Lista Cálculo 1 - Derivadas

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´.
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 1 (2015-II).
Curso: Engenharia Qu´ımica.
Lista de Exerc´ıcios No 3
1. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo nos pontos dados usando diretamente a definic¸a˜o de
derivada. Confira o resultado usando as regras de derivac¸a˜o.
(a) f(x) = x2 + 2 nos pontos p1 = 0, p2 = 1 e p3 = −1
(b) f(x) = 1x no ponto p = 2pi
(c) f(x) = xx+1 nos pontos p1 = 0, p2 = 1 e p3 = 2
(d) f(x) =
√
x no ponto p = 3
2. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) no ponto (p, f(p)), usando as regras de
derivac¸a˜o. Esboc¸e o gra´fico da func¸a˜o e da reta tangente (se necessa´rio use um computador).
(a) f(x) = x
2
3 no ponto (1, 1)
(b) f(x) = x2 − 1 no ponto (0,−1)
(c) f(x) = 1
x2
no ponto (2, 14)
(d) f(x) = 2x3 − x2 no ponto (1, 1)
3. Determine se as func¸o˜es abaixo sa˜o deriva´veis nos pontos dados. Calcule a derivada no ponto
dado caso seja poss´ıvel. Esboc¸e os gra´ficos e intereprete sua resposta geometricamente.
(a)
f(x) =
{ −5.13 , se x < −1
7.28 , se x ≥ −1 em x = −1.
(b)
f(x) =
{
x2 , se x ≤ 1
2x− 1 , se x > 1 em x = 1.
(c) f(x) = 2|x− 3| em x = 3.
(d) f(x) = xsin(x) em x = 0
(e)
f(x) =
{
sin( 1x) , se x 6= 0
0 , se x = 0
em x = 0.
4. Considere a func¸a˜o
f(x) =
√
|x|
(a) Mostre algebricamente que f(x) na˜o e´ deriva´vel em p = 0.
(b) Explique, usando o gra´fico da func¸a˜o f(x), porque f(x) na˜o e´ deriva´vel em p = 0.
5. Suponha que
f(2) =
1
2
, g(2) = 2, f ′(2) =
3
2
, g′(2) = 2,
Calcule (f.g)′(2),
(
f
g
)′
(2) e (f ◦ g)′(2).
1
Ca´lculo Diferencial e Integral 1.
6. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo usando as derivadas conhecidas e as regras de derivac¸a˜o.
a) f(x) =
√
x5 b) f(x) =
√
x
5
3 c) g(t) = t27 + t
4
5 + t
5
4
d)h(x) = (x2 + 4) sin(x) e) f(x) = ex cos2(x) f) g(u) = cos2(eu)
g) f(x) =
1
ln(x)
h) g(u) = sin2(u) + cos2(u) i) f(x) =
2
tan(x)
j) k(t) = cos(t2 + 2) k) f(x) = exp(x2 + 2x+ 1) l) s(t) =
2t√
3t− 1
7. Seja f uma func¸a˜o deriva´vel num intervalo que conte´m x = 0. Considere a func¸a˜o g(x) = |x|f(x).
(a) g e´ cont´ınua em x = 0? Justifique.
(b) Determine o valor de f(0) para que g seja deriva´vel em x = 0. Justifique
8. Sejam m e b constantes e f : R→ R dada por
f(x) =
{
3x2 , se x ≥ 1
mx− b , se x < 1
(a) Encontre os valores de m e b para que f seja deriva´vel em x = 1.
(b) Com os valores de m e b do item (a), encontre o ponto do gra´fico de f(x) onde a reta
tangente e´ paralela a` reta y = 18x− 7.
9. Seja f : R→ R tal que para todo x ∈ R com x 6= 1 e
x2 − 1
x− 1 ≤ f(x) ≤
x2 + 3
2
.
Se f e´ diferencia´vel em x = 1, determine f(1) e f ′(1).
10. Dadas as func¸o˜es f(x) = x2 +Ax e g(x) = Bx, determinar A e B de tal forma que{
f ′(x) + g′(x) = 1 + 2x
f(x)− g(x) = x2
11. Resolver os seguintes exerc´ıcios:
(a) Encontrar as equac¸o˜es das retas tangentes a` curva y =
x− 1
x+ 1
que sejam paralelas a´ reta
y = x. Esboc¸ar o gra´fico da curva, da reta dada e das retas tangentes encontradas.
(b) Seja y = ax2 + bx. Encontrar os valores de a e b, sabendo que a reta tangente a` curva no
ponto (1, 5) tem coeficiente angular m = 8.
(c) Encontrar a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = x3 − 1, que seja perpendicular a` reta
y = −x.
12. Nos exerc´ıcios, a seguir, ache a derivada da func¸a˜o dada:
a) f(x) = 10(3x2 + 7x− 3)10 b) f(t) = (7t2 + 6t)7(3t− 1)4 c) g(t) =
√
2t+ 1
t− 1
d)h(x) = cos(3x2 + 1) e) f(t) =
(
7t+ 1
2t2 + 3
)3
f) g(x) = (tg2x− x2)3
g) f(t) =
3sen(2t)
cos2(2t) + 1
h) g(u) = ln(
1 + u
1− u) i) f(x) = arctg(
1
1− x2 )
j) k(s) =
arcsen( s2)
s+ 1
k) f(z) = sen( 3
√
z) cos( 3
√
z) l) s(t) =
1√
1 + cos2(2t)
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Ca´lculo Diferencial e Integral 1.
13. Nos exerc´ıcios, a seguir, calcular as derivadas sucessivas ate´ a ordem n indicada:
a) f(x) = 3x4 − 2x ;n = 5 b) f(t) = 1
t− 1 ;n = 4 c) y = e
2x+1 ;n = 3
d)h(u) = cos(2u)− sen(2u) ;n = 5 e) y = ln(2x) ;n = 2 f) g(x) = arctg(x);n = 2
14. Achar a derivada de ordem 100 das func¸o˜es:
a) f(x) = sen(x) b) f(x) = cos(x)
15. Resolver os seguintes exerc´ıcios:
(a) Mostrar que a derivada de ordem n da func¸a˜o y = eax e´ dada por y(n) = aneax.
(b) Considere a seguinte func¸a˜o y =
1
1− 2x , mostre que
dny
dxn
=
2nn!
(1− 2x)n+1 .
16. Calcular y′ = dydx das seguintes func¸o˜es definidas implicitamente:
a)x3 + y3 = a3 b) 3
√
x+ 3
√
xy = 4y2 c)x3 + x2y + y2 = 0
d) sec2(y) + cotg(x− y) = tg2(x) e)xsen(y) + ycos(x) = 1 f) ey = x+ y
17. Resolva os seguintes exerc´ıcios:
(a) Achar uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva 16x4 + y4 = 32 no ponto (1, 2).
(b) Achar uma equac¸a˜o da reta que e´ perpendicular a` reta tangente a` curva x2+xy+y2−3y = 10
no ponto (2, 3).
(c) Em que ponto da curva x+
√
xy + y = 1 a reta tangente e´ paralela ao eixo x?
18. Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital.
(a) lim
x→0
ex−1−x
x2
(b) lim
x→+∞
(ln(x))2
x
(c) lim
x→0
1
x − 1sin(x)
(d) lim
x→+∞(x+ 1)
1
ln(x)
19. Sendo f ′ crescente e f(0) = 0, mostre que g(x) =
f(x)
x
e´ crescente no intervalo ]0,+∞[.
(Dica: mostre que g′(x) = f
′(x)x−f(x)
x2
e estude o sinal de h(x) = f ′(x)x− f(x) quando x > 0.)
20. Nos exerc´ıcios abaixo, (a) fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o no intervalo indicado; (b) verifique
se as hipo´teses do Teorema de Rolle sa˜o satisfeitas; e (c) se as treˆs hipo´teses forem satisfeitas,
determine um ponto no qual existe uma reta horizontal.
(a) f(x) = sen 2x; [0, pi2 ];
(b) f(x) =
x2 − x− 12
x− 3 ; [−3, 4];
(c) f(x) =
{
x2 − 4 se x < 1
5x− 8 se x ≥ 1 ; [−2,
8
5 ].
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Ca´lculo Diferencial e Integral 1.
21. Considere a func¸a˜o f(x) = x2 no intervalo [−1, 5]. Encontre um ponto em que a inclinac¸a˜o da
reta tangente e´ igual a inclinac¸a˜o da reta secante que liga os pontos (−1, 1) a (5, 25). Esboc¸e o
resultado.
22. Considere a func¸a˜o f(x) = x3 no intervalo [−1, 1]. Encontre todos os ponto em que a inclinac¸a˜o
da reta tangente e´ igual a inclinac¸a˜o da reta secante que liga os pontos (−1, 1) a (1, 1). Esboc¸e
o resultado.
23. Determine se as func¸o˜es abaixo atingem valor ma´ximo e/ou mı´nimo nos intervalos dados. De-
termine enta˜o, caso seja poss´ıvel, o(s) ponto(s) onde o(s) ma´ximo(s)/mı´nimo(s) sa˜o atingidos e
o valor da func¸a˜o nesses pontos.
(a) f(x) = x5 − 1 no intervalo [−1, 1]
(b) f(x) = x2 no intervalo ]− 8, 7[
(c) f(x) = x2 no intervalo [−7, 8[
(d) f(x) = |x| 13 no intervalo [−2, 1]
24. Esboc¸e os gra´ficos das func¸o˜es abaixo. Para isso voceˆ deve encontrar os pontos de mı´nimo/ma´ximo
locais/globais (se houver), intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade e as ass´ıntotas
horizontais e verticais, caso existam.
(a) f(x) = x3 − x2 − x+ 1
(b) f(x) = ex
2
(c) f(x) =
x2
x2 − 4
25. Resolver os seguintes exerc´ıcios:
(a) Determinar os coeficientes a e b de forma que a func¸a˜o f(x) = x3 + ax2 + b tenha um
extremo relativo no ponto (-2,1).
(b) Encontrar a, b, c e d tal que a func¸a˜o f(x) = 2ax3 + bx2 − cx+ d tenha pontos cr´ıticos em
x = 0 e x = 1. Se a > 0, qual deles e´ ponto de ma´ximo, qual e´ ponto de mı´nimo?
26. Voceˆ foi contratado para projetar um tanque de ac¸o retangular sem tampa com capacidade de
500m3. O tanque deve ter base quadrada e sera´ constru´ıdo soldando chapas de ac¸o de espessura
fixa. Quais sa˜o as dimenso˜es (largura e altura) que fara˜o com que o tanque tenha o menor peso
poss´ıvel?
27. Quando uma pessoa tosse, o raio da traque´ia diminui, afetando a velocidade do ar na traque´ia.
Se r0 e´ o raio normal da traque´ia, a relac¸a˜o entre a velocidade v do ar e o raio r da traque´iae´
dada por uma func¸a˜o da forma v(r) = ar2(r0 − r), onde a e´ uma constante positiva. Determine
o raio para o qual a velocidade do ar e´ ma´xima.
28. A altura de um triaˆngulo retaˆngulo cresce 1 cm/s ao mesmo tempo que sua a´rea cresce 2 cm2/s.
Qual a variac¸a˜o da base quando a altura e´ 10 cm e a a´rea 100 cm2?
29. A parte mais alta de uma escada desliza por uma parede 0, 15 m/s. Quando a base da escada
esta´ a 3 m da parede a base esta´ se afastando da parede a uma taxa de 0, 2 m/s. Encontre o
comprimento da escada.
30. Considere um ga´s sendo comprimido a temperatura constante C. No tempo t sabe-se que seu
volume e´ 600 cm3 e que sua pressa˜o de 150 kPa cresce 20 kPa/s. Encontre a taxa de variac¸a˜o
do volume no instante t. Sugesta˜o: Pela lei de Boyle, PV = C.
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Ca´lculo Diferencial e Integral 1.
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Observac¸a˜o: O aluno devera´ entregar escrito (justificando todas suas respostas) ate´ o dia da prova,
os exerc´ıcios selecionados a seguir:
4.
6. itens i) e l).
8.
12. itens h) e k).
17. item c).
22)
24. item c).
26.
Atenc¸a˜o: Os trabalhos na˜o sera˜o aceitos apo´s a data estabelecida.
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Ca´lculo Diferencial e Integral 1.
Respostas:
1. (a) 0, 2 e −2
(b) 1, 14 e
1
9
(c) −1
4pi2
(d) 1
2
√
3
2. (a) y = 23x+
1
3
(b) y = −1
(c) y = −14x+ 34
(d) y = 4x− 3
3. (a) Na˜o
(b) Sim e f ′(1) = 2
(c) Na˜o
(d) Sim e f ′(0) = 0
(e) Na˜o
4. (a) Analisar as derivadas laterais
(b) Desenhe o gra´fico de f(x) e observe o que ocorre se tentamos desenhar a reta tangente ao
gra´fico no ponto (0, 0)
5. (f.g)′(2) = 4,
(
f
g
)′
(2) =
1
2
e (f ◦ g)′(2) = 3.
6. (a) f ′(x) =
5
2
√
x3
(b) f ′(x) =
5
6 6
√
x
(c) g′(t) = 27t26 +
4
5 5
√
t
+
5
4
4
√
t
(d) h′(x) = 2x sin(x) + (x2 + 4) cos(x)
(e) f ′(x) = ex cos2(x)− 2ex sin(x) cos(x)
(f) g′(x) = −2eu sin(eu) cos(eu)
(g) f ′(x) =
−1
x ln2(x)
(h) g′(u) = 0
(i) f ′(x) =
−2 sec2(x)
tan2(x)
(j) k′(t) = −2t sin(t2 + 2)
(k) f ′(x) = (2x+ 2) exp(x2 + 2x+ 1)
(l) s′(t) =
3t− 2
(3t− 1)√3t− 1
7. (a) Sim, g e´ cont´ınua em x = 0. (b) f(0) = 0.
8. (a) m = 6 e b = −3. (b) o ponto e´ (3, f(3)) = (3, 27).
9. f(1) = 2 e f ′(1) = 1.
10. A = B = 12 .
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Ca´lculo Diferencial e Integral 1.
11. (a) x− y − 2√2 + 2 = 0 e x− y + 2 + 2√2 = 0.
(b) a = 3 e b = 2.
(c) 3
√
3x− 3√3y − 3√3− 2 = 0 e 3√3x− 3√3y − 3√3 + 2 = 0
12. (a) f ′(x) = 100(3x2 + 7x− 3)9(6x+ 7).
(b) f ′(t) = (7t2 + 6t)6(3t− 1)3[12(7t2 + 6t) + 7(3t− 1)(14t+ 6)].
(c) g′(t) =
−3
2(t− 1)3/2(2t+ 1)1/2 .
(d) h′(x) = −6xsen(3x2 + 1).
(e) f ′(t) =
3(7t+ 1)2(−14t2 − 4t+ 21)
(2t2 − 3)4 .
(f) g′(x) = 6(tx2x− x2)2(tgx. sec2 x− x).
(g) f ′(t) =
6 cos(2t)(sen2(2t) + 2)
(cos2(2t) + 1)2
.
(h) g′(u) =
2
1− u2 .
(i) f ′(x) =
2x
x4 − 2x2 + 2.
(j) k′(s) =
1
(s+ 1)2
(
s+ 1√
4− s2 − arcsen
s
2
)
.
(k) f ′(z) = 13z
−2/3 cos(2 3
√
z)
(l) s′(t) =
sen(4t)
(1 + cos2(2t))3/2
.
13. (a) f (5)(x) = 0
(b) f (4)(t) =
24
(t− 1)5
(c) y′′′(x) = 8e2x+1
(d) h(5)(u) = −32(sen(2u) + cos(2u))
(e) y′′ =
−1
x2
(f) g′′(x) =
−2x
(1 + x2)2
14. (a) y(100) = sen x b) y(100) = cosx
15.
16. (a) y′ =
−x2
y2
(b) y′ =
y2/3 + y
24x2/3y5/3 − x
(c) y′ =
−3x2 − 2xy
x2 + 2y
(d) y′ =
2tg x. sec2 x+ cosec2(x− y)
2tg y. sec2 y + cosec2(x− y)
(e) y′ =
ysen x− sen y
x cos y + cosx
(f) y′ =
1
ey − 1
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Ca´lculo Diferencial e Integral 1.
17. a) 2x+ y = 4 b) 5x− 7y + 11 = 0 c) (1, 0) e (13 , 43).
18. (a) 12 (b) 0, (c) 0 (d) e.
19.
20. a) c = pi4 . b) f na˜o e´ cont´ınua em [−3, 4]. c) f na˜o e´ deriva´vel em [−2, 85 ].
21. x = 2.
22. x = ±√3/3
23. (a) Mı´nimo: f(−1) = −2. Ma´ximo: f(1) = 0
(b) Mı´nimo: f(0) = 0. Ma´ximo: Na˜o ha´
(c) Mı´nimo: f(0) = 0. Ma´ximo: f(−7) = 49
(d) Mı´nimo: f(0) = 0. Ma´ximo f(−2) = 3√2
24. (a) Definida na reta: na˜o possui ass´ıntotas verticais.
Mı´nimos locais: f(1) = 0. Ma´ximos locais: f(−13) = 3227 .
Estritamente crescente em ]−∞,−13 [ e ]1,+∞[, estritamente decrescente em ]− 13 , 1[ (por-
tanto na˜o possui ma´ximo/mı´nimo global ou ass´ıntotas horizontais).
Coˆncava para baixo em ]−∞, 13 [, coˆncava para cima em ]13 ,+∞[.
(b) Definida na reta: na˜o possui ass´ıntotas verticais.
Mı´nimos locais: f(0) = 1. Ma´ximos locais: na˜o ha´.
Estritamente decrescente em ] −∞, 0[ e estritamente crescente em ]0,+∞[ (portanto na˜o
possui ma´ximo global ou ass´ıntotas horizontais). Mı´nimo global em x = 0.
Coˆncava para cima em todo seu domı´nio.
(c) Definida em R− {±2}: possui ass´ıntotas verticais em x = 2 e x = −2.
Mı´nimos locais: na˜o ha´. Ma´ximos locais: f(0) = 0.
Estritamente decrescente em ]0, 2[ e ]2,+∞[ e estritamente crescente em ]−∞,−2[ e ]−2, 0[.
Na˜o possui ma´ximo global nem mı´nimo global.
Possui uma ass´ıntota horizontal em y = 1.
Coˆncava para cima em ]−∞,−2[∪]2,+∞[, coˆncava para baixo em ]-2, 2[.
25. a) a = 3 e b = −3 b) a e´ qualquer real; b = −3a; c = 0; d e´ qualquer real.
26. Largura = 10m, Altura= 5m.
27. A velocidade do ar e´ ma´xima quando o raio da traque´ia contra´ıda e´ igual a 2/3 do seu raio
normal, ou seja r = 23r0.
28. −1, 6 cm/s.
29. 5 m.
30. −80 cm3/s
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