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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Prof. Dra. Jaqueline M. da Silva Func¸o˜es de Uma Varia´vel CTT 110 - FUV https://sites.google.com/site/jaquemsilva Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri Instituto de Cieˆncia, Engenharia e Tecnologia Bacharelado em Cieˆncia e Tecnologia ICET-UFVJM (LNCC) ICET-UFVJM 1 / 71 Objetivos Objetivos Discutiremos: Ideias ba´sicas relacionadas a`s func¸o˜es; Gra´ficos; Formas de combina´-los e transforma´-los. Tambe´m Examinar os principais tipos de func¸o˜es que ocorrem no ca´lculo; Descrever o modo de usa´-las como modelos matema´ticos de fenoˆmenos do mundo real; Introduzir o uso de software gra´fico para computadores. (LNCC) ICET-UFVJM 2 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Uma func¸a˜o pode ser representada de va´rias maneiras: Por uma equac¸a˜o; Por uma tabela; Por um gra´fico; Por meio de palavras. (LNCC) ICET-UFVJM 3 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Exemplos Exemplo A: A a´rea A de um c´ırculo C depende de seu raio r . A lei que relaciona r e A e´ dada pela equac¸a˜o AC = pir 2. (1) A cada nu´mero r positivo (r ∈ R∗+) esta´ associado um u´nico valor de AC . Dizemos que AC e´ uma func¸a˜o de r . (LNCC) ICET-UFVJM 4 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Exemplos Exemplo B: A populac¸a˜o humana mundial P depende do tempo t. A tabela a seguir fornece estimativas da populac¸a˜o mundial P(t) no instante t, para determinados anos. Para cada valor do tempo t, existe um valor de P correspondente e dizemos que P e´ uma func¸a˜o de t. (LNCC) ICET-UFVJM 5 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Exemplos Exemplo C: A acelerac¸a˜o vertical a do solo registrada por um sismo´grafo durante um terremoto e´ uma func¸a˜o do tempo t decorrido. Para um dado valor de t, o gra´fico fornece um valor correspondente para a acelerac¸a˜o a. Figure : Atividade s´ısmica durante o terremoto de Northridge. Los Angeles, 1994 (LNCC) ICET-UFVJM 6 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Definic¸o˜es Cada um dos exemplos anteriores descreve uma lei segundo a qual, dado um nu´mero (r , t, t), fica determinado outro nu´mero (AC ,P, a). Em cada caso dizemos que o segundo nu´mero e´ uma func¸a˜o do primeiro. Definition (Func¸a˜o f (x)) Uma func¸a˜o f e´ uma lei que associa cada elemento x em um conjunto D a um elemento f (x) em um conjunto E . Definition (Dom´ınio Df ) O conjunto A e´ chamado dom´ınio da func¸a˜o. Definition (Imagem Imf ) A imagem de f e´ o conjunto de todos os valores poss´ıveis de f (x) quando x varia por todo o dom´ınio. (LNCC) ICET-UFVJM 7 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Interpretac¸a˜o Se x estiver no dom´ınio D da func¸a˜o f , quando x entrar na ’ma´quina’, ele sera´ aceito como entrada, e a ma´quina produzira´ uma sa´ıda f (x) de acordo com a lei que define a func¸a˜o. Podemos pensar no dom´ınio como o conjunto de todas as entradas, enquanto a imagem e´ o conjunto de todas as sa´ıdas poss´ıveis. (LNCC) ICET-UFVJM 8 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Diagrama de Venn Cada flecha conecta um elemento do conjunto D com um elemento do conjunto E. A flecha indica que f (x) esta´ associado a x , f (a) esta´ associado a a etc. (LNCC) ICET-UFVJM 9 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Graficamente Se f for uma func¸a˜o com dom´ınio D, enta˜o seu gra´fico sera´ o conjunto de pares ordenados {(x , f (x))|x ∈ Df }. Observe que {(x , f (x))} sa˜o os pares entrada-sa´ıda. O gra´fico de f consiste em todos os pontos (x , y) do plano coordenado tais que y = f (x) e x esta´ no dom´ınio de f . Podemos ler o valor f (x) como a altura do ponto no gra´fico acima de x . (LNCC) ICET-UFVJM 10 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Gra´fico O gra´fico de f tambe´m nos permite visualizar: O dom´ınio Df sobre o eixo x . A imagem Imf sobre o eixo y (LNCC) ICET-UFVJM 11 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Exemplos Observe (LNCC) ICET-UFVJM 12 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Exemplos Observe A func¸a˜o f (x) esta´ definida quando 0 ≤ x ≤ 7. Logo, o Dom´ınio de f e´ o intervalo fechado [0, 7]. Observe que os valores de f variam de −2 ate´ 4. Assim, a Imagem de f e´ o intervalo [−2, 4]. (LNCC) ICET-UFVJM 13 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Exemplos Enta˜o O ponto (1, 3) esta´ no gra´fico de f . O valor de f em 1 e´ f (1) = 3. O ponto sobre o gra´fico correspondente a x = 1 esta´ treˆs unidades acima do eixo x . Quando x = 5, o ponto no gra´fico que corresponde a esse valor esta´ 0, 7 unidade abaixo do eixo x . Estimamos que f (5) = −0, 7. (LNCC) ICET-UFVJM 14 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Exerc´ıcio Esboce o gra´fico e encontre o dom´ınio e a imagem de cada func¸a˜o. a) f (x) = 2x − 1. b) g(x) = x2 (LNCC) ICET-UFVJM 15 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Exerc´ıcio a)f (x) = 2x − 1 Dom´ınio: R Imagem: R (LNCC) ICET-UFVJM 16 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Exerc´ıcio b)g(x) = x2 Dom´ınio: R Imagem: R+ (LNCC) ICET-UFVJM 17 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Exerc´ıcio Proposta: Se f (x) = 2x2 − 5x + 1 e a 6= 0, calcule: f (a) f (a + 1) f (x+a)−f (x) a (LNCC) ICET-UFVJM 18 / 71 Func¸o˜es - Introduc¸a˜o Teste da Reta Vertical O gra´fico de uma func¸a˜o e´ uma curva no plano xy . Pergunta: Quais curvas no plano xy sa˜o gra´ficos de func¸o˜es? R: Uma curva no plano xy e´ o gra´fico de uma func¸a˜o de x se e somente se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez. (LNCC) ICET-UFVJM 19 / 71 Teste da Reta Vertical Teste da Reta Vertical A para´bola x = y2 − 2 mostrada na figura na˜o e´ o gra´fico de uma func¸a˜o de x . (LNCC) ICET-UFVJM 20 / 71 Teste da Reta Vertical Teste da Reta Vertical No entanto, conte´m os gra´ficos de duas func¸o˜es de x : f (x) = √ x + 2 e g(x) = −√x + 2. (LNCC) ICET-UFVJM 21 / 71 Func¸o˜es Parciais Func¸o˜es Parciais Definition Sa˜o definidas por fo´rmulas distintas em diferentes partes de seus dom´ınios. Seja f a func¸a˜o definida por f (x) = { 1− x , se x ≤ 1 x2, se x > 1 Calcule: f (0), f (1) e f (2) e esboce o gra´fico de f (x). (LNCC) ICET-UFVJM 22 / 71 Func¸o˜es Parciais Func¸o˜es Parciais Uma vez que 0 ≤ 1, temos f (0) = 1− 0 = 1. Uma vez que 1 ≤ 1, temos f (1) = 1− 1 = 0. Uma vez que 2 > 1, temos f (2) = 22 = 4. (LNCC) ICET-UFVJM 23 / 71 Func¸o˜es Parciais Func¸o˜es Parciais Observac¸a˜o: O c´ırculo cheio indica que o ponto de coordenadas (1, 0) esta´ incluso no gra´fico. O c´ırculo vazio indica que o ponto de coordenadas (1, 1) esta´ exclu´ıdo do gra´fico. (LNCC) ICET-UFVJM 24 / 71 Func¸o˜es Parciais Func¸o˜es Parciais Seja f a func¸a˜o definida por |x | = { x , se x ≥ 0 −x , se x < 0 Observe que o gra´fico de f coincide com a reta y = x , a` direita do eixo y , e com a reta y = −x , a` esquerda do eixo y . Enta˜o: (LNCC) ICET-UFVJM 25 / 71 Func¸o˜es Parciais Func¸o˜es Parciais Seja f a func¸a˜o definida por |x | = { x , se x ≥ 0 −x , se x < 0 Observe que o gra´fico de f coincide com a reta y = x , a` direita do eixo y , e com a reta y = −x , a` esquerda do eixo y . Enta˜o: (LNCC) ICET-UFVJM 26 / 71 Func¸o˜es Parciais Func¸o˜es Parciais Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o f cujo gra´fico esta´ na figura. Obs Lembre-se da equac¸a˜o geral da reta: m = y − y0 x − x0 (2) (LNCC) ICET-UFVJM 27 / 71 Func¸o˜es Parciais Func¸o˜es Parciais 1) A reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, 1) tem inclinac¸a˜o m = 1. Tem intersecc¸a˜o com o eixo y , logo b = 0. Assim, sua equac¸a˜o e´ y = x . Para a parte do gra´fico de f que liga os pontos (0, 0) e (1, 1), temos: f (x) = x se 0 ≤ x ≤ 1. 2) A reta que passa pelos pontos (1, 1) e (2, 0) tem uma inclinac¸a˜o de Logo temos f (x) = 2− x se 1 < x ≤ 2. Vemos tambe´m que o gra´fico de f coincide com o eixo x para x > 2. (LNCC) ICET-UFVJM 28 / 71 Func¸o˜es Parciais Func¸o˜es Parciais Juntando todas as informac¸o˜es, temos a seguinte fo´rmula em treˆs partes para: f (x) = x , se 0 ≤ x ≤ 1 2− x , se 1 < x ≤ 2 0 se x > 2 (LNCC) ICET-UFVJM 29 / 71 Func¸o˜es Parciais Func¸o˜es Parciais Anteriormente consideramos o custo C (w) do envio pelo correio de uma carta com pesow . (LNCC) ICET-UFVJM 30 / 71 Func¸o˜es Parciais Func¸o˜es Parciais Na realidade, trata-se de uma func¸a˜o definida por partes, pois a partir da tabela de valores apresentada anteriormente temos: (LNCC) ICET-UFVJM 31 / 71 Simetrias Simetrias Definition (Func¸a˜o Par) Se f satisfizer f (−x) = f (x) para todo nu´mero x em seu dom´ınio, dizemos que f e´ uma func¸a˜o par. Definition (Func¸a˜o I´mpar) Se f satisfizer f (−x) = −f (x) para todo nu´mero x em seu dom´ınio, dizemos que f e´ uma func¸a˜o ı´mpar. Por exemplo, a func¸a˜o f (x) = x3 e´ ı´mpar, pois f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x). Observac¸a˜o O gra´fico de uma func¸a˜o ı´mpar e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem e o de uma func¸a˜o par e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y . (LNCC) ICET-UFVJM 32 / 71 Simetrias Simetrias Func¸a˜o Par Func¸a˜o I´mpar (LNCC) ICET-UFVJM 33 / 71 Simetrias Simetrias Determine se as func¸o˜es abaixo sa˜o par, ı´mpar ou nenhum dos dois. Esboce seus respectivos gra´ficos. a) f (x) = x5 + x b) g(x) = 1− x4 c) h(x) = 2x − x2 (LNCC) ICET-UFVJM 34 / 71 Simetrias Simetrias a)f (x) = x5 + x Temos f (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x) Portanto, f e´ uma func¸a˜o ı´mpar. (LNCC) ICET-UFVJM 35 / 71 Simetrias Simetrias b)g(x) = 1− x4 Temos g(−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 Portanto, g e´ uma func¸a˜o par. (LNCC) ICET-UFVJM 36 / 71 Simetrias Simetrias c)h(x) = 2x − x2 Temos h(−x) = 2(−x)− (−x2) = −2x − x2 Como h(−x) 6= h(x) e h(−x) 6= −h(x) conclu´ımos que h na˜o e´ par nem ı´mpar. (LNCC) ICET-UFVJM 37 / 71 Simetrias Simetrias Observac¸a˜o O gra´fico de h na˜o e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y nem em relac¸a˜o a` origem. (LNCC) ICET-UFVJM 38 / 71 Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes Definition (Func¸o˜es Crescentes) Uma func¸a˜o f e´ chamada crescente em um intervalo I se f (x1) < f (x2) sempre que x1 < x2 em I . Definition (Func¸o˜es Decrescentes) Uma func¸a˜o f e´ denominada decrescente em I se f (x1) > f (x2) sempre que x1 < x2 em I . (LNCC) ICET-UFVJM 39 / 71 Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes A desigualdade f (x1) < f (x2) deve estar satisfeita para todo par de nu´meros x1 e x2 em I com x1 < x2. Observe que a func¸a˜o f (x) = x2 e´ decrescente no intervalo (−∞, 0] e crescente no intervalo [0,∞). (LNCC) ICET-UFVJM 40 / 71 Polinoˆmios Polinoˆmios Definition Uma func¸a˜o P e´ denominada polinoˆmio (ou func¸a˜o polinomial) se P(x) = anx n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x + a0 onde n e´ um inteiro na˜o negativo e os nu´meros a0, a1, a2, ..., an sa˜o constantes chamadas coeficientes do polinoˆmio. Obs 1: O dom´ınio de qualquer polinoˆmio e´ R. Obs 2: Se o coeficiente dominante an 6= 0 , enta˜o o grau do polinoˆmio e´ n. (LNCC) ICET-UFVJM 41 / 71 Polinoˆmios Polinoˆmios Definition (Func¸a˜o Linear) Um polinoˆmio de grau 1 e´ da forma P(x) = mx + b e, portanto, e´ uma func¸a˜o linear. Definition (Func¸a˜o Quadra´tica) Um polinoˆmio de grau 2 e´ da forma P(x) = ax2 + bx + c e e´ chamado func¸a˜o quadra´tica. (LNCC) ICET-UFVJM 42 / 71 Polinoˆmios Polinoˆmios Se P(x) e´ uma func¸a˜o quadra´tica, seu gra´fico e´ sempre uma para´bola obtida por translac¸o˜es da para´bola y = ax2. A para´bola abre-se para cima se a > 0 e para baixo quando a < 0. (LNCC) ICET-UFVJM 43 / 71 Polinoˆmios Polinoˆmios Definition (Func¸a˜o Cu´bica) Um polinoˆmio de grau 3 tem a forma P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) e e chamado func¸a˜o cu´bica. Observac¸a˜o Os polinoˆmios sa˜o usados comumente para modelar diversas fenoˆmenos sociais e naturais. (LNCC) ICET-UFVJM 44 / 71 Func¸o˜es Poteˆncia Func¸o˜es Poteˆncia Definition (Func¸a˜o Poteˆncia) Uma func¸a˜o da forma f (x) = xa, onde a e´ uma constante, e´ chamada func¸a˜o poteˆncia. Vamos considerar va´rios casos. (LNCC) ICET-UFVJM 45 / 71 Func¸o˜es Poteˆncia Func¸o˜es Poteˆncia Caso 1: a = n, onde n e´ um inteiro positivo Os gra´ficos de f (x) = xn para n ∈ Z+ esta˜o na figura abaixo. Esses sa˜o monoˆmios. (LNCC) ICET-UFVJM 46 / 71 Func¸o˜es Poteˆncia Func¸o˜es Poteˆncia A forma geral do gra´fico de f (x) = xn depende de n ser par ou ı´mpar. Se n for par, enta˜o f (x) = xn sera´ uma func¸a˜o par e seu gra´fico e´ similar ao da para´bola y = x2 (LNCC) ICET-UFVJM 47 / 71 Func¸o˜es Poteˆncia Func¸o˜es Poteˆncia Se n for ı´mpar, enta˜o f (x) = xn sera´ uma func¸a˜o ı´mpar e seu gra´fico e´ similar ao de y = x3. (LNCC) ICET-UFVJM 48 / 71 Func¸o˜es Poteˆncia Func¸o˜es Poteˆncia Caso 2: a = 1n , onde n ∈ Z+. Para n = 2, ela e´ a func¸a˜o raiz quadrada, com Df = [0,∞) e Imf = [0,∞]. Graficamente: Obs Para outros valores pares de n ∈ Z+, o gra´fico e´ similar ao de f (x) = √ x . (LNCC) ICET-UFVJM 49 / 71 Func¸o˜es Poteˆncia Func¸o˜es Poteˆncia Para n = 3, temos a func¸a˜o raiz cu´bica f (x) = 3 √ x com Df = R Obs Para outros valores ı´mpares de n, o gra´fico de e´ similar ao de f (x) = 3 √ x . (LNCC) ICET-UFVJM 50 / 71 Func¸o˜es Poteˆncia Func¸o˜es Poteˆncia Caso 3: a = −1 Seja a func¸a˜o f (x) = x−1 = 1x O gra´fico e´ uma hipe´rbole com os eixos coordenados como suas ass´ıntotas. (LNCC) ICET-UFVJM 51 / 71 Func¸o˜es Racionais Func¸o˜es Racionais Definition (Func¸o˜es Racionais) Uma func¸a˜o racional f (x) e´ a raza˜o de dois polinoˆmios: f (x) = P(x) Q(x) (3) em que P(x) e Q(x) sa˜o polinoˆmios. O dom´ınio consiste em todos os valores de x tais que Q(x) 6= 0. (LNCC) ICET-UFVJM 52 / 71 Func¸o˜es Racionais Func¸o˜es Racionais - Exemplo A func¸a˜o f (x) = 2x4 − x2 + 1 x2 − 4 (4) e´ uma func¸a˜o racional com dom´ınio Df = {x |x 6= ±2} (LNCC) ICET-UFVJM 53 / 71 Func¸o˜es Alge´bricas Func¸o˜es Alge´bricas Definition (Func¸o˜es Alge´bricas) Uma func¸a˜o f (x) e´ chamada func¸a˜o alge´brica se puder ser constru´ıda por meio de operac¸o˜es alge´bricas (como adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o, divisa˜o e extrac¸a˜o de ra´ızes) a partir de polinoˆmios. Obs Toda func¸a˜o racional e´ automaticamente uma func¸a˜o alge´brica. Alguns exemplos: (LNCC) ICET-UFVJM 54 / 71 Func¸o˜es Trigonome´tricas Trigonome´tricas Obs 1 Em ca´lculo, convenciona-se dar a medida de aˆngulos em radianos (exceto quando explicitamente mencionado). Obs 2 Por exemplo, se f (x) = sin(x), entende-se que sin(x) seja o seno de um aˆngulo cuja medida em radianos e´ x . Obs 3 As treˆs func¸o˜es trigonome´tricas remanescentes (cossecante, secante e cotangente) sa˜o as rec´ıprocas das func¸o˜es seno, cosseno e tangente (LNCC) ICET-UFVJM 55 / 71 Func¸o˜es Trigonome´tricas Trigonome´tricas Func¸a˜o cossecante: csc(x) = 1 sin(x) (5) Func¸a˜o secante: sec(x) = 1 cos(x) (6) Func¸a˜o cotangente: cot(x) = 1 tan(x) (7) ou cot(x) = cos(x) sin(x) (8) (LNCC) ICET-UFVJM 56 / 71 Func¸o˜es Trigonome´tricas Trigonome´tricas Obs 1 Sua natureza perio´dica permite que sejam usadas para modelar fenoˆmenos repetitivos tais como mare´s, cordas vibrantes e ondas sonoras. Obs 2 Um modelo razoa´vel para o nu´mero de horas de luz solar na Filade´lfia t dias apo´s oˆ primeiro dia de janeiro e´ dado pela func¸a˜o: (LNCC) ICET-UFVJM 57 / 71 Func¸o˜es Trigonome´tricas Trigonome´tricas Func¸a˜o de horas de luz solar e seu respectivo gra´fico. L(t) = 12 + 2, 8 sin 2pi 365 (t − 80) (9) (LNCC) ICET-UFVJM 58 / 71 Func¸o˜es Trigonome´tricas Trigonome´tricas Func¸a˜o Seno Assim, para todos os valores de x temos −1 ≤ sin(x) ≤ 1 ou | sin(x)| ≤ 1 (10) (LNCC) ICET-UFVJM 59 / 71 Func¸o˜es Trigonome´tricas Trigonome´tricas Func¸a˜o Cosseno Assim, para todos os valores de x temos −1 ≤ sin(x) ≤ 1 ou | cos(x)| ≤ 1 (11) (LNCC) ICET-UFVJM 60 / 71 Func¸o˜es Trigonome´tricas Trigonome´tricas Func¸a˜o Tangente Ela na˜o esta´ definida quando cos(x) = 0, isto e´, x = ±pi2 ,±3pi2 , ... (LNCC) ICET-UFVJM 61 / 71 Func¸o˜es Exponenciais Func¸o˜es Exponenciais Definition (Func¸o˜es Exponenciais) As func¸o˜es exponenciais sa˜o da forma f (x) = ax , em que a base a e´ uma constante positiva. (LNCC) ICET-UFVJM62 / 71 Func¸o˜es Exponenciais Func¸o˜es Exponenciais Observe as func¸o˜es y = 2x e y = (0, 5)x . Em ambos os casos Df = (−∞,∞) e Imf = (0,∞). (LNCC) ICET-UFVJM 63 / 71 Func¸o˜es Logaritmicas Func¸o˜es Logaritmicas Definition (Func¸o˜es Logaritmicas) As func¸o˜es logar´ıtmicas f (x) = log(x), onde a base a e´ uma constante positiva. Obs As func¸o˜es logar´ıtmicas sa˜o as func¸o˜es inversas das func¸o˜es exponenciais (LNCC) ICET-UFVJM 64 / 71 Func¸o˜es Logaritmicas Func¸o˜es Logaritmicas Observe a figura Em cada caso Df = (0,∞), Imf = (−∞,∞) e as func¸o˜es crescem vagarosamente quando x > 1. (LNCC) ICET-UFVJM 65 / 71 Func¸o˜es Logaritmicas Exerc´ıcio Observe as func¸o˜es abaixo, classifique-as as func¸o˜es e determine seus respectivos dom´ınio e imagem. a) f (x) = 5x (12) b) g(x) = x5 (13) c) h(x) = 1 + x 1−√x (14) d) u(t) = 1− t + 5t4 (15) (LNCC) ICET-UFVJM 66 / 71 Composic¸a˜o Composic¸a˜o Em geral, dadas quaisquer duas func¸o˜es f e g , comec¸amos com um nu´mero x no dom´ınio de g e encontramos sua imagem g(x). Se este nu´mero g(x) estiver no dom´ınio de f , enta˜o podemos calcular o valor de f (g(x)). (LNCC) ICET-UFVJM 67 / 71 Composic¸a˜o Composic¸a˜o Se f (x) = x2 e g(x) = x − 3, encontre as func¸o˜es compostas fog e gof . Temos: a) (fog)(x) = f (g(x)) = f (x − 3) = (x − 3)2 b) (gof )(x) = g(f (x)) = g(x2) = x2 − 3 (LNCC) ICET-UFVJM 68 / 71 Composic¸a˜o Composic¸a˜o Se f (x) = √ x e g(x) = √ 2− x , encontre cada uma das func¸o˜es e explicite seus dom´ınios. a) (fog)(x) b) (gof )(x) c) (fof )(x) d) (gog)(x) (LNCC) ICET-UFVJM 69 / 71 Composic¸a˜o Refereˆncias: James Stewart 5a Edic¸a˜o (Tem muitos na Biblioteca) 6a Edic¸a˜o Volume 1 (LNCC) ICET-UFVJM 70 / 71 Composic¸a˜o Refereˆncias: George Thomas e Hamilton Guidorizzi Volume 1 (LNCC) ICET-UFVJM 71 / 71 Objetivos Funções - Introdução Teste da Reta Vertical Funções Parciais Simetrias Funções Crescentes e Decrescentes Polinômios Funções Potência Funções Racionais Funções Algébricas Funções Trigonométricas Funções Exponenciais Funções Logaritmicas Composição
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