DIVISIBILIDADE- LISTA 1- A

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Teoria Elementar dos Números 
Divisibilidade 
Lista I 
1- Quantos pares de números inteiros 𝑎 e 𝑏 satisfazem a igualdade 
𝑎2021 + 𝑎2020 + 2017 = 𝑏2018 + 𝑏2017? 
2- Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ e 𝑐 ≠ 0. Mostre que 
a) 𝑎|𝑏 e 𝑏|𝑎 se, e somente se, |𝑎| = |𝑏|; 
b) 𝑎𝑐|𝑏𝑐 se, e somente se, 𝑎|𝑏. 
3- Calcule a soma de todos os múltiplos de 6 que se escrevem com dois algarismos. 
4- 
a) Mostre que o produto de 𝑘 números naturais consecutivos é divisível por 𝑘!. 
b) Mostre que 6|(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1), para todo 𝑛 natural. 
5- Mostre, por indução, que, para todo 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}, 
a) 8|32𝑛 + 7 b) 9|10𝑛 + 3 ∙ 4𝑛+2 + 5 c) 2𝑛|32
𝑛
− 1 
d) 9|𝑛 ∙ 4𝑛+1 − (𝑛 + 1) ∙ 4𝑛 + 1 e) 169|33𝑛+3 − 26𝑛 − 27. 
6- Mostre que 13|270 + 370. 
7- Mostre que para todo 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}, 
a) 8|32𝑛 − 1 b) 53|74𝑛 − 24𝑛 c) 3|10𝑛 − 7𝑛 d) 13|92𝑛 − 24𝑛 
e) 6|52𝑛+1 +1 f) 19|32𝑛+1 + 44𝑛+2 g) 17|102𝑛+1 + 72𝑛+1 
h) 14|34𝑛+2 + 52𝑛+1. 
8- Encontre os números inteiros positivos 𝑎 os quais: 
a) 𝑎 − 2|𝑎3 + 4. 
b) 𝑎 + 3|𝑎3 − 3. 
c) 𝑎 + 2|𝑎4 + 2. 
d) 𝑎 + 2|𝑎4 + 2𝑎3 + 𝑎2 + 1. 
e) 5𝑎 − 1|3𝑎3 + 7. 
9- Determine o menor inteiro positivo 𝑎 tal que 𝑎|5, 𝑎 + 1|7, 𝑎 + 2|9 e 𝑎 + 3|11. 
10- Encontre todos os números inteiros positivos 𝑛 tais que: 
a) 5𝑛 − 7|3𝑛2 − 10𝑛 + 7 
b) 3𝑛 + 7|4𝑛3 − 17𝑛2 − 15𝑛 − 62 
c) 7𝑛 + 3|5𝑛2 + 2𝑛 + 13 
d) 6𝑛 + 26|8𝑛2 − 7𝑛 − 125 
e) 11𝑛 − 13|2𝑛2 − 81𝑛 + 25 
11- Um número inteiro positivo 𝑛 = 𝑎222𝑎221𝑎220𝑎219…𝑎1𝑎0̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ tem 223 algarismos 
em que 𝑎222 ∙ 𝑎221 ∙ 𝑎220 ∙ ⋯ ∙ 𝑎1 ∙ 𝑎0 = 3
446. Determine o valor da soma 𝑎222 +
𝑎221 + 𝑎220 +⋯+ 𝑎1 + 𝑎0. 
12- Determine os números de quatro algarismos da forma 1𝑎7𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ que são divisíveis por 
15. ( os algarismos 𝑎 e 𝑏 não são necessariamente distintos) 
13- Obtenha todos os pares de inteiros positivos (𝑎, 𝑏) tais que 
(𝑎𝑏2 + 𝑏 + 7)|(𝑎2𝑏 + 𝑎 + 𝑏). 
14- Obtenha os pares de inteiros (𝑥, 𝑦) que satisfazem a equação 
𝑥3 − 𝑦3 = 3(𝑥2 − 𝑦2). 
15- Qual é o número de soluções inteiras positivas (𝑥, 𝑦) de 
1
𝑥
+
1
𝑦
=
1
1998
. 
16- Mostre que não existem números inteiros positivos 𝑥, 𝑦, 𝑧 e 𝑡 tais que 
𝑥2 + 𝑦2 = 3(𝑧2 + 𝑡2). 
17- Sejam 𝑛, 𝑎, 𝑏 e 𝑐 números inteiros positivos, encontre todas as soluções da 
equação 
𝑛𝑎 + 𝑛𝑏 = 𝑛𝑐. 
18- Os números 22002 e 52002 têm 𝑚 e 𝑛 dígitos, respectivamente. Determine 𝑚 + 𝑛. 
19- Mostre que, para todos 𝑎,𝑚, 𝑛 ∈ ℤ. 
𝑚 > 𝑛 > 0 ⇒ 𝑎2
𝑛
+ 1|𝑎2
𝑚
− 1. 
20- Mostre que para todo 𝑛 ∈ ℕ, que 𝑛2|(𝑛 + 1)𝑛 − 1. 
21- Sejam 𝑥, 𝑦 e 𝑧 inteiros positivos, mostre que existem infinitas soluções para 
equação 
𝑥3 + 1990𝑦3 = 𝑧4. 
22- Sejam 𝑥, 𝑦 e 𝑧 inteiros maiores do que 1. Determine todas as triplas de números 
inteiros (𝑥, 𝑦, 𝑧) tais que (𝑥 + 1)𝑦 − 𝑥𝑧 = 1. 
23- Obtenha todos os pares de inteiros (𝑥, 𝑦) tais que 9𝑥𝑦 − 𝑥2 − 8𝑦2 = 2005. 
24- Considere o número 𝐴 = 77777777777…7777777⏟ 
1001 𝑑í𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠
. Determine o quociente e o 
resto da divisão de 𝐴 por 1001. 
25- Considere um inteiro positivo 𝑘 em que 𝑘(𝑘 + 1)/3 é um quadrado perfeito. 
Mostre que 𝑘/3 e 𝑘 + 1 são quadrados perfeitos. 
26- Sejam 𝑎 e 𝑏 inteiros positivos. Encontre todos os pares (𝑎, 𝑏) tais que 
𝑎𝑏 + 1|(𝑎 + 1)(𝑏 + 1). 
27- Quais são os números que, quando divididos por 5, deixam resto igual 
a) à metade do quociente? b) ao quociente? 
 c) ao dobro do quociente? d) ao triplo do quociente? 
 
 
OBS.: Entregar os problemas: 01, 02, 04, 08, 09, 10, 11, 13, 16 e 20.