numeros_inteiros

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Estruturas Alge´bricas I
Nu´meros Inteiros Noc¸o˜es Fundamentais
M. Kennedy
UNEMAT
Ca´ceres-MT, 25 de junho de 2015
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Nu´meros Inteiros
Os nu´meros inteiros ou apenas inteiros e´ o conjunto representado pela
letra Z e escrito da forma: Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Podemos
destacar em Z os seguintes subconjuntos:
1 Z∗ = {x ∈ Z/x 6= 0} = {±1,±2,±3, . . .} inteiros na˜o nulos.
2 Z+ = {x ∈ Z/x ≥ 0} = {0, 1, 2, 3, . . .} inteiros na˜o negativos.
3 Z− = {x ∈ Z/x ≤ 0} = {0,−1,−2,−3, . . .} inteiros na˜o positivos.
4 Z∗+ = {x ∈ Z/x > 0} = {1, 2, 3, . . .} inteiros positivos.
5 Z∗− = {x ∈ Z/x < 0} = {−1,−2,−3, . . .} inteiros negativos.
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Propriedades - Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o
Em Z, temos duas operac¸o˜es bem definidas, adic¸a˜o (+) e multiplicac¸a˜o
(.), nas quais destacamos as seguintes propriedades, dados a, b, c ∈ Z,
temos:
1. a + b = b + a e ab = ba
2. (a + b) + c = a + (b + c) e (ab)c = a(bc)
3. 0 + a = a e 1.a = a
4. −a = (−1)a e a− a = a + (−a) = 0
5. a(b + c) = ab + ac
6. 0.a = 0, e se ab = 0, enta˜o a = 0 ou b = 0.
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Propriedades - Relac¸a˜o de Ordem
Tambe´m existe uma “relac¸a˜o de ordem” entre os inteiros, representada
pelo sinal “< (menor que)”, que possui as seguintes propriedades:
7. Se a 6= 0, enta˜o a < 0 ou 0 < a
8. Se a < b e b < c , enta˜o a < c
9. Se a < b, enta˜o a + c < b + c
10. Se a < b e 0 < c , enta˜o ac < bc
11. Se a < b e c < 0, enta˜o bc < ac
Destas propriedades podem ser deduzidas muitas outras propriedades dos
inteiros.
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Exemplos com as propriedades
Exemplo 1.1 Demonstrar: −(a + b) = (−a) + (−b).
Exemplo 1.2 Demonstrar que, se x 6= 0, enta˜o 0 < x2.
OBS: Com o mesmo significado de a < b, escreve-se b > a.
Indica-se, de modo abreviado, que a < b ou a = b por a ≥ b.
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Valor Absoluto - Definic¸a˜o
Def 1.1 Chama-se valor absoluto de um inteiro a, o inteiro que se
indica por |a|, e tal que
|a| =
{ −a se a ≤ 0
a se a > 0
|a| =
√
a2 e |a| = ma´x(−a, a) |a| ≥ 0, |a|2 = a2, | − a| = |a|,
a ≤ |a|.
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Teoremas
Teorema 1.1 Se a e b sa˜o dois inteiros, enta˜o:
|ab| = |a|.|b|
Teorema 1.2 Se a e b sa˜o dois inteiros, enta˜o:
|a + b| ≤ |a|+ |b|
Corola´rio 1.1 Se a e b sa˜o dois inteiros, enta˜o:
|a− b| ≤ |a|+ |b|
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Fatorial
Definic¸a˜o 1.2 Chama-se fatorial de um inteiro na˜o negativo n (n ≥ 0), o
inteiro que se indica por n!, e tal que
n! =
{
1 se n = 0 ou n = 1
n(n − 1)(n − 2) . . . 3.2.1 se n ≥ 2
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Exemplos
Exemplo 1.3 Escrever, usando o s´ımbolo de fatorial, o produto dos n
primeiros inteiros positivos pares e o produto dos n primeiros
positivos ı´mpares.
Exemplo 1.4 Calcular a soma:
1.1! + 2.2! + 3.3! + . . . + n.n!
(Dica: use a igualdade: k .k! = (k + 1)!− k!)
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Nu´mero Binomial
Definic¸a˜o 1.3 Sejam n > 0 e k dois inteiros tais que
0 ≤ k ≤ n
Chama-se nu´mero binomial de numerador n e classe k, o
inteiro que se indica por
(
n
k
)
, e tal que
(
n
k
)
=
n!
k!(n − k)!
OBS: Em particular, para k = 0 ou k = n, temos:(
n
0
)
=
(
n
n
)
= 1
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Nu´meros Binomiais Complementares
Definic¸a˜o 1.4 Chama-se nu´meros binomiais complementares dois nu´meros
binomiais que teˆm o mesmo numerador e cuja soma das suas
classes respectivas e´ igual ao numerador comum.
Teorema 1.3 Dois nu´meros binomiais complementares sa˜o iguais.
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Nu´meros Binomiais Consecutivos
Definic¸a˜o 1.5 Chama-se nu´meros binomiais consecutivos dois nu´meros
binomiais que teˆm o mesmo numerador e cujas classes
respectivas sa˜o inteiros consecutivos.(
n
k − 1
) (
n
k
)
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Teoremas
Teorema 1.4 Entre dois nu´meros binomiais consecutivos
(
n
k − 1
)
e
(
n
k
)
,
com 1 ≤ k ≤ n, subsiste a relac¸a˜o de Stifel:(
n
k − 1
)
+
(
n
k
)
=
(
n + 1
k
)
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Teoremas
Corola´rio 1.2
(n
k
)
=
(n−1
k−1
)
+
(n−2
k−1
)
+ . . . +
( k
k−1
)
+
(k−1
k−1
)
Corola´rio 1.3
(n
k
)
=
(n−1
k
)
+
(n−2
k−1
)
+ . . . +
(n−k
1
)
+
(n−k−1
k−1
)
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Fim da primeira apostila...
fac¸am os exerc´ıcios
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