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Aulas de FUV - CTT 110
Dsc. Jaqueline M. da Silva
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
ICET
UFVJM
Valor Máximo e Valor Mínimo
Apresentação
1
Valor Máximo e Valor Mínimo
2
Teorema do Valor Extremo
3
Teorema de Fermat
4
Números Críticos
5
Método do Intervalo Fechado
Valor Máximo e Valor Mínimo
(Máximo absoluto)
Uma função f(x) tem máximo absoluto (ou máximo global) em c se
f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ D, onde D é o domínio de f(x).
O número f(c) é chamado valor máximo de f(x) em D.
(Mínimo absoluto)
Uma função f(x) tem um mínimo absoluto (ou mínimo global) em c se
f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ D.
O número f(c) é denominado valor mínimo de f(x) em D.
(Valores extremos)
Os valores máximo e mínimo de f(x) são chamados valores extremos de
f(x) em D.
Valor Máximo e Valor Mínimo
A Figura mostra o gráfico de uma função f(x) com um máximo absoluto
em d e um mínimo absoluto em a.
Observando o intervalo (a, c), verificamos que f(b) é o maior dos valores
de f(x).
Observando o intervalo (b, d), verificamos que f(c) é o menor dos valores
de f(x).
Valor Máximo e Valor Mínimo
Valor Máximo e Valor Mínimo Local
Uma função f(x) tem um máximo local em c se f(c) ≥ f(x) quando x
estiver nas proximidade de c.
Uma função f(x) tem um mínimo local em c se f(c) ≤ f(x) quando x
estiver nas proximidade de c.
Valor Máximo e Valor Mínimo
Exemplo
Se f(x) = x2, então f(x) ≥ f(0) pois x2 ≥ 0 para todo x.
Portanto, f(0) = 0 é o valor mínimo absoluto (e local) de f(x).
Valor Máximo e Valor Mínimo
Exemplo
A função f(x) = x3 não tem um valor máximo absoluto nem um valor
mínimo absoluto.
Teorema do Valor Extremo
Apresentação
1
Valor Máximo e Valor Mínimo
2
Teorema do Valor Extremo
3
Teorema de Fermat
4
Números Críticos
5
Método do Intervalo Fechado
Teorema do Valor Extremo
Se f(x) for contínua em um intervalo fechado [a, b], então f(x) assume
um valor máximo absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto f(d) em
certos números c e d em [a, b].
Teorema do Valor Extremo
Quando não ocorre valor extremo?
Descontinuidade
Intervalos abertos
Teorema do Valor Extremo
Observe que...
Nos pontos de máximo e de mínimo as retas tangentes são horizontais e,
portanto, cada uma tem inclinação 0. Então f ′(c) = f ′(d) = 0.
Teorema de Fermat
Apresentação
1
Valor Máximo e Valor Mínimo
2
Teorema do Valor Extremo
3
Teorema de Fermat
4
Números Críticos
5
Método do Intervalo Fechado
Teorema de Fermat
(Teorema de Fermat)
Se f(x) tiver um máximo ou mínimo local em c e se f ′(c) existir, então
f ′(c) = 0.
Porém, observemos novamente a função f(x) = x3.
Se f(x) = x3, então f ′(x) = 3x2, logo f ′(0) = 0. Entretanto f(x) = x3
não tem máximo nem mínimo em x = 0.
O fato de que f ′(0) = 0 significa simplesmente que a curva da função
f(x) = x3 tem uma reta tangente horizontal no ponto (0, 0).
Teorema de Fermat
A função f(x) = |x| tem seu valor mínimo (local e absoluto) em x = 0.
Contudo, esse valor não pode ser encontrado tomando f ′(x) = 0 pois f ′(0)
não existe.
O Teorema de Fermat sugere que devemos pelo menos começar procurando
por valores extremos de f(x) nos números c onde f ′(c) = 0 ou onde f ′(c)
não existe.
Números Críticos
Apresentação
1
Valor Máximo e Valor Mínimo
2
Teorema do Valor Extremo
3
Teorema de Fermat
4
Números Críticos
5
Método do Intervalo Fechado
Números Críticos
(Número Crítico)
Um número crítico de uma função f(x) é um número c no domínio de
f(x) onde ou f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe.
(Exemplo)
Encontre os números críticos de f(x) = x
3
5 (4− x).
Calculando f ′(x) obtemos f ′(x) = 12−8x
5x
2
5
.
Então f ′(x) = 0 se 12− 8x = 0. Ou seja, se x = 32 .
f ′(x) não existe quando x = 0.
Assim, os números críticos são x = 32 e x = 0.
Números Críticos
Reescrevendo o Teorema de Fermat
(Teorema de Fermat)
Se f(x) tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um número
crítico de f(x).
Método do Intervalo Fechado
Apresentação
1
Valor Máximo e Valor Mínimo
2
Teorema do Valor Extremo
3
Teorema de Fermat
4
Números Críticos
5
Método do Intervalo Fechado
Método do Intervalo Fechado
Método do Intervalo Fechado
Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função
contínua f em um intervalo fechado [a, b]:
1. Encontre os valores de f nos números críticos de f em (a, b).
2. Encontre os valores de f nas extremidades do intervalo.
3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao
passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
Método do Intervalo Fechado
Exemplo
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função
f(x) = x3 − 3x2 + 1 em [−12 , 4].
1. Como f(x) é contínua, pelo Método do Intervalo Fechado, temos
f ′(x) = 3x(x− 2)
2. Os pontos críticos ocorrem quando x = 0 e x = 2 ∈ [−12 , 4].
3. Os valores de f(x) nos pontos críticos são f(0) = 1 e f(2) = −3.
4. Os valores de f(x) nos extremos do intervalo são f(−12) = 18 e
f(4) = 17.
Método do Intervalo Fechado
Exemplo
Graficamente:
Método do Intervalo Fechado
Exemplo
O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990
pelo ônibus espacial Discovery.
Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do
lançamento em t = 0 até a ejeção do foguete auxiliar em t = 126s, é dado
por v(t) = 0, 001302t3 − 0, 09029t2 + 23, 61t− 3, 083 (em m/s).
Usando esse modelo, estime os valores máximo e mínimo absolutos da
aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar.
Método do Intervalo Fechado
A derivada v′(t) = a(t) = 0, 003906t2 − 0, 18058t+ 23, 61 e
A segunda derivada v′′(t) = a′(t) = 0, 007812t− 0, 18058.
Logo, o único ponto crítico ocorre quando t = 23, 12s
Substituindo, temos a(0) = 23, 61m/s2; a(23, 12) = 21, 52m/s2 e
a(126) = 62, 87m/s2
Assim, a aceleração máxima é 62, 87m/s2 e a aceleração mínima é
21, 52m/s2
Método do Intervalo Fechado
Exercícios da Seção 4.1
	Valor Máximo e Valor Mínimo
	Teorema do Valor Extremo
	Teorema de Fermat
	Números Críticos
	Método do Intervalo Fechado