Aula03

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Aulas de FUV - CTT 110
Dsc. Jaqueline M. da Silva
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
ICET
UFVJM
Teorema
Apresentação
Teorema
(Teorema)
Se f ′(x) = 0 ∀ x ∈ (a, b) então f(x) é a função constante.
(Corolário)
Se f ′(x) = g(x) ∀ x ∈ (a, b) então f − g é constante em (a, b), ou seja,
f(x) = g(x) + C
Primitivas
Apresentação
Primitivas
Definição
Uma função F é denominada uma primitiva de f no intervalo I se
F ′(x) = f(x) ∀x ∈ I.
(Exemplo)
Seja f(x) = x2. Então F (x) = 13x
3
, pois F ′(x) = x2.
A função G(x) = 13x
3 + 100 também satisfaz G′(x) = x2.
Logo, F e G são primitivas de f .
Assim, qualquer função da forma
H(x) =
1
3
x3 + C, ∀C ∈ R (1)
Primitivas
(Teorema)
Se F for uma primitiva de f em um intervalo I, então a primitiva mais
geral de f em I é F (x) + C em que C é uma constante arbitrária.
No caso do exemplo anterior, temos:
Primitivas
Exemplo
Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções.
f(x) = sen(x)
F (x) = −cos(x) + C
f(x) = 1x
F (x) = ln|x|+ C, x 6= 0
f(x) = xn, n 6= −1
F (x) = x
(n+1)
n+1 + C, n 6= −1
Primitivas
Algumas primitivas particulares
Primitivas Equação Diferencial
Exemplo
Encontre f se
f ′(x) = ex + 20(1 + x2)−1; f(0) = −2 (2)
Reescrevendo, temos:
f ′(x) = ex +
20
(1 + x2)
; f(0) = −2 (3)
A primitiva geral é:
f(x) = ex + 20tg−1(x) + C; (4)
Como f(0) = −2, temos
e0 + 20tg−1(0) + C = −2 (5)
Assim, C = −2− 1 = −3 e portanto a solução particular da equação
diferencial é f(x) = ex + 20tg−1(x)− 3.
Primitivas Equação Diferencial
Exemplo
Encontre f se f ′′(x) = 12x2 + 6x− 4, com f(0) = 4 e f(1) = 1.
A primitiva geral é f ′(x) = 4x3 + 3x2 − 4x+ C. Primitivando novamente:
f(x) = x4 + x3 − 2x2 + Cx+D.
Usando as condições f(0) = 4 e f(1) = 1, temos:
f(0) = 04 + 03 − 2.02 + 0.C +D = 4⇒ D = 4
f(1) = 14 + 13 − 2.12 + 1.C + 4 = 1⇒ C = −3
Logo:
f(x) = x4 + x3 − 2x2 − 3x+ 4 (6)
Primitivas Movimento Retilíneo
Lembre-se que:
se o objeto tem posição s = f(t), então a velocidade é v(t) = s′(t).
Logo, a função posição é uma primitiva da velocidade.
se o objeto tem velocidade v(t), então a aceleração é a(t) = v′(t)
Logo, a função velocidade é uma primitiva da aceleração.
(Exemplo)
Uma partícula move-se em linha reta e tem aceleração dada por
a(t) = 6t+ 4. Sua velocidade inicial é v(0) = −6cm/s e seu deslocamento
inicial é s(0) = 9cm. Encontre a função posição s(t).
Como v′(t) = a(t) = 6t+ 4, a primitivação dá:
v(t) = 3t2 + 4t+ C (7)
Como v(0) = −6cm/s, temos C = −6. Logo, v(t) = 3t2 + 4t− 6.
Primitivas Movimento Retilíneo
Primitivando novamente:
a(t) = t3 + 2t2 − 6t+D (8)
Como s(0) = 9cm, temos D = 9. Logo, v(t) = 3t2 + 4t− 6t+ 9.
Primitivas Movimento Retilíneo
Exercícios
James Stewart Seção 4.9