Prova dicertativa N1 cálculo integral 3

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Para resolver essa questão precisamos usar os conceitos de momentos de massa (𝑀𝑥, 𝑀𝑦) e 
da densidade. A função densidade dada é 𝛿(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦², e a chapa está delimitada pelos 
pontos: 
 (1, 1), (1, 3), (5, 1), 𝑒 (5, 3), como mostrado na imagem. 
Calculamos: 
a) Massa da chapa M: 
A massa da chapa é dada pela integral dupla da densidade na região 𝑅: 
𝑀 = ∬𝑅 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫𝑥=1
5
 ∫𝑦=1 
3
2𝑥𝑦2𝑑𝑦 𝑑𝑥 
Calculamos a integral em Y primeiro: 
∫
𝑦=1 
3
2𝑥𝑦2𝑑𝑦 = 2𝑥∫
𝑦=1 
3
𝑦2𝑑𝑦 = 2𝑥 [
𝑦³
3
]
1
3
= 2𝑥 (
3³
3
−
13
3
) = 2𝑥 (
27
3
−
1
3
) = 2𝑥 (
26
3
) =
52𝑥
3
 
Em relação a X: 
𝑀 = ∫𝑥=1
5
 
52𝑥
3
𝑑𝑥 =
52
3
 ∫𝑥=1
5
𝑥 𝑑𝑥 =
52
3
 [
𝑥²
2
]
1
5
 
52
3
(
5²
2
 - 
1²
2
) =
52
3
 (
25
2
 - 
1
2
) =
52
3
 .
24
2
=
52.12
3
= 208 
Portanto a massa total M=208 
 
 B) Momento em 𝑿 (𝑴𝒙): 
O momento em X é dado por: 
𝑀𝑥 = ∬𝑅 𝑦. 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫𝑥=1
5
 ∫𝑦=1 
3
 𝑦. 2𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
Simplificando: 
𝑀𝑥 = 2∫𝑥=1
5
 𝑥 ∫𝑦=1 
3
 𝑦³𝑑𝑦 𝑑𝑥 
Calculando a integral em Y: 
∫𝑦=1 
3
 𝑦3𝑑𝑦 = [
𝑦4
4
]
1
3
=
34
4
− 
14
4
=
81
4
 −
1
4
=
80
4
= 20 
Integral em relação a X: 
𝑀𝑥 = 2∫𝑥=1
5
 𝑥. 20𝑑𝑥 = 40∫𝑥=1
5
𝑥𝑑𝑥 = 40 [
𝑥²
2
]
1
5
= 40 (
25
2
−
1
2
) = 40.
24
2
= 40.12 = 480 
 
 Portanto, o momento em 𝑥, 𝑀𝑥 = 480 
 
 
 
 C) Momento em 𝒀(𝑴𝒚): 
O momento em Y é dado por: 
𝑀𝑦 = ∬𝑅 𝑥. 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫𝑥=1
5
 ∫𝑦=1 
3
 𝑥. 2𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2∫𝑥=1
5
 𝑥² ∫𝑦=1 
3
 𝑦²𝑑𝑦 𝑑𝑥 
Calculando a integral em Y: 
∫𝑦=1 
3
 𝑦²𝑑𝑦 = [
𝑦³
3
]
1
3
=
3³
3
− 
1³
3
=
27
3
 −
1
3
=
26
3
 
Integramos em relação a X: 
 
𝑀𝑦 = 2∫
𝑥=1
5
 𝑥².
26
3
𝑑𝑥 =
52
3
∫
𝑥=1
5
 𝑥²𝑑𝑥 =
52
3
[
𝑥³
3
]
1
5
=
52
3
 (
125
3
−
1
3
) =
52
3
.
124
3
=
52.124
9
 =
6448
9
 
Portanto, o momento em 𝑦(𝑀𝑦) =
6448
9
 
 D) Coordenadas do centro de massa (�̅�, �̅�) 
As coordenadas do centro de massa são dadas por: 
�̅� =
𝑀𝑦
𝑀
 , �̅� =
𝑀𝑥
𝑀
 
Substituindo os valores: 
�̅� =
𝑀𝑦
𝑀
= 
6448
9
208
=
6448
9.208
=
6448
1872
=
1612
468
=
403
117
≈ 3,44 
�̅� =
𝑀𝑥
𝑀
=
480
208
=
60
26
=
30
13
≈ 2,31 
Portanto, as coordenadas do centro de massa são aproximadamente �̅� ≈ 3,44 𝑒 �̅� ≈ 2,31.