Equações 2 grau1

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INSTITUTO FEDERAL 
PARANÁ 
 MINISTÉRIO DA 
EDUCAÇÃO 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ – Campus Campo Largo 
Rua Engenheiro Tourinho, 829 – Bairro Vila Solene – CEP: 83.607-240 - Campo Largo - PR 
Equação do2o grau 
Página 32 
Equação do 2° grau 
 
Como já vimos, uma equação do 2o grau é 
toda equação cujo maior expoente da incógnita é 
dois. Uma equação do 2o grau pode ser escrita de 
maneira geral como: ax2+bx+c=0, em que a, b e c 
são chamados de coeficientes, e, através destes, 
temos a solução da equação dada pela fórmula: 
= − ± √ − 4
2 
Uma equação do 2o grau pode ter até duas 
soluções. 
 
Exemplos 
 
E1)Encontre o valor da incógnita x nas equações a 
abaixo: 
 
a) 2x² - 50 = 0 
Como aequaçãopossuicoeficiente b=0, podemos resolver 
apenasisolando a incognita x. 
 
2x² - 50 = 0 
2x² = 50 
x² = 50/2 
x² = 25 
 
x = √25 
x = ±5 
 
S= {-5,5} 
 
Outrasolução 
 Na equação, temososcoeficientes a= 2; b=0 e c=-50 
Aplicando a formula temos: 
 
= −0 ± 0 − 4.2. (−50)
2.2 
= ±√400
4 
 
= ±20
4 
= 20
4 = 5 
= − 20
4 = −5 
Logo, S= {-5,5} 
b) x² - 7x = 0 
Na equação x² - 7x = 0 temososcoeficientes a=1, b=-7 e 
c=0 
Aplicando a formula temos: 
= −(−7) ± (−7) − 4.1.0
2.1 
= 7 ± √49
2 
 
= 7 ± 7
2 
 
= 7 + 7
2 = 14
2 = 7 
 
= 7 − 7
2 = 0 
Outra solução 
 ² − 7 = 0 
( − 7) = 0 
Como o produto resulta em zero, temos que: 
= 0ou = 7 ∴ = {0,7} 
 c) x² - 3x - 4 = 0 
Na equação x² - 3x - 4 = 0 temososcoeficientes a=1, b=-3 e 
c=-4 
Aplicando a formula temos: 
= −(−3) ± (−3) − 4.1. (−4)
2.1 
= 3 ± √25
2 
 
= 3 ± 5
2 
 
= 3 + 5
2 = 8
2 = 4 
 
= 3 − 5
2 = − 2
2 = −1 
 
Logo, S= {-1,4} 
d) x.(x – 3) – 2.( x - 3) = 6 
− 3 − 2 + 6 = 6 − 5 = 0 ( − 5) = 0 
Logo, = 0 ou = 5 
S= {0,5} 
 
 e) 4x² + 2x + 1 = 0 
 Na equação 4x² + 2x + 1 = 0 temos os coeficientes a=4, 
b=2 e c=1 
Aplicando a formula temos: 
= −2 ± √2 − 4.4.1
2.4 
= −2 ± √−12
8 
Observe que temos a raiz de um número negativo, e, 
como não existe raiz de número negativo dentro do 
conjunto dos números reais, conclui-se que a equação não 
possui solução. 
Logo, S= { } 
 
f) -2x² + 4x – 2 = 0 
 Na equação-2x² + 4x - 2 = 0 temososcoeficientes a=-2, 
b=4 e c=-2 
Aplicando a formula temos: 
= −4 ± 4 − 4. (−2). (−2)
2. (−2) 
= −4 ± √0
−4 
= 1 
Logo, S= {1} 
 
 
 
 
 
 
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Equação do2o grau 
Página 33 
E2) Um grupo de torcedores de um time decidiu 
pintar uma faixa de 72 m. Como 4 deles não 
apareceram no dia combinado, cada um que 
compareceu teve que pintar 9 metros a mais. 
Quantos torcedores havia inicialmente? 
 Seja: 
n= número de torcedores 
p= metros que cada torcedor deverá pintar. 
Dessa forma, temos que: 
( ) . = 72 
Como no dia combinado, dois faltaram, então: 
( ) ( − 2)( + 9) = 72 
isolando p na equação (I) e substituindo na (II) temos: 
( − 4) 72 + 9 = 72 
72 + 9 − 288 − 36 = 72 
72 + 9 − 288 − 108 = 0 
9 − 36 − 288 = 0 
− 4 − 32 = 0 
Logo: = 1; = −4; = −32 
= 4 ± (−4) − 4.1. (−32)
2.1 
= 4 ± √144
2 
= 4 ± 12
2 
= 16
2 = 8 
= = −4 →descartado pois n é referente a 
número de pessoas, portanto deve ser natural. 
Logo, = 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Equação do2o grau 
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Equação do 2o grau – Exercícios – Lista 1 
 
1) Resolva as equações: 
 
a) x2 - x - 20 = 0 
b) x2 - 3x -4 = 0 
c) x2 - 8x + 7 = 0 
 
2)Encontre o valor de x das equações abaixo: 
a) x² - 49 = 0 
b) 7x² - 7 = 0 
c) 21 = 7x² 
d) 5x² - 20 = 0 
e) x² + 5x = 0 
f) 4x² - 9x = 0 
g) 3x² + 5x =0 
h) 4x² - 12x = 0 
 
i) x² + 9 x + 8 = 0 
j) x² - 10x + 25 = 0 
k) x² - x - 20 = 0 
l) x² - 8x + 7 = 0 
m) 3 x² - 15 x + 12 = 0 
n) x² + x ( x – 6 ) = 0 
o) x(x + 3) = 5x 
p) ( x + 5)² = 25 
 
3) Resolva as expressões algébricas abaixo: 
 
a) 8x2 – (10-5x+x2) = 3[x-(2+x2)] 
b) (2x+3)2 = (2x)2 + 32 
c) 9x2 + 12x = -4 
d) x2 – x + ¼ = 0 
 
4) (FUVEST) Determine a soma dos valores de m para os 
quais x=1 é raiz da equação: 
 x² + (1 + 5m - 3m²)x + (m² + 1) = 0 ; 
5) A equação (x – 2)(x + 2) = 2x – 9: 
 a) admite duas raízes reais e iguais. 
b) admite duas raízes reais e opostas. 
c) admite apenas uma raiz. 
d) não admite raízes reais. 
 
6) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a 
dez vezes esse número. Calcule esse número. 
7) Determinar o valor de m na equação 
x2 – 5x + m = 0, sabendo que uma raiz é 3. 
 
8) O retângulo da figura abaixo tem 140 cm2 de área. 
Nessas condições qual é o perímetro desse retângulo? 
 
9) A tela de um quadro tem a forma retangular e mede 50 
cm por 30 cm. Nessa tela foi colocada uma moldura, 
também retangular, de largura x uniforme. Calcule essa 
largura sabendo que o quadro todo passou a ocupar uma 
área de 2400 cm2. 
 
10)Prova PM Acre Soldado 2012 – Funcab –Determine o 
produto das raízes da equação 
x² – 3x + 36 = 2x – x² – 14. 
 
A) 2,5B) 10C) 25D) 100E) 50 
 
11) Uma tela retangular com área de 9600cm2 tem de 
largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as 
dimensões desta tela? 
 
12) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 
40. Qual é esse número? 
 
13) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais 
para revestir 45 m² de parede. Qual é a medida do lado de 
cada azulejo? 
14) (CEPERJ-2013-Analista Executivo) Observe a 
equação do segundo grau abaixo: 
3 = 4 + 1
64 
A diferença entre a maior raiz e a menor raiz vale: 
 
a) 1/12 
b) 1/8 
c) 1/6 
d) 1/4 
e) 1/2 
 
15) (Exatus-2013-PM-ES) Eduardo tinha, há 2 anos atrás, 
o triplo da idade de sua irmã Cláudia. Hoje, o produto de 
suas idades é igual a 84. A diferença de idade entre 
Eduardo e Cláudia é de: 
 a)8 anos. 
b)7 anos. 
c)6 anos. 
d)5 anos. 
e)4 anos. 
16) (UFMT-2013-COPEL) Dada a equação do segundo 
grau x2 - 3x - 4 = 0, assinale a alternativa que apresenta, 
respectivamente, os valores de Δ e da soma das raízes 
dessa equação. 
 a) 25 e 3 
b) 25 e 5 
c) 36 e 2 
d) 36 e 4 
 
 
 
 
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Equação do2o grau 
Página 35 
Equação do 2o grau – Exercícios – Lista 2 
 1) Resolva: 
a) − 3 − 4 = 0 
b) + 8 + 16 = 0 
c) 3 − 2 − 1 = 0 
d) 4 − 2 + 1 = 0 
e) 5 + 4 − 1 = 0 
f) − 7 + 15 = 0 
g) 9 − 6 + 1 = 0 
h) 2 − 4 − 1 = 0 
i) − − 12 = 0 
j) 6 + − 1 = 0 
k) + 7 + 10 = 0 
l) − 2 − 15 = 0 
m) 2 + 5 − 3 = 0 
n) − − 12 = 0 
o) − 2 = 0 
p) 2 + = 0 
q) − = 0 
r) 1 − = 0 
s) 3 − 4 + 1 = 0 
t) 2 + 3 + 1 = 0 
u) 7 + 13 − 2 = 0 
v) + − 6 = 0 
w) 3 − 7 + 2 = 0 
x) −3 + 6 = 0 
y) −5 = 0 
 2) Numa festa de formatura, os n formandos de uma 
classe decidiram que cada um iria enviar a todos os outros 
um email contando o que achava que estaria fazendo 10 
anos depois. Qual o número de formandos, sabendo que, 
ao todo, foram enviados 1.980 emails? 
 
3) Os alunos de uma turma resolveram comprar, para o 
professor de Matemática, um presente no valor de R$ 
480,00, dividindo igualmente o gasto. Como 6 alunos se 
recusaram a participar da divisão, cada pessoa teve que 
contribuir com R$ 4,00 a mais. Quantos alunos da turma 
ajudaram a comprar o presente? 
 
4) Dois amigos levam juntos 24 horas para descarregar um 
trem carregado de farinha. Se os dois trabalhassem 
sozinhos, um deles levariam 20 horas a menos que o outro 
para descarregar a farinha. Em quanto tempo cada um 
deles descarregaria o trem? 
 
5) (UNICAMP) Uma transportadora entrega, com 
caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a 
problemasoperacionais, em certo dia cada caminhão foi 
carregado com 500 kg a menos que o usual, tendo sido 
necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões. 
 a) Quantos caminhões foram necessários naquele 
dia? 
b) Quantos quilos transportou cada caminhão? 
6) (ESPP – 2013 – BB) A diferença entre a maior e a 
menor raiz da equação ( − 2)
2 − + 2
3 = −4 
é igual a: 
 a) 3 b) 5c) 2 d) 4 
 
7) (OFICIUM-2005-TJ-RS) Se ao dobro de um certo 
número adicionarmos o quadrado desse mesmo número, 
obteremos 24. Esse número é 
 a) -12 ou 8 
b) -8 ou 12 
c) -6 ou - 4 
d) -6 ou 4 
e) -4 ou 6 
 
8) Resolva as equações de 2o grau: 
1) x² - 5x + 6 = 0 
2) x² - 8x + 12 = 0 
3) x² + 2x - 8 = 0 
4) x² - 5x + 8 = 0 
5) 2x² - 8x + 8 = 0 
6) x² - 4x - 5 = 0 
7) -x² + x + 12 = 0 
8) -x² + 6x - 5 = 0 
9) 6x² + x - 1 = 0 
10) 3x² - 7x + 2 = 0 
11) 2x² - 7x = 15 
12) 4x² + 9 = 12x 
13) x² = x + 12 
14) 2x² = -12x - 18 
15) x² + 9 = 4x 
16) 25x² = 20x – 4 
17) 2x = 15 – x² 
18) x² + 3x – 6 = -8 
19) x² + x – 7 = 5 
20) 4x² - x + 1 = x + 3x² 
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x² 
22) 4 + x ( x - 4) = x 
23) x ( x + 3) – 40 = 0 
24) x² + 5x + 6 = 0 
25) x² - 7x + 12 = 0 
26) x² + 5x + 4 = 0 
27) 7x² + x + 2 = 0 
28) x² - 18x + 45 = 0 
29) -x² - x + 30 = 0 
30) x² - 6x + 9 = 0 
31) (x + 3)² = 1 
32) (x - 5)² = 1 
33) (2x - 4)² = 0 
34) (x - 3)² = -2x² 
35) x² + 3x - 28 = 0 
36) 3x² - 4x + 2 = 0 
37) x² - 3 = 4x + 2