Aula_03_Matematica

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TEC0105 MATEMÁTICA 
Aula 3
Prof.º Matheus Paiva 
Recapitulando Radiciação...
Propriedades:
1ª Propriedade:
2ª Propriedade:
3ª Propriedade:
4ª Propriedade:
5ª Propriedade:
6ª Propriedade:
7ª Propriedade:
Radiciação
Exercício - Simplifique:
Razão
Conceito
A razão entre dois números reais e , onde é 
o valor do quociente de por que representamos 
das seguintes maneiras:
As duas representações acima podem ser lidas dos 
seguintes modos:
• Razão de a para b;
• a está para b;
• a para b.
Razão
Conceito
O termo nessas representações é chamado de 
antecedente (numerador) e o termo é chamado 
consequente (denominador).
Sejam e números reais não nulos. A razão 
inversa (ou recíproca) da razão é a razão:
Porcentagem
• Porcentagem ou razão centesimal é o nome 
dado às razões cujo denominador é o número 
100. 
• São representadas pelo símbolo %.
• Exemplo: 8% (lê-se: Oito por cento) é uma forma 
de representar a seguinte razão:
• A expressão 8% significa que estamos tomando 8 
partes de um todo que foi dividido em 100 
partes iguais.
Proporção
• Uma proporção é o nome dado à igualdade entre razões. Dizemos que os 
números a, b, c, d, onde formam, nessa ordem, uma proporção, 
se temos a seguinte igualdade:
• Lê-se a expressão acima da seguinte maneira: a está para b, assim como c 
está para d.
• Multiplicando ambos os termos da proporção por bd, obtemos ad = bc. Este 
procedimento é chamado de multiplicação cruzada e é frequentemente 
utilizado em problemas envolvendo proporções.
Conceito
Conceitos das regras de três
• Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao se multiplicar 
uma delas por um número positivo, a outra também é multiplicada por esse 
número. 
• Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao se multiplicar 
uma delas por um número positivo, a outra fica dividida por esse número.
Grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais
Tipos de regras de três
Utilizamos regra de três simples e direta quando queremos resolver problemas que envolvem duas 
grandezas que são diretamente proporcionais. 
Regra de três simples e direta
Exemplo!
Em uma fazenda, a produção mensal de laranjas é de 20 
toneladas. Qual é a produção anual em toneladas dessa 
fazenda? 
Tipos de regras de três
Solução: Vamos representar por T o tempo de produção (em meses) e por P a 
produção (em toneladas). Como 1 ano possui 12 meses, chamando de x a 
produção desejada e utilizando os dados do enunciado, podemos fazer a 
seguinte representação:
Regra de três simples e direta
Tipos de regras de três
• As setas na imagem acima apontam na mesma direção para significar que 
as grandezas são diretamente proporcionais. Com essa orientação das 
setas, podemos montar a seguinte proporção:
Regra de três simples e direta
• E fazendo a multiplicação cruzada, obtemos que:
• Logo, a produção anual de laranjas dessa fazenda é de 240 toneladas.
Tipos de regras de três
Utilizamos regra de três simples inversa quando queremos resolver problemas 
que envolvem duas grandezas que são inversamente proporcionais. 
Regra de três simples inversa
Exemplo! 
Uma torneira leva 7 horas para encher um tanque. Se fossem 
utilizadas 5 torneiras, quanto tempo levaria para encher esse 
mesmo tanque?
Tipos de regras de três
Regra de três simples inversa
Solução: Vamos representar por T o tempo para encher (em horas) e por N o 
número de torneiras. Utilizando os dados do enunciado, podemos fazer a 
representação à esquerda. As setas opostas indicam proporção inversa. Antes 
do cálculo, inverter termos de uma seta para alinhar direções.
Tipos de regras de três
Regra de três simples inversa
• Agora, com essa orientação das setas, podemos montar a seguinte proporção:
• E fazendo a multiplicação cruzada, obtemos que:
Tipos de regras de três
Regra de três simples inversa
• Logo, 5 torneiras levariam para encher o tanque:
• Como 1h = 60min:
Tipos de regras de três
Regra de três composta
Utilizamos regra de três composta quando queremos resolver problemas que envolvem três ou mais 
grandezas. Como temos mais do que duas grandezas envolvidas, a análise das grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais deve ser feita aos pares.
Exemplo! 
O gráfico apresenta o consumo médio de oxigênio, em 
função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar 
natação. Considere que o consumo médio de oxigênio seja 
diretamente proporcional à massa do atleta. 
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um 
atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática de natação?
Tipos de regras de três
Regra de três composta
Solução: Vamos representar por M a massa do atleta (em kg), por L o consumo de oxigênio (em litros) e por 
T o tempo de atividade (em minutos). Pelo gráfico, podemos ver que um atleta de 70kg consome 21 litros 
de oxigênio em 4 minutos. Como queremos saber o consumo de um atleta com 80kg durante 10 minutos, 
podemos representar o problema da seguinte maneira:
Tipos de regras de três
Regra de três composta
• Agora, vamos analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Como queremos 
saber x na grandeza L, vamos comparar as relações das grandezas M e T com relação a L.
• Considerando apenas as grandezas M e L, elas terão setas com orientação igual, pois, pelo enunciado, 
essas grandezas são diretamente proporcionais, como na representação à esquerda. Considerando 
apenas as grandezas T e L, elas terão setas com orientação igual também, pois, se aumentarmos o tempo 
de natação, aumentamos o consumo de oxigênio, ou seja, são grandezas diretamente proporcionais, 
como na representação à direita acima.
Tipos de regras de três
Regra de três composta
• Como todas as setas apontam na mesma direção, então podemos montar a proporção que nos fornecerá 
o resultado desejado:
• E fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:
• Logo, um atleta com 80kg, durante 10 minutos de natação, consome 60 litros de oxigênio.
Tipos de regras de três
Regra de três composta
A resolução da regra de três composta deve seguir os passos: 
1. Posicione a variável desejada (como x) em um dos extremos (direita ou esquerda) da grandeza (por 
exemplo, T) para facilitar a visualização e simplificar o cálculo final.
2. Alinhe as setas, faça a proporção com a variável desejada (x) isolada em um lado, e as demais razões 
multiplicadas no outro lado da igualdade.
O QUE SÃO EQUAÇÕES?
• São expressões matemáticas
• Tem uma INCÓGNITA
• E uma IGUALDADE
Servem para ajudar encontrar soluções para problemas nos 
quais um número não é conhecido.
Sinal de IGUAL
X Y Z
Formato GERAL
ax + b = 0
VALOR QUE
QUEREMOS
DESCOBRIR
1º membro 2º membro
Sinal de IGUALDADE
DESAFIO
Considere que a balança seguir está em equilíbrio. Qual equação essa imagem está representando?
DICA: A quantidade de latas 
você poderá nomear por x
x representa LATAS
3x + 40 = 70
3x = 70 - 40
3x = 30
x = 30
 3
x = 10
RESOLVENDO O DESAFIO
Vamos lá......
• O Objetivo é descobrir o valor desconhecido, 
ou seja, encontrar o valor de “x” para que a 
igualdade se torne verdadeira
x = ?
Para isso, deve-se isolar os 
elementos desconhecidos em um 
dos lados do sinal de igual e os 
valores conhecidos do outro lado.
EXERCÍCIO 1: Agora é com você
5x + 2 = 12
5x = 12 - 2
5x = 10
x = 10
 5
x = 2
Resolva as equações abaixo 
de acordo com o exemplo 
ao lado
 A) 2x – 2 = 10
 B) 5x – 5 = 15
 C) 3x + 3 = 18
 D) 2x – 3 = 17
 E) 5x + 1 = 16
EXERCÍCIO 2
exemplos
x + 3 = 7
x = 7 - 3
x = 4
Resolva as equações abaixo de acordo com os
 A) x – 2 = 10
 B) x – 5 = 15
 C) x + 4 = 8
 D) x – 3 = 2
 E) x + 8 = 10
x - 1 = 10
x = 10 + 1
x = 11 
EXERCÍCIO 3
exemplos
x = 7 
 3
x = 7 . 3
x = 21
Resolva as equações abaixo de acordo com os
 A) 3y = 18 D) x = 5
 B) 4x = –16 2
 C) x = 6 E) 2y = 0
 24 y = 24
y = 24
 4
y = 6 
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	Slide 21: O QUE SÃO EQUAÇÕES?
	Slide 22
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	Slide 24: RESOLVENDO O DESAFIO
	Slide 25
	Slide 26: EXERCÍCIO 1: Agora é com você
	Slide 27: EXERCÍCIO 2
	Slide 28: EXERCÍCIO 3