Lista de exercicios sobre Transformações Lineares e Autovalores/autovetores.pdf

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Universidade Estadual de Feira de Santana 
DEXA – Matemática – Eng. da Computação 
TP02 – 2015.1 Prof. Jany S. S. Goulart 
 
Terceira Lista de Exercícios de 
EXA 703 – Álgebra Linear I-E 
Transformações lineares/ Autovalores e autovetores 
 
Considerando as aplicações lineares abaixo : 
 
(a) 23: RRF → ; )2,(),,( xyzzyxF −= ; 
 
 (b) 23: RRF → ; )2,(),,( zyxyxzyxF +−+= ; 
 
 (c) RRF →3: , xyzzyxF 23),,( −+= ; 
 (d) )(: 2
3 RMRH → ; 





+
−
=
zy
zzx
zyxH
20
),,( ; 
 (e) 22 )(: RRPF → ; )2,()(
2 baccxbxaF +=++ . 
 
1. Encontre o núcleo e imagem das aplicações lineares . 
Determine também uma base e a dimensão destes 
subespaços vetoriais. Confirme o T.N.I. 
 
 
 
2. Sejam u, v e w vetores de um espaço vetorial V e seja 
2: RVT → uma aplicação linear tal que 
)1,0()( −=uT ; )1,1()( =vT e )1,2()( −=wT . 
Encontre )432( wvuT +− . 
 
 
 
3. Seja 22: RRF → , o operador linear tal que 
)1,2()0,1( =F e )4,1()1,0( =F . 
 
(a) Determine )4,2(F , 
(b) Determine o vetor 2Ru∈ tal que )3,2()( =uF ; 
 
 
4. Seja 22: RRT → , o operador linear tal que 
)2,1()1,1( −=T e )1,4()0,1( −=T . Determine 
 
(a) )3,5( −T , (b) o vetor 2Ru∈ tal que )1,0()( =uT . 
 
5. Seja 22: RRG → , o operador linear tal que 
)1,2()0,1( =G e )4,1()0,1( =G . Determine 
 
(a) )3,5( −G , (b) ),( yxG 
(c) o vetor 2Ru∈ tal que )3,2()( =uG . 
 
6. Determine a aplicação linear 32: RRF → , tal que 
)0,2,1()1,2( −=−F e )5,3,0()3,1( −=F . 
 
7. Determine a aplicação linear 33: RRT → , tal que 
)0,2,1()1,2( −=−T e )5,3,0()3,1( −=T . 
 
8. Existe um operador linear F de 3R tal que 
)3,2,1()1,1,1( =F ; )9,4,1()3,2,1( =F e )27,8,1()4,3,2( =F . 
Justifique. 
 
9. Encontre a aplicação linear 21 )(: MRPF → ; 
 tal que 





−
=−
01
01
)1( xF e 





−
=+
01
20
)21( xF . 
Obtenha seu núcleo e imagem. 
Determine uma base e a dimensão para estes 
subespaços vetoriais. 
 
10. Considere )}1,1(),0,1{( −=α e }1,1,1(),0,1,1();0,0,1{(=β 
bases de 2R e 3R , respectivamente e 32: RRF → 
uma aplicação linear. Seja A a matriz cujas colunas são 
as coordenadas das imagens dos vetores de α com 
relação a β . Mostre que dado 2),( Ryxv ∈= , tem-se: 
αβ ][)]([ vAvF ⋅= 
 
 
11. Determine a matriz das aplicações lineares 
abaixo em relação às bases canônicas envolvidas. 
 
(a) 32: RRT → ; ),,3(),( yxxyxyxT −−= ; 
(b) RRf →3: ; zyxzyxf 472),,( +−= 
(c) RMH →2: ; )()( AAH tr= 
(d) 322: xMPK → ; 




 −+
=++
yx
zyx
ztytxK
20
02
)( 2 
 
 
 
12. Verifique que a matriz da aplicação linear 
22: RRF → , dada por )24,3(),( yxyxyxF ++= 
em relação à base )}4,3();1,1{(−=B é diagonal. 
 
13. Seja 22: RRT → a aplicação linear cuja matriz 
em relação à base canônica é 




 −−
10
21
. 
Determine 2, Rvu ∈ tais que: 
 
(a) uuT −=)( ; 
(b) vvT =)( . 
 
 
 
 
 
. 
 
14. Verifique que: 
 
(a) )4,5,4(=v é autovetor da aplicação linear 
33: RRF → ; dada por 
),53,43(),,( zzyzxzyxF −+−= . Determine o 
autovalor associado. 
(b) *);2,( Rxxxv ∈= são autovetores da 
aplicação linear 22: RRF → ; )2,(),( yyyxF = . 
Determine o autovalor associado. 
 
 
15. Determine os autovalores (reais) e autovetores 
dos operadores lineares abaixo. 
 
(a) )8,3(),( yxxyxF −= 
(b) )25,2(),( yxyxyxF +−−= 
(c) )2,2,(),,( zyxzyxyxzyxT −++−+= 
(d) )2,2,(),,( zyxzyxyxzyxT −++−+= 
(e) ),53,43(),,( zzyzxzyxT −+−= 
(f) ),53,433(),,( zzyzyxzyxT −+−−= 
(g) ),,,(),,,( wzyxzyxyxxwzyxT ++++++= 
 
16. Para cada aplicação do item anterior, pede-se: 
 
(a) Construa uma base e a dimensão para cada 
auto-espaço associado. 
(b) F é diagonalizável ? 
(c) Caso afirmativo, construa uma base B de 
2R (ou 3R ) formada por autovetores de F . 
(d) Qual é a matriz de F com relação a B ? 
 
 
17. Determine a aplicação linear 22: RRT → que 
tenha autovalores 3 e -1 associados aos 
autovetores )2,1( e )1,2(− respectivamente