Aula04

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Aulas de FUV - CTT 110
Msc. Jaqueline M. da Silva
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
UFVJM
Integrais
Apresentação
Integrais Áreas
Áreas
Integrais Áreas
Áreas
Integrais Áreas
Vamos tentar achar a área da figura S que está sob a curva y = f(x) de a
até b.
Isso significa que S, está limitada pelo gráfico de uma função continua f
[onde f(x) ≥ 0], pelas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo x.
Integrais Áreas
Vamos tomar como exemplo a estimativa da área da curva y = x2 ∈ [0, 1].
Integrais Áreas
Suponha que S seja dividida em quatro faixas S1, S2, S3 e S4 , traçando as
retas verticais x = 14 , x =
1
2 e x =
3
4 .
Integrais Áreas
Podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual a largura
da faixa e altura igual ao lado direito da faixa.
Integrais Áreas
Em outras palavras, as alturas desses retângulos são os valores da função
f(x) = x2 nas extremidades direitas dos subintervalos [0, 14 ], [
1
4 ,
1
2 ], [
1
2 ,
3
4 ] e
[34 , 1]. Cada um dos retângulos tem largura
1
4 e as alturas são
(14)
2, (12)
2, (34)
2
, e 12.
Integrais Áreas
Se chamarmos R4 a soma das áreas desses retângulos aproximantes,
obteremos:
R4 =
1
4
(
1
4
)2
+
1
4
(
1
2
)2
+
1
4
(
3
4
)2
+
1
4
(1))2 (1)
=
15
32
= 0, 46875 (2)
Da figura vemos que a área A de S é menor que R4. Logo, A < 0, 46875.
Integrais Áreas
Se chamarmos L4 a soma das áreas dos retângulos menores, temos:
L4 =
1
4
(0)2 +
1
4
(
1
4
)2
+
1
4
(
1
2
)2
+
1
4
(
1
4
)2
(3)
=
7
32
= 0, 21875 (4)
Integrais Áreas
Vemos que a área de S é maior que L4. Assim, temos estimativas inferior e
superior para A:
0, 21875 < A < 0, 46875 (5)
Integrais Áreas
A figura mostra o que acontece quando dividimos a região S em oito faixas
com a mesma largura
Calculando a soma das áreas dos retângulos menores (L8) e a soma das
áreas dos retângulos maiores (R8), obtemos estimativas inferior e superior
melhores para A:
0, 2734375 < A < 0, 3984375 (6)
Integrais Áreas
Usando n retângulos cujas alturas são encontradas com as extremidades
esquerdas (Ln) ou com as extremidades direitas (Rn), temos:
Logo, A está entre 0, 3328335 e 0, 3338335.
Integrais Áreas
É possível mostrar que a soma das áreas dos retângulos aproximantes
superiores tende
1
3 , isto é:
lim
n→∞Rn =
1
3
(7)
Integrais Áreas
Cada retângulo tem uma largura
1
n , e as alturas são os valores da função
f(x) = x2 nos pontos 1n ,
2
n ,
3
n ,...,
n
n ; isto é, as alturas são
1
n
2
,
2
n
2
,
3
n
2
, ...,
n
n
2
.
Assim:
Rn =
1
n
(
1
n
)2
+
1
n
(
2
n
)2
+
1
n
(
3
n
)2
+ ... +
1
n
(n
n
)2
(8)
=
1
n
1
n2
(12 + 22 + 32 + ... + n2) (9)
=
1
n
3
(12 + 22 + 32 + ... + n2) (10)
Mas
(12 + 22 + 32 + ... + n2) =
n(n + 1)(2n + 1)
6
(11)
Integrais Áreas
Substituindo, obtemos:
Rn =
1
n3
n(n + 1)(2n + 1)
6
(12)
=
(n + 1)(2n + 1)
6n2
(13)
Calculando o limite
lim
n→∞Rn =
1
6
lim
n→∞
(
n + 1
n
)(
2n + 1
n
)
(14)
=
1
6
lim
n→∞
(
1 +
1
n
)(
2 +
1
n
)
(15)
=
1
6
.1.2 =
1
3
(16)
Analogamente mostra-se que
lim
n→∞Ln =
1
6
.1.2 =
1
3
(17)
Integrais Áreas
Portanto, definimos a área A da curva y = x2 como o limite das somas das
áreas dos retângulos aproximantes, isto é,
A = lim
n→∞Ln = limn→∞Rn =
1
3
(18)
Também é possível encontrar:
Comprimento de curvas,
Volumes de sólidos,
Centros de massas,
Forças por causa da pressão da água
Trabalho, etc.
Integrais A integral definida
Se f é uma função contínua definida em [a, b], dividimos o intervalo em n
subintervalos de comprimentos iguais a ∆x = (b−a)n .
Sejam x0(= a), x1, x2, ..., xn(= b) as extremidades desses subintervalos,
escolhemos os pontos amostrais x∗1, x∗2, ...., x∗n nesses subintervalos, de
forma que x∗i esteja no i-ésimo subintervalo [xi−1, xi].
Então a integral definida de f em [a, b] é
lim
n→∞
n∑
i=1
f(x∗i )∆x (19)
desde que este limite exista. Se ele existir, dizemos que f é integrável em
[a, b].
Integrais A integral definida
A integral pode ser interpretada como a diferença de áreas A1 e A2, como
no exemplo em que f(x) = x3 − 6x ∈ [0, 3].
Integrais Propriedades da Integral
Vale ∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(x)dx (20)
Se a=b, então ∫ b
a
f(x)dx = 0 (21)
Vamos supor que f e g sejam funções contínuas. Então:
Integrais Propriedades da Integral
Exemplo
Calcule ∫ 1
0
(4 + 3x2)dx (22)
Pelas propriedades:∫ 1
0
(4 + 3x2)dx =
∫ 1
0
4dx +
∫ 1
0
3x2dx (23)
=
∫ 1
0
4dx + 3
∫ 1
0
x2dx (24)
= 4(1− 0) + 31
3
(25)
= 5 (26)
Integrais Propriedades da Integral
Integrais Teorema Fundamental do Cálculo
O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo
integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema
da área.
Newton e Leibniz estabeleceram a relação entre a derivada e a integral.
(TFC-1)
Se f for contínua em [a, b], então a função g definida por
g(x) =
∫ x
a
f(t)dt, x ∈ [a, b] (27)
é uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b) e g′(x) = f(x).
Integrais Teorema Fundamental do Cálculo
(TFC-2)
Se f for contínua em [a, b], então∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a) (28)
onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F ′ = f .
(Exemplo)
Calcule ∫ 3
1
exdx = F (3)− F (1) (29)
= e3 − e (30)
onde F é qualquer primitiva de f , isto é, uma função tal que F ′ = f .
Integrais Teorema Fundamental do Cálculo
(Exemplo)
Calcule ∫ 1
0
x2dx =
x3
3
]10 (31)
=
13
3
− 0
3
3
(32)
=
1
3
(33)
(Fisicamente)
Se v(t) for a velocidade de um objeto e s(t) for sua posição no instante t,
então v(t) = s′(t). Portanto s é uma primitiva de v. Então:∫ b
a
v(t)dt = s(b)− s(a) (34)
Integrais Teorema Fundamental do Cálculo
(Exemplo)
Encontre a área sob a curva y = cos(x) de 0 até b onde b ∈ [0, pi2 ].
A área da curva é tal que
A =
∫ b
0
cos(x)dx = sen(x)]b0 (35)
= sen(b)− sen(0) (36)
= sen(b) (37)
Em particular, se b = pi2 , temos A = 1:
Integrais Teorema Fundamental do Cálculo
(Se liga!)
O que há de errado em
A =
∫ 3
−1
1
x2
dx = − x
1
−1]
3
−1 (38)
=
−1
3
− 1 (39)
=
−4
3
(40)
Integrais Teorema Fundamental do Cálculo
Reescrevendo o T.F.C.
1
Se
g(x) =
∫ x
a
f(t)dt (41)
então g′(x) = f(x).
2 ∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a) (42)
quando F for qualquer primitiva de f , isto é F ′ = f
Integrais Teorema Fundamental do Cálculo
Exercícios
5.1; 5.2; 5.3