Alg_Aula09

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Álgebra Linear
Tipos Especiais de Operadores Lineares
Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello
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Prof. Carlos Alexandre Mello
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Tipos Especiais de Operadores Lineares
• Tipos especiais de operadores
�Operadores Auto-Adjuntos
�Operadores Ortogonais
• Teorema: Sejam V um espaço vetorial com 
produto interno < , > e α = {u1, ..., un} base 
ortonormal de α. Então, se v e w são vetores de 
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ortonormal de α. Então, se v e w são vetores de 
V com
• Temos: <v, w> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn
[v]α = e [w]α = 
x1
…
xn
y1
…
yn
Tipos Especiais de Operadores Lineares
• Em outras palavras, ao trabalharmos com uma 
base ortonormal, para efetuar o produto interno 
de dois vetores basta multiplicar as 
coordenadas correspondentes e somar
Definição: 
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• Definição: Seja A uma matriz n x n real e A’ sua 
transposta:
�a) Se A = A’, dizemos que A é simétrica
�b) Se A.A’ = A’.A = I (ou seja, A-1 = A’), dizemos que A 
é uma matriz ortogonal
Tipos Especiais de Operadores Lineares
• Teorema: Seja A uma matriz ortogonal. Então 
det A = ±1
�Prova:
Como A é ortogonal, A.A’ = I
⇒ det (A.A’) = det(I) = 1
det (A.A’) = det(A).det(A’) (propriedade)
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det (A.A’) = det(A).det(A’) (propriedade)
⇒ det(A).det(A’) = 1
Mas, det(A) = det(A’) (propriedade)
Logo, det2(A) = 1 ⇒ det(A) = ±1
Tipos Especiais de Operadores Lineares
• Teorema: Uma matriz é ortogonal se e somente 
se as colunas (ou linhas) são vetores 
ortonormais
• Exemplo: Seja V = R2 e α={(1, 0), (0, 1)} e β = 
{(cos θ, -sen θ), (sen θ, cos θ)} bases 
ortonormais
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ortonormais
• [ I ]αβ = ?
• Calculando como vimos antes...
cosθ -senθ
senθ cosθ
[ I ]αβ =
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• Exemplo:
�Para checar se [ I ]αβ é ortogonal, basta multiplicá-la 
pela sua transposta:
Cont.
cosθ -senθ
senθ cosθ
cosθ senθ
-senθ cosθ
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cos2θ + sen2θ 0
0 sen2θ + cos2θ
1 0
0 1
=
=
Também é preciso multiplicar a 
transposta pela matriz para tentar 
encontrar a identidade...
Tipos Especiais de Operadores Lineares
• Teorema: Se V é um espaço vetorial com 
produto interno e α e β são bases ortonormais 
de V, então a matriz de mudança de base [ I ]αβ
é uma matriz ortogonal
β β β
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• Nesses casos, [ I ]βα.([ I ]βα)’ = I ou seja ([ I ]βα)’ = 
([ I ]βα)-1, e ainda mais ([ I ]βα)’ = ([ I ]βα)-1 = [ I ]αβ
�Assim, tendo [ I ]αβ, [ I ]βα é apenas sua transposta
Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
• Definição: Seja V um espaço vetorial com 
produto interno, α uma base ortonormal e 
T:V→V um operador linear. Então:
�a) T é chamado um operador auto-adjunto, se [T]αα
é uma matriz simétrica
�b) T é chamado um operador ortogonal, se [T]αα é 
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�b) T é chamado um operador ortogonal, se [T]αα é 
uma matriz ortogonal
• Sejam α e β bases ortonormais:
�se [T]αα é simétrica, então [T]ββ também é.
�se [T]αα é ortogonal, então [T]ββ também é.
Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
• Exemplo:
�Seja T:R2→R2 onde T(x, y) = (2x – 2y, -2x + 5y)
�Se α é a base canônica, a matriz de T é:
[T]αα= 2 -2
-2 5
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�que é uma matriz simétrica e, portanto, T é operador 
auto-adjunto
Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
• Teorema: Seja V um espaço vetorial com 
produto interno < , > e T:V→V linear
• Então T auto-adjunto implica que
<Tv, w>=<v, Tw>
• para todo v, w ∈ V
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• para todo v, w ∈ V
• Prova:
Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
• Prova: (no caso de n = 2)
�α = {v1, v2} uma base ortonormal
�v = x1v1 + y1v2
�w = x2v1 + y2v2
�ou [v] = e [w] = 
x1
y
x2
y
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�ou [v]α = e [w]α = 
�Como T é auto-adjunto, então [T]αα é simétrica
�Seja:
1
y1
2
y2
[T]αα= a bb c
Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
• Prova:
�Então [Tv]α = = 
�e [Tw]α = =
x1
y1
a b
b c
Cont.
ax1 + by1
bx1 + cy1
x2
y2
a b
b c
ax2 + by2
bx2 + cy2
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�Assim, <Tv, w> = (ax1 + by1)x2 + (bx1 + cy1)y2
�e <v, Tw> = x1(ax2 + by2) + y1(bx2 + cy2)
�Portanto <Tv, w> = <v, Tw>
y2b c bx2 + cy2
Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
• Teorema: Seja T:V→V auto-adjunto e λ1, λ2
autovalores distintos de T e v1 e v2 os 
autovetores associados aos autovalores. Então 
v1 ⊥ v2.
• Prova:
�λ .<v , v > = <λ .v , v > = <Tv , v > = <v , Tv > = 
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�λ1.<v1, v2> = <λ1.v1, v2> = <Tv1, v2> = <v1, Tv2> = 
<v1, λ2.v2> = λ2.<v1, v2>
�Então (λ1 - λ2).<v1, v2> = 0
�Como λ1 ≠ λ2, então λ1 - λ2 ≠ 0, logo <v1, v2> = 0, o 
que implica v1 ⊥ v2
Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e 
Caracterização dos Operadores Ortogonais
• Teorema: Seja T:V→V um operador auto-
adjunto. Então existe uma base ortonormal de 
autovetores de T
• Exemplo 1: Seja T:R3→R3 o operador linear 
cuja matriz em relação à base canônica é
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cuja matriz em relação à base canônica é
• Podemos exibir uma base ortonormal de 
autovetores para este operador?
[T] = 
-2 0 0
0 6 1
0 1 6
Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e 
Caracterização dos Operadores Ortogonais
• Exemplo 1: Podemos observar que T é um 
operador auto-adjunto (a matriz é simétrica e a 
base canônica é ortonormal)
• Pelo teorema anterior, é garantida uma base 
ortonormal de autovetores
Cont.
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ortonormal de autovetores
• Calculando os autovalores e os autovetores 
associados, temos:
�λ1 = -2 ⇒ v1 = (1, 0, 0)
�λ2 = 7 ⇒ v2 = (0, 1, 1)
�λ3 = 5 ⇒ v3 = (0, 1, -1)
Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e 
Caracterização dos Operadores Ortogonais
• Exemplo 1: Como esses autovetores provêm 
de autovalores distintos e T é auto-adjunto, eles 
são ortogonais (Teo slide 14)
�Então {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, -1)} é uma base 
otrogonal de autovetores
Cont.
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otrogonal de autovetores
�Para encontrarmos a base ortonormal, basta 
normalizar a base ortogonal:
• {(1, 0, 0), (1/√2)(0, 1, 1), (1/√2)(0, 1, -1)}
Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e 
Caracterização dos Operadores Ortogonais
• Teorema: Seja T:V→V um operador linear num 
espaço vetorial V com produto interno < , >. 
Então as condições abaixo são equivalentes:
�T é ortogonal
�T transforma bases ortonormais em bases 
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�T transforma bases ortonormais em bases 
ortonormais. Isto é, se {v1,...,vn} é base ortonormal de 
V, então {Tv1,...,Tvn} é base ortonormal
�T preserva o produto interno, i.e., <Tu, Tv> = <u, v>
�T preserva a norma, i.e., ||Tv|| = ||v||
• Dada a condição anterior já que ||v|| = <v, v>
• Exemplo: (Exercício 3) Sejam α={(1,1), (2,0)} e 
β={(-1,0), (2,1)}. A partir dessas bases, construa 
bases ortonormais, usando o método de Gam-
Schmidt. Mostre que a matriz mudança de base 
[ I ]α’β’ é ortogonal (onde α’ e β’ são as novas 
bases ortonormais).
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Lineares
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β’
bases ortonormais).
• Solução:
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• Exemplo: (Exercício 3)
• Solução:
• α = {(1,1), (2,0)}
�v1’ = (1, 1) ⇒ ||v1’|| = √2
�v2’ = v2–(<v2,v1’>/<v1’,v1’>).v1’ = (1, -1) ⇒ ||v2’|| = √2
Cont.
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�v2’ = v2–(<v2,v1’>/<v1’,v1’>).v1’ = (1, -1) ⇒ ||v2’|| = √2
�α’ = {(1/√2, 1/√2), (1/√2, -1/√2)}
• β = {(-1,0), (2,1)}
�v1’ = (-1, 0) ⇒ ||v1’|| = 1
�v2’ = v2–(<v2,v1’>/<v1’,v1’>).v1’ = (0, 1) ⇒ ||v2’|| = 1
�β’ = {(-1, 0), (0, 1)}
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• Exemplo: (Exercício 3)
• Solução:
• α’ = {(1/√2, 1/√2), (1/√2, -1/√2)}
• β’ = {(-1, 0), (0, 1)}
• [ I ]α’ = ??
Cont.
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• [ I ]α’β’ = ??
� (1/√2, 1/√2) = a(-1,0) + b(0, 1)
� (1/√2, -1/√2) = c(-1,0) + d(0, 1)
� [ I ]α’β’ = -1/√2 -1/√2
1/√2 -1/√2
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Lineares
• Exemplo: (Exercício 3)
• Solução:
• Para ser ortogonal, precisa ter A.A’ = A’.A = I, 
onde A = [ I ]α’β’
• A.A’ =
Cont.
-1/√2 -1/√2 -1/√2 1/√2 1 0
=
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• A.A’ =
• A’.A = 
-1/√2 -1/√2
1/√2 -1/√2
-1/√2 1/√2
-1/√2 -1/√2
1 0
0 1
=
-1/√2 -1/√2
1/√2 -1/√2
-1/√2 1/√2
-1/√2 -1/√2
1 0
0 1
=
Logo, é ortogonal.
Exercícios Sugeridos
• 1
• 2
• 5a e b
• 6
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A Seguir...
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