Aula02

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Aulas de FUV - CTT 110
Dsc. Jaqueline M. da Silva
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
ICET
UFVJM
Formas Indeterminadas
Apresentação
Formas Indeterminadas
Em geral, se tivermos um limite da forma
lim
x→a
f(x)
g(x)
(1)
em que f(x)→∞ e g(x)→∞ quando x→ a, então esse limite pode ou
não existir e é denominado forma indeterminada do tipo
∞
∞ .
Em geral, se tivermos um limite da forma
lim
x→a
f(x)
g(x)
(2)
em que f(x)→ 0 e g(x)→ 0 quando x→ a, então esse limite pode ou
não existir e é denominado forma indeterminada do tipo
0
0 .
Regra de L'Hôspital
Apresentação
Regra de L'Hôspital
Regra de L'Hôspital
Suponha que f e g sejam deriváveis e g′(x) 6= 0 em um intervalo aberto I
que contém a (exceto possivelmente em a).
Suponha que
lim
x→a f(x) = 0 (3)
lim
x→a g(x) = 0 (4)
ou que
lim
x→a f(x) =∞ (5)
lim
x→a g(x) =∞ (6)
Regra de L'Hôspital
Regra de L'Hôspital
Então:
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f(x)′
g(x)′
(7)
A Regra de L'Hôspital é válida também para os limites laterais e para os
limites no infinito ou no infinito negativo.
Para o caso especial no qual f(a) = g(a) = 0, f ′ e g′ são contínuas, e
g′(a) 6= 0, é fácil ver porque a Regra de L'Hôspital é verdadeira.
Regra de L'Hôspital
Regra de L'Hôspital
De fato, usando a forma alternativa da definição de derivada, temos:
lim
x→a
f(x)′
g(x)′
=
limx→a
f(x)−f(a)
x−a
limx→a
g(x)−g(a)
x−a
= lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a
g(x)−g(a)
x−a
= lim
x→a
f(x)− f(a)
g(x)− g(a)
= lim
x→a
f(x)
g(x)
Regra de L'Hôspital
Exemplo
Encontre
lim
x→1
ln(x)
x− 1 (8)
Observe que:
lim
x→1
ln(x) = ln(1) = 0 (9)
lim
x→1
(x− 1) = 0 (10)
Pela Regra de L'Hôspital:
lim
x→1
ln(x)
(x− 1) = limx→1
ln(x)′
(x− 1)′ (11)
= lim
x→1
1
x
1
= lim
x→1
1 = 1 (12)
Regra de L'Hôspital
Exemplo
Encontre
lim
x→∞
ex
x2
(13)
Observe que:
lim
x→∞ e
x =∞ (14)
lim
x→∞x
2 =∞ (15)
Pela Regra de L'Hôspital:
lim
x→∞
ex
x2
= lim
x→∞
ex
2x
= lim
x→∞
ex
2
=∞ (16)
Regra de L'Hôspital
Exemplo
Encontre
lim
x→0
tg(x)− x
x3
(17)
Observe que:
lim
x→0
tg(x) = 0 (18)
lim
x→0
x3 = 0 (19)
e
lim
x→0
sec2(x) = 1 (20)
Regra de L'Hôspital
Exemplo
Pela Regra de L'Hôspital:
lim
x→0
tg(x)− x
x3
= lim
x→0
sec2(x)− 1
3x2
(21)
= lim
x→0
2sec2(x)tg(x)
6x
(22)
=
1
3
lim
x→0
tg(x)
x
(23)
=
1
3
lim
x→0
sec2(x)
1
(24)
=
1
3
(25)
Regra de L'Hôspital Produtos Indeterminados
Se
lim
x→0
f(x) = 0 (26)
e
lim
x→0
g(x) = ±∞ (27)
então convertemos o produto num quociente:
f.g =
f
1/g
(28)
g.f =
g
1/f
(29)
Regra de L'Hôspital Produtos Indeterminados
Exemplo
Calcule
lim
x→0+
xln(x) (30)
A indeterminação é do tipo 0.∞. Escrevendo x = 11/x temos:
Quando x→ 0+, 1x →∞.
Pela Regra de L'Hôspital:
lim
x→0+
xln(x) = lim
x→0+
ln(x)
1/x
(31)
= lim
x→0+
1/x
−1/x2 (32)
= lim
x→0+
(−x) (33)
= 0 (34)
Regra de L'Hôspital Diferenças Indeterminadas
Se
lim
x→a f(x) =∞ (35)
e
lim
x→a g(x) =∞ (36)
Então o limite
lim
x→a[f(x)− g(x)] (37)
É chamado forma indeterminada tipo ∞−∞.
Regra de L'Hôspital Diferenças Indeterminadas
Exemplo
Calcule
lim
x→pi
2
−
sec(x)− tg(x). (38)
Observe que quando x→ pi2−, temos sec(x)→∞ e tg →∞.
Pela Regra de L'Hôspital:
lim
x→pi
2
−
sec(x)− tg(x) = lim
x→pi
2
−
1
cos(x)
− sen(x)
cos(x)
(39)
= lim
x→pi
2
−
1− sen(x)
cos(x)
(40)
= lim
x→pi
2
−
−cos(x)
−sen(x) (41)
= 0 (42)
Regra de L'Hôspital Potências Indeterminadas
Várias formas indeterminadas surgem do limite
lim
x→a f(x)
g(x). (43)
Cada um dos casos pode ser tratado tomando o logaritmo natural.
Regra de L'Hôspital Potências Indeterminadas
Exercícios
Seção 4.4