Aula 07 - Ciclo Trigonometrico.

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CICLO TRIGONOMÉTRICO
Medidas de Arcos
As unidades mais usadas são o grau (°) e o radiano (rad).
Grau: é quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, sendo cada uma dessas partes correspondentes a um arco de um grau (1o).
r
Radiano: um arco de um radiano ( 1rad ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém.
•
r
1 rad
6,28 rad ou
2π rad
Comprimento do arco igual à medida do raio
Relembrando: o comprimento da circunferência mede 2πr onde r é o raio.
•
≅ 0,28 rad
3
360° 2π rad
180° π rad
90° π/2 rad
Transformação de graus para radianos
Exemplo: Quantos radianos correspondem a 540°?
540° x rad
Circunferência Trigonométrica - Preliminares
Consideremos uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal.
•
0
•
•
•
•
1
1
–1
–1
•
0
•
•
•
•
1
1
–1
–1
A
 Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo (-).
 Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo (+).
O ponto A (1 , 0) é a origem de todos os arcos a serem medidos na circunferência.
⊖
⊕
•
•
0
•
•
•
•
1
1
–1
–1
A
 Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-horário, a partir do ponto A.
Como a circunferência tem 360° ou 2π rad, cada um desses arcos medem 90° ou π/2 rad.
•
1° Q
2° Q
3° Q
4° Q
Se temos um arco de origem A e extremidade B, ele pode assumir infinitos valores, dependendo do número de voltas no sentido anti-horário (+), ou no sentido horário (–).
π/2 rad
π rad
3π/2 rad
0 rad
0
•
•
•
•
•
2π rad
–3π/2 rad
–π rad
–π/2 rad
–2π rad
0
•
•
•
•
•
0 rad
Sentido POSITIVO ou anti-horário
Sentido NEGATIVO ou horário
A
B
A
B
π/2 rad = 90°
π rad = 180°
3π/2 rad = 270°
0 rad = 0°
0
•
•
•
•
•
2π rad = 360°
5π/2 rad = 450°
3π rad = 540°
7π/2 rad = 630°
4π rad = 720°
Infinitos valores
ARCOS E ÂNGULOS
Exercícios
1. Expresse em graus:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
11
Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração.
a)
b)
2
45
clicar
1
20
Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração.
a)
b)
c)
d)
e)
2
45
1
60
1
20
1
20
1
9
2. Determine, em radianos, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas. 
Solução: Os ponteiros de um relógio estão ambos na direção dos números somente na hora exata. Após esse momento, o único a ficar na direção é o ponteiro dos minutos (grande). 
O relógio representa uma circunferência dividida em 12 partes iguais. Logo, cada número dista um arco que mede 30°. 
Às 4h o menor ângulo central formado pelos ponteiros corresponde a
3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ( π/12) radianos, que arco o ponteiro maior percorre?
Solução: 
Em graus a medida percorrida pelo menor corresponde a 15°. 
Esse valor corresponde à metade da distância entre dois números consecutivos. 
O tempo para percorrer essa distância pelo menor é de meia hora. 
Enquanto isso o ponteiro maior dá meia volta completa, isto é, 180°. 
Logo, o ponteiro maior percorre π rad.
3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre?
Esta questão também pode ser resolvida através se uma regra-de-três simples:
Ponteiro
Pequeno
Ponteiro
Grande
2π rad
(π/6) rad
x rad
(π/12) rad
2
Resposta: π rad
4. Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°.
Ponteiro
Pequeno
Tempo
60 min
30°
x
42°
Passaram-se 84 minutos após o meio-dia, que corresponde a 1h 24min. Observe que este horário é vespertino, logo pode ser indicado como 13:24 h.
2
5. Qual a medida, em graus, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min?
09:00 h
09:30 h
x
α
19
Solução: Ao marcar 9h em ponto, os ponteiros estavam na direção dos números como indicado na primeira figura. 
Às 9h30min o ponteiro pequeno deslocou-se de um ângulo “x”.
Aplicando a regra-de-três descobrimos quantos graus ele se afastou da direção do número 9 em 30 minutos.
09:30 h
x
α
Ponteiro
Pequeno
Tempo
60 min
30°
30 min
x
60 x = 900 ⇒ x = 15°
α = 90° + x e x = 15°
 ⇒ α = 105°
20
6. Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos.
1300°
b) 1440° 
c) 170°
d)
e)
f) –1200°
Solução: 
Encontra-se o número de voltas completas que é múltiplo de 360° ou de 2π. 
As menores determinações não negativas serão os arcos encontrados nos restos percorridos no sentido positivo. 
São chamadas 1ªs determinações.
°
1300°
360°
3
0
2
2
voltas
a)
Logo a 1ª determinação de 1300° é 220°.
1300°= 3 × 360° + 220°
3 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida
°
1440°
360°
4
0
0
0
voltas
b)
Logo a 1ª determinação de 1440° é 0°.
1440°= 4 × 360° + 0°
4 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida
c)
170° < 360° não completando uma volta. Logo a 1ª determinação é o próprio 170°.
d)
Vamos dividir o arco por 2π rad
Sabemos que:
						ou seja, 2 voltas 
mais ¾ de volta. 
¾ de uma volta, em radianos, serão:
2
1
						ou seja, 4 voltas 
mais 3/10 de volta. 
e)
Vamos dividir o arco por 2π rad
Sabemos que:
3/10 de uma volta, em radianos, serão:
5
1
f)
–120° é a 1ª determinação negativa de –1200°.
Para encontrar a 1ª determinação positiva, devemos somar 360° a –120°.
–120° + 360° = 240°
Logo a 1ª determinação não negativa de –1200° é 240° (sentido positivo).
°
–1200°
360°
–3
0
2
–1
voltas
–1300°= –3 × 360° – 120°
3 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida
• 0°
180° •
 90° 
•
 •
270° 
+240° ≡
–120° •
Visualização de determinações positiva e negativa:
10. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:
1700°
b) –700°
c) 
d)
e) 
Solução: A expressão geral será dada pela 1ª determinação dos ângulos adicionadas a múltiplos de 360° ou 2π, positivos ou negativos.
°
1700°
360°
4
0
6
2
voltas
a)
1700°= 4 × 360° + 260°
4 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida
260° é a 1ª determinação positiva de 1700°.
Dizemos então que a EXRESSÃO GERAL dos arcos côngruos a 1700° é dada por:
°
1700°
360°
4
0
6
2
voltas
a)
Sendo k um número inteiro, ao escrevermos 360°k, queremos expressar um número qualquer de voltas completas em qualquer sentido – positivo ou negativo.
Ao somarmos 260°, dizemos que, depois de voltar ao ponto de partida – não importando quantas voltas foram dadas antes – percorremos mais 260° e chegamos sempre ao mesmo ponto.
• 0°
180° •
 90° 
•
 •
270° 
260°
•
≡ 360°
• 0°
180° •
 90° 
•
 •
270° 
620°
≡ 360°
1 volta
•
+ 260°
• 0°
180° •
 90° 
•
 •
270° 
980°
≡ 360°
2 voltas
+ 260°
•
1 volta
• 0°
180° •
 90° 
•
 •
270° 
–100°
≡ 360°
 –1 volta
•
+ 260°
Todos os arcos têm extremidade no mesmo ponto!
b)
⇒ 1ª determinação positiva de –700° = 360° – 340° = 20°
Logo a expressão geral é
c)
Logo a expressão geral é
d)
Logo a expressão geral é
e)
A 1ª determinação positiva será
Logo a expressão geral é
– 2 voltas significa duas voltas no sentido horário (negativo) 
11. Assinale com “X” os pares que representam arcos côngruos. 
 
( ) 740° e 1460°
( ) 400° e 940° 
( )
( )
Solução: 
Para que representem arcos
côngruos, suas extremidades deverão ser as mesmas. 
Isto pode ser verificado comparando as primeiras determinações de cada par.
1º)
2º)
3º)
4º)
⊠
⊠
11. Assinale com “X” os pares que representam arcos côngruos. 
 
( ) 740° e 1460°
( ) 400° e 940° 
( )
( )
⊠
⊠
12. Os arcos da forma , , k ∈ ℤ , têm extremidades em que quadrantes? 
Solução: Atribuindo alguns valores para “k”, observa-se a regularidade dos quadrantes:
Observa-se que, para valores ÍMPARES de k, a extremidade do arco pertence ao 2º quadrante e, para valores PARES, ao 1º quadrante. Logo, a resposta é 1º e 2º quadrantes.
cos α
Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica
Dado um arco trigonométrico AM de medida α, chama-se de cosseno de α a abscissa do ponto M e seno de α a ordenada do ponto M.
•
•
•
•
A
α
M
•
•
sen α
Sendo M o ponto de coordenadas (cos α, sen α), consideraremos o eixo horizontal como Eixo dos Cossenos e o eixo vertical como Eixo dos Senos.
cos α
•
•
•
•
A
α
M
•
•
sen α
cos
sen
•
•
r = 1
•
( 1 , 0 )
•
( 0 , 1 )
•
(–1 , 0 )
•
( 0 , –1 )
180° ou π rad
0° ou 0 rad
90° ou π/2 rad
270° ou 3π/2 rad
360° ou 2π rad
sen
cos
Ponto
Arco
Cosseno
Seno
( 1 , 0 )
( 0 , 1 )
(–1 , 0 )
( 0 ,–1 )
( 1 , 0 )
Arco
0
π/2
π
3π/2
2π
Cosseno
1
0
–1
0
1
Seno
0
1
0
–1
0
Complete:
1
0
1
0
0
0
Exercício
Converta de graus para radianos:
a) 30° = _____
30° x rad
180° π rad
b) 45° = _____
c) 60° = _____
•
sen
cos
30° ou π/6
•
•
sen
cos
45° ou π/4
•
•
sen
cos
60° ou π/3
•
sen
cos
30° ou π/6
•
•
•
210° ou 7π/6
150° ou 5π/6
sen
cos
30° ou π/6
•
•
•
210° ou 7π/6
•
150° ou 5π/6
sen
cos
30° ou π/6
•
210° ou 7π/6
•
•
•
•
330° ou 11π/6
π/6
π–π/6 = 5π/6
π+π/6 = 7π/6
2π–π/6 = 11π/6
sen
cos
1º Q
2º Q
3º Q
4º Q
0
π/2
π
3π/2
2π
sen
cos
Agora vamos fazer o mesmo para todos os arcos associados a π/4 e π /6
π/4
sen
cos
1º Q
2º Q
3º Q
4º Q
π–π/4 = 3π/4
π+π/4 = 5π/4
2π–π/4 = 7π/4
•
sen
cos
45° ou (π/4) rad
•
0° ou 0 rad
180° ou π rad
•
•
•
180° – 45° = 135°ou 
π – π/4 = (3π /4) rad
180° + 45° = 225°ou 
π + π/4 = (5π /4) rad
360° ou 2π rad
360° – 45° = 315°ou 
2π – π/4 = (7π /4) rad
•
sen
cos
•
•
•
•
•
sen
cos
(π/4) rad
•
•
•
•
(3π /4) rad
(5π /4) rad
(7π /4) rad
π/4
sen
cos
1º Q
2º Q
3º Q
4º Q
π–π/4 = 3π/4
π+π/4 = 5π/4
2π–π/4 = 7π/4
π/3
sen
cos
1º Q
2º Q
3º Q
4º Q
π–π/3 = 2π/3
π+π/3 = 4π/3
2π–π/3 = 5π/3
•
sen
cos
60° ou (π/3) rad
•
•
•
•
0° ou 0 rad
180° ou π rad
360° ou 2π rad
180° – 60° = 120°ou 
π – π/3 = (2π /3) rad
180° + 60° = 240°ou 
π + π/3 = (4π /3) rad
360° – 60° = 300°ou 
2π – π/3 = (5π /3) rad
•
sen
cos
•
•
•
•
•
sen
cos
60°
•
•
•
•
120°
240°
300°
π/3
sen
cos
1º Q
2º Q
3º Q
4º Q
π–π/3 = 2π/3
π+π/3 = 4π/3
2π–π/3 = 5π/3
0
Tangente na Circunferência Trigonométrica
Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A.
•
•
•
•
A
α
t
O prolongamento do raio 0M intercepta a reta t no ponto T.
•
•
T
•
M
A’
B’
B
Chamaremos a reta t de eixo das tangentes, assim:
Dado um arco trigonométrico AM, M ≠ B e M ≠ B’, de medida α, chama-se tangente de α (tg α) a ordenada do ponto T obtido pela intersecção do prolongamento do raio 0M com o eixo das tangentes.
0
•
•
•
A
α
t
•
•
T
•
M
•
A’
B’
B
tg α
OBS: O ponto M não pode coincidir com B, nem com B’, pois os prolongamentos dos raios 0B e 0B’, não interceptam o eixo das tangentes. 
Por isso dizemos que não existe tangente de um arco com extremidade em B ou B’.
0
•
•
•
A
α
t
•
•
T
•
M
•
A’
B’
B
tg α
30º ou (π/6)rad
45º ou (π/4)rad
60º ou (π/3)rad
sen
cos
tg
1
Tabela das principais razões trigonométricas
•
sen
cos
30° ou π/6
•
tg
T
•
sen
cos
45° ou π/4
•
tg
T
1
•
sen
cos
60° ou π/3
•
tg
T