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UFMG/ICEx/MAT — BH 27/07/2021 Prova 2 de Equações Diferenciais C Turma TB1
Respostas sem justificativas não serão consideradas.
Entregar no Microsoft Teams até às 23h59min do dia 27/07/2021.
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Questão 1 2 3 Total
Pontos 7 14 12 33
Nota
1. (7 pontos) Usar o método de solução em séries de potências para determinar os seis primeiros termos da solução do problema de
valor inicial{
(1+2x2)y ′′(x)− y(x) = 0;
y(0) = 4; y ′(0) = 1.
SUGESTÃO: Procurar solução da forma y(x) =
+∞∑
n=0
an x
n = a0 +a1x1 +a2x2 +a3x3 +a4x4 +a5x5 +a6x6 +·· ·+an xn +·· · .
2. (a) (3 pontos) Determinar a transformada de Laplace da função f (t ) =

−2, 06 t 6 4;
−4+ t
2
, 4 < t 6 12;
0, 12 < t <+∞.
(b) (4 pontos) Determinar a transformada inversa de Laplace da função F (s) = 9s
2 +86s +212
(2s −3)(s2 +12s +52) exp(−πs).
(c) (7 pontos) Resolver o problema de valor inicial ÿ(t )+11ẏ(t )+24y(t ) =+3δ(t −2)−δ(t −3); y(0) = 0; ẏ(0) = 0.
3. Considerar os seguintes sistemas de equações diferenciais lineares e seus correspondentes autovalores.
(a) ẋ(t ) =
[+2 −1
+1 +2
]
x(t );
λ1 = 2+1i ; λ2 = 2−1i .
(b) ẋ(t ) =
[−1 +1
−1 −1
]
x(t );
λ1 =−1+1i ; λ2 =−1−1i .
(c) ẋ(t ) =
[−1 0
+1 −1
]
x(t );
λ1 =−1; λ2 =−1.
(d) ẋ(t ) =
[+2 +2
+1 +1
]
x(t );
λ1 = 0; λ2 =+3.
(e) ẋ(t ) =
[+1 +4
+1 +1
]
x(t );
λ1 =−1; λ2 =+3.
(f) ẋ(t ) =
[−3 +1
+1 −3
]
x(t );
λ1 =−2; λ2 =−4.
(g) ẋ(t ) =
[+2 +1
+1 +2
]
x(t );
λ1 =+1; λ2 =+3.
(h) ẋ(t ) =
[−2 0
0 −2
]
x(t );
λ1 =−2; λ2 =−2.
(i) ẋ(t ) =
[−1 +1
+1 −1
]
x(t );
λ1 = 0; λ2 =−2.
(j) ẋ(t ) =
[+4 +1
−1 +2
]
x(t );
λ1 =+3; λ2 =+3.
(k) ẋ(t ) =
[+1 0
0 +1
]
x(t );
λ1 =+1; λ2 =+1.
(l) ẋ(t ) =
[+2 +5
−1 −2
]
x(t );
λ1 = 0+1i ; λ2 = 0−1i .
Considerar também os seguintes campos vetoriais e seus retratos de fase.
(m) (n) (o) (p)
(q) (r) (s) (t)
(u) (v) (w) (x)
i. (4 pontos) Associar cada sistema de (a) até (l) ao seu correspondente retrato de fase de (m) até (x).
ii. (8 pontos) Resolver o problema de valor inicial com o sistema do item (c): ẋ(t ) =
[−1 0
+1 −1
]
x(t ); x(0) =
[
x0
y0
]
.
Turma TB1—Ter e Qui: 9h25–11h05 Prova 2 EDC (MAT040)