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Geometria Analítica 
 
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
A geometria analítica possibilita o estudo das 
figuras geométricas planas e espaciais, associando-as a 
um sistema de coordenadas cartesianas. A partir da 
geometria analítica é possível estudar tais figuras através 
de equações algébricas. 
Inicialmente recordando o conceito de plano 
cartesiano, bem como as definições de alguns elementos 
presentes neste plano e suas propriedades, para depois 
introduzirmos os conceitos da Geometria Analítica. 
 
PLANO CARTESIANO 
 
O plano cartesiano é um plano formado por duas 
retas reais que se cortam perpendicularmente e são 
denominadas: eixo das abscissas (reta horizontal 𝒐𝒙) e 
eixo das ordenadas (reta vertical 𝒐𝒚), como na figura 
abaixo: 
 
 Figura 1 
 
Todos os pontos do plano cartesiano se 
correspondem a um par ordenado: (𝑥, 𝑦), onde 𝒙 são as 
abscissas e 𝒚 são as ordenadas. 
 
Figura 2 
 
● Características dos pontos, com relação ao 
posicionamento deles no plano cartesiano. 
 
→ Pontos do 1° quadrante. 
 
𝑥 > 0 e 𝑦 > 0 
 
→ Pontos do 2° quadrante. 
 
𝑥 < 0 e 𝑦 > 0 
 
→ Pontos do 3° quadrante. 
 
𝑥 < 0 e 𝑦 < 0 
 
→ Pontos do 4° quadrante. 
 
𝑥 > 0 e 𝑦 < 0 
 
→ Pontos do eixo ox (eixo das abscissas). 
 
A ordenada é igual à zero (𝑦 = 0) 
 
→ Pontos do eixo oy (eixo das ordenadas). 
 
A abscissa é igual à zero (𝑥 = 0) 
 
● Subconjuntos dos planos cartesianos 
 
Estudaremos, agora, alguns subconjuntos do 
plano cartesiano. São eles: as bissetrizes dos quadrantes 
ímpares e as bissetrizes dos quadrantes pares. 
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Já sabemos que a bissetriz de um ângulo é uma 
semi-reta que tem por origem o vértice do ângulo e divide 
o mesmo em dois outros ângulos congruentes. Então: 
 
● Bissetrizes dos quadrantes ímpares 
 
As bissetrizes dos quadrantes ímpares são as 
semi-retas opostas que possuem como origem, a origem 
do sistema cartesiano (o ponto O) e estão no 1° e no 3° 
quadrante (os quadrantes ímpares do plano cartesiano). 
Observe a figura abaixo: 
Considerando a bissetriz 𝑏1 dos quadrantes 
ímpares, temos: 
 
 
Perceba que os triângulos 𝑃𝑂𝑃′ e 𝑃𝑂𝑃′′ são 
congruentes, pois são triângulos retângulos que possuem 
os catetos 𝑃𝑃′ ≡ 𝑃𝑃′′ (pela propriedade das bissetrizes) e 
a hipotenusa 𝑃𝑂̅̅ ̅̅ comum. Observa – se então que os 
catetos 𝑂𝑃′̅̅ ̅̅ ̅ do triângulo 𝑃𝑂𝑃′ e 𝑂𝑃′′̅̅ ̅̅ ̅̅ do triângulo 𝑃𝑂𝑃′′ 
possuem a mesma medida. 
Dessa forma, as coordenadas do par ordenado 
que identifica o ponto 𝑃 no plano cartesiano, são iguais. 
Por isso é que os pontos das bissetrizes dos 
quadrantes ímpares possuem coordenadas iguais. 
 
 
Um ponto pertence a uma das bissetrizes dos 
quadrantes ímpares se, e somente se, possui a 
abscissa igual à ordenada. 
 
 
 
 
 
● Bissetrizes dos quadrantes pares 
 
As bissetrizes dos quadrantes pares são as 
semi-retas opostas que possuem como origem a origem do 
sistema cartesiano (o ponto O) e estão no 2° e no 4° 
quadrante. Observe a figura abaixo: 
 
 
 
Observamos que os triângulos 𝑃𝑂𝑃′ e 𝑃𝑂𝑃′′ são 
congruentes, pois são triângulos retângulos que possuem 
os catetos 𝑃𝑃′ ≡ 𝑃𝑃′′ (pela propriedade das bissetrizes) e 
a hipotenusa 𝑃𝑂̅̅ ̅̅ comum. Observamos então, que os 
catetos 𝑂𝑃′̅̅ ̅̅ ̅ do triângulo 𝑃𝑂𝑃′ e 𝑂𝑃′′̅̅ ̅̅ ̅̅ do triângulo 𝑃𝑂𝑃′′ 
possuem a mesma medida. 
Dessa forma, as coordenadas do par ordenado 
que identifica o ponto 𝑃 no plano cartesiano, são opostas, 
devido ao semi-eixo negativo de Ox. Isso se explica 
também pelo caso de serem pontos do 2° e 4° quadrantes, 
pois os mesmo, como já foi visto anteriormente, possuem 
coordenadas simétricas. Por isso é que os pontos das 
bissetrizes dos quadrantes pares possuem 
coordenadas opostas. 
 
 
Um ponto pertence à uma das bissetrizes dos 
quadrantes pares se, e somente se, possui 
coordenadas opostas. 
 
 
 
 
 
 
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Ex1: 
Se o ponto 𝑃(2𝑚 − 8; 𝑚) pertence ao eixo dos 𝑦, então : 
 
a) 𝑚 é um número primo. 
b) 𝑚 é primo e par. 
c) 𝑚 é um quadrado perfeito. 
d) 𝑚 = 0. 
e) 𝑚 < 4. 
 
Resolução: 
Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y), 
então a sua abscissa é nula. Logo, teremos 2m - 8 
= 0, de onde tiramos m = 4 e, portanto a 
alternativa correta é a letra C, pois 4 é um 
quadrado perfeito (4 = 2
2
). 
 
 
Ex2: 
Se o ponto 𝑃(𝑟 – 12; 4𝑟 − 6) pertence à bissetriz dos 
quadrantes ímpares, então podemos afirmar que: 
 
a) 𝑟 é um número natural 
b) 𝑟 = − 3 
c) 𝑟 = −2 
d) r é um número inteiro menor do que - 3. 
e) não existe r nestas condições. 
 
 
Resolução: 
Os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares 
(reta y = x) possuem abscissa e ordenada iguais 
entre si. Logo, r - 12 = 4r - 6 de onde se conclui 
que r = - 2. 
 
(Das alternativas apresentadas, concluímos 
que a correta é a letra C, uma vez que r = -2.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
● Simétrico de um ponto no plano 
 
 Consideremos os pontos P(2,3), Q(1,4) e R(3,1) 
localizados no plano cartesiano. 
 
 
 
→ Simetria em relação ao eixo ox: 
 
 Observe que o ponto P e o ponto P’ são 
simétricos em relação ao eixo ox. Observe que sendo os 
pontos P (2,3) e P’ (2,-3), perceba que ambos possuem a 
mesma abscissa. 
 Logo, pontos simétricos em relação ao eixo ox 
possuem a mesma abscissa. 
 
→ Simetria em relação ao eixo oy: 
 
 Observe que o ponto Q e o ponto Q’ são 
simétricos em relação ao eixo oy. Observe que sendo os 
pontos Q (1,4) e Q’ (-1,4), perceba que ambos possuem a 
mesma ordenada. 
 Logo, pontos simétricos em relação ao eixo oy 
possuem a mesma ordenada. 
 
→ Simetria em relação à origem: 
 
 Observe que o ponto R e o ponto R’ são 
simétricos em relação à origem. Observe que sendo os 
pontos R (3,1) e R’ (-3,-1), perceba que ambos possuem 
as coordenadas simétricas. 
 Logo, pontos simétricos em relação à origem 
possuem as coordenadas simétricas. 
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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO 
CARTESIANO 
 
 Sejam os pontos A (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) e B(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) do plano 
cartesiano: 
 
 
 
 A distância entre os pontos A e B é a medida do 
segmento AB definido anteriormente graficamente. Mas, 
como encontrar esta medida? 
 Observe o triângulo retângulo ABC com 
hipotenusa AB: 
 
 
 
verificamos que os catetos AC e BC medem, 
respectivamente, 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 e 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴. Logo, aplicando o 
Teorema de Pitágoras teremos: 
 
(𝑑𝐴𝐵)
2 = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)
2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)
2 
𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2 
 
(Distância entre dois pontos A e B quaisquer do plano 
cartesiano) 
 
Atenção! 
A distância entre dois pontos A e B também pode 
ser dada por: 
𝑑𝐴𝐵 = √(∆𝑥)2 + (∆𝑦)2 
 
 
Ex1: 
Calcule a distância entre os pontos A(4,6) e B(9,18). 
 
Resolução: 
 
𝑑𝐴𝐵 = √(9 − 4)2 + (18 − 6)2 
𝑑𝐴𝐵 = √(5)2 + (12)2 
𝑑𝐴𝐵 = √169 
𝑑𝐴𝐵 = 13 
 
 
Ex2: 
Calculex sabendo que o ponto P(x,1) equidista dos pontos 
A(2,3) e B(3,-1). 
 
 
Resolução: 
Como o ponto P equidista dos pontos A e B, logo, a 
distância de P ao ponto A deverá ser igual a 
distância de P ao ponto B. Dessa forma: 
 
𝑑𝑃𝐴 = 𝑑𝑃𝐵 
√(𝑥 − 2)2 + (1 − 3)2 = √(𝑥 − 3)2 + (1 + 1)2 
(𝑥 − 2)2 + (1 − 3)2 = (𝑥 − 3)2 + (1 + 1)2 
𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 4 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 4 
−4𝑥 + 4 = −6𝑥 + 9 
2𝑥 = 5 
𝑥 =
5
2
 
 
 
Ex3: 
Determine o perímetro do triângulo ABC, cujos vértices são 
os pontos 𝐴 (1,1), 𝐵(2,3) e 𝐶(5, −1). 
 
 
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Resolução: 
Sabe – se que o perímetro de um polígono é a soma 
das medidas dos lados do mesmo. 
 
 
 
Considerando o triângulo genérico ABC por: 
 
 
Tem – se que o perímetro do triângulo ABC é igual 
a: 
2𝑝 = 𝑑𝐴𝐵 + 𝑑𝐵𝐶 + 𝑑𝐴𝐶 
Logo: 
 
→ Cálculo da distância do ponto A ao ponto B: 
𝑑𝐴𝐵 = √(1 − 2)2 + (1 − 3)2 
𝑑𝐴𝐵 = √1 + 4 
𝑑𝐴𝐵 = √5 u.c. 
 
→ Cálculo da distância do ponto B ao ponto C: 
𝑑𝐵𝐶 = √(5 − 2)2 + (−1 − 3)2 
𝑑𝐵𝐶 = √9 + 16 
𝑑𝐵𝐶 = √25 
𝑑𝐵𝐶 = 5u.c. 
 
→ Cálculo da distância do ponto A ao ponto C: 
𝑑𝐴𝐶 = √(1 − 5)2 + (1 − (−1))2 
𝑑𝐴𝐶 = √16 + 4 
𝑑𝐴𝐶 = √20 
𝑑𝐴𝐶 = 2√5u.c. 
 
Então, o perímetro do triângulo é igual a: 
2𝑝 = 3√5 + 5 
 
 
Ex4: 
O ponto A (2,3) é equidistante a dois pontos pertencentes 
ao eixo das abscissas. Se a distância de A a cada um 
deles é 5, determine esses pontos. 
 
 
Resolução: 
Já sabemos que pontos pertencentes ao eixo ox tem 
ordenadas nula, portanto podemos representar um 
desses pontos da seguinte forma: B(a, 0) e dizer que 
𝑑𝐴𝐵 = 5. Consequentemente teremos: 
 
𝑑𝐴𝐵 = √(𝑎 − 2)2 + (0 − 3)2 = 5 
(√(𝑎 − 2)2 + (0 − 3)2)
2
= 5² 
(𝑎 − 2)2 + (0 − 3)2 = 25 
(𝑎 − 2)2 + 9 = 25 
(𝑎 − 2)2 = 16 
𝑎 − 2 = ±√16 
𝑎 − 2 = ±4 
𝑎 = 6 ou 𝑎 = −2 
 
Os pontos do eixo ox dos quais o ponto A (2,3) 
equidista são: (6,0) e (-2,0). 
 
 
Ex5: 
Determine as coordenadas de um ponto P, que pertence à 
bissetriz dos quadrantes ímpares e é equidistante dos 
pontos A (0,4) e B(5,2). 
 
Resolução: 
Chamando de C, ponto da bissetriz dos quadrantes 
ímpares, lembraremos que o mesmo terá a seguinte 
característica: C(x,x) ou C(y,y), ou seja, pontos das 
bissetrizes dos quadrantes ímpares têm 
coordenadas iguais. Então: 
𝑑𝐴𝐶 = 𝑑𝐵𝐶 
√(𝑥 − 0)2 + (𝑥 − 4)2 = √(𝑥 − 5)2 + (𝑥 − 2)2 
(𝑥 − 0)2 + (𝑥 − 4)2 = (𝑥 − 5)2 + (𝑥 − 2)2 
𝑥2 + 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25 + 𝑥2 − 4𝑥 + 4 
6𝑥 = 13 ∴ 𝑥 =
13
6
 
Logo, o ponto procurado é: C (
13
6
,
13
6
). 
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DIVISÃO DE UM SEGMENTO POR UM PONTO NO 
PLANO CARTESIANO 
 
Observe a figura abaixo: 
 
 
 
o ponto C divide o segmento AB em dois outros 
(AC e CB), logo, é ponto divisor de AB. Pelo teorema 
de Tales, pode – se observar a seguinte proporção: 
 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
=
𝐴′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅
𝐶′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅
=
𝐴′′𝐶′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝐶′′𝐵′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
 
 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
=
𝑥𝑐 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐶
=
𝑦𝑐 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵 − 𝑦𝐶
= 𝑟 
 
 Existem dois casos de ponto divisor de um 
segmento: 
 
● 1° caso: Ponto C divide o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ internamente. 
 
 
Se o ponto C está dividindo o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ internamente 
a razão é positiva. 
 
● 2° caso: Ponto C divide o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ externamente. 
 
 
 
Se o ponto C está dividindo o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ externamente 
a razão é negativa. 
 
Ex1: 
Determine a razão em que o ponto 𝐶(3,6) divide o 
segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , sendo 𝐴(1,2) e 𝐵(9,18). 
 
 
Resolução: 
Se o ponto C é ponto divisor do segmento AB, é 
válida a proporção: 
 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
=
𝑥𝑐 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐶
=
𝑦𝑐 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵 − 𝑦𝐶
= 𝑟 
Logo: 
𝑟 =
3 − 1
9 − 3
=
2
6
=
1
3
 
 
Como a razão é positiva podemos compreender que 
o ponto C, divisor do segmento AB, é interno. 
 
 
 
Ex2: 
Determine a razão em que o ponto 𝐶(10,5) divide o 
segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , sendo 𝐴(4,2) e 𝐵(8,4). 
 
 
 
 
 
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Resolução: 
Se o ponto C é ponto divisor do segmento AB, é 
válida a proporção: 
 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
=
𝑥𝑐 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐶
=
𝑦𝑐 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵 − 𝑦𝐶
= 𝑟 
Logo: 
𝑟 =
10 − 4
8 − 10
=
6
−2
= −3 
 
Como a razão é negativa podemos compreender 
que o ponto C, divisor do segmento AB, é externo. 
 
 
 
Ex3: 
Ache as coordenadas do ponto P, que divide na razão 
r = 2 o segmento de extremidades A(1,2) e B(0,3). 
 
 
Resolução: 
Como o ponto P é ponto divisor do segmento AB, é 
válida a proporção: 
 
𝐴𝑃̅̅ ̅̅
𝑃𝐵̅̅ ̅̅
=
𝑥𝑃 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝑃
=
𝑦𝑃 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵 − 𝑦𝑃
= 𝑟 
Logo: 
2 =
𝑥𝑃 − 1
0 − 𝑥𝑃
∴ −2𝑥𝑃 = 𝑥𝑃 − 1 ∴ 𝑥𝑃 =
1
3
 
e 
2 =
𝑦𝑃 − 2
3 − 𝑦𝑃
∴ 6 − 2𝑦𝑃 = 𝑦𝑃 − 2 ∴ 𝑦𝑃 =
8
3
 
 
Logo, o ponto P tem coordenadas iguais a (
1
3
,
8
3
). 
 
 
 
Ex4: 
Ache as coordenadas do ponto P, que divide na razão 
r = -2 o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , onde A(3,8) e B(10,-2). 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Como o ponto P é ponto divisor do segmento AB, é 
válida a proporção: 
 
𝐴𝑃̅̅ ̅̅
𝑃𝐵̅̅ ̅̅
=
𝑥𝑃 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝑃
=
𝑦𝑃 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵 − 𝑦𝑃
= 𝑟 
Logo: 
−2 =
𝑥𝑃 − 3
10 − 𝑥𝑃
∴ −20 + 2𝑥𝑃 = 𝑥𝑃 − 3 ∴ 𝑥𝑃 = 17 
 
e 
−2 =
𝑦𝑃 − 8
−2 − 𝑦𝑃
∴ 4 + 2𝑦𝑃 = 𝑦𝑃 − 8 ∴ 𝑦𝑃 = −12 
 
Logo, o ponto P tem coordenadas iguais a (17, −12). 
 
 
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO NO PLANO 
CARTESIANO 
 
Observe a figura abaixo: 
 
 
 
perceba que o ponto M é ponto divisor do segmento AB e 
o divide ao meio; M é ponto médio do segmento AB. Logo, 
a razão r de divisão é r = 1. Recordando a proporção 
estabelecida pelo ponto divisor estudada anteriormente, 
temos: 
 
𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅
𝑃𝑀̅̅̅̅̅
=
𝑥𝑀 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝑀
=
𝑦𝑀 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵 − 𝑦𝑀
= 1 
 
A partir desta proporção teremos: 
 
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● Abscissa do ponto médio M: 
 
𝑥𝑀 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝑀
= 1 
𝑥𝑀 − 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝑀 
2𝑥𝑀 = 𝑥𝐵 + 𝑥𝐴 
 𝑥𝑀 =
𝑥𝐵 + 𝑥𝐴
2
 
 
● Ordenada do ponto médio M: 
 
 
𝑦𝑀 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵 − 𝑦𝑀
= 1 
𝑦𝑀 − 𝑦𝐴 = 𝑦𝐵 − 𝑦𝑀 
2𝑦𝑀 = 𝑦𝐵 + 𝑦𝐴 
 𝑦𝑀 =
𝑦𝐵 + 𝑦𝐴
2
 
 
Dessa forma, pode – se concluir que as coordenadas do 
ponto médio de um segmento AB são dadas por: 
 
𝑀 (
𝑥𝐵 + 𝑥𝐴
2
,
𝑦𝐵 + 𝑦𝐴
2
) 
 
Ex1: 
Determine as coordenadas do ponto médio do segmento 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ sabendo que: A(5,0) e B(1,2). 
 
 
Resolução: 
Já sabemos que o ponto médio de um segmento AB é 
dado por: 
 
𝑀 (
𝑥𝐵 + 𝑥𝐴
2
,
𝑦𝐵 + 𝑦𝐴
2
) 
 
Logo: 
 
𝑥𝑀 =
𝑥𝐵 + 𝑥𝐴
2
∴ 𝑥𝑀 =
1 + 5
2
= 3 
𝑦𝑀 =
𝑦𝐵 + 𝑦𝐴
2
∴ 𝑦𝑀 =
2 + 0
2
= 1 
 
O ponto médio do segmento AB é o ponto M (3,1). 
 
 
 
Ex2: 
Determinar o simétrico do ponto A (3,5) em relação ao 
ponto Q(9,6). 
 
 
Resolução: 
Se considerarmos por B o ponto simétricode A em 
relação a Q, observaremos que Q é ponto médio do 
segmento AB. 
 
Logo: 
𝑥𝑄 =
𝑥𝐵 + 𝑥𝐴
2
∴ 9 =
𝑥𝐵 + 3
2
∴ 𝑥𝐵 = 15 
 
𝑦𝑄 =
𝑦𝐵 + 𝑦𝐴
2
∴ 6 =
𝑦𝐵 + 5
2
∴ 𝑦𝐵 = 7 
 
O ponto simétrico de A em relação a o ponto Q é 
dado por: B (15,7). 
 
 
Ex3: 
Dado o triângulo de vértices A, B e C, calcule a medida 
da mediana AM, relativa ao lado BC, sabendo que 
A (1,4), B(-2,-1) e C(8,5). 
 
 
Resolução: 
Construindo um triângulo genérico ABC, podemos 
traçar a mediana relativa ao lado BC. Observe: 
 
 
 
Sabemos que a mediana de um triângulo ABC 
qualquer é um segmento de reta que tem uma 
extremidade num vértice e a outra no ponto médio 
do lado oposto a este vértice. Dessa forma, o ponto 
M no desenho é ponto médio do lado BC, logo, é 
definido por: 
 
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𝑥𝑀 =
8−2
2
= 3 𝑦𝑀 =
5−1
2
= 2 
 
𝑀(3,2) 
 
A medida da mediana AM é dada pela distância 
entre os pontos A e M. Então: 
 
𝑑𝐴𝑀 = √(3 − 1)2 + (2 − 4)2 
𝑑𝐴𝑀 = √4 + 4 ∴ 𝑑𝐴𝑀 = 2√2 
 
A mediana AM mede 2√2. 
 
 
 
COORDENADAS DO BARICENTRO DO TRIÂNGULO 
 
 O baricentro é o ponto de intersecção das 
medianas de um triângulo ABC qualquer. Este ponto 
também é reconhecido como um dos pontos notáveis de 
um triângulo e tem a seguinte propriedade: 
 
 
O baricentro divide as medianas de um triângulo 
na proporção de 1: 2 no sentido lado – vértice ou 
na proporção de 2: 1 no sentido vértice – lado. 
 
 
Perceba que o baricentro também é ponto divisor de um 
segmento (as medianas). Mas, como encontraremos as 
coordenadas do baricentro de um triângulo ABC? 
Observe o exemplo a seguir: 
 
Ache as coordenadas do baricentro G do triângulo de 
vértices A (-4,1), B(8, -2) e C(5,4). 
 
Resolução: 
Bem, se apropriando das explicações anteriores com 
relação a ponto divisor de um segmento, 
escolheremos uma das três medianas do triângulo 
ABC para ajudar a encontrar as coordenadas do 
baricentro G. Através de um esboço de um triângulo 
 
 
genérico visualizaremos melhor e escolheremos a 
mediana relativa ao lado BC: 
 
 
 
Encontrando o ponto médio M do lado BC do 
triângulo, torna - se mais fácil encontrar o ponto G 
(baricentro). Dessa forma: 
𝑥𝑀 =
8+5
2
=
13
2
 𝑦𝑀 =
−2+4
2
= 1 
 
 
𝑀 (
13
2
, 1) 
 
Sendo G divisor do segmento AM na proporção de 
2:1 (sentido vértice – lado): 
 
𝐴𝐺̅̅ ̅̅
𝐺𝑀̅̅̅̅̅
=
𝑥𝐺 − 𝑥𝐴
𝑥𝑀 − 𝑥𝐺
=
𝑦𝐺 − 𝑦𝐴
𝑦𝑀 − 𝑦𝐺
=
2
1
 
 
● Abscissa do ponto G: 
 
𝑥𝐺 − 𝑥𝐴
𝑥𝑀 − 𝑥𝐺
= 2 
𝑥𝐺 − (−4)
13
2 − 𝑥𝐺
= 2 ∴ 𝑥𝐺 + 4 = 13 − 2𝑥𝐺 ∴ 𝑥𝐺 = 3 
 
● Ordenada do ponto G: 
 
𝑦𝐺 − 𝑦𝐴
𝑦𝑀 − 𝑦𝐺
=
2
1
 
 
𝑦𝐺 − 1
1 − 𝑦𝐺
= 2 ∴ 𝑦𝐺 − 1 = 2 − 2𝑦𝐺 ∴ 𝑦𝐺 = 1 
 
O baricentro G é o ponto G(3,1). 
 
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Se considerarmos por G o baricentro de um 
triângulo ABC qualquer cujos vértices são: 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴), 
𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) e 𝐶(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶), encontraremos a fórmula que 
fornece as coordenadas do baricentro de um triângulo 
qualquer. Preste atenção no desenvolvimento abaixo: 
 
Seja o triângulo ABC construído no plano 
cartesiano: 
 
 
 
O ponto E é ponto médio do lado BC do 
triângulo, logo suas coordenadas são dadas por: 
 
𝑥𝐸 =
𝑥𝐵+𝑥𝐶
2
 e 𝑦𝐸 =
𝑦𝐵+𝑦𝐶
2
 
 
Então, sendo G (𝑥𝐺 , 𝑦𝐺) divisor do segmento AE 
na proporção de 2:1 (sentido vértice – lado): 
 
𝐴𝐺̅̅ ̅̅
𝐺𝐸̅̅ ̅̅
=
𝑥𝐺 − 𝑥𝐴
𝑥𝐸 − 𝑥𝐺
=
𝑦𝐺 − 𝑦𝐴
𝑦𝐸 − 𝑦𝐺
=
2
1
 
 
● Abscissa do ponto G: 
 
𝑥𝐺 − 𝑥𝐴
𝑥𝐸 − 𝑥𝐺
= 2 
 
𝑥𝐺 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵 + 𝑥𝐶
2 − 𝑥𝐺
= 2 
𝑥𝐺 − 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 − 2𝑥𝐺 
3𝑥𝐺 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 
𝑥𝐺 =
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶
3
 
 
 
 
● Ordenada do ponto G: 
 
𝑦𝐺 − 𝑦𝐴
𝑦𝐸 − 𝑦𝐺
=
2
1
 
 
𝑦𝐺 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵 + 𝑦𝐶
2 − 𝑦𝐺
= 2 
𝑦𝐺 − 𝑦𝐴 = 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 − 2𝑦𝐺 
3𝑦𝐺 = 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 
𝑦𝐺 =
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶
3
 
 
O baricentro G é o ponto G (
𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝐶
3
,
𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝐶
3
). 
 
Finalmente, as coordenadas do baricentro de 
um triângulo são dadas por: 
 
𝑥𝐺 =
𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝐶
3
 e 𝑦𝐺 =
𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝐶
3
 
 
Ex: 
Determine as coordenadas do baricentro dos triângulos 
de vértices A (2,3), B(5,-1) e C(-1,4). 
 
Resolução: 
Já sabemos que as coordenadas do baricentro de 
um triângulo ABC são dadas por: 
 
𝑥𝐺 =
𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝐶
3
 e 𝑦𝐺 =
𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝐶
3
 
 
Então: 
 
𝑥𝐺 =
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶
3
∴ 𝑥𝐺 =
2 + 5 − 1
3
∴ 𝑥𝐺 = 2 
 
e 
 
𝑦𝐺 =
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶
3
 
𝑦𝐺 =
3 − 1 + 4
3
 
𝑦𝐺 = 2 
 
O baricentro G é dado por G(2,2). 
 
 
Geometria Analítica 
 
 
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11 
 
CONDIÇÃO PARA ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS 
 
É interessante perceber que se um ponto 
C divide um determinado segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , é porque o ponto 
C juntamente com as extremidades A e B do segmento 
são colineares, ou seja, a reta 𝐴𝐵 ⃡ passa por esses 
pontos. Se o ponto C não está dividindo o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 
C não é colinear com os pontos A e B (a reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ não 
passa por C) e C não é ponto divisor do segmento. 
 
Dessa forma, estabelecer a condição de 
alinhamento entre três pontos ABC quaisquer, 
baseia – se na possibilidade de o ponto C, ser ponto 
divisor do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , por exemplo. 
 
 
 
Mas, já sabemos que para C ser divisor de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ a 
proporção: 
 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
=
𝑥𝑐 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐶
=
𝑦𝑐 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵 − 𝑦𝐶
 
 
fica estabelecida. 
 
Logo, a condição de alinhamento entre três pontos é dada 
por: 
 
𝑥𝑐 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐶
=
𝑦𝑐 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵 − 𝑦𝐶
 
 
(𝑥𝑐 − 𝑥𝐴). (𝑦𝐵 − 𝑦𝐶) = (𝑦𝑐 − 𝑦𝐴). (𝑥𝐵 − 𝑥𝐶) 
 
Ex1: 
Verifique se os pontos A(1,1), B(4,3) e C(2,5) são 
colineares. 
 
 
Resolução: 
Considerando o ponto B o ponto divisor, então para 
que os pontos ABC sejam colineares é preciso que: 
 
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
𝑥𝐶 − 𝑥𝐵
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑦𝐶 − 𝑦𝐵
 
 
4 − 1
2 − 4
=
3 − 1
5 − 3
∴
3
−2
=
2
2
 (𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜) 
 
Os pontos não são colineares! 
 
 
Ex2: 
Verifique se os pontos A (1,2), B (0, -1) e C (2,5) são 
colineares. 
 
Resolução: 
Considerando o ponto B o ponto divisor, então para 
que os pontos ABC sejam colineares é preciso que: 
 
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
𝑥𝐶 − 𝑥𝐵
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑦𝐶 − 𝑦𝐵
 
 
0 − 1
2 − 0
=
−1 − 2
5 + 1
∴
−1
2
=
−3
6
∴
−1
2
=
−1
2
 
(𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎) 
 
Os pontos são colineares! 
 
 
Perceba que a condição de alinhamento para 
três pontos ABC, fornecida anteriormente: 
 
𝑥𝑐 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐶
=
𝑦𝑐 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵 − 𝑦𝐶
 
 
(𝑥𝑐 − 𝑥𝐴). (𝑦𝐵 − 𝑦𝐶) = (𝑦𝑐 − 𝑦𝐴). (𝑥𝐵 − 𝑥𝐶), 
 
é, nada mais, nada menos, que a tangente da inclinação 
da reta suporte do segmento AB. Observe: 
Geometria Analítica 
 
 
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12 
 
 
 
 Encontrando o valor da 𝑡𝑔𝛼 nos triângulos 
retângulos cujas hipotenusas são os segmentos AC e CB, 
teremos: 
 
● Para o triângulo retângulo cuja hipotenusa é o 
segmento AC: 
 
𝑡𝑔𝛼1 =
𝑦𝐶 − 𝑦𝐴
𝑥𝐶 − 𝑥𝐴
 
 
● Para o triângulo retângulo cuja hipotenusa é o 
segmento CB: 
 
𝑡𝑔𝛼2 =
𝑦𝐵 − 𝑦𝐶
𝑥𝐵 − 𝑥𝐶
 
 
 Como estes ângulos são congruentes 
(𝛼 = 𝛼1 = 𝛼2), suas tangentes terão a mesma medida, 
logo: 
 
𝑦𝐶 − 𝑦𝐴
𝑥𝐶 − 𝑥𝐴
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐶
𝑥𝐵 − 𝑥𝐶
 
 
 Organizando a proporção acima, teremos: 
 
𝑦𝐶 − 𝑦𝐴
 𝑦𝐵 − 𝑦𝐶
=
𝑥𝐶 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐶
 
 
(𝑥𝑐 − 𝑥𝐴). (𝑦𝐵 − 𝑦𝐶) = (𝑦𝑐 − 𝑦𝐴). (𝑥𝐵 − 𝑥𝐶) 
 
Condição de colinearidade de três pontos definida 
anteriormente. 
 Concluímos que para três pontos serem 
colineares as tangentes 𝑡𝑔𝛼1 e 𝑡𝑔𝛼2 deverão ser iguais. 
 
Ex3: 
Verifique se os pontos A (1,3), B(3,1) e C(2,2) estão 
alinhados: 
 
Resolução: 
Bem, para ABC serem colineares é preciso 
satisfazer a: 
 
𝑡𝑔𝐴𝐵 = 𝑡𝑔𝐵𝐶 
 
Logo: 
 
𝑡𝑔𝐴𝐵 = 𝑡𝑔𝐵𝐶 
 
3 − 1
1 − 3
=
2 − 3
2 − 1
 
2
−2
=
−1
1
∴ −1 = −1 (𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎) 
 
Os pontos são colineares! 
 
 
Outra forma de constatarmos se três pontos ABC são 
colineares é dada por: 
 
Se |
𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝟏
𝒙𝑩 𝒚𝑩 𝟏
𝒙𝑪 𝒚𝑪 𝟏
| = 𝟎, sendo 𝑨(𝒙𝑨, 𝒚𝑨), 𝑩(𝒙𝑩, 𝒚𝑩) e 
𝑪(𝒙𝑪, 𝒚𝑪), os pontos ABC são colineares. 
 
Não desenvolveremos neste material 
|
𝑥𝐴 𝑦𝐴 1
𝑥𝐵 𝑦𝐵 1
𝑥𝐶 𝑦𝐶 1
| = 0, mas é verdade que: 
|
𝑥𝐴 𝑦𝐴 1
𝑥𝐵 𝑦𝐵 1
𝑥𝐶 𝑦𝐶 1
| = 0 ↔ 
(𝑥𝑐 − 𝑥𝐴). (𝑦𝐵 − 𝑦𝐶) = (𝑦𝑐 − 𝑦𝐴). (𝑥𝐵 − 𝑥𝐶)⏟ 
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 
 
Ex4: 
Verifique se os pontos A (0,0), B(1,2) e C(2,3) estão 
alinhados: 
 
Geometria Analítica 
 
 
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13 
 
 
Resolução: 
Aplicando a terceira forma para verificar se os 
pontos são colineares, temos: 
Para ABC estarem alinhados |
𝑥𝐴 𝑦𝐴 1
𝑥𝐵 𝑦𝐵 1
𝑥𝐶 𝑦𝐶 1
| = 0, 
então: 
 
|
0 0 1
1 2 1
2 3 1
| = 0 
0 + 0 + 3 − [4 + 0 + 0] = 0 
-1 = 0 (𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜) 
 
Os pontos não estão alinhados! 
 
Existe outra forma de calcular o determinante: 
observe a explicação seguinte: 
 
Formaremos com os pontos A (0,0), B(1,2) e C(2,3) 
uma matriz do tipo 3x2 e a transformaremos numa 
matriz 4x2, cuja 4° linha será formada pelas 
coordenadas do ponto colocado na 1° linha da 
matriz original 3x2. Observe: 
|
0 0
1 2
2 3
0 0
| 
 
Neste caso, as coordenadas do ponto A foram 
escolhidas para ocupar a 1° linha da matriz 3x2. 
 
Posteriormente, procedemos da seguinte forma para 
encontrar o determinante da matriz |
0 0 1
1 2 1
2 3 1
|: 
 
 
0 + 3 + 0 − [0 + 4 + 0] = −1 
 
Verificamos, então, que os pontos não estão 
alinhados, já que o determinante não é nulo. 
Ex5: 
Determine k de maneira que os pontos A(2,3), B(5,7) e 
C(k,1) sejam vértices de um triângulo. 
 
Resolução: 
Para que os pontos ABC sejam vértices de um 
triângulo, os mesmos não poderão ser colineares. 
Logo, 
 
1° forma: 
5 − 2
𝑘 − 5
≠
7 − 3
1 − 7
 
 
3
𝑘 − 5
≠
4
−6
∴ −18 ≠ 4𝑘 − 20 ∴ 𝑘 ≠
1
2
 
 
2° forma: 
𝑡𝑔𝐴𝐵 ≠ 𝑡𝑔𝐵𝐶 
 
7 − 3
5 − 2
≠
1 − 7
𝑘 − 5
 
4
3
≠
−6
𝑘 − 5
∴ −18 ≠ 4𝑘 − 20 ∴ 𝑘 ≠
1
2
 
 
3° forma: 
|
2 3
5 7
𝑘 1
2 3
| ≠ 0 
14 + 5 + 3𝑘 − [15 + 7𝑘 + 2] ≠ 0 
2 − 4𝑘 ≠ 0 ∴ 𝑘 ≠
1
2
 
 
Então, 𝑘 ≠
1
2
 para que os pontos ABC sejam vértices 
de um triângulo. 
 
 
Atenção! 
 
O aluno deve estar à vontade para escolher uma das 
condições de colinearidade entre três pontos, 
mencionadas anteriormente. Como sugestão 
escolheria a 2° forma, já que resulta em 
conhecimentos prévios vistos com bastante frequência 
(da aplicação das tangentes dos ângulos) por vocês 
nas séries anteriores, mas o importante é que você 
escolha a que mais lhe agradou. 
Geometria Analítica 
 
 
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14 
 
ÁREA DE TRIÂNGULO 
 
Sabemos que três pontos 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴), 𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵) e 
𝐶(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶) são colineares se existe uma reta que passa 
pelos três ao mesmo tempo. Então, se os pontos não são 
colineares, os mesmos serão vértices de um triângulo 
𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴), 𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵) e 𝐶(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶). 
Logo, o |
𝑥𝐴 𝑦𝐴 1
𝑥𝐵 𝑦𝐵 1
𝑥𝐶 𝑦𝐶 1
| ≠ 0, pois observamos, 
anteriormente, 
 
que se |
𝑥𝐴 𝑦𝐴 1
𝑥𝐵 𝑦𝐵 1
𝑥𝐶 𝑦𝐶 1
| = 0 os pontos serão colineares. 
 
Então, para calcularmos a área de um triângulo 
cujos vértices são 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴), 𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵) e 𝐶(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶) 
utilizamos a seguinte fórmula: 
 
 
 
𝐴á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 =
1
2
. ‖
𝑥𝐴 𝑦𝐴 1
𝑥𝐵 𝑦𝐵 1
𝑥𝐶 𝑦𝐶 1
‖ u.a. 
 
Tal fórmula é resultado da seguinte operação: 
 
 
 
 
Ex1: 
Determine a área do triângulo cujos vértices são M(1,3), 
N(2,-2), P(3,3). 
 
 
Resolução: 
Sabemos que: 
𝐴á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑀𝑁𝑃 =
1
2
. ‖
1 3 1
2 −2 1
3 3 1
‖. 
 
𝐴 =
1
2
. ||
1 3 1
2 −2 1
3 3 1
|| 
𝐴 =
1
2
. |−2 + 9 + 6 − [−6 + 6 + 3]| 
𝐴 =
1
2
. |13 − 3| ∴ 𝐴 =
1
2
. |10| ∴ 𝐴 = 5𝑢. 𝑎. 
 
 Este determinante poderia ser desenvolvido 
também da seguinte forma: 
 
𝐴 =
1
2
. |||
1 3
2 −2
3 3
1 −3
||| 
𝐴 =
1
2
. |−2 + 6 − 9 − [6 − 6 + 3]| 
𝐴 =
1
2
. |10| ∴ 𝐴 = 5𝑢. 𝑎. 
 
 
Atenção! 
 
Todo polígono simples pode ser subdividido em 
(n – 2) triângulos. Ou seja, a área de um polígono 
simples pode ser dada pelo somatório das áreas 
desses (n – 2) triângulos. Dessa forma, a fórmula 
estudada anteriormente para o cálculo da área de 
um triângulo se estende para o cálculo da área de 
um polígono simples qualquer. Observe o exemplo a 
seguir: 
 
A área do quadrilátero cujos vértices são A (2,0), 
B(3,4), C(4,2) e D(6,-1) é igual a: 
 
 
 
Geometria Analítica 
 
 
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Resolução: 
𝐴á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 𝐴𝐵𝐶𝐷 =
1
2
. ‖
2 0 1
3 4 1
4 2 1
6 −1 1
‖. 
 
Desenvolvendo o determinante da seguinte forma: 
 
𝐴 =
1
2
.
|
|
|| 
2 0 
3 4 
 4 2 
6 −1
 2 0
|||
|
 
temos: 
𝐴 =
1
2
. |8 + 6 − 4 + 0 − [0 + 16 + 12 − 2]| 
𝐴 =
1
2
. |−16| ∴ 𝐴 =
16
2
∴ 𝐴 = 8𝑢. 𝑎. 
 
 
Ex1: 
Qual é a área do pentágono abaixo? 
 
 
Resolução: 
Definiremos as coordenadas dos vértices do 
pentágono ABCDE teremos A(-2,1), B(3,-2), C(5,2), 
D(4,4) e E(-1, 3). Agora, encontraremos a área do 
pentágono pelo determinante a seguir: 
𝐴 =
1
2
.
|
|
|
|
 
−2 1
3 −2
5 2
4 4
−1 3
−2 1
|
|
|
|
 
𝐴 =
1
2
. |4 + 6 + 20 + 12 − 1 − [3 − 10 + 8 − 4 − 6]| 
𝐴 =
1
2
. |50| ∴ 𝐴 = 25𝑢. 𝑎. 
Ex2: 
Os pontos A (1,2), B(4,3), C(3,1) e D(m, n), nessa ordem, 
formam um paralelogramo. A área do paralelogramo 
ABCD é igual a: 
 
Resolução: 
Construindo um quadrilátero genérico ABCD para 
melhorar a visualização da figura, temos: 
 
 
 
Sabemos que para encontrar a área de um 
quadrilátero precisamosconhecer todas as 
coordenadas dos vértices do mesmo. Neste caso, 
não conhecemos o vértice D(m,n). Mas, baseando – 
se em conhecimentos prévios sabemos que as 
diagonais de um paralelogramo cortam – se nos 
respectivos pontos médios. 
 
O ponto M é médio tanto da diagonal AC como da 
diagonal DB, então, M tem coordenadas: 
 
𝑥𝑀 =
1+3
2
= 2 e 𝑦𝑀 =
2+1
2
=
3
2
 , 
 
e D tem coordenadas: 
 
2 =
𝑚+4
2
∴ 𝑚 = 0 e 
3
2
=
𝑛+3
2
∴ 𝑛 = 0 
 
Logo, a área do quadrilátero é igual a: 
 
𝐴 =
1
2
.
|
|
|| 
0 0 
3 1 
 4 3 
1 2
 0 0
|||
|
 
temos: 
𝐴 =
1
2
. |0 + 9 + 8 + 0 − [0 + 4 + 3 + 0]| 
𝐴 =
1
2
. |17 − 7| ∴ 𝐴 =
1
2
. |10| ∴ 𝐴 = 5𝑢. 𝑎. 
Geometria Analítica 
 
 
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A RETA 
 
 Daremos início ao estudo das retas. Em função 
polinomial do 1° grau você estudou as retas que a 
representavam perfeitamente no plano cartesiano. São 
eles os dois tipos: 
 
 
 A figura 1 representa uma reta ascendente e a 
figura 2, uma reta descendente. Mas, existem outros 
posicionamentos de retas que serão estudados neste 
tópico. Veja a seguir: 
 
 
 
A reta horizontal, quando você estudou a função 
constante, a representava perfeitamente, mas a reta 
vertical nunca foi associada a uma função já que fere a 
definição da mesma (um domínio com muitas imagens). 
 A Geometria Analítica preocupa – se em estudar 
as retas, seja qual for seu posicionamento. Dessa forma, 
daremos início ao estudo das retas no plano cartesiano. 
 
● Equações da reta: 
 
 Observe o exemplo a seguir: 
 
Seja C (x,y) um ponto qualquer. Quais os 
possíveis valores de x e y para que C seja colinear com 
os pontos A(1,2) e B(2,3)? 
 
Bem, para que os pontos A, B e C sejam colineares é 
preciso que: 
 
→ 1° forma: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐶
=
2 − 1
𝑥 − 2
=
3 − 2
𝑦 − 3
 
1
𝑥 − 2
=
1
𝑦 − 3
∴ 𝑥 − 2 = 𝑦 − 3 ∴ 𝑦 = 𝑥 + 1 
 
→ 2° forma: 
𝑡𝑔𝐴𝐵 = 𝑡𝑔𝐵𝐶 
 
3 − 2
2 − 1
=
3 − 𝑦
2 − 𝑥
∴ 𝑦 = 𝑥 + 1 
 
→ 3° forma: 
 
|
1 2
2 3
𝑥 𝑦
1 2
| = 0 
3 + 2𝑦 + 2𝑥 − [4 + 3𝑥 + 𝑦] = 0 
𝑦 = 𝑥 + 1 
 
 Percebemos que os possíveis valores de x e y 
para que A, B e C estejam alinhados deve obedecer a 
seguinte equação: 
𝑦 = 𝑥 + 1, 
 
para x = 3, y = 4; para x = 0, y = 1; e assim 
sucessivamente. O ponto genérico C(x,y) representa 
todos os infinitos pontos da reta 𝐴𝐵 ⃡ cujas abscissas e 
ordenadas obedecem a equação anterior. 
Esta equação é denominada equação da reta 
𝐴𝐵 ⃡ , pois caracterização todos os pontos desta reta. 
 
 
A equação de uma reta s é uma expressão algébrica 
capaz de definir todos os pontos desta reta. 
 
 
Por estar em um formato de isolamento da 
incógnita y é denominada equação reduzida da reta. 
 
 
Geometria Analítica 
 
 
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Atenção! 
 
É interessante perceber que para encontrar a 
equação de uma reta, basta aplicarmos a condição 
de alinhamento entre três pontos. 
 
 
● Equação reduzida da reta 
 
A equação da reta é chamada de reduzida 
quando obedece a este formato: 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 → 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 
 
com m (ou a) sendo o coeficiente angular e n (ou b) 
sendo o coeficiente linear. 
 Já sabemos, devido a conhecimentos prévios 
sobre função polinomial do 1° grau, que o coeficiente 
angular é a tangente do ângulo que a reta forma com o 
sentido positivo do eixo ox e o coeficiente linear é a 
ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo oy. 
 
Ex1: 
Encontre a equação reduzida da reta r. 
 
 
 
Resolução: 
Sabemos que a equação reduzida de uma reta é 
dada por: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Então, precisamos encontrar 
os valores do coeficiente angular (a) e do coeficiente 
linear (b). 
 
 
→ Coeficiente angular: 
𝑎 = 𝑡𝑔30° =
√3
3
 
→ Coeficiente linear: 
𝑏 = −3 
A equação reduzida da reta r é: 𝑦 = 
√3
3
𝑥 − 3 
 
 
Ex2: 
Encontre a equação reduzida da reta s. 
 
 
Resolução: 
Cálculo do coeficiente angular: 
 
𝑎 = 𝑡𝑔120° = −𝑡𝑔60° = −√3 
 
Observe que 60° não é a inclinação da reta s. A 
inclinação da reta s é o ângulo que ela forma com o 
eixo ox no seu sentido positivo, logo é o suplemente 
de 60°, ou seja, 120°. 
 
Cálculo do coeficiente linear: 
 
𝑏 = 5 
 
A equação reduzida da reta s é: 𝑦 = −√3𝑥 + 5 
 
 
Ex3: 
Ache a equação reduzida da reta que passa pelos pontos 
A(1,3) e B(3,5) 
 
Geometria Analítica 
 
 
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Resolução: 
Sabemos que a equação reduzida de uma reta é 
dada por: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Então, precisamos encontrar 
os valores do coeficiente angular (a) e do coeficiente 
linear (b). Mas, a única informação que temos são 
dois pontos que estão nesta reta. Ou seja, se esses 
pontos estão na reta, os mesmos satisfazem a 
equação da reta. Logo, substituindo esses pontos na 
lei de formação genérica da reta: 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
temos: 
 
{
3 = 𝑎 + 𝑏
5 = 3𝑎 + 𝑏
∴ {
𝑎 + 𝑏 = 3
3𝑎 + 𝑏 = 5
→ 𝑎 = 1 𝑒 𝑏 = 2 
 
A equação da reta é dada por: 𝑦 = 𝑥 + 2 
 
 
→ Outra forma de encontrar o coeficiente angular 
 
Seja a reta 𝐴𝐵 ⃡ : 
 
 
 
Já sabemos que 𝑡𝑔𝛼 = 𝑚 (coeficiente angular), 
mas podemos através da geometria analítica encontrar 
𝑡𝑔𝛼 = 𝑚 em função das coordenadas dos pontos A e B. 
Veja: 
 No triângulo retângulo cuja hipotenusa é o 
seguimento AB, tem – se que a medida do ângulo �̂� é 
igual a inclinação da reta 𝐴𝐵 ⃡ (observe a figura anterior), 
logo: 
𝑡𝑔�̂� =
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
 
Então, como 𝑡𝑔�̂� = 𝑡𝑔𝛼: 
 
𝑚 =
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
∴
∆𝑦
∆𝑥
 
 
Ex1: 
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos 
A(2,0) e B(4,1) é igual a: 
 
 
Resolução: 
Sabemos que: 𝑚 =
𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴
, então: 
 
𝑚 =
1 − 0
4 − 2
∴ 𝑚 =
1
2
 
 
O coeficiente angular da reta que passa por AB é 
1/2. 
 
 
Ex2: 
A equação reduzida da reta que passa pelos pontos 
A(3,2) e B(-1,1) é igual a: 
 
 
Resolução: 
Bem, já resolvemos um exemplo muito parecido com 
esse. Mas, ainda não havíamos aprendido que o 
coeficiente angular de uma reta poderia ser dado 
por: 𝑚 =
𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴
. Então, neste exemplo, priorizaremos 
este novo conhecimento: 
 
A equação reduzida da reta é igual a: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ou 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, então, para encontra – la precisaremos 
dos valores dos coeficientes angular e linear. Logo: 
 
Cálculo do coeficiente angular: 
 
𝑚 =
1 − 2
−1 − 3
∴ 𝑚 =
−1
−4
∴ 𝑚 =
1
4
 
 
A equação reduzida será igual a: 𝑦 =
1
4
𝑥 + 𝑛. 
Substituindo um dos pontos (A ou B), teremos: 
 
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1 =
1
4
(−1) + 𝑛 ∴ 𝑛 =
5
4
 
 
A equação é dada por: 𝑦 =
1
4
𝑥 +
5
4
 
 
 
● Equação geral da reta 
 
 Seja a equação reduzida de uma reta s dada por: 
 
𝑦 = 2𝑥 + 3 
 
se estruturarmos de outra forma esta equação, 
encontraremos outras classificações para a equação 
desta reta. 
 Neste momento, transformaremos esta equaçãoda reta s do seu formato reduzido para seu formato geral. 
Para isso, é necessário que todos os termos da equação 
estejam em um só membro e a mesma esteja igualada a 
zero. Observe: 
 
𝑦 = 2𝑥 + 3⏟ 
𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝒔
→ 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0⏟ 
𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝒔
 
 
Ex: 
Dados A(4,0), B(3,5) e C(1,5), ache a equação geral da 
reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 
 
Resolução: 
Para encontramos a equação da reta que passa por 
A e por M (ponto médio do segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ) 
inicialmente encontraremos a forma reduzida e após 
igualaremos a zero. Para isso, será preciso 
encontrar M: 
 
 
𝑥𝑀 =
3 + 1
2
= 2 
𝑦𝑀 =
5 + 5
2
= 5 
 
A equação da reta que passa por A (4,0) e M (2,5) é 
igual a: 
 
 
𝑚 =
5 − 0
2 − 4
= −
5
2
 
 
Logo, a equação é do tipo: 
 
𝑦 = −
5
2
𝑥 + 𝑛 
 
Substituído o ponto A (4,0) (poderia ser o M), 
encontraremos 𝑛: 
0 = −
5
2
. (4) + 𝑛 ∴ 𝑛=10 
 
Então a equação reduzida da reta que passa por A e 
M é igual a: 
 
𝑦 = −
5
2
𝑥 + 10 
 
E a equação geral será: 
 
5𝑥 + 2𝑦 − 20 = 0 
 
 
Atenção! 
 
Equação da reta para: 
 
→ Retas verticais 
 
As retas verticais são retas que possuem 
inclinação igual a 90°, dessa forma não têm 
coeficientes angulares (∄ 𝑡𝑔90°). Sua equação será 
dada da seguinte maneira: 
 
 
 
A reta s tem por equação 𝑥 = 2. Isso significa 
que é o conjunto de todos os pontos, do plano 
cartesiano, cujos pares ordenados têm abscissas 
iguais a 2. 
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→ Retas horizontais 
 
As retas horizontais são retas que têm 
inclinação igual a 0°, ou seja, têm seus coeficientes 
angulares nulos (𝑡𝑔0° = 0). Dessa forma, sua 
equação será dada por: 
 
 
A reta r tem por equação 𝑦 = 3. Isso significa que é 
o conjunto de todos os pontos, do plano cartesiano, 
cujos pares ordenados têm ordenadas iguais a 3. 
 
 
● Equação segmentária da reta 
 
A equação segmentária da reta é uma forma 
diferente de todas já estudadas anteriormente para 
representar uma reta. Seu formato possibilita ter de 
imediato as abscissas e ordenadas dos pontos de 
intersecção da reta com os eixos ox e oy 
respectivamente. 
Seja a reta a seguir que passa pelos pontos 
Q(0,q) e P(p,0): 
 
 
 
Encontrando o coeficiente angular e linear da reta: 
 
𝑚 =
0−𝑞
𝑝−0
= −
𝑞
𝑝
 e 𝑛 = 𝑞 
 
a equação reduzida será: 
𝑦 = −
𝑞
𝑝
𝑥 + 𝑞 
Colocando na forma geral: 
 
𝑦 = −
𝑞
𝑝
𝑥 + 𝑞 
𝑝𝑦 = −𝑞𝑥 + 𝑞𝑝 
𝑞𝑥 + 𝑝𝑦 = 𝑞𝑝 
 
Dividindo toda a equação por 𝑞𝑝: 
 
𝑞𝑥
𝑞𝑝
+
𝑝𝑦
𝑞𝑝
=
𝑞𝑝
𝑞𝑝
 
 
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
= 1 → 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡á𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 
 
Observe a seguir um exemplo numérico do 
procedimento para transformar uma equação da forma 
geral para a segmentária. Dada a equação geral 
3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0, veremos abaixo, como será a equação 
da reta na forma segmentaria: 
 
1° - Isolamos o termo independente: 
 
3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0 → 3𝑥 + 2𝑦 = 12 
 
2° - Para que o 1º membro da equação seja igual a 1, 
devemos dividir todos os termos da equação, pelo termo 
independente (termo que está no 2º membro da 
equação): 
 
3𝑥
12
+
2𝑦
12
=
12
12
 
𝑥
4
+
𝑦
6
= 1 → 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡á𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 
 
Observe a representação geométrica desta reta: 
 
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Na equação segmentária o denominador de x é 
a abscissa do ponto de intersecção da reta com o eixo ox 
e o denominador de y é a ordenada do ponto de 
intersecção da reta com o eixo oy. 
 
Ex1: 
Obtenha a equação segmentária da reta que corta os 
eixos x e y em dois pontos A e B, respectivamente, sendo 
dado o ponto médio M (-1,5), do segmento AB. 
 
 
Resolução: 
Como os pontos A e B são as intersecções das retas 
com os eixos coordenados x e y, respectivamente, 
temos que A (a,0) e B(0,b). Sabe –se que M(-1,5) é 
ponto médio do segmento AB, logo: 
 
−1 =
𝑎 + 0
2
∴ 𝑎 = −2 𝑒 5 =
𝑏 + 0
2
∴ 𝑏 = 10 
 
Logo, A(-2,0) e B(0,10). A equação segmentária da 
reta que passa por esses pontos é igual a: 
𝑥
−2
+
𝑦
10
=1 
 
 
Ex2: 
Determine os pontos de intersecção de 
𝑟: 4𝑥 + 5𝑦 − 80 = 0, 
com os eixos coordenados. 
 
 
Resolução: 
1º forma: 
Encontrar a equação da reta na forma segmentária, 
pois já nos fornece essas intersecções: 
 
4𝑥 + 5𝑦 − 80 = 0 
4𝑥 + 5𝑦 = 80 (÷ 80) 
4𝑥
80
+
5𝑦
80
=
80
80
 ∴
𝑥
20
+
𝑦
16
= 1 
 
Logo, os pontos de intersecção da reta r com os 
eixos x e y são, respectivamente, (20,0) e (0,16). 
 
 
2º forma: 
Perceber que pontos que estão no eixo x tem 
ordenadas nulas (igual a zero) e pontos que estão 
no eixo y tem abscissas nulas (igual a zero). Logo, 
 
Para x = 0, teremos: 
4𝑥 + 5𝑦 − 80 = 0 → 4(0) + 5𝑦 − 80 = 0 ∴ 𝑦 = 16 
O ponto de intersecção com o eixo oy é (0,16). 
 
Para y = 0, teremos: 
4𝑥 + 5𝑦 − 80 = 0 → 4𝑥 + 5(0) − 80 = 0 ∴ 𝑥 = 20 
O ponto de intersecção com o eixo ox é (20,0). 
 
 
● Equações paramétricas da reta 
 
As equações gerais, reduzidas e segmentárias 
relacionam diretamente entre si as coordenadas (x, y) de 
um ponto genérico da reta. É possível, entretanto, fixar a 
lei a ser obedecida pelos pontos da reta dando as 
coordenadas x e y de cada ponto da reta em função de 
uma terceira variável t: 
 
𝑥 = 𝑓1(𝑡) e 𝑦 = 𝑓2(𝑡) 
 
 São estabelecidas duas equações em função de 
outra variável. No caso de 𝑟: 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0, temos: 
 
2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 ∴ 2𝑥 = 6 − 3𝑦 
𝑥 = 3 −
3
2
𝑦 ∴ 𝑥 = 3. (1 −
𝑦
2
) 
 
Fazendo, arbitrariamente, 1 −
𝑦
2
= 𝑡, temos: 
 
𝒙 = 𝟑𝒕 e 1 −
𝑦
2
= 𝑡 ∴ 2 − 𝑦 = 2𝑡 ∴ 𝒚 = 𝟐 − 𝟐𝒕 
 
chamadas de equações paramétricas da reta r. Logo, r 
pode ser representada como: 
{
𝑥 = 3𝑡
𝑦 = 2 − 2𝑡
. 
 
(Iezzi, Gelson; Dolse, Osvaldo... – Matemática – Volume 
único) 
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Ex1: 
Obter a equação geral da reta cujas equações 
paramétricas são: {
𝑥 = 𝑡 + 1
𝑦 = 𝑡 + 3
. 
 
 
Resolução: 
Encontrando o valor de t em função de x e y, 
teremos: 
{
𝑥 = 𝑡 + 1
𝑦 = 𝑡 + 3
→ {
𝑡 = 𝑥 − 1
𝑡 = 𝑦 − 3
 
𝑥 − 1 = 𝑦 − 3 
𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 (𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎) 
 
 
Ex2: 
Determine a equação segmentária da reta:{
𝑥 = 4 + 3𝑡
𝑦 = 1 − 𝑡
. 
 
 
Resolução: 
Encontrando o valor de t em função de x e y, 
teremos: 
{
𝑥 = 4 + 3𝑡
𝑦 = 1 − 𝑡
→ {
𝑡 =
𝑥 − 4
3
𝑡 = 1 − 𝑦
 
 
𝑥 − 4
3
= 1 − 𝑦 
𝑥 − 4 = 3 − 3𝑦 
𝑥 + 3𝑦 = 7 
 
𝑥
7
+
3𝑦
7
= 1 ∴
𝑥
7
+
𝑦
7
3
= 1
⏟ 
𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡á𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎
 
 
 
POSICIONAMENTO RELATIVO ENTRE RETAS 
 
Já se sabe que duas retas coplanares podem ser 
paralelas ou concorrentes. Em analítica, esses dois 
posicionamentos, serão identificados através das 
equações das retas. Vejamos: 
 
 
 
● Retas paralelas 
 
Duas retas r e s são paralelas se,e somente se, 
têm mesma inclinação. 
 
As retas podem ser: 
 
 
 
Observamos que duas retas r e s são paralelas 
se, e somente se, têm o mesmo coeficiente angular ou 
seus coeficientes angulares não existem: 
 
𝑟//𝑠 ↔ 𝑚𝑟 = 𝑚𝑠 ou ∄𝑚𝑟 , 𝑚𝑠. 
 
● Retas concorrentes 
 
Duas retas r e s são concorrentes se, e somente 
se, têm inclinações diferentes. Tais retas têm um ponto 
em comum e podem ser oblíquas ou perpendiculares. 
 
→ 1° caso: Concorrentes oblíquas 
 
 
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→ 2° caso: Concorrentes perpendiculares 
 
 
Concluímos que duas retas r e s são 
concorrentes se, e somente se, têm coeficientes 
angulares diferentes ou existe coeficiente angular de 
uma das retas e não existe da outra. 
 
Atenção! 
 
Quando duas retas, não perpendiculares aos 
eixos cartesianos, são concorrentes 
perpendiculares, o produto dos seus coeficientes 
angulares é -1. Essas retas estão representadas no 
2° caso na figura 1. 
 
 
𝑚𝑟 . 𝑚𝑠 = −1 
 
Se nada do que foi dito acima for verificado, 
constata-se que as retas são concorrentes oblíquas 
ou perpendiculares entre si e aos eixos cartesianos 
(figura 2 – 2° caso). 
 
 
Ex1: 
São dadas as seguintes retas: 𝑟: 𝑦 = 3𝑥 + 5; 𝑠: 𝑦 = 3𝑥 − 2; 
𝑡: 6𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0 e 𝑢: 𝑦 = 5𝑥 
 
Descreva a posição relativa entre: 
 
a) r e s b) r e t c) s e u 
 
 
Resolução: 
a) As retas r e s são paralelas. Observamos que 𝑚𝑟 
e 𝑚𝑠 são iguais, o que garante o paralelismo entre 
as retas. 
b) Observamos que a equação da reta t está na 
forma geral, dessa forma, para visualizarmos o 
coeficiente angular de t (𝑚𝑡), colocaremos tal 
equação na forma reduzida. Observe: 
 
𝑡: 6𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0 ∴ 𝑦 = 3𝑥 + 5
 
 
Temos que 𝑚𝑡 = 3 e 𝑚𝑟 = 3, 𝑚𝑡 = 𝑚𝑟, e os 
coeficientes lineares também são iguais, então as 
retas r e t são paralelas coincidentes. 
c) Observamos que 𝑚𝑠 ≠ 𝑚𝑢, dessa forma, s e u 
são concorrentes. 
 
 
Ex2: 
Determine a posição entre as retas 𝑟: 𝑦 =
2
3
𝑥 e 
𝑠: 3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0. 
 
Resolução: 
Precisamos encontrar o coeficiente angular das 
retas r e s. Observe: 
𝑚𝑟 =
2
3
 e 𝑚𝑠 será encontrado quando colocarmos a 
equação da reta s, na forma reduzida, pois está na 
forma geral. 
 
𝑠: 3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 
𝑠: 𝑦 = −
3
2
x+
1
2
 
𝑚𝑠 = −
3
2
 
 
Logo: 𝑚𝑠. 𝑚𝑟 = −
3
2
.
2
3
= −1. 
 
As retas r e s são perpendiculares. 
 
 
 
 
 
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Atenção! 
 
Quando falamos que duas retas são 
concorrentes, entendemos que as retas possuem 
um ponto comum. Como será que encontraremos tal 
ponto? 
Lembre – se que uma reta é um conjunto de 
infinitos pontos e sua equação representa, ou 
melhor, identifica todos os seus pontos. 
Sabe –se que todos os pontos de uma reta 
definida no plano cartesiano são do tipo (𝑥, 𝑦) e para 
encontra – los basta conhecermos a equação da 
reta. 
 
 
Ex: 
Dada à reta r, no plano cartesiano, temos: 
 
 
 
a) O ponto P (1,3) está na reta r? 
 
 
Resolução: 
Para sabermos basta substituirmos o ponto P (1,3) 
na equação da reta. Se encontrarmos uma 
identidade (verdade matemática) significa que o 
ponto P está na reta, pois a equação de uma reta 
mostra todos os pontos que estão nela; se 
encontrarmos um absurdo (incoerência matemática) 
temos que P não está na reta r. 
 
Substituindo o ponto P (1,3) na equação 𝑟: 𝑦 = 𝑥 + 2, 
temos: 
𝑟: 𝑦 = 𝑥 + 2 → 3 = 1 + 2 ∴ 3 = 3(𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒) 
 
O ponto P está na reta. 
b) O ponto P (2,5) está na reta r? 
 
Resolução: 
Substituiremos o ponto P (2,5) na equação, ou 
melhor, substituiremos as coordenadas do ponto P 
na equação da reta, observe: 
𝑟: 𝑦 = 𝑥 + 2 → 5 = 2 + 2 ∴ 5 = 4(𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜) 
O ponto P não está na reta. 
 
 
● Ponto de intersecção entre duas retas: 
 
Para encontrar o ponto de intersecção entre duas 
retas concorrentes, basta entendermos que se um ponto 
Q (x, y) está em duas retas, t e s, necessariamente 
satisfaz às respectivas equações. Então, para um 
determinado valor de abscissa (x), teremos o mesmo 
determinado valor de ordenada (y), nas duas equações 
das retas. Observe o exemplo abaixo: 
 
Ex1: 
Determine o ponto de intersecção das retas 𝑠: 𝑦 = 3𝑥 − 2 
e 𝑢: 𝑦 = 5𝑥. 
 
Resolução: 
O ponto de intersecção dessas retas será um ponto 
que satisfaz as duas equações. Igualando os valores 
de 𝑦 das duas equações, teremos: 
 
3𝑥 − 2 = 5𝑥 ∴ 𝑥 = −1 
 
Substituindo esse valor 𝑥 = −1 em uma das duas 
equações, encontraremos a ordenada do ponto. 
Veja: 
 
→ Na reta 𝑢: 𝑦 = 5𝑥: 
𝑦 = 5(−1) ∴ 𝑦 = −5 
 
(Perceba que poderíamos ter escolhido substituir na 
reta 𝑠: 𝑦 = 3𝑥 − 2 e teríamos encontrado o mesmo 
valor: 𝑦 = 3(−1) − 2 ∴ 𝑦 = −5) 
 
Então o ponto de intersecção das retas 𝑠 e 𝑢 é o 
ponto (−1; −5). 
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Ex2: 
Dadas às retas 𝑟: 3𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0; 
𝑠: 9𝑥 + 6𝑦 − 45 = 0 e 𝑡: 12𝑥 + 8𝑦 − 60 = 0 podemos 
afirmar: 
 
a) elas são paralelas 
b) elas são concorrentes 
c) 𝑟 ∩ 𝑡 ∩ 𝑠 = ℝ 
d) 𝑟 ∩ 𝑡 ∩ 𝑠 = ∅ 
e) as três equações representam uma mesma reta. 
 
Resolução: 
Simplificando as equações das retas 𝑟, 𝑠 e 𝑡, temos: 
• 𝑟: 3𝑥 + 2𝑦 – 15 = 0 
• 𝑠: 9𝑥 + 6𝑦 – 45 = 0 (÷ 3) ∴ 𝑠: 3𝑥 + 2𝑦 – 15 = 0 
• 𝑡: 12𝑥 + 8𝑦 – 60 = 0(÷ 4) ∴ 𝑡: 3𝑥 + 2𝑦 – 15 = 0 
Podemos constatar que essas retas são 
coincidentes. 
Resposta letra E 
 
Ex3: 
Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e 
é paralela a reta 𝑟: 𝑦 = 2𝑥 + 5. 
 
 
Resolução: 
Considerando por s a reta que passa pelo ponto 
(1,3) e é paralela a reta r, tem – se que o coeficiente 
angular de s é igual ao de r, então, como 𝑚𝑟 = 2, 
então 𝑚𝑠 = 2 . 
 
Seja 𝑠: 𝑦 = 2𝑥 + 𝑛 a equação reduzida de s; 
substituindo o ponto (1,3) na mesma, temos: 
 
3 = 2(1) + 𝑛 ∴ 𝑛 = 1. 
 
Logo a equação da reta s paralela a r que passa 
pelo ponto (1,3) é igual a 
𝑠: 𝑦 = 2𝑥 + 1. 
 
Ex3: 
Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) 
e é perpendicular a reta 𝑟: 𝑦 + 𝑥 − 2 =0. 
 
Resolução: 
Como a reta s passa pelo ponto (1,2) e é 
perpendicular a reta r, temos: 𝑚𝑟 . 𝑚𝑠 = −1. Então, 
como: 
 
𝑟: 𝑦 + 𝑥 − 2 = 0 → 𝑟: 𝑦 = −𝑥 + 2, 
 
temos que 𝑚𝑟 = −1 e 𝑚𝑠 = 1. Logo, a equação da 
reta s é igual a: 
 
𝑠: 𝑦 = 1. 𝑥 + 𝑛 ∴ 2 = 1.1 + 𝑛 ∴ 𝑛 = 1 
𝑠: 𝑦 = 𝑥 + 1 
 
 
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS 
 
Existem dois casos de ângulo agudo entre duas 
retas: 
 
● 1° caso: 
 
Se duas retas r e s, não perpendiculares aos 
eixos cartesianos, cujos coeficientes angulares são, 
respectivamente, 𝑚𝑟 e 𝑚𝑠, formam entre si um ângulo 
agudo 𝜃, então: 
 
 
 
𝑡𝑔𝜃 = |
𝑚𝑟 − 𝑚𝑠
1 + 𝑚𝑟 . 𝑚𝑠
| 
 
 
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Atenção! 
 
Observe a figura a seguir: 
 
 
 
As retas r e s sãooblíquas aos eixos e não 
formam um ângulo agudo entre si e sim um ângulo 
reto. Ou seja, 𝜃, o ângulo que r e s forma entre si é 
igual a 90°. Como não existe tangente do ângulo 
90º, os respectivos valores dos coeficientes 
angulares das retas não satisfarão à fórmula acima. 
 
 
● 2° caso: 
 
Uma das retas r ou s é perpendicular a um dos 
eixos cartesianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demonstração: 
 
→ Figura 1 
A reta r é paralela ao eixo ox e a reta s é 
obliqua ao eixo ox. Sendo 𝛼 a inclinação da reta s e 
𝑡𝑔𝛼 = 𝑚𝑠 (coeficiente angular de s) temos que como 
r// ox, s é uma transversal a r e 𝛼 é ângulo 
correspondente ao ângulo 𝜃, logo 𝛼 ≡ 𝜃. Dessa 
forma, como 𝑡𝑔𝛼 = 𝑚𝑠 e 𝑡𝑔𝛼 = 𝑡𝑔𝜃, então 
𝑡𝑔𝛼 = 𝑡𝑔𝜃 = |𝑚𝑠|, pois 𝛼 e 𝜃 podem ser ângulos 
obtusos. c.q.d. 
 
→ Figura 2 
Observe a figura 2 abaixo: 
 
 
O triângulo ABC é retângulo em B. Portanto: 
𝑡𝑔𝛼 =
𝐴𝐵
𝐶𝐵
 e 𝑡𝑔𝜃 =
𝐶𝐵
𝐴𝐵
. Como 𝑡𝑔𝛼 = 𝑚𝑠 e 𝑡𝑔𝛼 =
1
𝑡𝑔𝜃
, 
temos que 𝑚𝑠 =
1
𝑡𝑔𝜃
→ 𝑡𝑔𝜃 = |
1
𝑚𝑠
|. c.q.d. 
 
 
Atenção! 
Sejam as retas r e s perpendiculares aos eixos oy e 
ox, respectivamente. Nesse caso r e s formam entre 
si ângulos de 90°. 
 
 
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Ex1: 
Determine o ângulo agudo formado pelas retas 
𝑟: 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 e 𝑠: 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0. 
 
 
Resolução: 
Para a reta 𝑟: 𝑦 = 3𝑥 + 2, 𝑚𝑟 = 3. 
Para a reta 𝑠: 𝑦 = − 2𝑥 + 1, 𝑚𝑠 = −2. 
 
Substituindo os valores na fórmula anterior e 
efetuando os cálculos, temos: 
 
𝑡𝑔𝜃 = |
3 − (−2)
1 + 3(−2)
| 
𝑡𝑔𝜃 = 1 
 
significa que o ângulo entre as retas é igual a 45º, já 
que tg45º = 1. 
 
 
Ex2: 
Determine a tangente do ângulo agudo que as retas 
𝑟: 𝑦 = 2 e 𝑠: 𝑦 = 4𝑥 + 1 formam entre si. 
 
 
Resolução: 
Observamos que a reta r é uma reta paralela ao eixo 
das abscissas, ou seja, é um conjunto de pontos que 
possuem por ordenada o número real 2. Sabemos 
também que a reta s é obliqua à reta r e ao eixo ox. 
Observando a (figura 1) do 2° caso estudado 
anteriormente, temos que se s forma um ângulo 𝛼 
com o eixo ox, também forma com a reta r o mesmo 
ângulo 𝛼, pois são ângulos correspondentes. Então, 
se 𝑚𝑠 = 4 = 𝑡𝑔𝛼, então, a tangente do ângulo que a 
reta s forma com a reta r é igual a 4.