PC_GABARITO_AD02_2012-1

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AD 02 – 2012-1 Pré-Cálculo 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação a Distância 2 
Pré-Cálculo 
___________________________________________________________________________________ 
1ª. Questão [2,5 pontos]: 
(a) Resolva a equação: . 
Solução: 
 
Primeiro observamos que e estão definidas para , onde é um inteiro. 
 ( ) 
Mudando a variável, fazendo , temos, . 
Resolvendo a equação em , 
 ( ) ( )( ) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, voltando à variável original , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , como , não tem 
solução, logo 
 
 
 também não tem solução. 
Ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo 
 { 
 
 
 
 
 
 } 
 
(b) Determine o domínio da função 
 ( ) √ 
 ( )
 
 
 
Solução: 
 
(a) Temos as seguintes restrições: 
I) Relativa ao domínio de ( ): 
 
 
 e . 
II) Relativa ao domínio de : 
 
 
 e . 
III) Relativa ao denominador não nulo: e . 
AD 02 – 2012-1 GABARITO Pré-Cálculo 
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IV) Relativa ao radicando positivo ou nulo: 
 ( )
 
 e . 
Vamos encontrar a solução de cada restrição, no final o domínio será a interseção dessas soluções. 
 
I) 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
Temos que: 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 . 
Logo a solução de I): ( ) {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
}. 
II) 
 
 
 . Temos que: 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 . 
Logo a solução de II): ( ) {
 
 
 
 
 
} 
III) . Temos que: ; ; 
 3 . 
Logo a solução de III): ( ) { } 
IV) 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo e lembrando que 
 ( ) , temos que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinando as raízes do numerador 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
Determinando as raízes do denominador 
 
 
 
 
 
√ 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
Fazendo o quadro de sinais 
 
 ( 
√ 
 
) 
√ 
 
 ( 
√ 
 
 
 
 
) 
 
 
 ( 
 
 
 
√ 
 
) 
√ 
 
 (
√ 
 
 ) 1 ( ) 
 0 0 
 0 0 + 
 
 
 nd 0 nd 0 
 
Concluímos que o quociente é positivo ou zero quando 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
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Como e examinando para , no círculo trigonométrico, temos que: 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo a solução de IV): 
 
 ( ) { 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 } 
Como: ( ) {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
}; ( ) {
 
 
 
 
 
} e ( ) { } 
 
Portanto a solução final é (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
] (
 
 
 ) ( 
 
 
) [
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) 
 
 
2ª. Questão [1,5 pontos]: 
Esboce o gráfico da função abaixo, usando pelo menos o domínio : 
 ( ) ( ) 
Indique todas as transformações usadas para obter esse gráfico, para isso, descreva as transformações 
ou esboce o gráfico de cada função obtida nas transformações. 
Dê o período de . 
Solução: 
Como ( ) ( ) para todo real, 
 
 
 , podemos começar simplificando a 
função. Logo, ( ) ( ) ( ). 
Uma possível sequência de transformações sobre o gráfico tangente, até obter o gráfico de é: 
 
 ( ) 
→ ( ) 
 ( ) 
→ ( ) 
 ( ) 
→ ( ) 
(1) Redução horizontal do gráfico da função com fator multiplicativo 
 
 
. Observe que isso faz 
com que o período da função tangente, que é igual a seja multiplicado pelo mesmo fator 
 
 
, logo 
o período da função ( ) é 
 
 
 
 
 
. 
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(2) Reflexão do gráfico de ( ) em torno do eixo . 
(3) Translação vertical do gráfico de ( ) de 3 unidades para cima. 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
→ 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 ( ) 
→ 
 ( ) 
→ 
 
 
 
 
3ª. Questão [3,0 pontos]: 
(a) Calcule ( (
 
 
)) ( (
 
 
)) 
Solução: 
Vamos calcular separadamente: 
i) ( (
 
 
)) e ii) ( (
 
 
)). 
Calculando: 
i) ( (
 
 
)) ( ) , pois (
 
 
) . 
Calculando ( ): 
 ( ) ( ) com . Como (
 
 
) e 
 
 
 , concluímos que 
 
 
 
. 
Portanto, ( (
 
 
)) 
 
 
. 
ii) ( (
 
 
)) ( ) , pois (
 
 
) . 
Calculando ( ): 
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 ( ) ( ) com [ 
 
 
 
 
 
]. Como ( 
 
 
) e 
 
 
 [ 
 
 
 
 
 
] , 
concluímos que 
 
 
. 
Portanto, ( (
 
 
)) 
 
 
. 
Concluímos, assim, que ( (
 
 
)) ( (
 
 
)) 
 
 
 ( 
 
 
) . 
 
(b) Considere a função ( ) 
 
 
 ( ). 
i) Encontre o domínio da função . 
ii) Construa o gráfico da função . Este gráfico deve ser explicado a partir de transformações 
(reflexões e/ou translações horizontais e/ou translações verticais) no gráfico da função 
 ( ). Diga quais as transformações que você usou para chegar ao gráfico pedido. Dê a imagem 
da função . 
Você reconhece o gráfico da função ? Explique. 
iii) Faça 
 
 
 ( ) e explicite a variável , ou seja, escreva em função de . Usando as 
relações trigonométricas, escreva a expressão final usando somente cosseno. Explicite agora a variável 
 , ou seja, escreva em função de . 
Responda: Você pode concluir então, que 
 
 
 ( ) é igual a.....? 
A conclusão desse item iii) explica o gráfico que você construiu no item ii). 
 
Solução: 
i) ( ) 
 
 
 ( ) 
Como está definida no intervalo então é preciso que 
 . Como, , 
concluímos que ( ) . 
ii) ( ) 
( )
→ ( ) 
( )
→ ( ) 
 
 
 ( ) . 
(1): reflexão do gráfico da função ( ) em torno do eixo . 
(2): translação do gráfico da função ( ) verticalmente para cima de 
 
 
 unidades 
 
 
 
 
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→ 
 
 
 
 
 
 
 
( )
→ 
 
 
 
 
 
 
Do gráfico observamos que: 
 ( ) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
iii) 
 
 
 ( ) 
 ( 
 
 
 ) ( ) ( 
 
 
) (
 
 
) ( ) ( ) 
 ( ) . 
Mas, ( ) ( ) . 
Portanto, podemos concluir então, que 
 
 
 ( ) é igual a ( ). 
 
 
Este gráfico é o gráfico de ( ) 
 
 
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ATENÇÃO: 
A igualdade( ) ( ) é bem interessante, pois como arco seno é uma 
função ímpar, 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
Isso significa que arco seno e arco cosseno são complementares, uma propriedade importante. 
 
4ª. Questão [3,0 pontos]: 
(a) Escreva em ordem crescente a seguinte lista de números: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Considere a seguinte lista de funções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) Considere o subconjunto das funções da lista acima cujo domínio contém o intervalo ) ou o 
intervalo ( ). 
Escreva essa lista de funções assim obtidas em ordem crescente, para ( ). 
Escreva essa lista de funções assim obtidas em ordem crescente, para ( ). 
Esboce os seus gráficos no intervalo ( ), todos no mesmo sistema de eixos. Quando possível, inclua 
no gráfico o ponto de abscissa . 
 
Solução: 
O subconjunto é a própria lista. 
Para ( ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para ( ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ii) Considere o subconjunto das funções da lista dada acima cujo domínio contém o intervalo ( ). 
Escreva a lista que representa esse subconjunto e justifique. 
Dê a paridade de cada função da lista das funções obtidas nesse item. Esboce os gráficos das funções 
pares no intervalo ( ), num mesmo sistema de eixos. Em outro sistema de eixos esboce os 
gráficos das funções ímpares no intervalo ( ), junto com as funções constantes e quando 
possível, inclua no gráfico o ponto de abscissa . 
Solução: Para obter o subconjunto é preciso retirar da lista as funções cujas potências têm 
denominadores pares. Logo a nova lista é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São funções pares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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São funções ímpares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii) Quais dessas funções são invertíveis no seu domínio? Obtenha a expressão da inversa de cada uma 
dessas funções. 
Solução: 
As funções invertíveis em todo o domínio são as funções ímpares, observando os gráficos, percebemos 
claramente que satisfazem o teste da reta horizontal. 
 
 
 
 
 
Para indicar as expressões das inversas, vamos usar os nomes que foram usados nos seus gráficos. 
Para a função ( ) . 
Para obter ( )
 
 
 . 
Assim 
 ( ) , concluímos que 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
Para a função ( ) ( ) , concluímos 
que 
 ( ) 
 ( ) 
Para a função ( ) . 
Para obter ( ) 
 . 
Assim 
 ( ) , concluímos que 
 ( ) 
 ( ) 
Para a função ( ) . 
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Para obter ( ) 
 . 
Assim 
 ( ) , concluímos que 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
Para a função ( ) . 
Para obter ( )
 
 . 
Assim 
 ( ) 
 
 , concluímos que 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
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