[CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV] - Integral dupla - Mudança de variáveis e Coordenadas polares

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Maria Maceira Pires 
 
Nome: Matr. 
 
 
Integral Dupla: mudança de variáveis1 
 
� Introdução 
Na integração de funções de uma variável, a expressão de mudança (ou substituição) de 
variável é utilizada para transformar uma integral em outra mais simples. 
Lembrando... 
∫ ∫=
b
a
d
c
du )u(f dx (x)g' ))x(g(f em que a ≤ x ≤ b, u = g(x) e c ≤ u ≤ d 
 
Exemplo: Calcule ∫
3
1
x2 dxe , utilizando a substituição ou mudança de variável. 
Considerando u = 2x ⇒ du = 2 dx e para x = 1 ⇒ u = 2; x = 3 ⇒ u = 6. 
Então: ∫
3
1
x2 dxe = ( )266
2
u
6
2
u
6
2
u ee 
2
1
 e 
2
1
 due 
2
1
 
2
du
e −=





== ∫∫ 
 
Assim, note que quando calculamos uma integral definida por mudança de variável, há uma 
correspondente adaptação nos limites de integração. 
 
No caso das integrais duplas, analogamente, podemos simplificar a resolução, recorrendo à 
mudança de coordenadas retangulares (x, y) para coordenadas polares (r, θ), adaptando os 
limites de integração. 
 
� Coordenadas polares 
No sistema de coordenadas cartesianas (retangulares), um ponto, 
no plano, é representado por suas coordenadas localizadas nos 
eixos perpendiculares, respectivamente, nas direções horizontal e 
vertical. 
 
 
1
 GONÇALVES, Mirian Buss; FLEMMING, Diva Marilia. Cálculo B: funções de várias variáveis, inte-grais múltiplas, integrais curvilíneas 
e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall. 
STEWART, James. Cálculo. Tradução de Antonio Carlos Moretti e Antonio Carlos Gilli Martins. São Paulo: Cengage Learning. v.2. 
MACHADO, Nilson Jose. Cálculo: funções de mais de uma variável. Rio de Janeiro, RJ: Guanabara Koogan. 
 
P(x, y) 
 x 
 y 
Curso de Engenharia Química – EQU2013014NA783 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IV 
01/09/2015 
2 
 
 Newton introduziu um sistema de coordenadas polares, no plano, em que um ponto é 
representado por P(r, θ) de acordo com a ilustração. 
 
 
 
 
 
x 
 
 
Observação: θθθθ >>>> 0 (medida no sentido antihorário); θθθθ <<<< 0 (medida no sentido horário). 
 
Exemplo: Dê as coordenadas polares dos pontos representados. 
 
 O 
 
 
� Relação entre coordenadas cartesianas e polares 
 A relação entre coordenadas cartesianas e polares pode ser obtida observando a 
representação. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Represente os pontos P(1, 1) e Q(1, −1) em coordenadas polares. 
 
Aplique... 
Represente o ponto Q(1, 3 ) em coordenadas polares. 
 
 
� Cálculo da integral dupla em coordenadas polares 
Para calcular ∫∫
xyR
dA )y,x(f em coordenadas polares, devemos: 
(1) determinar Rrθ que corresponda a Rxy; 
(2) calcular ∫∫
θ
θ
rR
dA . r . ) ,r(f 
 
Vamos buscar o significado da multiplicação por r. 
 
 
 
 
 
O 
 Eixo polar 
O (pólo ou origem) 
Ox (eixo polar; corresponde ao semi-eixo x positivo) 
r (distância de O a P) 
θθθθ (medida do ângulo entre o eixo polar e a reta OP; medido 
em radianos) 
3 P 
x 
y P 
θ 
O 
θ=⇒=θ
θ=⇒=θ
cos . r x 
r
x
 cos
sen r. y 
r
y
sen
 
r 
r 
θ 
P 
x 
pi/4 
3 
 
 
Sabemos que ∑∫∫
=
∞→
∆=
n
1k
kkk
 n
xyR
A). y,x(flimdA).y,x(f e precisamos definir ∆Ak na “região polar”. 
 
Note que a área de um setor de raio r e ângulo de medida θθθθ é dado por 
2
r . A
2
s
θ
= . 
 
Isso acarretará 
2
r . 
2
r) (r . A
22 θ∆
−
∆+θ∆
=∆ resultando em ∆A = rm . ∆r . ∆θ 
 
Então θθθ= ∫∫∫∫
θ
dr.d . r . ) sen r ,cos r(fdA).y,x(f
rRxyR
 
 
 
Exemplo: Calcule ∫∫ +
R
22 dA yx , sendo R o círculo de centro na origem e raio 2. 
 
Aplique... 
Calcule ∫∫
+
R
2y2x dA e , sendo R a região do plano xy delimitada por x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9. 
 
� Exercite... 
1. Calcule ∫∫ +
R
22 dA yx , sendo R definida por x2 + y2 ≤ 1 e y ≥ 0. 
2. Calcule ∫∫ +
R
22 dA ) y(x , sendo R dada pela figura 1. 
3. Calcule ∫∫ +
R
22 dA ) ysen(x , sendo R dada pela figura 2. 
4. Calcule ∫∫ ++R 22
dA 
1yx
1
, sendo R definida por x2 + y2 ≤ 4. 
 
 
Figura 1 
Figura 2