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Sequências 1. Em cada item, encontre a fórmula para o termo geral da sequência, começando com n = 1. (a) 1, 1 3 , 1 9 , 1 27 , . . . (b) 1,−1 3 , 1 9 ,− 1 27 , . . . (c) 1 2 , 3 4 , 4 5 , 7 8 , . . . (d) 1√ pi , 4 3 √ pi , 9 4 √ pi , 16 5 √ pi Respostas: (−1)n−1 3n−1 , 1 3n−1 , n2 pi 1 n+1 , 2n− 1 2n . (as respostas não estão na ordem) 2. Em cada item, encontre duas fórmulas para o termo geral da sequência, uma começando com n = 1 e a outra com n = 0. (a) 1,−r, r2,−r3, . . . (b) r,−r2, r3,−r4, . . . Respostas: (−1)n+1rn, (−1)nrn+1, (−r)n, (−r)n−1. (as respostas não estão na ordem) 3. Determine o que se pede. (a) Escreva os quatro primeiros termos da sequência {1+(−1)n}, começando com n = 0. (b) Escreva os quatro primeiros termos da sequência {cosnpi}, começando com n = 0. (c) Use os resultados nos itens (a) e (b) para expressar o termo geral da sequência 4, 0, 4, 0, . . . de duas formas diferentes, começando com n = 0. Respostas: 2(1 + (−1)n); 2 + 2 cosnpi, 2, 0, 2, 0, 1,−1, 1,−1. (as respostas não estão na ordem) 4. Use o teorema do confronto para mostrar que lim n→∞ n! nn = 0. 5. Seja f a função f(x) = cos (pi 2 x ) e defina a sequência {an} e {bn} por an = f(2n) e bn = f(2n+ 1). (a) Existe lim x→+∞ f(x)? Explique. Resp.: Não. (b) Calcule a1, a2, a3, a4 e a5. Resp.: −1, 1,−1, 1,−1. (c) {an} converge? Se convergir, encontre o limite. Resp.: Não. 6. Considerando a função do exercício 5, determine o que se pede. (a) Calcule b1, b2, b3, b4 e b5. (b) {bn} converge? Se convergir, encontre o limite. (c) {f(n)} converge? Se convergir, encontre o limite. 1 7-18 Escreva os cinco primeiros termos da sequência, determine se ela converge e, se isso acontecer, encontre o limite. 7. { n n+ 2 }+∞ n=1 R.: 1 3 , 2 4 , 3 5 , 4 6 , 5 7 ; converge; 1. 8. {2}+∞n=1 R.: 2, 2, 2, 2, 2; converge; 2. 9. { lnn n }+∞ n=1 R.: ln 1 1 , ln 2 2 , ln 3 3 , ln 4 4 , ln 5 5 ; converge; 0. 10. { (n+ 1)(n+ 2) 2n2 }+∞ n=1 R.: 6 2 , 12 8 , 20 18 , 30 32 , 42 50 ; converge; 1 2 11. { n2 en }+∞ n=1 R.: e−1, 4e−2, 9e−3, 16e−4, 25e−5; converge; 0 12. {( n+ 3 n+ 1 )n}+∞ n=1 R.: 2, ( 5 3 )2 , ( 6 4 )3 , ( 7 5 )4 , ( 8 6 )5 ; converge; e2 13. { n2 2n+ 1 }+∞ n=1 R.: 1 3 , 4 5 , 9 7 , 16 9 , 25 11 ; diverge; +∞. 14. {1 + (−1)n}+∞n=1 R.: 0, 2, 0, 2, 0; diverge. 15. { (−1)n 2n 3 n3 + 1 }+∞ n=1 R.: −1, 16 9 ,−54 28 , 128 65 ,−250 126 ; diverge. 16. { pin 4n }+∞ n=1 R.: pi 4 , pi2 42 , pi3 43 , pi4 44 , pi5 45 ; converge; 0. 17. {( 1− 2 n )n}+∞ n=1 R.: −1, 0, 1 33 , ( 2 4 )4 , ( 3 5 )5 ; converge; e−2 18. { (−1)n+1n n+ 1 }+∞ n=1 R.: 1 2 ,−2 3 , 3 4 ,−4 5 , 5 6 ; 19-22 Encontre o termo geral da sequência, começando com n = 1, determine se a sequência converge e, se isso acontecer, encontre o limite. 19. 1 2 , 3 4 , 5 6 , 7 8 , . . . R.: { 2n− 1 2n }∞ n=1 ; converge; 1. 20. 1 3 ,−1 9 , 1 27 ,− 1 81 , . . . R.: { (−1)n+1 1 3n }∞ n=1 ; converge; 0. 21. ( 1− 1 2 ) , ( 1 3 − 1 2 ) , ( 1 3 − 1 4 ) , ( 1 5 − 1 4 ) , . . . R.: { (−1)n+1 ( 1 n − 1 n+ 1 )}∞ n=1 ; converge; 0. 22. ( √ 2−√3), (√3−√4), (√4−√5), . . . R.: {√n+ 1−√n+ 2}∞ n=1 ; converge; 0. 23. Mostre que limn→+∞ 7−n3n−1 = 0. 24. Calcule lim n→+∞ sin2 n n . R.: 0. 25. Para n suficientemente grande √ 1 + n2 e en + lnn se comportam, respectivamente, como as sequências √ n2 e en. Use este fato para mostrar que lim n→∞ √ 1 + n2 en + lnn = 0. 2 26. Considere a sequência a1 = √ 6 a2 = √ 6 + √ 6 a3 = √ 6 + √ 6 + √ 6 a4 = √ 6 + √ 6 + √ 6 + √ 6 ... (a) Encontre uma fórmula de recursão para an+1. R.: an+1 = √ 6 + an. (b) Supondo que a sequência convirja, encontre o seu limite. R.: L = 3. 27. Uma das mais famosas sequências é a sequência de Fibonacci (1710-1250), definida pela recorrência un+1 = un + un−1, onde u1 = u2 = 1. (a) Determine os dez primeiros termos desta sequência. (b) Os termos da nova sequência xn = un+1 un dão uma aproximação para o igualmente famoso número de ouro (ou razão áurea), denotado por τ . O Número de Ouro é um número irracional misterioso e enigmático que surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerado por muitos antigos como uma oferta dos deuses ao mundo. Este número aparece, por exemplo, em diversos templos construídos para adoração de deuses da antiguidada. Determine uma aproximação dos cinco primeiros termos dessa nova sequência. (c) Supondo que τ = lim n→+∞ xn, mostre que τ = 1 2 (1 + √ 5). 3 Sequências Monótonas 1-5 Use a diferença an+1 − an para mostrar que a sequência {an} dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente. 1. { 1 n }+∞ n=1 R.: decrescente. 3. { n 2n+ 1 }+∞ n=1 R.: crescente. 5. {n− 2n}+∞n=1 R.: decrescente. 7-11 Use a razão an+1/an para mostrar que a sequência {an} dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente. 7. { n 2n+ 1 }+∞ n=1 R.: crescente. 9. {ne−n}+∞n=1 R.: decrescente. 11. { nn n! }+∞ n=1 R.: crescente. 17-19 Use diferenciação para mostrar que a sequência {an} dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente. 17. { n 2n+ 1 }+∞ n=1 R.: crescente. 19. {arctann}+∞n=1 R.: crescente. 21-23 Mostre que a sequência {an} dada é, a partir de um certo termo, estritamente crescente ou estritamente decrescente. 21. {2n2 − 7n}+∞n=1 R.: crescente a partir de um certo termo. 23. { n! 3n }+∞ n=1 R.: crescente a partir de um certo termo. 4
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