12_Mat_Bio_Derivadas_2018 1_fa42e260367891ec46fddb46b2984a3c

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MATEMÁTICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS 
 PROFESSORA KARINA BENATO 
 
DERIVADAS 
 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA 
 
O conceito de derivada é de origem muito intuitiva, tendo surgido do problema de encontrar a tangente a 
uma curva por um ponto arbitrário da mesma. Com esse conceito tornou-se possível grande entendimento de 
muitos fatos matemáticos, além de se abrirem perspectivas para aplicações em diversos ramos do conhecimento. 
Com muita frequência, ao se aplicar uma droga a um paciente, busca-se maximizar seu potencial de ação 
e, ao mesmo tempo minimizar possíveis efeitos adversos que porventura provoque. Quando uma epidemia está 
em curso, as autoridades tratam de otimizar as estratégias para detê-la o mais cedo possível. Muitos desses 
problemas de otimização podem ser resolvidos plenamente com o emprego de derivada. Usualmente, para se 
conseguir resolver um problema de otimização, deve-se antes construir uma função para representar a grandeza a 
ser otimizada. No caso de se buscarem os pontos de máximo de uma função  xfy  , de fato desejamos 
identificar os valores de x que fazem  xfy  o maior possível. 
A seguir apresentaremos as notações que serão usadas em nosso estudo e as regras de derivação que 
nos permitem encontrar, com facilidade, as derivadas das funções estudadas. 
(Texto retirado de: Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas. Aguiar, F. A. A.; Xavier, A. F. S.: Rodrigues, J. E. M.) 
 
NOTAÇÕES: A derivada de uma função  xfy  é uma função representada por:  xf '
,  xfDx ,  xf
dx
d
 ou 
'y , yDx , 
dx
dy
. 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
1. DERIVADA DA FUNÇÃO CONSTANTE:   0
'
c 
 
2. DERIVADA DA FUNÇÃO IDENTIDADE:   1
'
x 
 
3. DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL:   xx ee 
'
 
 
4. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL:  
x
x
1
ln
'
 
 
5. DERIVADA DA SOMA OU DIFERENÇA DE FUNÇÕES:         xgxfxgxf '''
 
 
2 
 
6. DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA FUNÇÃO:     xfcxfc ''
 
EXEMPLOS: 
 
a. 5 xy 
 
b. 
2
3
 xey 
 
c. xxy ln 
 
d. 103
3
ln2
5  x
x
ey x
 
 
7. DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA:   1'  pp xpx 
 
EXEMPLOS: 
 
a. 
10xy  
 
b. 
3 5xy  
 
c. 
5
2
x
y  
 
d. 
x
y
1
 
 
8. DERIVADA DO PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES:             xfxgxgxfxgxf '''
 
 
EXEMPLO: xxy ln3  
 
9. DERIVADA DO QUOCIENTE DE DUAS FUNÇÕES: 
 
 
       
  2
'''
xg
xgxfxfxg
xg
xf 






 
EXEMPLO: 
x
x
y
41
32


 
 
 
 
 
3 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
 
1. Encontre 
'y , sabendo que: 
a. 323 24  xxxy 
b. xxxxy  235 523 
c. 
5
912 

x
y 
d. ex
x
y  3
2
2
 
e. xxxy  56 204 
f. 523  xexy 
g. xxy ln67  
h. 2ln4
3
2 6
 x
x
y 
i. exey x 3ln
3
2
5  
j. 54ln63  xexxy 
k. 
2
2
ln
3
e
xx
y  
l. 125ln 3  ey 
m. 
22
3
x
y  
n. 
3
81
xx
y  
o. 
30
3
5
2
xx
y  
p. xy 2 
q. 
3
3
x
xy  
r. 
3
2
2
3 3 xx
y  
s. x
xx
y 25
2
ln
3
 
t. 
3 x
x
xxy 
 
2. Encontre 
'y , sabendo que: 
 
a. xxy ln 
b. 
xexy 23 
c. xxy ln5 3 
d. 
x
x
y



1
32
 
e. 
x
x
y
)1(3 2 
 
f. 
1
12



x
x
y 
g. 
x
e
y
x
2
 
h. 
3
32 1523
x
xxx
y


 
 
 
 
 
 
 
4 
 
RESPOSTAS 
1. 
a. 264 3'  xxy 
b. 110615 24'  xxxy 
c. 
5
12' y 
d. 3'  xy 
e.  45' 10024 xxy 
f. 
xexy 23 2'  
g. 
x
y
1
6'  
h. 
x
xy
4
4 5'  
i. 
x
ey x
3
2
5'  
j. 
xe
x
y 4
6
3'  
k. 
x
y
2
1
3
1'  
l. 0' y 
m. 
3
' 3
x
y  
n. 
42
' 241
xx
y  
o. 
312
' 90
5
2
xx
y  
p. 
x
y
1'  
q. 
3 4
' 1
2
1
xx
y  
r. 
3 2
'
9
2
4
3
xx
y  
s. 
xx
y
1
2
1
3
1'  
t. 
3
'
3
2
2
3
x
x
y  
 
2. 
a. xy ln1'  
b.  23'  xxey x
 
c.  xxy ln315 2'  
d. 
2
'
)1(
1
x
y


 
e. 
2
2
' 33
x
x
y

 
f. 1' y 
g. 
 
2
'
2
1
x
xe
y
x 
 
h. 
423
' 326
xxx
y 