Algebra linear 1 UFPR

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Departamento de Matemática
Trabalho 1 - CM005, CM120, CMA031, CMM212
Instruções: Em todas as questões abaixo, considere que A,B,C,D,E, F são os 6 últimos
algarismos de seu GRR, dispostos na ordem indicada a seguir: GRR 20AB-CDEF .
1. Dada uma matrizM = [m
ij
]
n
i,j=1
de ordem n, define-se o traço de M (denotado por tr(M))
como a soma das entradas da diagonal principal da matriz M , isto é: tr(M) =
n∑
i=1
mii.
Considere a matriz de ordem 2 P =
[
C D
E F
]
.
(a) Mostre que o conjunto de matrizes W = {X ∈M2(R) / tr(PX) = 0} é um subespaço
vetorial do espaço vetorial de M2(R) das matrizes de ordem 2. (10 pontos)
(b) Encontre uma base para W e determine sua dimensão. (10 pontos)
(c) Mostre que a matriz Y =
[
−E C
−F D
]
∈ W e determine as coordenadas da matriz Y na
base de W encontrada no item (b). (10 pontos)
2. Considere o seguinte sistema de equações lineares (nas variáveis x, y, z),
3x + 8y + 6z = D
x + 3y + 2z = E
5x + 13y + 10z = F
(a) Escreva o sistema linear na sua forma matricial e encontre a forma escalonada reduzida
da matriz aumentada do sistema. (15 pontos)
(b) Discorra sobre a existência e a unicidade de soluções de tal sistema. (05 pontos)
3. Sejam W1 e W2 os subespaços vetoriais de M2(R) dados por:
W1 =
{[
Ax By
Cz 0
]
;x, y, z ∈ R
}
e W2 =
{[
0 Dy
Ez Fw
]
; y, z, w ∈ R
}
.
(a) Determine um conjunto de geradores do subespaçoW1+W2 e determine sua dimensão.
(10 pontos)
(b) Determine um conjunto de geradores do subespaçoW1∩W2 e determine sua dimensão.
(10 pontos)
4. Sejam p1 e p2 os polinômios de P2(R) dados por:
p1(x) = (1 + A) + (1 +B)x e p2(x) = (1 + C) + (1 +D)x
2.
(a) Determine uma base α para o subespaço gerado por p1 e p2 . (10 pontos)
(b) Complete a base α do item (a), para obter uma base β para P2(R). (10 pontos)
(c) Determine as coordenadas do polinômio p(x) = 1−x+x2 em relação à base β, obtida
no item (b). (10 pontos)
Observações:
1. Escreva os cálculos em detalhe.
2. Justifique todas as afirmações; afirmações não-justificadas, ainda que corretas,
não serão consideradas.