: resistor (10), indutor (1mH) e capacitores (220nF e 100nF) 
 
5. Referências Bibliográficas 
 
5.1 Notas de aula da disciplina “Circuitos Elétricos II”, Departamento de Engenharia Elétrica, 
Universidade Federal de Mato Grosso. 
 
5.2 Edminister, Joseph A., “Circuitos Elétricos”, Coleção Schaum, Reedição da Edição 
Clássica, Editora McGraw-Hill, 1991.