Aulas Olímpicas_ Aula Olímpica - Matemática - Aula 3 - Nível 3

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Aulas
Olímpicas
Aula 3
Título
Fatorial 
Objetivos
• Compreender o conceito de fatorial e sua aplicação em problemas de combinatória.
• Aplicar o fatorial na resolução de problemas matemáticos, incluindo simplificações e análises 
combinatórias.
Conteúdos
• Definição e propriedades do fatorial.
• Aplicação do fatorial na contagem de possibilidades e permutações.
• Simplificações envolvendo fatoriais em frações e expressões matemáticas.
Metodologias
• Aula expositiva: explicação do conceito de fatorial, sua notação e aplicação com exemplos nu-
méricos.
• Atividades práticas: resolução de problemas envolvendo cálculo de fatorial e simplificações.
Roteiro de condução
• Explique o conceito de fatorial e apresente a notação matemática 𝑛! demonstrando como calcular 
alguns exemplos básicos.
• Resolva exercícios progressivos que envolvem cálculo direto e simplificações de expressões fato-
riais.
• Aplique o conceito em problemas combinatórios, mostrando como o fatorial auxilia no cálculo de 
arranjos, permutações e combinações.
Referências
Poliedro Sistema de Ensino. Coleção Phases. São José dos Campos: Poliedro, 2025.
Aula 3
Fatorial
Conceito de fatorial
O fatorial de um número natural 𝑛, representado por 𝑛!, é o produto de 𝑛 pelos seus antecessores 
até 1. Ou seja:
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 1
Por convenção, o fatorial de zero é 0! = 1.
Exemplos práticos
• Cálculo do fatorial de 5:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• Cálculo do fatorial de 7:
7! = 7 × 6 × 5! = 7 × 6 × 120 = 5040
• Expressão com fatoriais
7! − 6! = 7 × 6! − 6! = 6! (7 − 1) = 6! × 6
Como 6! = 720, então:
6 × 720 = 4320
Propriedades do fatorial
Multiplicação e simplificação
Fatorial de um produto
(a × b) ! ≠ a! × b!
Exemplo:
6! ≠ 3! × 2!
Fatorial e divisibilidade
• 𝑛! sempre é divisível por todos os números de 1 a 𝑛
• Se 𝑛 for um número primo, (𝑛 − 1)! + 1 é divisível por 𝑛 (Teorema de Wilson).
Exercícios resolvidos
Simplifique a expressão
Simplifique a expressão 
Expandindo os fatoriais:
Cancelamos 7! nos numeradores e denominadores:
Aplicações do fatorial
• Cálculo de permutações: Número de maneiras de organizar 𝑛 objetos distintos:
P(𝑛) = 𝑛!
• Arranjos simples: Número de maneiras de organizar 𝑘 elementos de um conjunto de 𝑛:
• Combinações: Número de maneiras de escolher 𝑘 elementos de um conjunto de 𝑛, sem conside-
rar a ordem:
Para saber mais
• O fatorial de um número natural | Portal da OBMEP. Disponível em: 
https://portaldaobmep.impa.br/uploads/msg/sd0vsapggs0sc.pdf
Como 5! = 120, temos:
1. Calcule 
2. Resolva a equação (𝑛 + 1) ! = 24
3. Resolva a equação (𝑛 + 2) ! = 6 (𝑛 + 2) 
4. (OBMEP 2014 – Nível III) O símbolo 𝑛! é usa-
do para representar o produto dos números 
naturais de 1 a 𝑛, isto é, 𝑛! = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1) ⋅⋅⋅ 2 ⋅
1. Por exemplo, 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1= 24. 
Se 𝑛! = 215 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13, qual é o valor 
de 𝑛?
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 18
Atividades
1. Resolução:
Resoluções
2. Resolução:
(𝑛 + 1) ! = 24 = 4 × 3 × 2 × 1 = 4!
𝑛 + 1 = 4
𝑛 = 3
3. Resolução:
(𝑛 + 2) ! = (𝑛 + 2) (𝑛 + 1) !
(𝑛 + 2) (𝑛 + 1) ! = 6 (𝑛 + 2) 
(𝑛 + 1) ! = 6 = 3 × 2 × 1 = 3!
𝑛 + 1 = 3
𝑛 = 2
4. Resposta correta: alternativa D. 
Se 𝑛! = 215 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13, tem-se 𝑛 ≥ 13.
Por outro lado,
13! = 13 ⋅ (22 ⋅ 3) ⋅ 11 ⋅ (2 ⋅ 5) ⋅ 32 ⋅ 23 ⋅ 7 ⋅ (2 ⋅ 3) 
⋅ 5 ⋅ 22 ⋅ 3 ⋅2 = 13 ⋅ 11 ⋅ 7 ⋅ 52 ⋅ 35 ⋅ 210
Portanto,
Logo, 𝑛! = 13! ⋅ 14 ⋅ 15 ⋅ 16 = 16!, ou seja, 𝑛
= 16.